高考中的函数对称性问题(w)
重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。
在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。
本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。
一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。
关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。
关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。
2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。
函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。
二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。
2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。
三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称2．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（）A ．7B ．2C ．2-D ．12-3．设函数()1=+xf x x ，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．函数f (x )的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y =ex 关于x 轴对称，则f (x )=（）A ．-ex -1B ．-ex +1C ．-e -x -1D ．-e -x +15．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-6．我们知道，函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.据此，我们可以得到函数()323f x x x =+图象的对称中心为（）A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,4D ．()1,4-7．已知函数2()e e x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 关于直线1x =-对称B ．()f x 关于点(1,0)对称C ．()f x 关于点(1,0)-对称D ．()f x 关于直线1x =对称8．函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知偶函数()f x 在R 上有四个零点，则这四个零点之和为___________.10．已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()11f -=，()02f =-，则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+=______．三、解答题12．已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．已知函数()2()22f x x a x a =+--，a R ∈.(1)若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；(2)求使()0f x >的自变量x 的取值范围.14．已知函数2()log (2)f x x =+，函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称.（1）求()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式2()(23)f x g x x >-.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为()()231911333333x xx x x x xxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+=易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称.故选：B.2．C 【解析】【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【详解】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.3．A 【解析】【分析】求出函数()f x 图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为()1111111x x f x x x x +-===-+++，所以，()()112112121f x f x x x +--=-+-=+--+，所以，函数()f x 图象的对称中心为()1,1-，将函数()f x 的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数()11f x --为奇函数.故选：A.4．A 【解析】【分析】先求出与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.【详解】与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式为y =-ex ，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y =-ex -1，而按上述变换所得图象对应的函数是f (x )，所以f (x )=-ex -1.故选：A 5．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A6．A 【解析】【分析】依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，则()()y g x f x a b ==+-为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，由此可得()()()()()()3232232333363y g x f x a b x a x a b x a x a a x a a b ==+-=+++-=++++++-为奇函数，由奇函数的性质可得3233030a a a b +=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，则函数()323f x x x =+图象的对称中心为()1,2-；故选：A 7．B 【解析】【分析】由题可得2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，然后逐项分析即得.