椭圆型方程的有限差分法4
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
fdm有限差分法不能求解的方程
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
椭圆形偏微分方程的数值方法
椭圆形偏微分方程的数值方法\[\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是给定的函数。
求解椭圆形偏微分方程的传统方法，如有限差分法、有限元法等，需要将偏微分方程离散化成一组代数方程，然后通过求解这组方程得到数值解。
下面将介绍两种常用的数值方法：有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：有限差分法是将空间和时间上的变量用网格离散化，然后通过代数关系来近似偏微分方程。
对于椭圆形偏微分方程，我们可以采用二维网格进行离散化。
假设网格大小为\(h_x\)和\(h_y\)，则在坐标点\((x_i,y_j)\)，偏微分方程可以近似为：\[\frac{{u_{i+1, j} - 2u_{ij} + u_{i-1,j}}}{{h_x^2}} +\frac{{u_{i, j+1} - 2u_{ij} + u_{i, j-1}}}{{h_y^2}} = f(x_i,y_j)\]其中，\(u_{ij}\)表示在网格点\((x_i, y_j)\)处的数值解。
通过将偏微分方程的离散化代入不同的边界条件（如Dirichlet边界条件、Neumann边界条件等），可以得到一组线性代数方程。
通过求解这组方程，即可获得数值解。
2.有限元法：有限元法是一种利用一组有限元进行近似求解的方法。
在椭圆形偏微分方程的求解中，我们需要将求解域分割成一组互不重叠的有限元，然后在每个有限元中构造适当的数学模型，如线性、二次等。
以线性有限元为例，假设在每个有限元中使用线性插值，那么在每个节点上可以用插值函数表示数值解。
即数值解可以表示为：\[u(x, y) = \sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x, y)\]其中，\(\phi_j(x, y)\)是第j个节点上的插值函数，\(c_j\)表示相应节点处的系数。
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明
，
解v
连
h
续
依
赖
右
端f h，
即
右
端
变 化 小 时 解 的 变 化 也 小。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
若 边 值 问 题 的 解u充 分 光 滑 ， 差 分 方 程
按 满 足 相 容 条 件 ， 且 关 于右 端 稳 定 ， R
则 差 分 解uh按 收 敛 到 边 值 问 题 的 解 ，且
有和
Rh (u)
相 同 的 收 敛 阶.
R
为 了 建 立 差 分 解 的 收 敛性 ， 就 需 要 检 验 相 容 条件 和 建
第四章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
§2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考 虑 二 阶 常 微 分 方 程 的边 值 问 题
Lu
d 2u dx2
qu
f
u(a) , u(b)
a x b, (1.1) (1.2)
此 格 式 称 为 中 心 差 分 格式 。
注意:
方 程(1.8)的 个 数 等 于 网 格 内 点x1 ,
x2 ,
,
x
N
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
以I
表
h
示
网
格
内
点x1
,
x2 ,
,
x
N
的
1
集
合
，I表
示
网
格
内
点
和 界 点x0 a, xN b的 集 合 。 定 义 在I（h 相 应 的Ih )上 的 函
差 分 方 程(1.6)当i 1,2, N 1,时 成 立 ， 加 上 边 值 条 件 就 得 到 关 于 的 线 性 代 数方 程 组 ：
Lhui
ui 1
2ui h2
ui1
qi ui
fi , i 1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它 的 解ui是u( x)于x xi的 近 似 。 称(1.8),(1.9)为 逼 近(1.1) (1.2)的 差 分 方 程 或 差 分 格 式。
其 中q, f为[a, b]上 的 连 续 函 数, q 0;
, 为 给 定 常 数 。
1 区间的剖分
将 区间[a, b]分 成n等 分， 分 点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a) / N .于 是我 们 得 到区 间I [a, b]的 一个 网 格 剖 分 ，x j称 为 网 格 结 点 （ 节 点 ）， 间 距h称 为步长。
Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi ,(1.6)
式 中qi q( xi ), fi f ( xi ).称Ri (u)为 差 分 方 程(1.6)的 截
断误差。
截 断 误 差 Ri (u) Lhu( xi ) [Lu]i (1.7) 所 以Ri (u)是 用 差 分 算 子Lh代 替 微 分 算 子L所 引 起 的 截 断 误 差(，1.6)式 关 于h的 阶 为0(h2 ).
关
于
右
端
稳
定
，
如
果
存在
与
网
格I
及
h
右
端f h
(
fh
(
xi
)
fi )
无 关 的 正 常 数M和h0， 使
vh
M
fh
,
R
当0 h h0 ,
(1.17)
其中
fh
R
是
右
端f
的
h
某
一
范
数
，
它
可
以
和 相
同
，
也 可 以 不 同 ，vh( xi ) vi , i 1,2, , N 1.
不
等
式(1.17)表
定义1.1
设是 某 一 充 分 光 滑 函 数 类，Rh(u)是 由 截 断 误 差 (1.7)定 义 的 网 格 函 数 ， 若 对任 何 ， 恒 有
lim Rh(u) 0,
(1.14)
则 说 差 分 算 子Lh逼 近 微 分 算 子L， 而 称(1.14)为 相 容
条 件.
由(1.5)便 知 ， 差 分 算 子(1.6)逼 近 微 分 算 子 ， 且 逼 近的 阶 是: Rh(u) c o(h2 ), Rh(u) 0 o(h2 ), Rh(u) 1 o(h).
)
u(
xi 1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi
相 减 ， 得 Lh (u( xi ) ui ) Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则 误 差 函 数eh ( xi ) ei满 足 下 列 差 分 方 程 ；
定义1.2
称 差 分 解uh收 敛 到 边 值 问 题 的 解u， 如 果 当h充 分 时 ， (1.8), (1.9)的 解uh存 在 ， 且 按 某 一 范 数 有
lim
h0
uh
u
0.
这
里u看
成I
网
h
函
数
。
(1.15)
可 将 方 程(1.4)写 成
Lhu(
xi
)
u(
xi1
)
2u( xi h2
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函 数xi点 取 值 。 于 是 在 可 将 方 程(1.1)写 成
u(
xi
1
)
2u( xi h2
)
u(
xi
1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u),(
其中
Ri
(u)
h2 12
h2u( x) [ dx2 ]
o(h3
),
(1.5)
当h足够小，Ri (u)是h的二阶无穷小量。若舍去Ri (u)， 则 得 逼 近 方 程(1.1)的 差 分 方 程 ：
Lhei e0
e
Ri (u) N 0
i 1,2, , N 1, (1.16)
于 是 收 敛 性 及 收 敛 速 度的 估 计 问 题 。
就 归 结 带 通 过 右 端Ri (u（) 截 断 误 差 ） 估 计 误 差 函 数eh的 程Lhvi fi (i 1,2, , N 1),v0 vN 0
1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方 程(1.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分光 滑
的 解u， 由Taylor展 式 可 得
u( xi1 ) 2u( xi ) u( xi1 ) h2
[d
2u( x) dx2 ]i
h2 h2u( x)
[ 12
dx2
]
o(h3
),(1.3)
数uh ( xi ) ui称 为I（h 相 应 的Ih )上 的 网 函 数.
我
们
对I
上
h
的
网
函
数
引
进
范
数
uh
c
max
1i N 1
ui
,
(1.10)
N 1
uh
2 0
hui2 ,
i 1
(1.11)
uh
2
1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12)
于 是
uh
2 1
N h( ui
i 1
ui1 ), h
(1.13)