高一数学(人教A版)必修4精品课件：第三章 三角恒等变换 公开课一等奖课件
三 角 恒 等 变 换
第三章
章末归纳总结
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专题突破
第三章
章末归纳总结
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专题一
三角函数式的化简
1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章
章末归纳总结
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cosθ＋sinθ cosθ－sinθ ＝ 2 2 ＋ cosθcos θ－sin θ cosθcos2θ－sin2θ 2cosθ 2 ＝cosθ· cos2θ＝cos2θ.
第三章
章末归纳总结
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第三章
章末归纳总结
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23＋cos4x 1 求证：tan x＋tan2x＝ . 1－cos4x
2
[分析]
本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证
明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．
第三章
章末归纳总结
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[证明]
第三章
章末归纳总结
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专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这 是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简， 如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过 渡．
第三章
章末归纳总结
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(2)条件恒等式的证明． 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细 探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是 代入法和消元法．
第三章
章末归纳总结
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2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等； 在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着 目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
第三章
章末归纳总结
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论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是 变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调性求得角．
第三章
章末归纳总结
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11 已知tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－14 ，α、β均为锐 角，求cosβ的值． [分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝
专题二 三角函数的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化 为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三 角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把 所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨
第章
章末归纳总结
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[解析]
1＋3tanθ 原式＝ 2 ＋ cos θ－3sin2θ＋2sinθcosθ
3＋5tanθ 3cos2θ＋5sin2θ＋8sinθcosθ cosθ＋3sinθ 3cosθ＋5sinθ cosθ cosθ ＝ ＋ cosθ＋3sinθcosθ－sinθ 3cosθ＋5sinθcosθ＋sinθ 1 1 ＝ 2 ＋ cos θ－sinθcosθ cos2θ＋sinθ· cosθ
2 2
· sin(α＋φ)，其中tanφ＝
b a
或asinα＋bcosα＝
a a ＋b · cos(α－φ)，其中tanφ＝ . b
第三章
章末归纳总结
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[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称． 1＋3tanθ 3＋5tanθ 化简： － 2cos2θ＋sin2θ－1 cos2θ－4sin2θ－4
cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章
章末归纳总结
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[解析]
∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π.
11 又cos(α＋β)＝－14 ∴sin(α＋β)＝ 又tanα＝4 3
2 2 sin α tan α 48 2 ∴sin α＝ 2 . 2 ＝ 2 ＝ 49 sin α＋cos α 1＋tan α
第三章
章末归纳总结
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2．三角函数式化简的基本技巧． (1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα化为1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝ a2＋b2
数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
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第三章
章末归纳总结
第三章 三角恒等变换
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知识结构
第三章
章末归纳总结
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4 4 sin2x cos2x sin x＋cos x 左边＝ 2 ＋ 2 ＝ cos x sin x sin2xcos2x
sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x ＝ 1 2 4sin 2x 1 2 1 2 1－2sin 2x 1－2sin 2x ＝ 1 ＝1 sin22x 1－cos4x 4 8 8－4sin22x 4＋4cos22x ＝ ＝ 1－cos4x 1－cos4x
11 2 5 3 1－－14 ＝ 14 .
4 3 1 2 ∴sinα＝ 7 ，从而cosα＝ 1－sin α＝7，
第三章
章末归纳总结
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故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－ )× ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
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高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修4 (1)
)
解析:∵f(x)=
1
1+cos 2������ + 2
π 2
= − sin 2x,x∈R,
2 2 1
1
1
∴f(-x)=2 − 2sin 2(-x)=2 + 2sin 2x. ∴f - 4 = 2 + 2sin 2 =1,
f
π 4 π 1 1 π
1
1
= − sin
2 2 π π 4
1
1
π 2
=0, ≠-f
=
2sin ������ cos ������ +2si n 2 ������ 2sin ������ cos ������ +2co s 2 ������
2cos ������ (sin ������ +cos ������ )
=tan θ.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
π 4
∴f - 4 ≠f
,f -
π 4
.
∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .
答案:D
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������ 2 sin(x+φ) 其中 sin������ =
������ ������ 2 +������
,cos������ = 2
������ ������ 2 +������
cos������ =2sin
5π 6
��x2
π
≤2kπ+ ,k∈ Z,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z.又 x∈[-π,0],∴x∈ ,0 .
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3 章末高效整合 课件资料
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
第三章
三角恒等变换
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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第三章
三角恒等变换
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解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
第三章
三角恒等变换
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1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
人教A版高中数学：三角恒等变换【精品课件】
B．－171
7 C.13
D．－173
解析：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－4＋4×3 3＝－171. 答案：B
4．已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ ________.
解析：由 sin α＋cos β＝1 与 cos α＋sin β＝0 分别平方相加得 sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝1， 即 2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1， 所以 sin(α＋β)＝－12. 答案：－12
跟踪训练 2 已知 α，β∈0，π2，且 sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665， 求 cos β 的值．
解析：因为 α，β∈0，2π，所以 0<α＋β<π， 由 cos(α＋β)＝－1665，得 sin(α＋β)＝6635， 又 sin α＝45，所以 cos α＝35， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝ －1665×35＋6635×45＝322054.