【详解】∵2()e e x x f x -=-，∴2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，∴242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+-=≠--=--，故A 错误；()22(2)e e e e ()x x x x f x f x --=-=---=-，故B 正确；()242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+---=-=--≠-，故C 错误；22(2)e e ()e e x x x x f x f x ---=-=-≠，故D 错误.故选：B.8．C 【解析】【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A ，B ；再由4x >时的函数值符号即可判断作答.【详解】函数()()3ln 33x f x x -=-定义域为(,3)(3,)-∞⋃+∞，其图象可由函数3ln ||()(0)x g x x x =≠的图象右移3个单位而得，而3ln ||()()()x g x g x x --==--，即函数3ln ||()x g x x=是奇函数，其图象关于原点对称，因此，函数()f x 图象关于点(3,0)对称，选项A ，B 不满足；又当4x >时，ln |3|0x ->，3(3)0x ->，即有()0f x >，则当4x >时，()f x 图象在x 轴上方，D 不满足，所以函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为C.故选：C 9．0【解析】【分析】根据给定条件利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质计算作答.【详解】因函数()f x 是R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于y 对称，而x 轴垂直于y 轴，即x 轴也关于y 轴对称，又函数()f x 在R 上有四个零点，即函数()f x 的图象与x 轴有4个交点，从左到右依次设为：1234(,0),(,0),(,0),(,0)A x B x C x D x ，于是得点A 与D 关于y 轴对称，点B 与C 关于y 轴对称，即14230,0x x x x +=+=，则12340x x x x +++=，所以四个零点之和为0.故答案为：010．15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.11．2【解析】【分析】利用()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得函数周期3T =，再结合函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，分析可得()()211f f ==，()32f =-，即()()()1230f f f ++=，结合函数周期性，即得解【详解】()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()()3f x f x ∴=+，周期3T =，又()11f -=，()02f =-，()()121f f ∴-==，()()032f f ==-， 函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()32f x f x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()113111222f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()1231120f f f ∴++=+-=，202136732=⨯+ ，()()()()()()1232021122f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+=．故答案为：2．12．(1)()3xf x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.(1)解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =，所以函数()3xf x =；(2)证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====，任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033x x y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．(1)4(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到212a x -==，解出即可；（2）分三种情况当2a =-时，当2a >-时，当2a <-时来解不等式.(1)解法一：因为()2()22f x x a x a =+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=.由212a -=，得4a =.解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有()()02f f =成立，所以284a a -=-，得4a =.(2)不等式()0f x >，即为()2220x a x a +-->，()()20x x a +->，当2a =-时，不等式的解集为{}2,x x x R ≠-∈，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a <-<或，当2a <-时，不等式的解集为{}2x x x a >-<或.14．(1)2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)1{|02x x -<<或12}x <<.【解析】【分析】(1)在函数()y g x =图象上任取点，该点关于y 轴对称点必在()y f x =的图像，代入即可得解；(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.【详解】(1)设(,)P x y 为函数()y g x =的图像上任意一点，点P 关于y 轴的对称点为1(,)P x y -，则点1P 必在函数()y f x =的图像上，则2log (2)y x =-+，即2()log (2)g x x =-+，所以()g x 的解析式为2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)由2()(23)f x g x x >-及(1)可得222log (2)log (223)x x x +>-+，因为2log y x =是增函数，于是有222022302223x x x x x x +>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩，即22202320220x x x x x +>⎧⎪--<⎨⎪->⎩，解得102x -<<或12x <<，所以不等式2()(23)f x g x x >-的解集为1{|02x x -<<或12}x <<.。
高中文科数学与函数有关的对称问题
