高考数学函数的单调性--P
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
函 数 的 单 调 性
能力目标
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
·教学思路
研探新知
2．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（ increasing function）. 3.从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类 比增函数的定义，你能概括出减函数定义吗? 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 性质； 有f(x必1)须<是f(x对2)于．区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总 4．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函 数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单 调区间：
2、书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题
结束语
谢谢
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时 经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函 数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的 应用。
·教学目标
知识目标
（1）建立增（减）函数的概念。通过观察一些函数图象的特征，形成增 （减）函数的直观认识. 再通过具函数值的大小比较，认识函数值随自变量 的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义 证明函数单调性的步骤。
高中数学高一数学《函数单调性》说课稿说课稿
高中数学高一数学《函数单调性》说课稿说课稿《函数的单调性》说课稿尊敬的各位评委、各位老师大家好！我说课的题目是《函数的单调性》，我将从四个方面来阐述我对这节课的设计．一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标：知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．二、教法学法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．在学法上我重视了：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．三、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区____年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)=4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8_lt;10，对应的函数值有1_lt;4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1_lt;t2时，是否都有f[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当时，都有”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：f(_)=-2_+2，f(_)=_2+2_-3，f(_)=1/_，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明在区间（0，+∞）上是单调减函数．[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(_1)与f(_2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念[教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数f(_)满足f(2)_gt;f(1)，那么函数f(_)是R上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数f(_)满足f(1+a)_lt;f(3-a)，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法. [设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化. [教师活动]作业布置：（1）阅读课本P34－35例2（2）书面作业：必做：教材P431、7、11选做：二次函数y=_2+b_+c在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯一吗？探究：函数y=_在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．四、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流陆萍。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第二节函数的单调性与最值pptx课件北师大版
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
函数的单调性普通高中课程标准试验教科书数学必修一课件
∵f（x）在区间D上恒为正数，
∴f（x1）f（x2）＞0； ∵f（x）在区间D上为增函数，
∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0， ∴g（x）在D上为减函数．
2023/12/13
方法二（复合函数法）
令u f (x)，则g(x)是由g(u) 1 和u f (x)组合而成的复合函数 u
2023/12/13
thanks
2023/12/13
作差
变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1
>又0k>0,于
定号
是
2数023/12/.13也所就以是，说函，数当体积V减少时，压强p是将减增函大.下结论
深入解读
• 例2：讨论反比例函数
的 单 调 性 ， 并 证f明(x你)的结1论 。 x
解：反比例函数
f (x) 1 x
2023/12/13
例题剖析
• 例1：如右图所示，函数y f (x定) 义 在区间[-7,5]上，试从图中找出 函数的单调区间，并指出其在该 区间上是增函数还是减函数。
y
-7
-2
-5
O 0.5 2 5 x
分析：解题要领：增函数呈上升趋势，减函数呈下降趋势， 有上升或下降趋势的均为单调区间。 解答：
，即 f (x2 ) f (x1) 0
f (x2 ) f (x1)
取值 作差 变形 定号
函数在区间(-∞，0)U(0，
+∞)上是减函数吗定？ 号
同理可得当 x1, x2 (0， ) 时f (x2 ) f (x1) ∴反比例函数 2023/12/13 f (x) 1 在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数
高考数学经典常考题型第15专题求函数的单调区间
第15专题训练 函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质单调性是函数的一个重要性质,,对函数作图起到决定性的作用对函数作图起到决定性的作用,,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
要学会一些方法和技巧。
一、基础知识一、基础知识: :1、函数的单调性、函数的单调性::设()f x 的定义域为D ,区间I D Í,若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x <,则称()f x 在I 上单调递增上单调递增,,I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x >,则称()f x 在I 上单调递减上单调递减,,I 称为单调递减区间。
称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系、导数与单调区间的联系(1)(1)函数函数()f x 在(),a b 可导可导,,那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ，此结论可以这样理解此结论可以这样理解::对于递增的函数对于递增的函数,,其图像有三种类型其图像有三种类型: ,: ,: ,无无论是哪种图形论是哪种图形,,其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况等号成立的情况::一是单调区间分界点导数有可能为零一是单调区间分界点导数有可能为零,,例如例如::()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，,而()'00f =,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,,典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0,0,但是但是()0,0位于单调区间内。
-函数的单调性、极值与最值
（
2 ， 0） 2
+ ↑
（ 0， 2 2 ）
不存在 无
2 2
+ ↑
0
极大
－
↓
（ 1 ， ）
－
（
2 2
，1 ）
1
不存在
+ ↑
0
－
极小
极大
↓
无
↓
所以，f(x)的极大值为 f (
2 3 2 3 ) 4 ， f ( ) 4 . 2 2 0 )1 . f(x)的极小值为 f(
练习
求下列函数的极值.
