大学数学(高数微积分)函数的单调性(课堂讲义)

1 0 x 1 ln x 0 x 1 x 解. f ( x) 0 x 1 f '( x) 不存在 x 1 ln x 1 x 1 x 1 x 1 x2 0 x 1 f ''( x) 不存在 x 1, 所以在区间(0,1)上函数下凸， 1 2 x 1 f’’(1)不存在 x 在区间(1, )上，函数上凸。点(1, 0)是曲线f ( x)的拐点。
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

下凸
( 0, 2 ) 3
上凸
2
3 0
( 2 ,) 3
下凸
( 0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
例2.求函数f ( x) | ln( x) | ( x 0)的凸性区间及曲线的拐点
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
函数极值
费马定理：设函数y f ( x)在点x0处可导，若x0是函数的 极值点，则f '( x) 0
驻点：一阶导数f '( x0 ) 0的点x0称为函数f ( x)的驻点。
推论：可导函数的极值点一定是驻点； 问题：驻点一定是极值点吗？ 问题：不可导点可能是驻点吗？ 不可导点可能是极值点吗？
练习：确定函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x 3
3 2
的单调区间
y 二、曲线凹凸的定义
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
o
A
x
y f ( x)
y
y f ( x)
y
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） ; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 如果恒有 f ( ) , 那末称 f ( x ) 2 2 在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧） ．
a b 2
1 a b (e e ) 2
练习：证明当0 x

2
2 时， x sin x x

判断拐点 ,且 的方法: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
例5：求函数f ( x) ( x 2) x 的极值
3 2
2 x 2 5x 4 解 f '( x) x 3 3 3 x 3 x 4 即，x 0为f ( x)的不可导点，x 为f ( x)的驻点。 5
yx
3
y | x |
连续函数的极值点可能由哪些点 构成呢？
函数的某点成为极值点需要具备 什么条件呢？
定理3(第一充分条件)
设函数f ( x)在x0处连续，在点x0的某去心邻域U ( x0 , )可导
0
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ' ( x ) 符号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
将闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间）， 结论仍然成立．
练习：讨论下列函数的单调区间： 1).y e x 1; 2). y x
x 3 2
备注：对函数y=f(x)单调性的讨论，应先求出使导数等 于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的 定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导 数f’(x)在各个子区间的符号，从而确定函数在各个子 区间的单调性．
3 2
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
0
不存在
(0, 4 / 5)
4 / 5 (4 / 5, )
0
极 小 值





极 大 值

极大值f (0) 0,
4 6 3 16 极小值f ( ) 5 5 25
定理4(第二充分条件) 设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值; (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
0
y
y
o
x0

x

x0
(是极值点情形)
o
x
y

y


o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求函数的不可导点和驻点（ f ( x) 0 的点） ;
(2) 检查 驻点和不可导点左右的正负号, 判断极值点;
(3) 求极值.
例4 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
例6. 求函数y e 2e 的极值点和极值
x
x
1 解. f '( x) e 2e , 令f '( x) 0 x ln 2 2 1 1 ln 2 ln 2 1 f ''( x) e x 2e x f ''( ln 2) e 2 2e 2 0 2 1 1 所以 x ln 2是函数的极小值点，极小值f ( ln 2) 2 2 2 2
为 ( a, b)上的下凸（上凸）函数的充要条件是： f ( x ) 0(或f ( x ) 0）
注意：若定义1定理1中的不等式变为严格不等式， 则称函数是严格下凸（或上凸）的。
定义2. 若函数f ( x)在点x0左右两侧的凸性相反， 则称点( x0 , f ( x0 ))为曲线y f ( x)的拐点。
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
第154页 3，4，6，7，8，10
3.4 函数的单调性
和曲线的凹凸性与极值
定理1 设函数y f ( x )在[a , b]上连续， 在( a , b)可导，则 1).若在( a, b)内f '( x ) 0, 则函数y f ( x )在[a , b]上单调增加； 2).若在( a, b)内f '( x ) 0, 则函数y f ( x )在[a , b]上单调减少；
定义：设函数f ( x)在区间[a, b]上有定义， 若x1 , x2 (a, b), (0,1), 恒有: f [ x1 (1 ) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 成立，则称函数f ( x)在(a, b)内是下凸的； 若x1 , x2 (a, b), (0,1), 恒有: f [ x1 (1 ) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 成立，则称函数f ( x)在(a, b)内是上凸的。
下凸函数f ( x)的图形是向下凸的，也称曲线y f ( x)是 下凸的（或称曲线是凹的）；上凸函数f ( x)的图形是向 上凸的，也称曲线y f ( x)是上凸的（或称曲线是凸的）
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
x x
x t sin t 例7. 设函数y y ( x )由参数方程 y 1 cos t 确定，求函数y 解. y , 令yx 0, 即sin t 0 t 1 cos t
' x
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，