2021届安徽省合肥市合肥六中高三上学期理科数学第12次限时练
合肥六中2021届高三理科数学第12次限时练一:选题题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1. 已知集合{}2(,),A x y y x x ==∈R ，{}(,)|44B x y y x ==-，则AB =A ．2x =，4y =B ．(2,4)C ．{}(2,4)D ．{}2,42.设,x y R ∈，若2iix y -+是纯虚数，则,x y 一定满足 A ．2y x = B ．y x = C ．2y x =- D ．2y x=-3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，232a =，则满足20n n S a n <的的最大值是 A ．3 B ．4C ．5D ．64.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 A ．13 B ．11C ．9D ．75.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是 A ． B ．C ．D ．6.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A ．若,,,m m n m n βααβ⊂⋂=则B ．若,m n 与α所成的角相等，则m nC ．若m αβ⋂=，,,m n n ααβ⊥⊂⊥则D ．若αβ⊥，,m α，则m β⊥7.若tan 3cos()()2ππαα-=-，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798.已知向量a 、b 满足||4=a ，b 在a 上投影为2-，则|3|-a b 的最小值为 A ．12 B ．10 C 10 D ．29.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭10.函数π()2cos()(0,0)2f x x ωϕωϕ=-><<的部分图象如图中实线所示，,M C 为()f x 的图象与坐标轴的交点，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，给出下列说法： ①3πω=；②π6ϕ=； ③将函数()f x 的图象向左平移1个单位 后得到2cos y x π=的图象；④圆C 的方程为22(2)7x y -+=．其中所有正确说法的序号是 A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④11.正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为 A ．2 B ．23 C ．4 D ．4312.若关于x 的方程()22ln 2ln a x x x x=-恰有4个不相等实根，则实数a 的取值范围是 A ．22,0e e -⎛⎫⎪⎝⎭B ．212,8e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二:填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在的展开式中3x 的系数为__________．14.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共___种．（用数字填写答案）15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()6,sin sin sin c A C A B =-=-.若16a ≤≤，则sin C 的取值范围是__________．16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为__________．三:解答题(本大题共4个题，每小题12分，共48分)17.在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:2cos 4sin 7cos 80C x y x y θθθ+--+-=，（θ∈R ，θ是参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为2cos 3m πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求动圆C 的圆心的轨迹1C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设M 和N 分别1C 和l 上的动点，若MN 最小值为1，求m 的值.18.如图，多面体ABCDE 中，四边形ABDE 是平行四边形，2AB BC BD ===，6AD DC ==6CAB π∠=．（1）证明：ACD ABC ⊥平面平面. （2）求CE 与平面ABD 所成角的正弦值．19.已知点A(2,0),椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>F 和B 分别是椭圆C 的左焦点和上顶点,且△ABF 的面积为3.2(1)求椭圆C 的方程;(2)设过点A 的直线l 与C 相交于P,Q 两点,当13OP OQ ⋅=时,求直线l 的方程.20.已知函数()ln ,xe f x a x ax a R x=--+∈。
(1)当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，若关于x 的不等式1()()1xf x x e bx x++-≥恒成立，求实数b 的取值范围。
合肥六中2021届高三理科数学第12次限时练答案一:选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)2. 已知集合{}2(,),A x y y x x ==∈R ，{}(,)|44B x y y x ==-，则AB =（ ）A ．2x =，4y =B ．(2,4)C ．{}(2,4)D ． {}2,4 【答案】C 【解析】由题意可知A ,B 是点集,故AB 也是点集.224444y x x x y x ⎧=⇒=-⎨=-⎩，得2x =，4y =∴ (){}2,4A B =，故选C. 2.设x ，y ∈R ，若2iix y -+是纯虚数，则x ，y 一定满足 A ．2y x =B ．y ＝xC ．y ＝-2xD ．2y x=- 【答案】A 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念．∵2i (2i)(i)i (i)(i)x x y y y y ---=++- 2222i 11xy x y y y -+=-++是纯虚数，∴2020xy x y -=⎧⎨+≠⎩，得2(0)y x x =≠． 3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，232a =，则满足S n ＜20a n 的n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B,由题意知，公比12q =，所以1132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，13112611212nn n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-．依题意，111616022n n -⎛⎫⎛⎫-<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11111022n n -⎛⎫-<⨯ ⎪⎝⎭，所以2n＜21，解得n ≤4，所以n 的最大值是4．4.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( ) A ．13 B ．11C ．9D ．7【答案】B【解析】第一次：1lg ,33S k ==，第二次：131lglg lg ,5355S k =+==， 第三次：151lg lg lg ,7577S k =+==，第四次：171lg lg lg ,9799S k =+==，第五次：191lg lg lg ,1191111S k =+==，此时不满足条件，所以输出k =115.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x =-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选B.6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥nB ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥nC ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，n ⊂α，则α⊥β D.若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β 【答案】A 本题考查空间中点线面位置关系．A 项中的命题为线面平行的性质定理是真命题． B 项中m ，n 也可能相交或异面，故B 项中命题为假命题；C 项中α与β可能不垂直，故C 项中命题为假命题；D 项中可能m ⊂β或m 与β所成的角不是90°，7.若tan 3cos()()2ππαα-=-，则cos2α=( )A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【答案】D【解析】由tan 3cos()()2ππαα-=-得sin()23cos cos()2πααπα-=--，所以cos 3cos sin ααα=-，所以cos 0α=或sin 31α=-，故2cos22cos 11αα=-=-或29cos212si 7n αα=-=，故选D 。
8.已知向量a 、b 满足||4=a ，b 在a 上投影为2-，则|3|-a b 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2 【答案】B 【解析】b 在a 上投影为2-，即||cos ,2<>=-b a b ，∵||0>b ，∴cos ,[1,0)<>∈-a b ，∴||2≥b ，∴222222|3|69||6||||cos ,9||9||64-=-⋅+=-<>+=+a b a a b b a a b a b b b ，∴min |3|946410-=⨯+=a b ，故选B 。
9.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称。
由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+，所以满足|21|||m m -< 变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 解不等式可得113m <<，即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭，故选A 10.函数π()2cos()(0,0)2f x x ωϕωϕ=-><<的部分图象如图中实线所示，M 、C 为f (x )的图象与坐标轴的交点，图中圆C 与f (x )的图象交于M ，N 两点，给出下列说法：①3πω=；②π6ϕ=；③将函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到y ＝2cos πx 的图象；④圆C 的方程为(x -2)2+y 2＝7．其中所有正确说法的序号是 A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D 本题考查三角函数的图象与圆的综合．由圆的对称性可知圆心C 的横坐标为042+2=，则2π6T ω==，π3ω=，故①错误；将点(-1，0)代入f (x )＝2cos(ωx -φ)，得π2cos()03ϕ--=，由π02ϕ<<，可知π6ϕ=，故②正确；ππ()2cos()36x f x =-，将其图象向左平移1个单位后得到ππ2cos()36x y =+的图象，故③错误；因为(0)3f =，所以3)M ，圆C 22(20)(03)7-+-=，所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2＝7，故④正确．11.正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为( ) A ．2 B ．23 C ．4 D ．43【答案】C【解析】设BC 的中点为O ，则O 为球心，AP AB BO OP =++，()AP AD AB BO OP AD ⋅=++⋅ AB AD BO AD OP AD =⋅+⋅+⋅22cos ,OP AD =+<>，当cos ,1OP AD <>=，即OP ，AD 方向相同时，取最大值为4，故选C 。
安徽省五校2021届高三上学期12月联考试题 理科数学【含答案】