高中文科数学与函数有关的对称问题函数是高中数学较为核心的知识点之一,而对称为几何概念,函数与对称结合,可以很好地考查学生的函数方程思想与数形结合思想.近几年的文科数学全国高考卷中,与函数对称相关的题目几乎年年都有小题,少则5分,多则15分.(当然不是说一个题目就考对称与函数,更多的情况是结合其他知识一起考查,一起组合成一个小题)先简单提一下本文的大致内容与思路：一：简单引入本节课的相关知识点（复杂拓展内容见后续）二：讲几个具有代表性的题型，总结一下解题方法关于函数与对称,部分老师和同学可能不太在意,事实上我们在必修一中学过的奇偶性就是此类题目中最为简单的对称问题.以下为一些知识点与引入:1.奇偶性的一般判定步骤: ①定义域关于原点对称; ②满足F(X)=-F(-X)或者F(X)=F(-X)(此外,由图像的对称性来判断奇偶性也可以,即奇函数关于原点对称,偶函数关于Y轴对称)2.奇偶性的相关运算①奇*奇=偶②奇＋奇=奇③偶*偶=偶④偶＋偶=偶⑤奇＋偶=非奇非偶举个例子:函数与y=x都是奇函数，这两个奇函数相乘得到偶函数y=x2（结合例子回忆即可，无需死背，一般取y=x ，y=x2 ，y=X3这几个就可以）3.常见的奇函数4.常见的偶函数5.其他部分结论①在x=0处有定义的奇函数满足f(0)=0②奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数③函数y=e x 与ln y x = 互为反函数（关于直线y=x 对称）④函数f(x+a)为偶函数，则f(x)关于直线x=-a 对称（其他结论将在接下来的几天练习中补充）以下为几个具有代表性的相关题型：题型一.图像＋奇偶性(函数图像题)图像题一般按照以下几个步骤就可以选出正确答案:①看奇偶性，即看对称(不一定是关于原点或Y 轴对称)②看趋势，即看最值与临界值,极限③看特殊值，即代入数字计算(一定要选择具有明显差别的数值)④看单调性与零点，比较麻烦，一般不用一般按照步骤①和③即可以选出答案，如果会步骤②（有可能会用到极限思想或者说洛必达法则）就可以更加快速得出答案和进行检验，④的话相对鸡肋（麻烦难算），但有些题目可以巧妙利用（比如x 2 - x 处在分子的位置上，那么X=0或者1为函数的零点，当然还要考虑定义域）或者死算。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
考点09函数的对称性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版
考点09函数的对称性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．【知识点】1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于对称，偶函数关于对称．(2)若f (x －2)是偶函数，则函数f (x )图象的对称轴为 ；若f (x －2)是奇函数，则函数f (x )图象的对称中心为．2．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )，则函数的图象关于点 对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )关于 对称；(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )关于 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )关于对称．【核心题型】题型一 轴对称问题 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2成轴对称．【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数(2)f x +为偶函数，且当2x ³时，()()217log 47f x x x =-+，若()()f a f b >，则（ ）A ．(4)()0a b a b +--<B ．(4)()0a b a b +-->C ．(4)()0a b a b ++-<D ．(4)()0a b a b ++->【变式1】（2024·四川泸州·二模）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]2,2x Î-时，函数()24f x x =-，设函数()|2|()e 26x g x x --=-<<，则方程()()0f x g x -=的所有实数根之和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()10121013f a f a =，则2024S =（ ）A ．1012B ．2024C ．3036D ．4048【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导数()f x ¢的定义域为R ，记()()g x f x ¢=，且()(),1f x g x +都为奇函数．若()52f -=，则()2023f =（ ）A ．0B ．12-C ．2D ．2-题型二 中心对称问题函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b 2，c 2)成中心对称．【例题2】（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数.若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则2023202332f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø（ ）A ．16B ．16-C ．56-D ．56【变式1】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，则（ ）A ．()()2f x f x =+B ．()()2f x f x -=-C ．()()4f x f x =-D ．()2f x -是奇函数【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数()3=f x x，则函数()11y f x =-+的图象（ ）A ．关于点()1,1对称B ．关于点()1,1-对称C ．关于点()1,0-对称D ．关于点()1,0对称【变式3】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（ ）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-题型三 两个函数图象的对称函数y ＝f (a ＋x )的图象与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称．【例题3】（2024上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【变式1】（2024下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（ ）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-【变式2】（2020上·安徽·高一校联考期末）已知函数(1)=-y f x 是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，那么()y g x =的对称中心为( )A ．