高中数学中对称性问题5
高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档
高中数学《函数对称性》重要结论二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。
了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。
下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。
1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。
首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。
这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。
我们可以利用这个对称性进行解题。
假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。
也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。
当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。
所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。
进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。
再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。
将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。
这个等式显然是不成立的。
所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。
通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。
通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。
这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。
对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。
首先，我们来分析题目中给出的条件。
题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。
另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案
第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．987．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．28．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－210．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．1014．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4C ．14D ．14-针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣x C ．1﹣x D ．x +118．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f << B ．313()(1)()23f f f << C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．201827．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=. A ．1- B ．0 C ．1 D ．228．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ）A ．2-B ．0C ．1-D ．129．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132B ．134C ．2D ．430．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】A 【解析】 【详解】根据函数的奇偶性定义可知函数3sin ,y x y x ==为奇函数，sin y x =为周期函数，选A.2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质直接进行分析即可. 【详解】因为()3lg x f x x =+的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，排除A 和B ； 又因为3,lg x y y x ==在()0,∞+上单调递增， 所以()f x 易知不是周期函数，排除C ，()f x 在()0,∞+上单调递增没有最大值，故D 正确，故选：D. 3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【答案】A 【解析】 【分析】函数221()f x x x =+，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是y 轴. 【详解】函数的定义域为R ， ()()()()222211f x x x f x x x -=-+=+=-， ()221f x x x ∴=+是一个偶函数， 由偶函数的性质知函数221()f x x x=+的图像关于y 轴对称. 故选：A . 【点睛】本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题.4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称【答案】A 【解析】 【分析】设()5x f x =，得()5xf x --=，根据函数()y f x =与函数()y f x =-之间的对称性可得出正确选项. 【详解】设()5x f x =，得()5x f x --=，由于函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于y 轴对称，因此，函数5x y =与5-=x y 的图象关于y 轴对称. 故选A. 【点睛】本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题. 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】C 【解析】 【分析】作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图，即可得到答案． 【详解】根据余弦函数的图像，作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图如下：由图可得函数cos y x =与函数cos y x =-的图象关于x 轴对称， 故答案选C 【点睛】本题考查余弦函数的图像问题，属于基础题．针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此求得()2019f 的值. 【详解】由于(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()22019505411212f f f =⨯-=-=⨯-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的周期性化简求值，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【详解】函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数, (2)(2)(2)(2)0f f f f ∴-==-⇒=,又122711()()()log 1222f f f =-=-=-=,所以()7212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选A. 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得1(2021)(2022)(2023)2()2f f f f -+--=即可求解.