高中数学对称问题
运用“对称变换”的思想方法解题-解析版--高中数学
运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。
2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。
3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。
4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。
典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。
定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。
定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1。
根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。
高中数学专题---对称问题
高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。
高中数学平面几何对称问题(共25张PPT)
直线关于特殊直线的对称
Ax By C 0
x轴
Ax B( y) C 0
A( x) B( y) C 0
y轴
Ay Bx C 0
yx
A( y) B( x) C 0
练习
求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线 n的方程.
二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:
例3.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n 1 2 m (7)
y x
几种特殊的对称（当堂口答）：
点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
(-x,-y) 关于原点:__________; 关于y轴: __________; (-x,y) (-y,-x) 关于直线y=-x:______; (x,-y) 关于x轴:__________; (y,x) 关于直线y=x:______; 关于直线x=a:_______. (2a-x,y)
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;
(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.
例：已知x,y满足x+y=0，求
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 3) 2 y 的最小值。 N(-2,3)
P O x M(3,-1)
M′(1,-3)
A（ x） B（ y） C 0 补：关于原点:____________ ;
应用一：解决物理光学方面的问题
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
高中数学同步课件 培优课 直线系方程与对称问题
√C.(－3，1)
D.(－2，1)
直线 l 的方程可化为 解得xy＝＝1－，3，
m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令x－＋x2－y＋3y1＝＝0，0，
∴直线 l 恒过定点(－3，1).
1 234
2.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
√A.(－1，－3)
C.(－1，3)
B.(17，－9) D.(－17，9)
第一章 §1 直线与直线的方程
课标要求
1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算； 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题.
内容索引
一、直线系方程的应用 二、几类常见的对称问题 三、利用对称解决最值问题
课堂达标
课时精练
一
直线系方程的应用
例1
求证：无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定 点，并求出这个定点的坐标.
思维升华
2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延 长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大 值 为 |AB|. 如 图 ③ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|AB| ＝ ||PB|－|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接 BA′并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最 大 ， 最 大 值 为 |A′B|. 如 图 ④ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|A′B|＝||PB|－|PA||.
高中数学中曲线对称的解法及应用
高中数学中曲线对称的解法及应用
曲线的对称有三种情况：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
一、关于x轴对称：
当曲线关于x轴对称时，对于曲线上的任意一点P(x,y)，其关于x轴对称的点为
P'(x,-y)。
对于关于x轴对称的曲线，求解的方法如下：
1. 将给定曲线与x轴的交点坐标记作(x1, 0)，(x2, 0)，....(xn, 0)；
2. 列出关于x轴对称的方程y = -y0，其中y0为已知条件的y坐标；
3. 将方程y = -y0代入原曲线方程，得到关于x的方程；
4. 解关于x的方程，得到对称点的横坐标；
5. 将所得的横坐标带入原曲线方程，得到对称点的纵坐标。
关于x轴对称的曲线常见的应用有：考察函数奇偶性、求解关于x轴对称的特殊点（例如顶点、交点等）。
曲线对称的解法主要是通过确定曲线与坐标轴的交点，然后列出对称方程，并代入原曲线方程求解，最后得到对称点的坐标。
这种方法在解题和应用时非常有用，可以帮助我们理解曲线的特性和性质。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
人教B版高中数学选择性必修第一册专题3对称问题及其应用课件
+C=0(C≠-4)上,所以3×4-2+C=0,所以C=-10,所以所求直线l的方程为3x-y-10=0.
方法总结 直线关于点P的对称问题的求解策略 (1)在所求对称直线上任取一点( x, y),根据中点坐标公式求出点( x, y)关于点P的 对称点( x', y'),利用点( x', y')在已知直线上即可求解; (2)在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式分别求出它们关于点P对称的两 点坐标,从而得到所求对称直线的方程; (3)利用已知直线与所求对称直线平行,得到所求对称直线的斜率.再在已知直线 上任取一点(x0,y0),根据中点坐标公式求出点(x0,y0)关于点P的对称点(x,y),利用 点(x,y)在所求对称直线上及所求对称直线的斜率求出所求对称直线的方程.
所以直线l2的两点式方程为 y 0 = x 2,即直线l2:x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距
1 0 0 2
离为|1 4 2 |= 5.
1 4
类型四 直线关于直线的对称问题 8.如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么 ( A )
A.a=1 ,b=6
3
C.a=3,b=-2
5 2
2
b 2a
2a b
=
9 8
,
当且仅当a=
4 3
,b=
8 3
时等号成立,所以
1 2a
+
2 b
的最小值为
9 8
.故选B.
类型六 圆关于点的对称问题 13.(2024江苏宿迁泗阳县实验高级中学校考)圆x2+y2+4x-1=0关于点(0,0)对称的 圆的标准方程为 ( D ) A.x2+y2-4x-1=0 B.x2+(y-2)2=5 C.x2+y2+8x+15=0 D.(x-2)2+y2=5
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3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是
A. = B.p=－5C.m=－n且p=－5D. =－ 且p=－5
解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较，
∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.
则 = .解得k=－ .代入点斜式得直线b的方程为
y－（－2）=－ （x－3），即2x+11y+16=0.
方法二：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有
= ，
= .消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.
A.2x－y－5=0 B.x+2y－3=0
C.x+2y+3=0D.2x－y－1=0
解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C.
答案：C
8.两直线y= x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析：l上的点为到两直线y= x与x=1距离相等的点的集合，即 =｜x－1｜，化简得x+ y－2=0或3x－ y－2=0.
解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0， ）.
x+2y－7=0，
x－2y+2=0，故点P（ ， ）、Q（0， ）即为所求.
答案：C
4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________.
解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.
答案：3x－y+3=0
5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________.
解析：数形结合.
答案：π－θ
由Δ=k2－4（ + － ）>0 <0 －2<k<0.
A.（a，b）B.（b，a）C.（－a，－b）D.（－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．
答案：B
2.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
A.y2=8－4xB.y2=4x－8C.y2=16－4xD.y2=4x－16
解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4－x），即y2=16－4x.
6.已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为
A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1
C.x2+（y+1）2=1D.x2+（y－1）2=1
解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），
即得x2+（y+1）2=1.
答案：C
7.与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和.
y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.
由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，－3），
则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，即 =4 .所以ymin=4 .
12.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状.
14.直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.
解:设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），
=－
－1=k（ －1）
y1+y2=－k，
y1y2= + － ，
∴y1、y2是方程y2+ky+ + － =0的两根.
对称问题
【知识要点】
1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.
设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）.
2.点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：
（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；
（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.
【典型例题】
【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.
2x+y－4=0，
3x+4y－1=0，
方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－ .
答案：（5，6）
10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.
解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.
∴k = =－2.故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.
【例3】已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.
剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.
在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有
×（－1）=－1，
+ +1=0.
x2=3，
y2=0，
即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得 = ，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.
11.求函数y= + 的最小值.
解：因为y= + ，
深化拓展
.已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.
答案： （ ，0）
【巩固练习】
1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为
（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0.
（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：
设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足
·k=－1，
【例2】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，
同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，
设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
·k=－1，
=k· +b，
特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.
3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：
+2· －2=0，
·（－ ）=－1.
x1=－ ，
y1=－ .
由两点式求得直线A1B的方程为y= （x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（ ，－ ）.
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.
直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.
=k· +b，
代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；
y=2x，y=4.∴所求C点坐标为（2，4）.
由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，∴△ABC为直角三角形.
13.已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.
（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|－|PB|最大.