(1,0)B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,1)-【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线（ ）A ．x ＝0对称B ．y ＝0对称C ．x ＝1对称D ．y ＝1对称【课后强化】基础保分练一、单选题1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）函数()y f x =满足对任意x ÎR 都有()()2f x f x +=-成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且()14f =，则()()()201820192020f f f ++=（ ）A ．-4B ．0C ．4D ．82．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数32()f x x ax x b =+++的图象关于点(1,1)对称，则b =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数()1122,1,22,1,x x x f x x --+ì+<-=í->-î则()f x 的图象关于（ ）A ．点()1,2-对称B ．点()1,2-对称C ．直线1x =对称D ．直线=1x -对称4．（2023·云南·模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()112f x f x ++-=，()2g x +是偶函数，且()()24f x g x ++=，()22g =，则（ ）A ．()f x 关于直线1x =对称B ．()f x 关于点()1,0中心对称C ．()20231f =D ．151()15k f k ==å5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -的图象关于点(1,0)对称，()30f =，且对任意的()12,,0x x Î-¥，12x x ¹，满足()()21210f x f x x x -<-，则不等式()()110x f x -+³的解集为（ ）A ．(][),12,-¥È+¥B ．[][]4,10,1--ÈC ．[][]4,11,2--ÈD ．[][)4,12,--È+¥二、多选题6．（2024·全国·二模）已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，()1f x -的图象关于直线1x =对称，且函数12y x =-的图象的对称中心也是()f x 图象的一个对称中心，则（ ）A ．点()2,0-是()f x 的图象的一个对称中心B ．()f x 为周期函数，且4是()f x 的一个周期C ．()4f x -为偶函数D ．()()31352f f +=7．（2024·江苏南通·二模）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()g x 为偶函数C ．(1)(1)--=--+g x g xD ．(1)(1)g x g x -=+三、填空题8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，()22f =，且对任意[]12,0,1x x Î，均有()()()1212f x x f x f x +=+成立，若()27777222n f f f f t æöæöæö++++<ç÷ç÷ç÷èøèøèøL 对任意*n ÎN 恒成立，则t 的最小值为.9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()41f x +的图象关于点()0,2中心对称，若()()2240f x f x x +--+=，则()1001i f i ==å.四、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？(1)f (x )＝21x x x ++；(2)f (x )＝(e x －e －x )2；(3)f (x )＝2x ＋42x.11．（2024·湖南·二模）已函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++ÎR ，其图象的对称中心为(1,2)-.(1)求a b c --的值；(2)判断函数()f x 的零点个数.12．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数()7x f x x a+=+关于点()11,-中心对称．(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论()()()2g x x f x =在区间()0,+¥上的单调性；(3)设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln 71n n a --<．综合提升练一、单选题1．（2024·云南昆明·一模）已知函数()2e e x xf x -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为增函数B ．()f x 有两个零点C ．()f x 的最大值为2eD ．()y f x =的图象关于1x =对称2．（2024·河南新乡·二模）已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()1f x +是奇函数B ．()1f x -是奇函数C ．()1f x -是奇函数D ．()1f x +是奇函数3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()1x f x x =-，()11e e 1x x g x --+=-+，则()f x 与()g x 的图象交点的纵坐标之和为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =，且()()()226,36f x f x f ++-==，则下列结论错误的是（ ）A ．()()8f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线4x =对称C ．()2013f =D ．()23y f x =+-是奇函数5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()f x 定义域为R ，且()()224f x f x x +--=-，()13f x +关于()0,2对称，则()2025f =（ ）A ．4046-B ．4046C ．1D ．06．（2024·陕西西安·模拟预测）已知()f x 的定义域为R ，函数()f x 满足()()()12202346,48x f x f x g x x ++-==-，()(),f x g x 图象的交点分别是()()()()11223344,,,,,,,,x y x y x y x y LL ，(),n n x y ，则12n y y y +++LL 可能值为（ ）A ．2B ．14C ．18D ．257．