安徽省五校2021届高三上学期12月联考试题 理科数学【含答案】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB =A ．{}14x x << B ．{}23x x ≤< C ．{}23x x << D ．{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i - 3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC = A ．1122OA OB + B ．3322OA OB + C ．2233OA OB + D ．OA OB +5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车转动的角速度ω为πrad /s 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m图1 图26.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =A ．12B ．14C ．16D ．187.函数21()log ||f x x =的部分图象可能是A B C D8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9.已知ABC △3D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =， 则BD = A ．12 B ．31 D 210.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3B ．2(2,0)(0,)3-C ．2(,2)3D ．2(,2)(,)3-∞-+∞11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．412.若关于x 的不等式2e (ln )x a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为 .15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为 . 16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是 .xyOxyOxyxyO①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分. 17.（10分）已知函数1 22()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21e a =-时，证明：()2g x <.答案2020年12月4日一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项BCADDCBDCACB11.【解析】由对称轴和零点可知()ππ212(),444k T k N T πω+--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω ① 由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω ②由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3. 12.【解析】解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()exx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而(1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤， 因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<； 所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤. 又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.二、填空题：13题.7 14题.1- 15题.6 16题.①③ 15.【解析】由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为223416++=. 16.【解析】43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-. .0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++> .1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即三、解答题：共70分. 17.【解析】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分 可得，解得22a -<< ………………………………4分（2）由题意可得，1221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x -≤， ………………………………6分设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可 ……………………8分()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-………………10分 18.【解析】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++- 2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++cos 2sin 2x x =+π224x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………2分周期2ππ2T == ………3分 由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈ ………4分 解得3ππππ,Z 88k x k k -+<<+∈ ………5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.………6分（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点 ………8分 令π24t x =+，则π5π44t ≤≤ 即函数y m =与函数()2g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点 函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下且ππ5π()2,()1,()1244g g g ===- ………10分故12m ≤<. ………12分 19.【解析】（1）.9,632==a a……………………………2分 猜想：,3n a n =……………………………3分证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+ [],)1(3231--=--n a n a n n........2132(3)a a -=-.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.（2）,.3311n n n na =+）得由（……………………………7分 .331........333231132n n n nn S +-++++=∴- ①.331........333231311432++-++++=∴n n n nn S ② ………………………8分 ①-② 可得,331......31313212+-+++=n n n nS ……………………………10分n n n nS 32341431⋅-⋅-=∴- ……………………………12分20.【解析】 （1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C ∴= ………………………………2分又sin sin()C A B =+，2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=，A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形. ………………………………5分解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A Ca b =， 进而2cos a A ca b=. 2cos cA b∴=. ………………………………2分 由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =.所以，ABC △为等腰三角形. ………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===，2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++ ………………………………7分由（1）知，A B =且πA B C ++=，π 4sin 2sin 2, (0,)2a b c A A A ∴++=+∈ ……………………………9分令π()4sin 2sin 2, (0,)2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A 为递减的. ………………………11分所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π()4sin 2sin33333f =+=，也即ABC △周长的最大值为33…………………………12分21.【解析】（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411 …………………………2分 x m -+=39x x x -+++⋅=31129 ………………………4分 x x -+-=1921，所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）． …………………………5分 （2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ， …………………………7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减． …………………………8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ． …………………………9分 所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值； ……10分当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值． ……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润. ……12分22.【解析】 （1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ……………………………………2分 从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-， ……………………………………3分又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+， ………………………………4分解得0a =. ………………………………5分解法二：由题意，21ln ()e ,x x f x a x-'=+ ………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ………………………………2分 由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)， 则有(1)1e 112f a -=+-， ………………………………4分 即1e e 1a a -=+，解得0a =. ………………………………5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>， 则2211()(1)e 1(1)(e )x x g x x x x x--'=-+++=+-. …………………………7分 易知10x +>，记21()e x h x x-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减， 且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<， 0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =. ………………………………9分 从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<. ()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减. ………………………… 10分 由0()0h x =可得020e 1x x -=及00ln +2x x =，02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e 1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”） 从而， ()2g x <. ………………………12分 解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1 ()1,h x x'=- ……………………6分 易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分 从而有()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )lne e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分 由题意及上述结果，225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<. …………………12分解法三：由题意，欲证 2()e ln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x -+<+. …………6分 记ln (),0.x x m x x x +=> 则1ln (),x m x x-'= 从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e +. …………………8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+ 易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>， 因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x . 而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+ …………………11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <. …………………12分。