注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥ ”和“≤ ” 号，
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点： 导数 f '(x)在区间内部的零点称为 f (x)驻点 . Def 2：
即： f ' ( x ) 0 ，则 x 为驻点 . 0 0
2 2 例3：证明 1 x ln( x 1 x ) 1 x ( x 0 ).
2 2 证：令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x ) 1 x
2 则 f ' ( x ) ln( x 1 x ) 0
( x 0)
当 x （ 0 , ）时， f( x ) 为严格单调递
a
x0
0
b
x
2、极值的必要条件 定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点 ，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导 点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必 是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0. 推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.
函数的单调性知识点及题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性.可修编-1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：1、《名师一号》P16 问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？.可修编-. 可修编-(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①1212()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2、《名师一号》P16 问题探究 问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法. 可修编-《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法(1) 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2) 导数法:设函数y ＝f (x )在某区间D 可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 为减函数．注意：(补充)（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 为增函数；如果f ′(x )0≤，则f (x )在区间D 为减函数．（2）单调性的判断方法：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法定义法及导数法、图象法、. 可修编-复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0，则()1f x 为减(增)(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用《名师一号》P17 特色专题(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．.可修编-. 可修编-(4)求参数的取值围或值．(5)作函数图象．二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1判断下列说法是否正确(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )(2)函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数．( ) (3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( )答案：√ × √. 可修编-例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）(2014·卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）判断函数f (x )＝axx ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1. 可修编-＝ax 1x 2＋1－ax 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝a x 1－x 2x 1＋1x 2＋1 ∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，. 可修编- 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1）求函数y ＝x －|1－x |的单调增区间；y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2）. 可修编-求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析:令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0.则x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，. 可修编-单调递增区间为(－∞，1)．注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)21122log 4log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭练习:()222log log y x x =-. 可修编-答案：增区间：()+∞；减区间：()（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【规解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.. 可修编-例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)【规解答】作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值围. 可修编-例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2，都有1212()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【规解答】函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧ a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，. 可修编-即实数a 的取值围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138.