知识点一 两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s__β_－__s_in__α_s_in__β_，简记为__C_(_α_＋_β)__，使用的 条件为__α_，__β_为__任__意 ___角___．
知识点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正弦
S(α＋β)
解析：（1）cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin
30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
高中数学优质课件精选人教A版必修四第三章三角恒等变换3.2
)
α
(4)若 α 是第一象限角，则 tan 2 ＝
1－cos α 1＋cos α.(
)
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【解析】 (1)×.只有当－π2 ＋2kπ≤α2≤π2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤
α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos
α
2＝
1＋cos α
2.
(2)√.当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．
证．
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转
化．
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【自主解答】
θ＝2＝右边．
(1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋co2s 2θ－cos 2
所以原等式成立．
(2)左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x＝2ssiinn2x2x＝csoisn2x2x＝2s2inco2xsc2o2xs2x＝1＋sincoxs x＝右边． 所以原等式成立．
α
2 －2sin
α
2 cos
α2 sin α
α
2 ＋cos
α
2
2×2sin2 2
2sin ＝
α2 sin
α
2 －cos
α2 sin
2sin
α
2
α
2 ＋cos
α
2
sin ＝
α2 sin2
α
2 －cos2
sin
α
2
α2 ＝－sinsinα2 αc2os
α
人教A版高中数学必修四课件第三章3.2简单的三角恒等变换(共31张)
小结 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性 质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
∴OA＝
33DA＝
33BC＝
3 3 sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－
3 3 sin
α.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝AB·BC
＝cos
α－
3 3 sin
αsin
α＝sin
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
前置学习
1．半角公式
1－cos α (1)S ：sin α2＝_±________2____；
2
1＋cos α (2)C ：cos α2＝_±________2____；
2
1－cos α (3)T ：tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s_α_ (无理形式)
2
sin α
1－cos α
＝_1_＋__c_o_s__α__＝___s_in__α____(有理形式)．
3.2 简单的三角恒等变换
高一必修4
本节目标
1．能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的 基本思想方法，以及进行简单的应用． 2．了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方 法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用． 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法， 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简 单的应用．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
∴OA＝
33DA＝
33BC＝
3 3 sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－
3 3 sin
α.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝AB·BC
＝cos
α－
3 3 sin
αsin
α＝sin
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
前置学习
1．半角公式
1－cos α (1)S ：sin α2＝_±________2____；
2
1＋cos α (2)C ：cos α2＝_±________2____；
2
1－cos α (3)T ：tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s_α_ (无理形式)
2
sin α
1－cos α
＝_1_＋__c_o_s__α__＝___s_in__α____(有理形式)．
3.2 简单的三角恒等变换
高一必修4
本节目标
1．能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的 基本思想方法，以及进行简单的应用． 2．了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方 法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用． 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法， 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简 单的应用．
高一数学(人教A版)必修4精品课件：3-2-2 三角恒等式的应用 公开课一等奖课件
第三章
3．2.2 三角恒等式的应用
第三章
三角恒等变换
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第三章
3.2 3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
第三章
3.2 3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[解析]
第三章
3.2 3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx的周期T＝________.
[答案]
[解析]
π
1－cos2x 1 ∵f(x)＝ ＋ sin2x 2 2
1 1 ＝ (sin2x－cos2x)＋ 2 2 π 1 2 2π 2 x － ＝ sin 4＋2.∴T＝ 2 ＝π. 2
第三章
3.2 3.2.2
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自主预习 三角恒等变换 (1)asinα＋bcosα＝ sin(α＋θ)(ab≠0)，其中tanθ b b a ，a和b的符号确定θ所在的象限．情况． 3
第三章
第三章
3.2 3.2.2
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课堂典例讲练
第三章
3.2 3.2.2
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思路方法技巧
命题方向1 讨论三角函数的性质
已知函数f(x)＝sin x＋asinxcosx－cos (1)求常数a的值及f(x)的最小值；
高中数学人教A版(课件)必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.2
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(3)π4 ＋α＋π4 ＋β＝π2 ＋(α＋β)； (4)π4 ＋α＋π4 －β＝π2 ＋(α－β)．
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[再练一题]
2．已知 cos α ＝－45，α ∈π ，3π2 ，tan β ＝－13，β ∈π2 ，π ，求 cos(α ＋β)．
30°＝(
)
A．－
3 2
C．12
B．－12
D．
3 2
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(2)化简求值： ①11＋－tatann7755°°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
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教材整理 3 两角和与差的正切公式
阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题．
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切
两角差 的正切
T(α＋β) T(α－β)
tan α ＋tan β α ，β ，α ＋β≠kπ tan(α＋β)＝1_－__ta_n__α__t_a_n__β_ ＋π2 (k∈Z) 且 tan
1＋tan 12°tan 72°
(3) tan 12°－tan 72° .
【解】
(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.
(3)原式＝1t＋ant1a2n°12－°ttaann7722°°＝－tan（72°1－12°）＝－