2021年安徽省合肥六中高考数学考前诊断暨预测试卷(理科)(5月份)(附答案详解)
2021年安徽省合肥六中高考数学考前诊断暨预测试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知集合M={x|y=√3+2x−x2}，N={y|y=1−√x}，则M∩N=()A. [−1,1]B. [0,3]C. [1,3]D. [−3,1]2.(2020·浙江省·单元测试)已知复数z=21−i，给出下列四个结论：①|z|=2；②z2=2i；③z的共轭复数是z=−1+i；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(1,1)，b⃗ =λa⃗(λ∈R)，则|√2a⃗+b⃗ |=()A. 2或0B. 2√3C. 2√2D. 2√2或04.(2020·北京市市辖区·模拟题)德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC =√5−12，根据这些信息，可得sin126°=()A. 1−2√54B. 3+√58C. 1+√54D. 4+√585.(2021·安徽省合肥市·模拟题)中国、日本，韩国的乒乓球裁判员各2名，执行2019年世界乒乓球锦标赛的一号、二号和三号场地乒乓球裁判工作，每个场地由2名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案共有()A. 96种B. 48种C. 36种D. 24种6.(2018·河北省·历年真题)函数f(x)=x2−1e|x|的图象大致为()A. B.C. D.7.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知双曲线C：x2−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点G位于第一象限的双曲线C上，∠F1GF2的角平分线GP与x轴的交点为P(√33,0)，则∠F1GF2=()A. π6B. π4C. π3D. π28.(2021·浙江省杭州市·月考试卷)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N∗，都有S n≥S3，则a6a5的值不可能为()A. 2B. 53C. 32D. 439.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知a=log1213，b=(1312)1413，c=log1314，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b10.(2021·安徽省合肥市·模拟题)设函数f(x)=xsinx+cosx，则下列四个结论中正确的是()①函数f(x)是偶函数；②曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=1；③当x∈[π2,2π]时，f(x)单调递减；④关于x的方程xsinx+cosx=a在x∈[0,2π]只有两个实根，则实数a的取值范围为[−3π2,π2 ]．A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ③④11.(2021·云南省·其他类型)在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AD⊥AB，AB=2√3，AD=6，BC=4，PA=PB=PD=4√3，则三棱锥P−BCD外接球的表面积为()A. 60πB. 40πC. 100πD. 80π12.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知不等式x≥mlnx+n(m,n∈R，且m≠0)对任意实数x>0成立，则n−2m的最大值为()A. −2ln2B. −ln2C. ln2−1D. ln2−2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·安徽省合肥市·模拟题)若x，y满足约束条件{x≥0y≥0x+y≤32x+y≤4，则z=3x+2y的最大值是______ ．14.(2019·四川省·期末考试)已知(1−2x)n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为______．15.(2021·安徽省合肥市·模拟题)过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线AB，DE分别与抛物线C交于A，B和D，E，若直线AB，DE的斜率分别为k1，k2，且满足k12+k22=4，则|AB|+|DE|的最小值为______ ．16.(2021·安徽省·单元测试)我们把一系列向量a i⃗⃗⃗ (i=1,2，…，n)按次序排列成一列，称之为向量列，记作{a i⃗⃗⃗ }.已知向量列{a i⃗⃗⃗ }满足：a1⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，a n⃗⃗⃗⃗ =(x n,y n)=12(x n−1−y n−1,x n−1+y n−1)(n≥2)，设θn表示向量a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与a n⃗⃗⃗⃗ 的夹角，若b n=n2πθn，对于任意正整数n，不等式√1b n+1+√1b n+2+⋯+√1b2n>12log n(1−2a)恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省合肥市·模拟题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(√3cosC+sinC)=√3b．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)求cos2B+cos2C的最小值．18.(2021·安徽省合肥市·模拟题)如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PCD为等边三角形且垂直底面ABCD，∠ABC=∠BAD=AD．90°，AB=BC=12(Ⅰ)证明：PA=PB；(Ⅱ)求二面角A−PB−C的余弦值．19.(2021·安徽省合肥市·模拟题)高一某学生参加学校的数学竞赛选拔考试，本次考试共有12道选择题组成.得分规定：做对一道题得1分，做错一道题得–1分，不做得0分，9分及格.该学生的目标至少得9分，且确定该学生前8道题的答案均正确，而剩下的4道题每道题做对的概率均为3．4(Ⅰ)若该学生12道题全都做，求得分X的分布列和数学期望；(Ⅱ)该学生做多少道题时及格的概率最大？20.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知函数f(x)=lnx−ax−2．ax(Ⅰ)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若g(x)=f(x)+x2+2ax有两个极值点分别为x1，x2(x1<x2)，求2g(x1)−g(x2)的最小值．21.(2021·安徽省合肥市·模拟题)如图，已知点F1(−2,0)，F2(2,0)，以线段F2G为直径的圆内切于圆O：x2+y2=8，点G的轨迹为E．(Ⅰ)求点G的轨迹E的方程；(Ⅱ)轨迹E与y轴正半轴交于点A，是否存在直线l与轨迹E交于M，N两点，使得点F2为△AMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22.(2021·安徽省合肥市·模拟题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点M(2,π2)与直线θ=5π6(ρ=R)垂直曲线C的极坐标方程为ρ=tanθ4cosθ．(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；(Ⅱ)若1与曲线C交于点A，B，求1|MA|+1|MB|的值．23.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m.若实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=m，求a+2b+ 3c的最大值．答案和解析1.【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】解：由题意可得，−x2+2x+3≥0，所以x2−2x−3≤0，所以(x−3)(x+1)≤0，可得−1≤x≤3，所以M=[−1,3]，由题意得，y=1−√x≤1，所以N=(−∞,1]，则M∩N=[−1,1]．故选：A．先利用一元二次不等式与函数定义域和值域的解法求出集合M，N，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的模、共轭复数、复数的概念、复数的四则运算【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，属于基础题．利用复数的运算法则可得：复数z=21−i=1+i，进而得出|z|，z2，z，z的虚部，即可得到答案．【解答】解：复数z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i．∴|z|=√12+12=√2．z2=(1+i)2=2i，z=1−i，z的虚部为1．综上可知：②正确．故选：B．3.【答案】D【知识点】向量的概念及几何表示【解析】解：由题意| b⃗⃗⃗ |=±√2|a⃗|，所以|√2a⃗+b⃗ |=|2√2 a⃗⃗⃗ |=2√2|a⃗|=2√2，或|√2a⃗+b⃗ |=0．故选：D．由题意可得| b⃗⃗⃗ |=±√2|a⃗|，代入即可求解．本题考查向量的表示以及模长计算，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】C【知识点】解三角形【解析】解：在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC =AC2+AC2−(√5−12AC)22⋅AC⋅AC=1+√54=cos36°，sin126°=sin(90°+36°)=cos36°=1+√54．故选：C．首先在△ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC的值，然后结合诱导公式即可确定sin126°的值．本题主要考查余弦定理的应用，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．5.【答案】B【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：根据题意，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、日；中、韩；日、韩的三组，三组中，中国、日本、韩国的乒乓球裁判员各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，则不同的安排方案有A22A22A22A33=2×2×2×6=48种；故选：B．根据题意，先分析6个裁判的分组情况，再进行全排列，计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：因为f(−x)=(−x)2−1e|−x|=x2−1e|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除选项A和B；当x=2时，f(2)=22−1e2<1，排除选项C，故选：D．先根据函数奇偶性的概念可判断出函数y为偶函数，于是排除选项A和B；再对比选项C和D，不妨计算x=2时的函数值y即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由题意F1(−√3,0)，F2(√3,0)，P(√33,0)，即|F1P|=2|F2P|，由角平分线定理得，|F1G|=2|F2G|，又|F1G|−|F2G|=2，故|F1G|=2|F2G|=4，结合|F1F2|=2√3，三角形是直角三角形，所以∠F1GF2=π3．故选：C．求出双曲线的焦点坐标，推出|F1P|=2|F2P|，利用角平分线定理得，|F1G|=2|F2G|，然后求解结果即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，是基础题．8.【答案】D【知识点】数列的函数特征、等差数列的求和【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．由等差数数列前n项和公式推导出−3d≤a1≤−2d，即可求解．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N∗，都有S n≥S3，由等差数列前n项和的函数性可知：∴{S 2≥S 3S 4≥S 3, ∴{2a 1+d ≥3a 1+3d 4a 1+6d ≥3a 1+3d, 得−3d ≤a 1≤−2d ，当a 6a 5=a 1+5da 1+4d =2时，a 1=−3d.