【详解】因为3()()2f x f x -=-，所以(3)()f x f x -=，因此函数的周期为3，所以(2021)(2022)(2023)f f f -+--(2)(0)(1)f f f =-+--， 又函数()f x 是R 上的奇函数，所以(3)()()f x f x f x -==--， 所以(1)(2)f f -=--，即(2)(1)f f =-，所以原式1(2)(0)(1)(2)(1)2(1)2()2f f f f f f f =-++=-+==，又当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，可得1()22f =-，因此原式1242f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，先确定函数以4为周期，利用函数周期性，再由给定区间的解析式，即可求出结果. 【详解】由()()2=-+f x f x 可得()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 以4为周期，又当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+， 所以()()222450522log 25(2022)f f f =+⨯==+=.故选：A.10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809【答案】B 【解析】 【分析】由函数的周期性计算． 【详解】由()()5f x f x +=得()f x 是周期函数，周期是5，2(1)log 10f ==，2log (2)21f ==，(3)(2)(2)11f f =-=---=，(4)(1)0f f =-=，(5)011f =--=-，所以(1)(2)(3)(4)(5)1f f f f f ++++=，()()()1220224041(1)(2)405f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=．故选：B ．针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的奇偶性和对称性可分别求得()3f 和32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，相加即可求得结果. 【详解】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-， 则()()()()()()()()31322121100f f f f f f f f =-=-=-=--=--===，2333111112222224f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，()31324f f ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 【详解】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．10【答案】A 【解析】根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解. 【详解】因为(1)f x +是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =图象的对称中心为(1,0)，且(1)0f =． 因为(4)(2)f x f x +=-，所以()y f x =图象的对称轴方程为3x =， 故()f x 的周期8T =，(2021)(5)==f f (1)0f =，(2022)(6)(0)1===f f f ，从而(2021)(2022)1+=f f ， 故选：A ．14．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()(2)54f f -==， 又因为函数()y f x =为偶函数，所以()2(2)4f f -==，()1(1)f f -=， 而函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()1(1)(2)4f f f -===.故选：B15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】B 【解析】 【分析】根据()()22f x f x -=+得到()f x 关于2x =对称，利用对称轴公式得到答案. 【详解】()()22f x f x -=+则()f x 关于2x =对称，故242aa -=∴=-故选：B 【点睛】本题考查了函数的对称问题，根据()()22f x f x -=+确定函数的对称轴是解题的关键.针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[)2,0-转化到(]4,6上，则f (x )在区间[)2,0-上的表达式可求． 【详解】当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，(]44,6x ∴-+∈又②当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，4(4)21x f x -+∴-+=+又(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4T =，(4)()f x f x ∴-+=-又②函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴4()21x f x -+-=+，∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．故选：B ． 【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣xC ．1﹣xD ．x +1【答案】B 【解析】 【分析】先设x ∈（1，2），根据周期性和奇偶性将x 转化到（0，1），代入函数解析式，然后根据性质化简求出解析式即可． 【详解】设x ∈（1，2），则﹣x ∈（﹣2，﹣1），2﹣x ∈（0，1）， ∴f （2﹣x ）＝2﹣x +1＝3﹣x ，函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数， ∴f （x +2）＝f （x ），f （﹣x ）＝f （x ）， 则f （2﹣x ）＝f （﹣x ）＝f （x ）＝3﹣x . 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等有关性质，同时考查了函数解析式的求解方法，属于基础题．18．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得 (2)()f x f x +=，则当[2,1]x ∈--时，4[2,3],()(4)413x f x f x x x +∈=+=+=++；当 [1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈， 2[2,3]x -∈，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，应选D.考点：分段函数的解析式及分类整合思想.【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭入手，探究出其周期为 2，再分类求出当[]2,0x ∈-时，和当[1,0]x ∈-时函数的解析表达式分别为4[2,3],()(4)x f x f x +∈=+413x x =+=++和 [0,1],2[2,3]x -∈-，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，从而使得问题巧妙获解．19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x【答案】D 【解析】任取函数()f x 上的一点(),x y ，先求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点(),x y -在曲线2log y x =上，整理即可得出结果.【详解】任取函数()f x 上的一点(),x y ，由函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称， 则点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -， 又点(),x y -在曲线2log y x =上， 可得222log log log 1y y xx x -=⇒=-=， 则()21log f x x=. 故选：D. 