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数()f x 的定义域为R ，12x f æö-ç÷èø为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()21g x +为奇函数，且()102g =，则()1012k kg k ==å（ ）A ．132B ．132-C ．112D ．112-8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =å=（ ）A ．4036B ．4040C ．4044D ．4048二、多选题9．（2023·山东·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +为奇函数，()()4f x f x -=，()02f =，且()f x 在[]0,2上单调递减，则（ ）A ．()10f =B ．()82f =C ．()f x 在[]6,8上单调递减D ．()f x 在[]0,100上有50个零点10．（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数．若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的周期是2C ．()f x 的图象关于直线2x =对称D ．202320231326f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数4()22x f x =+，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的值域为(0,2]B ．函数()f x 的图象关于点(1,1)成中心对称图形C ．函数()f x 的导函数()f x ¢的图象关于直线1x =对称D ．若函数()g x 满足(1)1y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024i i i A x y i =L ，则20241(8)404i i i x y =+=å三、填空题12．（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝g （x ）的图象与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝2对称，则g （x ）＝．13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x Î时，()2f x x =.函数()()1e13x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为 .14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数()113e e (1)x xf x x x --=-+-+，满足不等式()()24232f x f x -+-³，则x 的取值范围是 ．四、解答题15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数()2x f x =，函数()h x 与()f x 关于点23log 3,2a æöç÷èø中心对称．(1)求()h x 的解析式；(2)若方程()()f x h x =有两个不等的实根1x ，2x ，且122x x -=，求a 的值．16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()393x f x =+．(1)求证：函数()f x 的图象关于点11,22æöç÷èø对称；(2)求()()()()()20222021020222023S f f f f f =-+-+++++L L 的值．17．（23-24高三上·上海·期中）已知函数()(),41x nf x m m n =-Î+R .(1)当3m =时，确定是否存在n ，使得()f x 的图象关于原点中心对称；(2)对于任意给定的非零常数m ，()y f x =的图象与x 轴负半轴总有公共点，求n 的取值范围；(3)当1n =时，函数()g x 的图象与()y f x =图象关于点()1,0对称，若对任意：()1,2x Î，()0g x <恒成立，求m 的取值范围.18．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．(1)求m 的值，及()f x 的最小值；(2)设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值.19．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数()()ln 1f x x =+．(1)讨论函数()()()F x ax f x a =-ÎR 的单调性；(2)设函数()()1111g x x f f x x æöæö=+-+ç÷ç÷èøèø．（ⅰ）求()()12g g --的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．拓展冲刺练一、单选题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()331xf x =+，则()f x 的图象（ ）A ．关于点3,02æöç÷èø对称B ．关于直线32x =对称C ．关于点30,2æöç÷èø对称D ．关于直线12x =对称2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数()f x 满足()()()()()23132f x y f x y f x f y f ++-==，，则下列结论不正确的是（ ）A ．()03f =B ．函数()21f x -关于直线12x =对称C ．()()00f x f +³D ．()f x 的周期为33．（2023·四川乐山·一模）已知函数()f x 定义域为R ，且满足()00f =，()()f x f x -=，()()1140f t f t t --++=，给出以下四个命题：①()()13f f -=； ②()()2f x f x +=；③()464f =；④函数()2y f x x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数()12e 1x f x ax =++，则下列关于()f x 的结论中正确的是（ ）A ．()f x 在[)1,+¥上有最小值B ．若14a =，则()f x 有最大值C ．()()e e 1f f -+=D ．()f x 关于点()0,1中心对称5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=¹，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==å二、多选题6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x æö=+ç÷èø，则（ ）A ．将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B ．将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024æöç÷èø对称7．