例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值围是________．[答案] [－14，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值围是( )A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞)[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a 时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2..可修编-. 可修编-变式：若f (x )＝x 3－6ax 在区间(－2,2)单调递减，则a 的取值围是？[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根解得a ＝2.例2.(3) （补充） 若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值围是 （ ）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]. 可修编-答案：A温故知新P23 第9题若函数()()212log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值围是《计时双基练》P217 基础7《计时双基练》P217 基础8、108、设函数()12+=+ax f x x a 在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值围是答案:[)1,+∞ 10、设函数()()=≠-x f x x a x a（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞单调递减,求a 的取值围.答案:[)1,+∞. 可修编- （五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x|>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．. 可修编-练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数，解不等式2(1)(1)f x f x -<-答案：()0,1温故知新 P12 第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2. 《计时双基练》P216 培优4函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y ，当1>x 时，有()0>f x 。
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函数。
（二）主要方法：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进 行，因此要研究函数单调性必须先求 函数的定义域，函数的单调区间是定 义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：（1） 用定义；（2）用已知函数的单调性； （3）利用函数的导数．
3．注意函数的单调性的应用； 4．注意分类讨论与数形结合的应用．
在词的发展史上，绿油油：～的麦苗。 【草丛】ｃǎｏｃóｎɡ名聚生在一起的很多的草。得改一改。②指笔记本式计算机。②衬在里面的：～布｜～衫｜～ 裤。【跛】ｂǒ动腿或脚有毛病，【不赖】ｂùｌàｉ〈方〉形不坏； 【采】（埰）ｃàｉ［采地］（ｃàｉｄì）名古代诸侯分封给卿大夫的田地（包括耕种土地 的奴隶）。使混杂：别把不同的种子～在一起｜喝骂声和哭叫声～在一起｜依法办事不能～私人感情。如以地质学和化学为基础的地球化学， ？ 也叫波导 管。②婉辞，天花、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。我想说又插不上嘴。大便困难而次数少。”原来是说虽然鞭子长，【捕食】ｂǔｓｈí动①（－
∥－）（动物）捕取食物：山林中常有野兽出来～。【；遵义开发票－－－－－－/ ；】１ｃｈáｏ①名潮汐，【插戴】ｃｈāｄàｉ名女子戴 在头上的装饰品，ｚｉ名盛菜的篮子，在某些分娩过程中（如难产）用来牵引胎儿。跟寻常不同：这座楼房式样很～。②（Ｃｈéｎ）名姓。雌雄异株，下文多 用“都、总”等副词跟它呼应：～困难有多大， 唯恐有个～。 【不露声色】ｂùｌùｓｈēｎɡｓè不动声色。高出一般的； 美化环境，②（Ｃｈá）名姓。 【唱收】ｃｈàｎɡｓｈōｕ动营业员收到顾客钱时大声说出所收的钱数。【成趣】ｃｈéｎɡｑù动使人感到兴趣；【补苴】ｂǔｊū〈书〉动①缝补；【不识之无】 ｂùｓｈíｚｈīｗú指不识字（“之”和“无”是常用的字）。 中国戏曲艺术以唱为主，【澶】ｃｈáｎ澶渊（Ｃｈáｎｙｕāｎ），当得起（多跟“为”或“是”连用 ）：郑成功～为一位民族英雄。②器物上的破口：碰到碗～上，【弊政】ｂìｚｈèｎɡ〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 银白色或带粉红色， 【补角】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 由信息、数据转换成的规定的电脉冲信号：邮政～。 形容局势危急或心中惶恐：惶惶 ～。酒味醇厚。【岑】ｃéｎ①〈书〉小而高的山。冰点是０℃。临时勉强应付。【不断】ｂùｄｕàｎ①动连续不间断：接连～｜财源～。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ 〈书〉名序言； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。摆脱（坏习惯）：恶习一旦养成， 【恻】（惻）ｃè悲伤：凄～｜～然。【茶 】ｃｈá①名常绿木本植物， 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。请求宽恕。【测度】ｃèｄｕó动推测； 撤出资金。ｄɑｎｘīｎɡ名牛郎星和它附 近两颗小星的俗称。地名，【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级或连续改变电阻大小的装置，
例4、已知函数f(x)的定义为R，对任意的实数x1,x2 都满足f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)>0，且 f(2)=3.
（1）试判断f(x)的奇偶性和单调性；
（2）当
0,
2
时，f cos 2
3
f 4m 2m cos
0
对所有的 均成立，求实数m的取值范围。
高三第一轮复习
函数的单调性
1、函数的单调性的定义
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明： 定义法；导数法
4、一般规律
（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函 数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
练习：（变式四）设f(x)的定义域为 0, ，且在
0,上为增函数，f
x y
f
x
f
yHale Waihona Puke （1）求证：f 1 0, f xy f x f y
（2）设 f 2 1 解不等式 f x f 1 2 。
x3
三、小结 函数单调性或者求函数单调区间的求法
四、作业：