成立； 当a 6a 5=a 1+5d a 1+4d =53时，a 1=−52d.成立； 当a 6a 5=a 1+5d a 1+4d =32时，a 1=−2d.成立； 当a 6a 5=a 1+5d a 1+4d =43时，a 1=−d.不成立． ∴a6a 5的值不可能为43．故选：D ．9.【答案】C【知识点】对数函数及其性质【解析】解：由对数换底公式化简可得a −c =log 1213−log 1314=lg13lg12−lg14lg13=lg 213−lg12⋅lg14lg12⋅lg13，由基本不等式可知lg12⋅lg14<[12(lg12+lg14)]2，代入上式可得lg 213−lg12⋅lg14lg12⋅lg13>lg 213−[12(lg12+lg14)]2lg12⋅lg13lg 213−(12lg168)2lg12⋅lg13=(lg13+12lg168)⋅(lg13−12lg168)lg12⋅lg13，=(lg13+lg √168)⋅(lg13−lg √168)lg12⋅lg13>0，所以a >c ， b =(1312)1413>1312=log 12121312，f(x)=lnx x在(e,+∞)上单凋递减，ln1212>ln1313，13ln12>12ln13，1213>1312，121312>13，1312>log 1213，所以b >a ，综上可知b >a >c ． 故选：C ．由对数换底公式化简可得a −c =log 1213−log 1314=lg13lg12−lg14lg13=lg 213−lg12⋅lg14lg12⋅lg13，结合基本不等式性质，可得a >c ，构造函数f(x)=lnx x，结合其单调性，可得b >a ，即可求解．本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】A【知识点】导数的几何意义、命题及其关系、利用导数研究函数的单调性【解析】解：对①，因为x∈R，f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，所以①正确；对②，f′(x)=sinx+xcosx−sinx=xcosx，f′(0)=0，f(0)=1，故曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=1，所以②正确；对③，x∈[π2,3π2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以③错误；对④，由上表当x∈[0,2π]时，f(x)只有两个实根，则a∈[−3π2,1)∪(1,π2]，所以④错误．故选：A．利用函数的奇偶性定义判断①；求出函数的切线方程判断②；利用导函数的符号判断函数f(x)单调性判断③；利用函数的导数求解函数的极值，判断④．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，命题的真假的判断，是难题．11.【答案】D【知识点】线面垂直的判定、球的表面积和体积【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的表面积计算问题，也考查了空间想象与运算求解能力，是中档题．取AD的两个三等分点O1，E，连接BD，O1C，CE，设BD∩O1C=H，连接PH，AH，证明O1是△BCD的外接圆的圆心，且PH⊥平面ABCD；设O为三棱锥P−BCD外接球的球心，连接OO1，OP，OD，过O作OF⊥PH，垂足为F，求出外接球的半径R，即可求得三棱锥P−BCD外接球的表面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：取AD的两个三等分点O1，E，连接BD，O1C，CE，BD∩O1C=H，连接PH，AH；由题意可得AH=BH=DH=12×√12+36=2√3，则O1B=O1C=O1D=4，则O1是△BCD的外接圆的圆心．因为PA=PB=PD=4√3，所以PH⊥平面ABCD，且PH=√(4√3)2−(2√3)2=6．设O为三棱锥P−BCD外接球的球心，连接OO1，OP，OD，过O作OF⊥PH，垂足为F，则外接球的半径R满足R2=OO12+42=(6−OO1)2+O1H2，设OO1=x，则x2+16=(6−x)2+4，解得x=2，从而R2=20，故三棱锥P−BCD外接球的表面积为4πR2=80π．故选：D．12.【答案】B【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】解：由题意得x−mlnx≥n成立，令f(x)=x−mlnx，则f′(x)=x−mx(x>0)，若m<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x→0+时f(x)→−∞，不合题意；若m>0，当x∈(0,m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)最小值为f(m)．所以f(m)=m−mlnm≥n，所以n−2m ≤m−mlnm−2m=1−lnm−2m(m>0)．令g(x)=1−lnx−2x (x>0)，则g′(x)=−1x+2x2=−x+2x2(x>0)，当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)≤g(2)=−ln2， 所以1−lnm −2m ≤−ln2，即n−2m的最大值为−ln2．故选：B ．由题意得x −mlnx ≥n 成立，令f(x)=x −mlnx ，f′(x)=x−m x(x >0)，对m 分类讨论，若m <0，不合题意；若m >0，利用导数研究函数的单调性可得f(x)最小值为f(m)． 由f(m)=m −mlnm ≥n ，可得n−2m≤m−mlnm−2m=1−lnm −2m(m >0).令g(x)=1−lnx −2x(x >0)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】7【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件找出可行域如图阴影部分，联立{x +y =32x +y =4，解得A(1,2)，令z =3x +2y ，则y =−32x +12z ，作出直线y =−32x 并平移，数形结合知，当平移后的直线经过点A(1,2)时，z 取得最大值，且z max =7． 故答案为：7．由约束条件找出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】1【知识点】二项式定理的应用、二项展开式的特定项与特定项的系数 【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．由题意求得n =6，再令x =1，可得展开式的系数之和，属于中档题． 【解答】解：∵(1−2x)n 关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即C n 3最大， ∴{C n 3>C n 2C n 3>C n4． ∴解得5<n <7，再根据n ∈N ，可得n =6， ∴令x =1可得展开式的系数之和为(1−2)6=1， 故答案为1．15.【答案】12【知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系【解析】解：抛物线的焦点坐标(1,0)，直线AB 的方程：y =k 1(x −1)，代入抛物线方程可得k 12x 2+(−2k 12−4)x +k 12=0，x 1+x 2=2+4k 12，所以|AB|=x 1+x 2+P ，可得|AB|=4(1+1k 12)，同理可得|DE|=4(1+1k 22)，k 12+k 22=4，所以|AB|+|DE|=4(1+1k 12)+4(1+1k 22)=8+4(1k 12+1k 22)=8+(1k 12+1k 22)(k 12+k 22)≥12，当且仅当k 12=k 22=2时，等号成立．故答案为：12．求出直线方程与抛物线联立，求解弦长，然后求解|AB|+|DE|的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】(0,√2−1)【知识点】数列综合、向量的夹角、向量的数量积【解析】解：cosθn =a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a n⃗⃗⃗⃗⃗ |a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||a n⃗⃗⃗⃗⃗ |=(x ,y )⋅(12(x −y ),12(x +y ))√x n−1+y n−1√[12(x n−1−y n−1)]2+[12(x n−2+y n−1)]2=12x 2+12y 2√x n−1+y n−1√12x n−1+12y n−1=√22，所以θn =π4，故b n =n24，√1bn+1+√1bn+2+⋯+√1b2n=2n+1+2n+2+⋯+22n ，令f(n)=2n+1+2n+2+⋯+22n ，则f(n +1)−f(n)=(2n+2+2n+3+⋯+22(n+1))−(2n+1+2n+2+⋯+22n )=22n+1−22n+2>0，所以f(n)单调递增，所以f(n)min =f(1)=1，则1>12log n (1−2a)， 因为1−2a >0，所以0<a <12，则1−2a >a 2， 解得−1−√2<a <−1+√2， 综上所述，a ∈(0,√2−1)． 故答案为：(0,√2−1)．运用向量的夹角公式，可得θn =π4，b n =n24，令f(n)=2n+1+2n+2+⋯+22n ，判断f(n)的单调性，求得f(n)的最小值，可得关于a 的不等式，解不等式可得所求范围． 本题考查数列与向量的综合，考查数列的单调性和不等式恒成立问题，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为a(√3cosC +sinC)=√3b ，所以sinA(√3cosC +sinC)=√3sinB ． 即sinA(√3cosC +sinC)=√3sin(A +C)，所以√3sinAcosC +sinAsinC =√3sinAcosC +√3cosAsinC ， 得sinAsinC =√3cosAsinC ，因为0<C <π，所以sinC >0，得sinA =√3cosA ． 又因为0<A <π，所以tanA =√3，所以A =π3． (Ⅱ)因为A =π3，所以B +C =2π3，因为cos 2B +cos 2C =1+cos2B2+1+cos2C2=1+12[cos2B +cos(4π3−2B)]=1+12cos(2B +π3)． 因为0<B <2π3，所以于π3<2B +π3<5π3，得−1≤cos(2B +π3)<12．所以12≤1+12cos(2B+π3)<54．所以当A=B=C=π3=时，cos2B+cos2C的最小值为12．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(I)由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简可求tan A，进而可求A；(II)由已知结合二倍角公式及和差角及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角及辅助角公式，二倍角公式，还考查了同角基本关系及余弦函数的性质，属于中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：取AB，CD的中点E，F，连结PE，EF，PF，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=12AD，所以EF为直角梯形ABCD的中位线，所以EF⊥AB．因为△PCD为等边三角形，F为CD的中点，所以PF⊥CD．因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PF⊂平面PCD，所以PE⊥平面ABCD．因为AB⊂平面ABCD，所以PF⊥AB，因为PF∩EF=E，PF⊂平面PEF，EF∈平面PEF，所以AB⊥平面PEF，因为PE⊂平面PEF，所以AB⊥PE，因为E为AB的中点，所以PA=PB．(Ⅱ)解：以F点为坐标原点，过F点在平面ABCD作y轴垂直EF，建立空间直角坐标系F−xyz．设AB=2，由题设可得A(3,−1,0)，B(3,1，0)，C(1,1，0)，P(0,0,√6)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,√6)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√6)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)， 设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面APB 的法向量，{m ⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +y +√6z =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，可取m⃗⃗⃗ =(√6,0,3)，设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)是平面CPB 的法向量，{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +√6z =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0，可取n ⃗ =(0,√6,1)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√10535， 所以二面角A −PB −C 的余弦值为−√10535．