【点睛】关键点睛：求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标是解题的关键.20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +【答案】C 【解析】 【分析】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，由对称性的知识可知，点(),x y 关于直线2x =的对称点在函数ln y x =的图象上，然后计算即可得解. 【详解】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ， 则点(),x y 关于直线2x =对称的点为()4,x y -，且点()4,x y -在函数ln y x =的图象上，所以()ln 4y x =-. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<【答案】D 【解析】 【分析】由f （x+2）=﹣f （x ），得f （x+4）=f （x ），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小． 【详解】②f （x+2）=﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数， ②f （x+2）=﹣f （x ）=f （﹣x ）， ②函数f （x ）关于x=1对称， 且f （x+4）=f （x ），②函数是周期为4的周期数列． ②f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，②f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，f （x ）在[1，2]上是减函数， f （133）=f （4+13）=f （13）=f （53），②f （x ）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53， ②f （1）＞f （32）＞f （53）， 即f （133）＜f （32）＜f （1），故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题． 22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； ②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+ 则13f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据②可得()y f x =在()1,2上单调递减，根据②可得()y f x =的图象关于1x =对称，根据②可得()y f x =周期为2，根据单调性、周期性、对称性即可比较大小. 【详解】因为②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； 可得()y f x =在()1,2上单调递减， 因为②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； 可得()y f x =的图象关于1x =对称， 因为②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+， 所以()y f x =周期为2，因为()y f x =的图象关于1x =对称，所以1533f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =周期为2，所以824333f f f ⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =在()1,2上单调递减，435323<<， 所以435323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A.23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()111f x f x -=-+，可得函数()f x 周期4T =，将自变量的值利用周期转化到[]2,0-，结合单调性，即得解 【详解】由题意，()()111f x f x -=-+，则()()113f x f x +=-+ ()1(3)f x f x ∴-=+()(4)f x f x ∴=+，可得函数()f x 周期4T =()6(2)a f f ∴==-，(()4b f f ==，()4(0)c f f ==由于()f x 在[]2,0-上单调递增(2)4)(0)f f f ∴-<<即a b c ∴<< 故选：D 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】由条件②确实单调性，条件②确定周期性，条件②确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、 【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8； 由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<． 故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>【答案】B 【解析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小．【详解】解：②函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称； (2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．2018【答案】A【解析】【分析】 首先求得函数()f x 为周期函数,周期为4,故()()()()()()()()()()1232018504123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦,分别求得()()()()1,2,3,4f f f f ,问题得解．【详解】解：因为()()2f x f x +=-,()()()()()222,42,f x f x f x f x f x ++=-++=-+=则 所以函数()f x 为周期函数,且周期为4,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦．因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且()01f =,所以()()401f f ==,当1x =-时,()()()111f f f =--=-,所以()10f =,当0x =时,()()201f f =-=-,当1x =时,()()310f f =-=,所以()()()()12340f f f f +++=,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦1=-． 故选A ．【点睛】本题考查函数的周期性以及奇偶性,比较基础．27．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=.A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得()()()2f x f x f x +=-=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即可得()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()()20202021f f +的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()1f x +是偶函数，则()()11f x f x -+=+，变形可得()()2f x f x +=-.又由()f x 是R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，变形可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4得周期函数.因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，则()()()20200505400f f f =+⨯=；()()()()202115054111f f f f =+⨯==--=-.故()()202020211f f +=-.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题． 28．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ） A ．