（2024·吉林白山·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称，若()()424f x f x x --=-，则（ ）A ．()()2334f x f x -+=B ．()()4f x f x =-C ．()20254046f =-D ．201()340i f i ==-å三、填空题8．（2023·四川泸州·一模）函数()1xf x x =-的对称中心为 ．9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()32121,2,33f x x x x f m f n =-++==，则m n += ．四、解答题10．（2023高三·全国·专题练习）已知函数1()122f x a x æö=--ç÷èø，R a Î且0a >(1)证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称；(2)若0x 满足00(())f f x x =， 但00()f x x ¹，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定实数a 的取值范围．11．（2023·上海嘉定·二模）已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记()1nn i i T f a ==å．(1)求证：函数()y f x =的图像关于点(),p p 中心对称；(2)若1a 、2a 、3a 是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；(3)若100100S p =，求证：100100T p =．反之是否成立？并请说明理由．。
函数图象的对称性在高考中的应用
函数图象的对称性在高考中的应用众所周知,函数历来是高考的重点内容之一,高考对函数的考查离不开函数性质的研究应用,特别是函数的单调性与奇偶性更是高考命题的热点,理应成为高三复习的重点.函数图像的对称性作为奇偶性拓展与延伸,在各类高考试题和模拟题中更是屡见不鲜,同时也是出错率非常高的题目.如果从图象的角度审视函数,有两类比较特殊的函数,一类是它们图象成中心对称,一类是它们图象成轴对称,那么这样的函数具有什么性质呢？不难发现,这两类函数图象总可以通过适当的平移,转化为具有奇偶性的函数,下面就对有关函数对称性和奇偶性的性质做一总结.有关函数对称性与奇偶性的一些重要性质:自对称与互对称问题(1)若函数()f x 为奇函数,则()()()()0f x f x f x f x -=-+-=；;()f x 的图象关于原点对称,反之亦成立.(2)若函数()f x 为偶函数,则()()()()2()f x f x f x f x f x -=+-=；;()()f x f x =;()f x 的图象关于y 轴对称,反之亦成立.推论:函数()-f x a 的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f x a f a x -=-,则()f x 的图象关于直线0x =对称,反之亦成立.(4)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f a x -=+,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(5)若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+,则()f x 的图象关于点(,)a b 对称,反之亦成立.(6)若函数()f x 对任意自变量x 都有(2)()f a x f x -=,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(7)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称,反之亦成立.(8)函数()f x 与函数()f x -的图象关于y 轴对称,反之亦成立.(9)函数()f x 与函数()f x -的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(10)函数()f x 与函数()f x --的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(11)函数(1)f x -与函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称,反之亦成立.(12)函数()f a x +与函数()f b x -的图象关于直线2b a x -=对称,反之亦成立. (13)在()f x ,g()x 的公共定义域上有如下结论:以上结论中,前7条是一个函数自身的对称性问题,后6条是两个函数之间的对称性问题.下面主要来研究函数的对称性在各类题型中的应用.命题方向一:基于函数,考查运算能力这类题目一般都会给出函数的解析式,目标是求函数值或由函数值求相应的自变量的值,,着重考查考生的运算能力和逻辑思维能力.这类题目不是简单的求值或解方程,而是要考查考生如何如何合理的选择运算路径,即从函数解析式出发,结合函数的奇偶性、单调性、周期性进行运算,达成目标.【例1】.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g g =+-==则【解析】解法一:由题意得(2)(2)9=3(2)=6g f f -=-+--，,因为()f x 为奇函数,所以(2)=6,(2)(2)915f g f =+=.解法二:因为()f x 为奇函数,所以()f x 图象关于(0,0)点成中心对称;将()f x 沿着y 轴向上平移9个单位长得到()g x 的图象,所以()g x 图象关于(0,9)点成中心对称,由第五条结论可知:()+()=18g x g x -,所以(2)+(2)=18,(2)=15g g g -【例2】已知函数32()=sin 4(,),(lg(log 10))5f x ax b x a b R f ++∈=,则(lg(lg 2))=f【解析】因为函数3()=sin g x ax b x +为奇函数,图象关于原点对称,所以()f x 图象关于点(0,4)对称,即有()()8f x f x +-=.而21lg(log 10)lg lg(lg(2))lg 2⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以2(lg(log 10))(lg(lg 2))8f f +=,又2(lg(log 10))5f =,所以(lg(lg 2))3f =,选C.【评注】这两道题都是考查函数奇偶性的常规问题.由函数解析求定量的函数值,代入计算是最直接的想法,但有时是行不通的.要解决这两个类似的问题,首先考生要熟练掌握函数的奇偶性的性质,函数图象平移的基本法则,其次是对数的化简;进而联想到互为相反数的函数值与函数奇偶性之间的关系;其次是分析函数()f x 的特征,建立与函数奇偶性的联系,这是这两道题的能力要求之所在.【例3】设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += 【解析】因为222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++,又22sin ()1x x g x x +=+为R 上的奇函数,所以()f x 的图象关于(0,1)点成中心对称,从而()f x 的图象上的最大值点与最小值点也关于(0,1)对称,因此2M m +=【评注】本题貌似一道最值问题,实则为一道函数奇偶性的应用问题,与前两题比较,对奇偶性的应用隐藏的更深,要求考生要有敏锐的观察能力.