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(Ⅰ)取AB ，CD 的中点E ，F ，连结PE ，EF ，PF ，证明EF ⊥AB.推出PF ⊥CD.证明PE ⊥平面ABCD.得到PF ⊥AB ，即可证明AB ⊥平面PEF ，然后证明PA =PB ． (Ⅱ)以F 点为坐标原点，过F 点在平面ABCD 作y 轴垂直EF ，建立空间直角坐标系F −xyz.求出平面APB 的法向量，平面CPB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)X 可能取值为4、6、8、10、12．P(X =4)=C 40(34)0(14)4=1256； P(X =6)=C 41(34)1(14)3=364； P(X =8)=C 42(34)2(14)2=27128； P(X =10)=C 43(34)3(14)1=2764； P(X =12)=C 44(34)4(14)0=81256．E(X)=4×1256+6×364+8×27108+10×2764+12×81256=10． (Ⅱ)再做1道题及格的概率为p 1=34； 再做2道题及格的概率为p 2=(34)2=916；再做3道题及格的概率为p 3=(34)3+C 32(34)2⋅14=5464=2732；再做4道题及格的概率为p 3=(34)4+C 43(34)3⋅14=189256． 所以该学生解答11道题时及格的概率最大．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)X 可能取值为4、6、8、10、12.求出概率得到分布列，然后求解期望． (Ⅱ)求出再做1道题及格的概率，再做2道题及格的概率，再做3道题及格的概率，再做4道题及格的概率，即可判断该学生解答11道题时及格的概率最大．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=lnx −ax −2ax ，所以f′(x)=1x−a +2ax 2=−a 2x 2+ax+2ax 2=−a 2(x−2a )(x+1a)ax 2，由f(x)=0得x =2a 或x =−1a ．①当a >0时，因为f(1)=−a −2a <0，不满足题意，②当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递减，在(−1a ,+∞)上单调递增， 于是f(x)min =f(−1a )=ln(−1a )+1+2≥0，解得−e 3≤a <0， 所以a 的取值范围为[−e 3,0)．(Ⅱ)函数g(x)=lnx +x 2−ax ，定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x+2x −a =2x 2−ax+1x，因为x 1，x 2是函数g(x)的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2−ax +1=0的两个不等正根，则有△=a 2−8>0，x 1+x 2=a2，x 1x 2=12，得a >2√2，对称轴a4>√22，故x 1∈(0,√22)，x 2∈(√22,+∞)，且有ax 1=2x 12+1，ax 2=2x 22+1，2g(x 1)−g(x 2)=2(lnx 1+x 12−ax 1)−(lnx 2+x 22−ax 2) =2(lnx 1+x 12−2x 12−1)−(lnx 2+x 22−2x 22−1) =−2x 12+2lnx 1−lnx 2+x 22−1 =x 22−2(12x 2)2+2ln 12x 2−lnx 2−1 =x 22−12x 22−32lnx 22−2ln2−1，令t =x 22，则t ∈(12,+∞)，ℎ(t)=t −12t −32lnt −2ln2−1，ℎ′(t)=1+12t2−32t=(2t−1)(t−1)2t 2，当t ∈(12,1)时，ℎ(t)单调递减，当t ∈(1,+∞)时，ℎ(t)单调递增， 所以ℎ(t)min =ℎ(1)=−1+4ln22，所以2g(x 1)−g(x 2)的最小值为−1+4ln22．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数f(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可；(Ⅱ)根据g(x)的极值点的个数，求出a 的范围，求出2g(x 1)−g(x 2)的解析式，求导，根据函数的单调性求出函数的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)记线段F 2G 的中点为H ，由于线段F 1F 2的中点为O ，连接OH ，则OH//F 1G ，|OH|=12|F 1G|，设⊙H 的半径为r ，⊙H 与⊙O 内切于Q ，连接HQ ， 则O ，H ，Q 三点共线，于是|GF 1|+|GF 2|=2(|HO|+|HF 2|)=2(|HO|+||HQ|)=2|OQ|=4√2． 又|F 1F 2|=4，根据椭圆的定义可得E 的方程为x 28+y 24=1．(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l ，由A(0,2)，F 2(2,0)，知直线AF 2斜率为−1， 于是由AF 2⊥MN 知直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y =x +m ， 由{x 28+y 24=1y =x +m，消去y 得3x 2+4mx +2m 2−8=0，设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据韦达定理得x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，由AM ⊥NF 2知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−2)，NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x 2,−y 2)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1(2−x 2)−(y 1−2)y 2=x 1(2−x 2)−(x 1+m −2)(x 2+m)=−2x 1x 2+(2−m)(x 1+x 2)−m(m −2)=−2(2m 2−83)+(2−m)(−4m 3)−m(m −2)=0，解得m =2(舍)或m =−83，因此所求得直线l 的方程为y =x −83．【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】(Ⅰ)记线段F 2G 的中点为H ，由于线段F 1F 2的中点为O ，连接OH ，设⊙H 的半径为r ，⊙H 与⊙O 内切于Q ，连接HQ ，说明O ，H ，Q 三点共线，然后利用椭圆定义求解椭圆方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =x +m ，联立直线与椭圆方程，设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据韦达定理，结合AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得m ，然后求解直线l 的方程．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为点M(2,π2)在直角坐标系中为(0,2)，直线θ=5π6在直角坐标系中为y =−√33x ，所以直线l 的方程为y =√3x +2， 所以曲线C 的普通方程为y =4x 2．因为ρ=tanθ4cosθ，即4ρcosθ=ρsinθρcosθ,ρcosθ≠0， 所以y =4x 2(x ≠0)．(Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =12t,y =2+√32t(t 为参数)， 代入y =4x 2得，2t 2−√3t −4=0，则t 1+t 2=√32，t 1t 2=−2，1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√354．【知识点】简单曲线的极坐标方程第21页，共21页 【解析】(Ⅰ)利用极坐标与普通方程的互化，求解普通方程即可．(Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =12t,y =2+√32t (t 为参数)，利用参数的几何意义，转化求解表达式的值即可．本题考查极坐标与普通方程的互化，参数的几何意义，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)①当x ≤−32时，−2x +1−2x −3≤6，解得−2≤x ≤−32； ②当−32<x <12时，−2x +1+2x +3≤6，解得−32<x <12；③当x ≥12时，2x −1+2x +3≤6，解得12≤x ≤1，综上，原不等式的解集为{x|−2≤x ≤1}．(Ⅱ)f(x)=|2x −1|+|2x +3|≥|(2x −1)−(2x −3)|=4，当且仅当(2x −1)(2x +3)≤0，即−32≤x ≤12时等号成立，所以m =4．因为a 2+2b 2+3c 2=4，利用柯西不等式得[a 2+(√2b)2+(√3c)2]⋅[12+(√2)2+(√3)2]≥(a +2b +3c)2， 所以a +2b +3c ≤2√6，当且仅当a =b =c =√63时，a +2b +3c 的最大值为2√6．【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(Ⅰ)去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．(Ⅱ)利用绝对值的几何意义，推出最小值推出：a 2+2b 2+3c 2=4，然后利用柯西不等式求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，是中档题．。
2021届安徽省重点中学高三上学期数学理模拟试题及答案详细解析
3
3
3
故选 C．
4．B 5．D
【解析】由
a3-a5+a8＝6
得：a6＝6，
S11
11(a1 2
a11 )
66
，故选
B．
【解析】直线 l：kx-y-k+1＝0 恒过圆 C：(x-1)2+(y-2)2＝5 上的一定点(3，1)，故选 D．
6．C 【解析】该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱．计算可得V 8 π ，故选 C． 34
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
6．如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为 （ ）
A． 8 π B．8-π C． 8 π D． 8 π
4
34
3
7．曲线 y＝2x2-4x-1 的一条切线 l 与直线 x+4y-3＝0 垂直，则切线 l 的方程为 （ ）
7．A 【解析】与直线 x+4y-8＝0 垂直的直线 l 的斜率为 4，y′＝4x-4，所以，切点为(2，-1)．切
线为 y+1＝4(x-2)，即 4x-y-9＝0．故选 A．
8．C 【解析】f(x)是奇函数，排除 B、D，当 0 x π 时，f(x)＞0，排除 A．故选 C． 4
9．D
【解析】设
x 2y 4 0 2．已知 x，y 满足 x y 2 0 ，则 z＝y-x 的最小值是 （ ）
y 0
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．函数
f
(x)
cos
x
2π 3
在[0，π]的单调递增区间是
（
）
A．
0 ,
2π 3
B．
π 3
,
2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
2021年高三上学期六调理数试题 含答案
15.已知满足 ，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得．
16.已知三棱锥平面，其中，，四点均在球的表面上，则球的表面积为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
如图，在中，是边上一点．
（1）求中，是边上一点；
（2）若的面积为4，为锐角，求的长．
18. （本小题满分12分）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线及所围成的阴影部分的面积
①先产生两组的增均匀随机数，；
②产生个点，并统计满足条件的点的个数，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当时，，则据此可估计的值为．（保留小数点后三位）
2
3
，或，则．
20.解：（1）设，
则切线的方程为，且，
所以，
，所以，
所以为等腰三角形，且为的中点，
所以，因为，
所以，所以，得，
所以抛物线方程为；
（2）由已知，得的坐标分别为，设，
的中垂线方程为，①
的中垂线方程为，②
联立①②，解得圆心坐标为：，
由，得，
因为，所以，
所以点坐标为．