2-B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，并求出()()()()1234f f f f +++以及()2020f 值，结合周期性可求得所求代数式的值.【详解】因为函数()y f x =为奇函数，()1f x -为偶函数，所以()()()111f x f x f x -+=--=-，则()()()311f x f x f x +=-+=-，所以函数()y f x =是周期为4的周期函数.因为奇函数()y f x =的定义域为R ，所以()00f =.因为函数()y f x =与直线y x =有一个交点()()1,1f ，所以()11f =.所以()()200f f =-=，()()311f f =-=-，()()400f f ==.所以()()()()()410120130f f f f =++++++-=.故()()()()()12320182019f f f f f +++++=()()()()()()()()123201820192020202002020000f f f f f f f f ++++++-=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查抽象函数值的计算，涉及函数对称性的应用，推导出函数的周期性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.29．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132 B ．134 C ．2 D ．4【答案】A【解析】先由题意推出函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()(99)3f f =，然后由()(2)13f x f x ⋅+=和(1)2f =解得13(3)2f =，即可得出答案. 【详解】由题意定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，则有(2)(4)13f x f x +⋅+=，联立解得()(4)f x f x =+，则得函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()()(99)42433f f f =⨯+=；又因(1)2f =，则由(1)(3)13f f ⋅=解得13(3)2f =，所以可得13(99)2f =. 故选：A.【点睛】本题考查了函数周期性的判断与求解，考查了函数周期性的应用，属于一般难度的题.30．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8 【答案】D【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，可得()f x 为偶函数，再对()()()21f x f x f +-=赋值1x =-可得()10f =，从而可得()()+2f x f x =，即()f x 的最小正周期为2，从而可得()()()()9910010f f f f +=+.【详解】因为()+2=y f x 的图象关于直线2x =-对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，即()f x 为偶函数.因为()()()+21-=f x f x f ，所以()()()1211f f f -+--=，又()()11f f -=，所以()10f =，可得()()+2f x f x =，所以()f x 的最小正周期为2，所以(99)(1)0f f ==，(100)(0)8f f ==，所以(99)(100)8f f +=.故选：D.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题.。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
数学的对称之谜高中数学中的对称性与变换
数学的对称之谜高中数学中的对称性与变换数学的对称之谜：高中数学中的对称性与变换数学作为一门严谨而抽象的学科，在人们的日常生活中扮演着重要的角色。
而对称性与变换作为数学的重要概念之一，不仅在高中数学教学中占据重要地位，而且在人们的生活中也扮演着重要的角色。
本文将从高中数学中的对称性和变换入手，深入探讨数学世界中的对称之谜。
一、对称性在图形中的应用对称性是数学中一个非常重要的概念，它不仅存在于图形中，也存在于代数和几何中。
图形的对称性，是指图像的某些部分按某种规律或某个中心进行镜像、旋转或平移后，与原图形完全一样。
在高中数学中，对称性常常在几何学中得到应用。
1.1 线对称与中心对称高中数学教学中，线对称与中心对称是最常见的两种对称性。
线对称，即通过某条直线将图形分成两个对称的部分，两个部分完全重合。
而中心对称，则是以某点为中心，将图形旋转180度后与原图重合。
这两种对称性在图形的判断和性质分析中非常有用。
1.2 图形的对称性和对称轴图形的对称性不仅可以通过观察外部形状来判断，还可以通过对称轴的位置和性质来确定。
例如，一个图形在纵向有对称轴，则可以判断该图形具有纵向的对称性。
对称轴的判定，对于解决图形性质和问题解决非常有帮助。
二、对称变换与刚体变换高中数学中，对称变换与刚体变换是对称性与变换的一种应用。
对称变换是指通过对称轴对图像进行镜像或旋转，在变换后保持图形的不变性。
刚体变换则是指保持图形的形状和大小的变换。
2.1 对称变换的应用对称变换在高中数学中有着广泛的应用，特别是在解决图形问题和证明性质时。
通过对称变换，我们可以将一个几何形状的性质转化为另一个较简单的形状，从而更容易解决问题。
例如，通过镜像对称变换，我们可以证明两个图形的相等性。
2.2 刚体变换的性质和应用刚体变换是指平移、旋转和镜像变换。
刚体变换可以保持图形的形状和大小不变，但是位置和方向可以改变。
在高中数学中，刚体变换被广泛应用于解决图形的平移、旋转和对称性问题。
抽象函数图像对称性问题
函数图像对称性得问题一、函数自身得对称性得问题函数就是中学数学教学得主线,就是中学数学得核心内容,也就是一个高中数学得基础。
函数得性质就是高考得重点与热点,函数得对称性就是函数得一个基本性质,也就是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身得对称性与不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质得一些思考。
例题1. 函数y = f(x)得图像关于点Ａ(ａ,b)对称得充要条件就是ｆ(x) + f (2ａ—ｘ) = 2b证明:(必要性)设点Ｐ(x,y)就是y＝ f (ｘ)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a,b)得对称点Ｐ‘(2ａ-x,2b—y)也在y= f (x)图像上,∴2b—y = f(２a—x)即y＋ f (2ａ—ｘ)＝２ｂ故f (ｘ) + ｆ(2a－x)= ２b,必要性得证。
(充分性)设点P(x０,y0)就是y = ｆ(x)图像上任一点,则y0 = f (x0)∵ｆ(x) + f (2a－ｘ) ＝2b∴f(ｘ０) +ｆ(2a－x0) =２b,即2ｂ－ｙ０= f (2a-x0) 。
故点P‘(２a－x０,2b-y0)也在ｙ= f (ｘ) 图像上,而点P与点Ｐ‘关于点A(a ,b)对称,充分性得征。
例题２①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,ｃ)与点B (ｂ,ｃ)成中心对(a≠ｂ),则y = ｆ(ｘ)就是周期函数,且2|ａ－ｂ｜就是其一个周期。
②若函数y =ｆ(x) 图像同时关于直线ｘ=ａ与直线x = b成轴对称(a≠b),则y =f(x)就是周期函数,且２｜ａ—b｜就是其一个周期、③若函数y =ｆ(ｘ)图像既关于点A(a ,ｃ) 成中心对称又关于直线ｘ＝ｂ成轴对称(a≠b),则y = f(x)就是周期函数,且4｜ａ-b|就是其一个周期。
①②得证明留给读者,以下给出③得证明:∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c)成中心对称,∴f(x) ＋f(2a—ｘ) =2ｃ,用2b-ｘ代x得:f(2b－x) ＋f ［2a-(２b－ｘ) ] =２c………………(*)又∵函数y ＝ f (x)图像直线ｘ=b成轴对称,∴ f (２ｂ-x) = f (x)代入(*)得:ｆ (ｘ) = 2c —f ［2(a －b) + x ］…………(**),用2(ａ—ｂ)-ｘ代x 得f [2 (a-b)+ x ］ = ２c-f [４(a-b) ＋ x ］代入(＊＊)得:f (x) = ｆ ［4(a －b) + x ］,故ｙ = ｆ (ｘ)就是周期函数,且4｜ a-b ｜就是其一个周期、二、 不同函数对称性得问题数与形这两个基本概念,就是数学得两块基石、全部数学大体上都就是围绕这两个概念得提炼、演变、发展而展开得。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