命题者对函数解析式结构进行适当的“伪装”,只有适当变形,揭露其本质,才是解题的关键点.【例4】已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++ ,则55((22f f -++-= 【解析】11112525()441234(1)(4)(2)(3)x x f x x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+++=-- ⎪⎢⎥++++++++⎝⎭⎣⎦22114(25)5456x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪++++⎝⎭. 因为22115456y x x x x =-++++的图象关于直线52x =-成轴对称,直线25y x =+关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称,所以函数()f x 的图象关于点5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.因此55()()822f x f x -++--=,即55((822f f -++--=. 【评注】相比例2,例3,本题的难度自然要大得多,同样是用函数图象的对称性解题,但是“伪装”的更加深而已,因此对考生的观察能力和知识点的综合应用能力提出了更高的要求.当然,如果直接代入计算,也是可行的,只是过程显得有点“恐怖”.而思维灵活的同学,如果考虑()(5)f x f x +--,则过程更显简洁.()(5)f x f x +--=1235432812344321x x x x x x x x x x x x x x x x +++--------⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪++++--------⎝⎭⎝⎭【例5】设函数32()3614f x x x x =+++,且()1,()19f a f b ==,则a b +=【解析】由323()3614(1)3(1)10f x x x x x x =+++=++++,设31,()x t f t t t +==+为奇函数,可知()f x 的图象关于点()1,10-成中心对称,即有(1)(1)20f x f x -++--=,从而有()()11920f a f b +=+=,又'()0f x >恒成立,()f x 为单调函数,所以a b +=-2.【评注】本题可视为例4的逆向问题,依然考查函数的中心对称问题,其核心是探求三次多项式函数的对称性.解题过程中,要求有较强的代数式变形能力,这是对考生创新意识的考查.也就是,要仿照二次函数通过“配平方”求对称轴的方法,对本题三次函数通过“配立方”的方法,寻找函数的对称中心.这里要提醒大家注意的是:若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+⇔则()f x 的图象关于点(,)a b 对称;但是若函数()f x 图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,则不一定有+=2m n a .【结论1】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,那么必有+=2m n a .同类题目练习:1.函数1111() (1232015)f x x x x x =++++++++图象的对称中心的坐标为 . (答案:(-1007,0))2.已知函数 )()ln 22f x x =+,则1(ln 2)+(ln )=2f f . (答案:4) 3.已知函数21()ln(1)32x f x x e x =+-+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += . (答案:6) 4.已知函数32115()33212f x x x x =-+-,则1232013...2014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (答案:2014) 5.函数()3112x y x x +=≥-的值域为 . (答案:()(),13,-∞-+∞U ,提示:317322x y x x +==+--的图象关于点()2,3成中心对称，结合自变量的取值范围与函数图象即可快速得出答案)命题方向二:立足方程,考查数形结合能力鉴于函数与方程的特殊关系,方程的根就是函数的零点,就是函数图象与x 轴交点的横坐标.若一个函数的图象具有某种对称性,那么它所对应的方程的根也就有相似的对称性.因此,考查方程根的分布问题的考题往往会涉及到函数图象的对称性.这类考题需要考生挖掘题目所给方程所对应的函数的特殊性质,侧重考查考生数形结合能力.【例6】方程(1)sin 1x x π-=在区间(-1,3)上有四个不同的实数根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=【解析】因为1y x =-与sin y x π=交于()1,0点,且1y x =-与sin y x π=的图像都是关于()1,0点成中心对称,所以函数()()1sin 1f x x x π=--的图像关于直线1x =对称.因此函数()()1sin 1f x x x π=--与x 轴的交点关于点()1,0中心对称,即方程(1)sin 1x x π-=的根“成对”出现,且每对根的和都是2.由于区间()1,3-关于()1,0点中心对称,所以四个不同的实数根1234,,,x x x x 分成两对,有12344x x x x +++=【评注】本题中的方程的根显然是无法求得的只能探求根之间的特殊关系,而根的特殊性是由方程的特殊性决定的,自然引导我们考察函数()()1sin f x x x π=-的特殊性质.类比函数()sin g x x x =的性质:y x =与sin y x =都是奇函数,图像都是关于原点对称,而奇函数与奇函数的积是偶函数,因此()sin g x x x =为偶函数；由此我们可以得到()()1sin f x x x π=-向左平移1个单位长度后也是偶函数,所以()()1sin f x x x π=-的图像关于直线1x =对称.【结论2】如果一个函数存在零点且该函数的图像关于直线x a =或点(),0a 对称,那么该函数的图像与x 轴的交点也关于点(),0a 对称.即该函数的零点会“成对”出现,且每对零点之和为2a .【例7】已知定义在R 上的函数()f x 满足222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩,且25(2)(),()2x f x f x g x x ++==+,则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上所有实根之和为 . 【解析】当(1,1)x ∈-时,()f x 的图像关于点()0,2对称,又(2)()f x f x +=,所以()f x 的图像(除去21,x k k Z =+∈的点)关于点()2,2k 中心对称.