2021届安徽省合肥市高三上学期期初调研性检测数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省合肥市高三上学期期初调研性检测数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A B C ．D ．3【答案】B【解析】首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.【详解】因为1zi -=，所以===z i .所以==z 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，同时考查了复数的模长，属于简单题.2．若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ）A ．(1,3]B ．[1,3]C ．[1,1)-D ．[1,)-+∞【答案】A【解析】化简集合B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3．若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A ．92-B ．4-C ．3-D ．1【答案】D【解析】根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值. 【详解】由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1， 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A、B型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（）A．估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差【答案】D【解析】根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C选项的正误；利用排除法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由茎叶图可知，A型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B型口罩的合格率为1801320115001500-=，所以，A型口罩的合格率小于B型口罩的合格率，A选项正确；对于B选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B选项正确；对于C选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C选项正确；由排除法可知D选项不正确.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查众数、中位数、以及方差的大小比较，考查数据分析能力，属于基础题.5．设数列{}n a的前n项和为n S，若3122n nS a=-，则5S=（）A．81 B．121 C．243 D．364【答案】B【解析】利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.【详解】31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B. 【点睛】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6．函数cos ()x xx xf x e e-=+在[],ππ-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.【详解】cos (),[,]x x x xf x x e e ππ-=∈-+定义域关于原点对称，cos ()(),()x xx xf x f x f x e e---==-∴+是奇函数， 图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质是解题的关键，属于基础题.7．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【解析】先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可. 【详解】4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C . 【点睛】本题主要考查排列，间接法有时更容易求出结果.8．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由图可知，0,18822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，())4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案 【详解】解：由图可知，0,18822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-，所以())4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 故选：D 【点睛】此题考查由三角函数的部分图像求解析式，考查三角函数的图像和性质，属于中档题 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．16C ．83D ．163【答案】C【解析】根据三视图可知原几何体为一个三棱锥A BCD -，根据条件求出体积即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C . 【点睛】本题考查三视图、多面体体积的求解问题，关键是能够找出原来几何体进行求解. 10．在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-； ②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=；④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C【解析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=，AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率. 【详解】设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-， 2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c aby c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率为求解，解题的关键就是求出点N 的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ） A ．(),0-∞ B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x x b x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.【详解】()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->，则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，①当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞. 由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x x b x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用三次函数的零点个数求代数式的取值范围，将代数式转化为函数是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于难题.二、填空题13．若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假【解析】先写出p ⌝，再判断真假即可. 【详解】命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题. 【点睛】本题考查命题的否定及判断真假，属于基础题.14．若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．【答案】0x =或4330x y --=【解析】先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F-，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F-，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1dr ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=，圆心到直线的距离为1d r ===，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --= 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．【答案】>【解析】对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 【详解】由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：> 【点睛】此题考查导函数，三角函数的单调性，属于中档题.16．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________．【答案】18【解析】连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
2021年高三上学期12月阶段练习数学(理)试题含答案
2021年高三上学期12月阶段练习数学（理）试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .2．如果复数的实部与虚部互为相反数,则= ▲ .3．已知直线与平行，则实数的值为 ▲ ．4．函数在（0，2）内的单调增区间为 ▲ ．5．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 ▲ ．6．圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．8．设双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线上一点，且，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．已知p ：1＜＜8；q ：不等式恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数的取值范围 ▲ . 10．已知偶函数满足：，且当时，，其图象与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，则等于 ▲ ．11． △ABC 中，AB 边上的中线CD 等于2，动点P 满足AP →＝12t ·AB →＋(1－t)·AC →（0≤t ≤1），则(PA →＋PB →)·PC →的取值范围为 ▲ ．12．从直线上一点P 向圆C ：引切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的周长最小值为 ▲ ．13．已知函数，若函数在区间[－1,0]上是单调减函数，则的最小值为 ▲ ．14．已知实数满足:，这个方程确定的函数为，若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ． (1) 求tan2A 的值；(2) 若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S ．16．如图，在三棱柱中，已知，，点，分别为，的中点．求证：(1) ∥平面； (2) ⊥平面．17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB＝θ，tanθ＝t. (1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?18．已知椭圆O 的中心在原点，长轴在轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A 点的动直线交椭圆O 于P 、Q 两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点A 、P 、Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．19．设数列的前项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N *.(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 请判断)2)(1(2)()(122121++⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n 和 的大小关系,并证明你的结论．20．已知函数， (为常数)．(1) 函数的图象在点(1，)处的切线与函数的图象相切，求实数的值； (2) 设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围； (3) 若，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．附加题（时间30分钟，总分40分）1．设是逆时针旋转的旋转变换，是以直线：为轴的反射变换，求先进行变换，后进行变换的复合变换矩阵.2．