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对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2a bx +=轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称；2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =；3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔ ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或；4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称⇔函数()y f x =是周期函数，且2()T a b =-是函数的一个周期；7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称⇔函数()y f x =是周期函数，且2()T a b =-是函数的一个周期。
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩于的中心（）直于的曲于的于直的（）直于直的曲于直的点关点对称对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称一、点对称(1)点关于点的对称点问题若点A11(,)x y, B22(,)x y, 则线段AB中点M的坐标是(1212,22x x y y++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M00(,)x y关于点P(,)a b的对称点'M的坐标(,)x y，利用中点坐标公式可得00,22x x y ya b++==，解算的'M的坐标为00(2, 2)a xb y--。
例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是(4,1)--.① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标00(2, 2)a xb y --;② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'M 的坐标0000(2, 2)=(, ) a x b y x y ----.(2) 直线关于点对称① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 它的求法分两种情况：1)、当(,)P a b 在1l 上时，它的对称直线为过P 点的任一条直线。
2)、当P 点不在1l 上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为'(2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=，简化为：220Ax By C aA bB +---=.解法（二）：在1l 上取一点11(,)M x y ，求出M 关于P 点的对称点'11(2,2)M a x b y --的坐标。
再由12l l AK K B==-，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++==求设'C 从而可求的及对称直线方程。
(3) 曲线关于点对称曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。
故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。
二、 直线的对称(1) 点关于直线的对称1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a --7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =⇒直线'PP 的方程→()B y b x a A -=-，由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a xb y++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=①；再由'PP B K A =得b y Ba x A-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)P x y=①，再由'PP B K A =得b y Ba x A-=-②，由①、②可得到'P 点坐标。
（2）直线1l 关于直线l 的对称直线2l设直线:0l Ax By C ++=，则l关于x 轴对称的直线是()0Ax B y C +-+= 关于y 轴对称的直线是()0A x By C -++= 关于y x =对称的直线是0Bx Ay C ++=关于y x =-对称的直线是()()0A y B x C -+-+=1) 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l在1l 上取一点00(,)M x y 求出它关于l 的对称点'M 的坐标。
再利用12l l K K =可求出2l 的方程。
2) 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。
解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线2l 上。
再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，1PQ L K K =-。
又PQ 的中点在l 上，由此解得11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。
解法（三）：设1l 关于l 的对称直线为2l ，则2l 必过1l 与l 的交点，且2l 到l 的角等于l 到1l 的角，从而求出2l 的斜率，进而求出2l 的方程。
例：求直线1:230l x y -+=关于直线:10l x y +-=对称的直线l ２的方程解：设(),M x y 为所求直线l ２上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在直线l １上.()1'1111 1 (MM',K =-1) 10 (MM')22MM l y y l x x x x y y l -⎧⋅-=-⊥⎪-⎪∴⎨++⎪+-=⎪⎩即K 的中在上⇒1111x y y x =-⎧⎨=-⎩ ()()1123021130x y y x -+=∴---+=又故所求直线方程为240x y -+=(2) 曲线关于直线对称曲线1C 关于直线l 的对称曲线2C 的方程，在2C 上任取一点(,)M x y ，可求出它关于l 的对称点坐标，再代入1C 中，就可求得2C 的方程。
例：求圆221xy +=关于直线l ：10x y +-=的对称圆的方程解法（一）：设(),M x y 为所求圆上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在221xy +=上.()1'1111 1 (MM',K =-1) 10 (MM')22MM l y y l x x x x y y l -⎧⋅-=-⊥⎪-⎪∴⎨++⎪+-=⎪⎩即K 的中在上⇒1111x y y x =-⎧⎨=-⎩22111x y += ()()22111y x ∴-+-=--即为对称圆的方程解法（二）：求圆心（0，0）关于l 对称点C （1，1）()()22111y x ∴-+-=所求方程圆为例：求椭圆2212y x += 关于直线l ：10x y +-=对称椭圆的方程 解：设(),M x y 为所求椭圆上任意一点，则其关于l 对称的点()11',M x y 在2212y x +=上. ()()2211111112x yx y y x ⎧=--⎪∴-+=⎨=-⎪⎩ 综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。
求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点(,)P x y ，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,x y 的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)M x y ，再利用求对称点的方程求出M 点的对称点'M 点坐标，将'M 点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y 的关系式，就是所求对称曲线的方程。