(新)高中数学5_6数学归纳法与不等式同步测控苏教版选修4-51

5.6 运用数学归纳法证明不等式

同步测控

我夯基,我达标

1.用数学归纳法证明“

n n n n n ++

++++++1312111 ≥24

11(n∈N *

)”时,由n=k 到n=k+1时,不等式左边应添加的项是( ) A.

)1(21+k B.2

21

121++

+k k C.

11221121+-+++k k k D.2

1

11221121+-

+-+++k k k k 解析:当n=k 时,不等式为24

11

1312111≥

++++++++k k k k k , 当n=k+1时,不等式为

24

11)1()1(1)1(113121≥+++++++++++++k k k k k k k k , 即为

.24

11

11)1()1(1)1(11312111≥+-+++++++++++++++k k k k k k k k k k ∴选C. 答案:C

2.用数学归纳法证明1+21+31+…+1

21-n

,且n>1)时,第一步即证下述哪个不等式成立( ) A.1<2 B.1+

21<2 C.1+21+31<2 D.1+3

1<2 解析:∵n>1,n∈N *

,∴第一步中n 取2. ∴左边=1+

21+1221-⨯=1+21+3

1

. 答案:C

3.关于正整数n 的不等式2n >n 2

成立的条件是( )

A.n∈N *

B.n≥4

C.n>4

D.n=1或n>4

解析:当n=1时,不等式为2>1成立,当n=2时,不等式为22>22

不成立.

当n=4时,24>42

不成立,排除A 、B 、C.选择D. 答案:D

4.用数学归纳法证明“1+

21+31+…+1

21-n

,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )

A.2k-1

B.2k -1

C.2k

D.2k

+1

解析:当n=k 时,不等式为1+

21+31+…+121-k

21

1-+k

∵2k+1-1-(2k -1)=2k+1-2k =2k

,

∴共增加了2k

项. 答案:C

5.对于不等式12+≤+n n n (n∈N *

),某学生的证明过程如下:

(1)当n=1时,112

+≤1+1,不等式成立.

(2)假设n=k(k∈N *

)时,不等式成立,即k k +2

23)1()1(22++=+++k k k k

<)2()23(2++++k k k =2)2(+k =(k+1)+1.

所以当n=k+1时,不等式成立. 上述证法( )

A.过程全部正确

B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k 到n=k+1的推理不正确 解析:第一步正确,假设也正确.但从n=k 到n=k+1的推理不正确. 因为证明过程没有用上归纳假设. 答案:D 6.若不等式

24

212111m

n n n >

+++++ 对大于1的一切自然数n 都成立,则自然数m 的最大值为( )

A.12

B.13

C.14

D.不存在

解析:令f(n)=11+n +21+n +…+n 21,取n=2,3,4,5等值发现f(n)是单调递减的. ［f(n)］max >24m ,∴f(2)>24m .∴m<24×(31+4

1

)=14.

答案:B 7.

设

n

为

正

整

数

,f(n)=1+

2

1

+

3

1+…+

n

1,计算得

f(2)=23,f(4)>2,f(8)>25,f(16)>3,f(32)>27

,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)>212+n B.f(n 2

)≥22+n

C.f(2n

)≥22+n D.以上都不对

解析:f(2)=23,f(4)=f(22)>24,f(8)=f(23)>25,f(16)=f(24)>26,f(32)=f(25

)>2

7.

所以猜想f(2n

)≥2

2+n .

答案:C

8.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=

4

1

n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n 都成立,a 、b 的值应该等于( )

A.a=1,b=3

B.a=-1,b=1

C.a=1,b=2

D.a=2,b=3 解析:令n=1,n=2得到关于a 、b 的方程组,解之即可. 答案:D

我综合，我发展

9.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72

,…,则得出结论:__________.

解析:观察得到从n 开始连续加(2n-1)个自然数之和,右边为中间奇数的平方,∴结论为

n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

.

答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

10.在数列{a n }中,a 1=1,且S n ,S n+1,2S 1成等差数列,则S 2,S 3,S 4分别为______,猜想S n =_________.

解析:∵S n ,S n+1,2S 1成等差数列, ∴2S n+1=S n +2S 1.

又∵S 1=a 1=1,∴2S 2=S 1+2S 1=3S 1=3.

∴S 2=23=2122-,2S 3=S 2+2S 1=23+2=27.

于是S 3=47=2

321

2-. 由此猜想S n =12

1

2--n n .

答案:23,47,8

15 1212--n n

11.用数学归纳法证明

2

2241

3121+

++…+2121)1(12+->+n n ,假设n=k 时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是______________. 解析:观察用k+1替换不等式中的n,即为

2

224

13121+++…+2]1)1[(1++k >21

- 2

)1(1

++k .

答案:

3121)

2(1)1(14131212

2222+->+++++++k k k 12.已知1+2×3+3×32

+4×33

+…+n×3n-1

=3n

(na-b)+c 对一切n∈N *

都成立,那么

a=_____________, b=_____________,c=_______________.