而251()222x g x x x +==+++的图像关于点()2,2-中心对称,故函数()f x (除去21,x k k Z =+∈的点)与()g x 的图像都关于点()2,2-中心对称.又(3)(3)1,(1)(1)f g f g -=-=-≠-,所以[)3,1x =--时,()f x 与()g x 有且只有一个交点,即方程()()f x g x =在[)3,1x =--上有且只有一个实根.所以方程()()f x g x =在区间[]5,1-上有3个实数根,其中一根为3-,另外两根关于关于点()2,2-中心对称,故所有实根之和为7-.【评注】考查函数零点或方程根的问题,一般不在于解方程,而更多的是倾向于考查函数的性质.借助函数的奇偶性,图像的对称性,易发现两函数图像都是关于点()2,2-中心对称,其中一根为3-,点()3,1-是两个函数的交点,而()3,1-关于点()2,2-的对称点点()1,3-不是两个函数的交点,这正是本题“陷阱”所在.同类题目练习:5.方程()()2sin 1x x x ππ-+-=的所有解之和为 .(答案: 2π) 6.函数442x x y =+的图像与函数()11cos 3422y x x π=+-≤≤的所有交点的横坐标之和为 . (答案: 3.5)7.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤≤时,3()f x x x =-,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点个数为 . (答案: 6)8.已知()f x 是R 上以3为周期的奇函数,当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上零点个数为 . (答案: 7)命题方向三:着眼综合,考查转化化归能力【例8】设函数2()(3)1f x x x =-+-,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,且127()()...()14f a f a f a +++=,则127...a a a +++= .【解析】因为2()(3)(3)2f x x x =-+-+,所以函数()f x 的图像关于点()3,2成中心对称,进一步有(3)(3)4f x f x -++=.127()()...()1427,(3)2f a f a f a f +++==⨯=,()f x 为单调函数,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,所以1726354==+=223a a a a a a a ++=⨯,因此127...21a a a +++=.【例9】已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠.若1227()()...()0f a f a f a +++=,则当k = 时,()0k f a =.【解析】()sin tan f x x x =+为奇函数且单调递增,其函数图象关于原点对称,(0)0f =.因为1227()()...()0f a f a f a +++=,等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠,所以必有12722614()()()()...()0f a f a f a f a f a +=+===,故当k = 14 时,()0k f a =.【评注】这类问题的典型特征是数列与函数的结合,综合考察函数的奇偶性,对考生的数学能力提出了更高的要求.【结论3】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称, {}n a 为等差数列且12()+()...+()=n f a f a f a nb +,那么必有12+...=n a a a na ++.【例10】设直线l 与曲线31y x x =++交与3个不同的点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为 . 【解析】因为AB BC =,所以B 为线段AB 的中点,而曲线31y x x =++关于点()0,1成中心对称,所以点B 的坐标为()0,1.可以设直线l 的方程为1y kx =+,代入曲线31y x x =++,解得1)x k =>, 因为AB BC ===解得2k =,故所求直线方程为21y x =+.【评注】本题看似一道解析几何问题,如果按照解析几何求曲线与直线相交的弦长问题解决,那么解题将趋于繁琐,甚至步入困境.仔细观察题目,AB BC =与31y x x =++的特殊性,问题中隐含了点B 是AC 中点的重要信息,抓住这一关键点,问题迎刃而解!【例11】已知函数321()3f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-. (Ⅰ)求实数a ,b 的值.(Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[)2,+∞上的增函数. (1)求实数m 的最大值;(2)当m 取得最大值时,是否存在点Q ,使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ)过程略3a =,2b =-(Ⅱ) (1)321()()32131m m g x f x x x x x x =+=-+-+--,22'()23(1)m g x x x x =-+-- 因为()g x 是[)2,+∞上的增函数,所以'()0g x ≥在[)2,+∞上恒成立,设[)2(1),1,t x t =-∈+∞,则22m t t ≤+在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以2min (2)3m t t ≤+=,故m 的最大值为3(2)由(1)得3231131()32(1)2(1)31313m g x x x x x x x x =-+-+=-+-++--,其图像关于点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,即2(1)(1)3f x f x -++=,也就是说存在点Q 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形面积总相等.【评注】看似很复杂的问题,在经过适当的变形后,根据题意,从“使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等”概括提炼出图像的对称性问题,解体就一帆风顺!同类题目练习:9.设函数()2cos ,()2sin f x x x g x x x =-=+,数列{}n a 是公差为8π的等差数列,若71()7i i f a π==∑,则71()2i i g a π=-=∑ ()247i f a a a ⎡⎤⎣⎦=⋅ .(答案: 0,647) 10.已知函数323y x x x =++的图像C 上存在一点P 满足:若过点P 的直线l 与曲线C 相交于异于点P 的两点()()1122,,,M x y N x y ,就恒有12y y +为定值0y ,则0y = . (答案: 2)通过以上问题不难发现，函数对称性在高考试题当中千变万化，花样层出不群，但是无论题目如何变化，函数的性质始终保持不变，以“不变应万变”，只要大家扎实掌握了函数的性质，那么解决函数问题自然就不成问题了。