知识讲解 物理学中的极值问题与极端法

物理学中的极值问题与极端法编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。

在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

【知识升华】物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

【方法点拨】求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。

数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。

一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。

多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。

【典型例题】类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值二次函数2y ax bx c =++有如下知识：（1）若0a >、2bx a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=；（2）若0a <、2bx a=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。

例1、A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2的加速度匀加速开出，3s 后B 车同向以3m/s 2的加速度开出。

问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？【思路点拨】速度相等是追及问题的临界点，速度相等两车相距最远。

这里利用二次函数极值公式求最大距离，分别写出两车的位移公式，相减即为所求（A 车在前，A 车的位移减B 车的位移）。

【答案】27米【解析】设A 启动t 秒两车相距最远，A 车的位移：212A x at =，B 车的位移：21(3)2B x a t =- 两车间距离为22211(3)0.5913.522A B A B x x x a t a t t t ∆=-=--=-+-由数学知识可知，当992(0.5)t s s =-=⨯-时，两车间有最大距离：2211(3)2722A B A B x x x a t a t m ∆=-=--= 【总结升华】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。

应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。

举一反三【变式1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。

恰在这时，一辆自行车以6m/s 的速度同向匀速驶来，从后边超过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【答案】2秒；6米【解析】设汽车开始运动时开始计时，t 时刻汽车和自行车的位移分别为：2211322x at t == 26x v t t ==汽车追上自行车之前，t 时刻两车的距离为： 221362x x x t t ∆=-=-由二次函数求极值的公式知：当 6232()2t s -==-时，x ∆有最大值2max 6634()2x m -∆==⨯- 【变式2】如图所示的电路中，电源的电动势E=12V ，内阻r=0.5Ω，外阻R 1=2Ω，R 2=3Ω，滑动变阻器R 3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？【答案】R 3的中点2.5Ω处；10V ．【解析】设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R ， 电阻1R x +与电阻23()R R x +-并联，则10)8)(2())((321321x x R R R x R R x R R -+=++-++=，6.16.01.01016622++-=++-=x x x x R 电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求max R 当abx 2-=0.632(0.1)=-=-时，外电路电阻最大值为2max4(0.1) 1.60.6 2.54(0.1)R ⨯-⨯-==Ω-．电路中的最小电流为min max 1242.50.5E I A A R r===++伏特计的最大示数为max min 1240.510U E I r V =-=-⨯=即变阻器的滑动头P 滑到R 3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10V ． 类型二、利用极限思维方法求极值有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

例2、如图所示，细线的一端系一质量为m 的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。

在斜面体以加速度a 水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T 和斜面的支持力为F N 分别为（重力加速度为g )）（ ）A ．T ＝m （g sin θ＋a cos θ） F N ＝m （g cos θ－a sin θ）B ．T ＝m （g cos θ＋a sin θ） F N ＝m （g sin θ－a cos θ）C ．T ＝m （a cos θ－g sin θ） F N ＝m （g cos θ＋a sin θ）D ．T ＝m （a sin θ－g cos θ） F N ＝m （g sin θ＋a cos θ）【思路点拨】用极限思维方法求解时，如果选项为三角函数表达式，一般先设0θ=时（即水平），sin 0θ=，cos 1θ=，进行分析，排除错误选项，再设90θ=（竖直）时，进行分析，即可得出正确选项。

【答案】A【解析】解法一：用极限思维方法求解。

当0θ=时（即水平），sin 0θ=，cos 1θ=， 对选项A ，T ma =，N F mg =，符合题意； 对选项B ，T mg =，N F ma =，不符合题意，B 错； 对选项C ，T ma =，N F mg =，符合题意；对选项D ，T mg =-，N F ma =，不符合题意，D 错。

再分析AC ，当90θ=时，C 中T mg =-，N F ma =，这是不可能的，C 错。

故选项A 正确。

解法二：对小球在受力分析如图所示，建立坐标系，利用分解加速度的方法要简单一些。

在x 轴方向上： sin cos T mg ma θθ-= 在y 轴方向上：cos sin N F mg ma θθ-=- 解得：sin cos T mg ma θθ=+cos sin N F mg ma θθ=-所以选项A 正确。

【总结升华】利用极限思维方法求解，并不是对所有的三角函数表达式都适用。

对于条件似乎不足，使得结果难以确定的问题，极限思维方法就显示出它特有的优势（如下题）。

举一反三【变式1】如图所示，在光滑的水平面上有以质量为M 、倾角为θ的光滑斜面体，斜面上有一质量为m 的物块沿斜面下滑。

关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式．要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而是根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。

根据你的判断，下述表达式中可能正确的是（ ）A.2sin sin Mmg M m θθ- B. 2sin sin Mmg M m θθ+ C. 2cos sin Mmg M m θθ- D. 2cos sin Mmg M m θθ+【答案】D【解析】当0θ=时，sin 0θ=，cos 1θ=，AB 选项，压力为零， C 、D 选项，压力等于重力，则A 、B 均错，C 、D 可能对；当90θ=时，C 、D 选项压力都为零，不能判断； 当090θ<<时，压力等于cos mg θ，压力小于重力， C 选项分母小于M ，压力大于cos mg θ，C 错；D 选项分母大于M ，压力小于cos mg θ，故只有D 选项正确。

【变式2】图示为一个内、外半径分别为R 1和R 2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。

取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。

设轴上任意点P 到O 点的的距离为x ，P 点电场强度的大小为E 。

下面给出E 的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的场强E ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，E 的合理表达式应为（ ） A．2E k x πσ=B．2E k x πσ=C．2E k x πσ=D．2E k x πσ=【答案】B【解析】场强的单位为N/C ，k 为静电力常量，单位为Nm 2/C 2，σ为单位面积的带电量，单位为C/m 2，则2πk σ表达式的单位即为N/C ，故各表达式中其它部分应无单位，故可知 A 、C 肯定错误；当x =0时，此时要求的场强为O 点的场强，由对称性可知E O =0，对于C 项而言，x =0时E 为一定值，故C 项错误。

当x →∞时E→0，而D 项中E→定值4πk σ，故D 项错误；所以正确选项只能为B ；故选B 。

类型三、利用三角函数求极值设三角函数cos sin y αμα=+可作如下变换： 令tan θμ=，则有：sin θ=，cos θ=于是有：)y αθ=-当αθ=时，y有极大值max y =解物理题时往往遇到的形式是：1cos sin αμα+通常习惯处理方法是：令1tan μβ=则11sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin ββαμααββαααβ==+++ sin sin()βαβ=+例3、如图所示，一质量m ＝0.4kg 的小物块，以0v ＝2m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10m 。