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．3．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．(1) 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2) 每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．4．已知定点和直线,过定点与直线相切的动圆的圆心为点.动点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的标准方程;(2)点是曲线上的一个动点, 曲线在点处的切线为,过点且与直线垂直的直线与曲线的另一个交点为,求线段的取值范围.高三阶段考试(数学试题)一卷1． {－1,0,1,2}; 2． 1; 3． 1; 4． ; 5． 233; 6． (x ±1)2＋(y-12)2=17． 10; 8． ; 9． m ≤4; 10． 4; 11． [－2,0]; 12． 42＋2 13． 95; 14．15． 解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分) (2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分)∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分)由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC ·sinB ＝5，S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分)16． 证明：(1) 取AC 中点M ，连DM ，EM ，∵D 为AB 的中点，∴ DM ∥BC ，∵ DM 平面BB 1C 1C ，BC 平面BB 1C 1C ， ∴ DM ∥平面BB 1C 1C.同理可证EM ∥平面BB 1C 1C.又DM ∩EM ＝M ，∴ 平面DEM ∥平面BB 1C 1C. ∵ DE 平面DEM ，∴ DE ∥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 在△AA 1B 中，因为AB ＝2AA 1，∠BAA 1＝60°， 设AA 1＝1，则AB ＝2，由余弦定理得A 1B ＝ 3.故AA 21＋A 1B 2＝AB 2，∴ AA 1⊥A 1B, 所以BB 1 ⊥A 1B (10分)同理可得BB 1⊥A 1C. 又A 1B ∩A 1C ＝A 1，∴BB 1⊥平面A 1BC. (14分) 17． 解：(1) BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t.(3分) ∴ PQ ＝CP 2＋CQ 2＝(1－t )2＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2＝1＋t 21＋t.(6分) ∴ l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t 21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2.(9分)(2) S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12(1－t)－122t 1＋t ＝12(1＋t)＋11＋t －1(12分)∵ 1＋t ＞0，∴ S ≥212(1＋t )11＋t－1＝2－1.当t ＝2－1时取等号． 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为(2－1)平方百米．(14分)18． (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分)∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，①∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分) ∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分)代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍)∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程：54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2mm ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F，(11分)圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分)(以下相同)19． (1) 解：∵ a 1＝a 2＝1，∴ b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，∴ d ＝b 2－b 1＝4.(3分)(2) 解：∵ 数列{b n }是等差数列，∴ b n ＝4n ，∴ nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4. ① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4. ② ①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴ a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·nn －1.(7分)则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 将各式相乘得a n a 1＝12n －1·n.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n2n －1.(9分)(3)判断:小于.(10分)证明：∵ S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ·n ＋2n a n≤S n ＋n ＋2n a n2＝2. 则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.(13分)∴ (a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2). ③(15分)∵ n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n， ∴ ③式等号不成立． 则(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).(16分)20． (1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1±2.(4分) (2) 因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x ，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，(－b )2－4＞0，解得b ＞2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．(8分)(3) 不妨设x 1＞x 2，因为函数f(x)＝lnx 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x 1)＞f(x 2)，函数g(x)图象的对称轴为x ＝b ，且b ＞1.(ⅰ) 当b ≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x 1)＜g(x 2)， 所以|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－f(x 2)＞g(x 2)－g(x 1)， 即f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1,2]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2. 又b ≥2，所以b ＝2；(10分)(ⅱ) 当1＜b ＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．① 当1≤x 2＜x 1≤b 时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)， 等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1，b]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b]上恒成立，所以b ≤2.又1＜b ＜2，所以1＜b ＜2；(12分)② 当b ≤x 2＜x 1≤2时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－g(x 1)＞f(x 2)－g(x 2)， 等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x)＝1x－x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32. 故32≤b ＜2.(14分)③ 当1≤x 2＜b ＜x 1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(t 1)－f(x 2)|＞|g(t 1)－g(x 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立； 或存在t 2∈[b,2]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(x 1)－f(t 2)|＞|g(x 1)－g(t 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立． 因此，32≤b ＜2.综上，b 的取值范围是32≤b ≤2.(16分)附加题（时间30分钟，总分40分）1．解：对应的变换矩阵为：， …………………3分 对应的变换矩阵为：， ………………………6分 先进行变换，后进行变换的复合变换矩阵是：． ……………………………10分2．解：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是， ………………………………2分 又圆C 经过点，所以圆的半径，……7分从而圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是．…………………10分3． 解：(1) 随机变量---------(3分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(5分) (2) 记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A ， 则P(A)＝C 33⎝⎛⎭⎫4103＋C 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4102·510＋⎝⎛⎭⎫4102·110＋C 13⎝⎛⎭⎫4101·⎝⎛⎭⎫1102＝91250.所以3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为91250.(10分)4．解:(1)由抛物线定义知曲线的标准方程: -------------4分(2)设,,,所以的斜率为 直线:与联立得:由两根之和得:,所以---------------------6分22222)2)818(2()818(a aa a a a PQ -++-+-== 令, 则 令, 得列表判断知: -----------------------------1032429 7EAD 纭35108 8924 褤24476 5F9C 徜//33853 843D 落29834 748A 璊e31982 7CEE 糮(35192 8978 襸。
合肥六中2021届高三上学期数学(文)第十四次限时练(2020年12月份)
合肥六中2021届高三上学期数学（文）第十四次限时练一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 已知集合，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为( )A. m ⩾3B. 2⩽m ⩽3C. m ⩾2D. m ⩽32. 点M 的直角坐标是(−1,√3)，则点M 的极坐标为( )A. (2,π3)B. (2,−π3)C. (2,2π3)D. (2,2kπ+π3)(k ∈Z)3. 已知复数z =a−i1+i (a ∈R)在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. x −y +1=0B. x +y +1=0C. x −y +2=0D. x +y −1=04. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于2√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 24+y 2=1B. x 26+y 23=1C. x 24+y 22=1D. x 24+y 23=15. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +3)=f(x)，且当x ∈(1,3]时，f(x)=log 4x ，则f(2021)=( )A.0B. 12C. log 43D. 16. 若∃x 0∈[12,2]，使得2x 02−λx 0+1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A. (−∞,2√2]B. (2√2,3]C. [2√2,92]D. {3}7. 如图所示，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD为矩形，PA =AD =2AB =2，M 为PD 的中点，则CD 与平面ACM 所成角的余弦值为( )A. √33B. √63C. √32D. 128. 已知直线l 的参数方程为：{x =2ty =1+4t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2sinθ，则直线l 与圆C 的位置关系为( )A. 相切B. 相离C. 相交D. 无法确定9. 已知ΔABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且|AC |sinB −|AB |sinc =20， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 20B. 10√2C. 10D. 10√310. 已知数列{a n }满足a 1=31，a n+1−a nn=2，则ann 的最小值为( )．A. 212B. 515C. 535D. 61611. 已知球O 是三棱锥P −ABC 的外接球，PA =AB =PB =AC =1，CP =√2，点D是PB 的中点，且CD =√72，则球O 的表面积为 ( )A. 7π3B. 7π6C. 7√21π27 D. 7√21π5412. 函数f(x)=(kx −2)lnx ，g(x)=2lnx −x ，若f(x)<g(x)在(1,+∞)上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为( )A. (1−12ln2,43−1ln3] B. [1−12ln2,43−1ln3) C. [43−1ln3,2−1ln2)D. (43−1ln3,2−1ln2]二、填空题（本大题共4小题，共16分）13. 计算：(12)log 213+(−27)23−log √39=________．14. 数列112，314，518，7116，…的前n 项和为S n ，则S n =__________．15. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最小值是________．16. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√2，设a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，向量a⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值为______． 三、解答题（本大题共4小题，第17、18题10分，19、20题12分）17. 已知向量a ⃗ =(sinx,−√3)，b ⃗ =(1,cosx )，且函数f (x )=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1) 若a ⃗ ⊥b⃗ ，求tan2x 的值； (2) 在ABC ∆中，AC =2且f (B )=0，求ABC ∆面积的最大值．18.在如图所示的多面体中，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DM⊥平面ABCD，AN//DM，DM=2，AN=1．(1)证明：AC//平面BMN；(2) 求多面体BCDM的体积V1与多面体ABDMN的体积V2的比．19.已知函数f(x)=(12x2−ax)ln x−14x2+ax(a为常数)．（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若存在x0≥1使得f(x0)<0，求a的取值范围．20.已知圆M：x2+y2+2√2y−10=0和点N(0,√2)，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x=ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1⋅k2=9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．合肥六中2021届高三上学期数学（文）第14次限时练（参考答案）一、选择题：题号123456789101112答案D C B A B A A C C D A B二、填空题：13. 【答案】814.【答案】n2−12n+115.【答案】4 16.【答案】2829三、解答题：17.解：(1) 因为f(x)=a⃗·b⃗ ，a⃗=(sinx,−√3)，b⃗ =(1,cosx)，且a⃗⊥b⃗ ，所以f(x)=a⃗⋅b⃗ =sinx−√3cosx=0，即sinx=√3cosx，所以tanx=√3，所以tan2x=2tanx1−tan2x=−√3．(2)由题可得f(x)=a⃗·b⃗ =sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，因为f(B)=0，所以2sin(B−π3)=0，又0<B<π，所以B=π3．在▵ABC中，由余弦定理可得4=a2+c2−2ac⋅12=a2+c2−ac≥ac，即ac≤4．所以S▵ABC=12acsinB≤12×4×√32=√3，当且仅当a=c=2时等号成立，故▵ABC面积的最大值为√3．18.(1) 证明：设AC与BD的交点为O，则O为BD的中点，取BM的中点P，连接PO，则PO//DM，又AN//DM，∴PO//AN．∵PO=12DM=1，AN=1，∴四边形POAN为平行四边形，则AO//PN．∵PN⊂平面BMN，AO⊄平面BMN，∴AO//平面BMN，即AC//平面BMN；(2) 解：多面体BCDM是三棱锥M−BCD，底面积S△BCD=12×2×2×sin60°=√3，∵DM⊥平面ABCD，∴DM是三棱锥M−BCD的高，∴V1=13S△BCD⋅DM=2√33．多面体ABDMN是三棱锥B−ADMN，其底面积S梯形ADMN =(1+2)×22=3，取AD中点Q，连接BQ，则BQ⊥AD，可得BQ=√3，∵DM ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ADMN ，∴平面ADMN ⊥平面ABCD ，平面ADMN ∩平面ABCD =AD ， ∴BQ ⊥平面ADMN ，则BQ 为四棱锥B −ADMN 的高． ∴V 2=13S ADMN ⋅BQ =13×3×√3=√3．∴V 1V 2=2√33√3=23．19. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，因为f′(x)=(x −a)lnx ，当a =0时，f′(e)=e ，f(e)=14e 2，切线方程为y =ex −34e 2， 令x =0，解得y =−34e 2， 令y =0，解得x =34e ， 所以S =12×34e 2×34e =932e 3； （2）若要存在x 0≥1使得f(x 0)<0， 则只需f(x)在[1,+∞)上的最小值小于0即可，当a ≤1时，f′(x)>0在(1,+∞)恒成立，函数f(x)在x =1处取得最小值， 所以f min (x)=f(1)=−14+a <0，解得a <14，当a >1时，函数f(x)在[1,a)上单调递减，在[a,+∞)上单调递增， 则当x =a 时取得极小值也是最小值，由f min (x)=f(a)=34a 2−12a 2ln a <0解得a >e 32， 综上可得：a 的取值范围是．20. 解：(1) 圆M ：x 2+y 2+2√2y −10=0的圆心为M(0,−√2)，半径为2√3， 点N(0,√2)在圆M 内，|PM|+|PN|=2√3>|MN|， 所以曲线E 是M ，N 为焦点，长轴长为2√3的椭圆，由a =√3，c =√2，得b 2=3−2=1，所以曲线E 的方程为x 2+y 23=1．(2)①A(1,0)，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 联立方程组{x =ty +mx 2+y 23=1，得(1+3t 2)y 2+6mty +3m 2−3=0，由△>0，解得m 2−1<3t 2，y1+y2=−6mt1+3t2，y1y2=3m2−31+3t2，由k1k2=9知y1y2=9(x1−1)(x2−1)=9(ty1+m−1)(ty2+m−1)=9t2y1y2+9(m−1)t(y1+y2)+9(m−1)2，且m≠1，代入化简得(9t2−1)(m+1)−18mt2+3(m−1)(1+3t2)=0，解得m=2，②S△ABC=12|y2−y1|=3√t2−11+3t2=3√t2−14+3(√t2−1)2，t2>1，=42+3√t2−1≤√34(当且仅当t2=73时取等号)．综上，△ABC面积的最大值为√34．。
安徽省合肥市合肥市六中2021届高三上学期第十三次限时练数学(理)试题(12月) Word版含答案
合肥六中2021届高三第一学期第十三次限时练数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}28xB x =>，那么集合A B =（ ）A ．()3,+∞B ．[)1,-+∞C ．[3，4]D ．(]3,42．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－4＋i D ．－4－i3．在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ）A ．1536AC AB -B ．1536AC AB -+C ．1136AC AB -+D ．1136AC AB -4．命题:p ABC ∆为锐角三角形，命题:q ABC ∆中，sin cos A B >. 则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．45B ．35C ．45- D ．356．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数()(1)sin e 12xf x x =-+在区间ππ(,)22-上的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()()123,1ln ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212nn n a a S +=，且0n a >，则100S =（ ）A ．10B ．C ．10-D ．119．已知实数a ，b ，c 满足1lg 10b a c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ． c b a >>10．若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ）． A ．23B ．43C ．2D ．411．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ）．A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦12．设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，若对于任意的x ∈R ，恒有()()20xf x f x '+<，则函数()()22x f x g x =-的零点个数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____________.14．()5212x x +-展开式中的6x 的系数为_______.15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题（本大题共4题，每小题12分，共48分）17． 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty =-+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=.(1)求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设(2,0)M -，求11MA MB-的值.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n (n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n .19．已知四棱柱-ABCD A B C D ''''中，底面ABCD 为菱形，2460AB AA BAD '==∠=,,，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点.（1）求证：BD A H '⊥；（2）求二面角D BB C '-'-的正弦值.20．已知函数()2x f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为4230x y --=()1求a ，b 的值； ()2证明：()ln f x x >．合肥六中2021届高三第一学期第十三次限时练13．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．30 15．48π16．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．试题解析：（Ⅰ）由2{x t y =-+=得)+2y x =，∴直线l0y -+=；………………………………………3分 由2sin 4cos 0ρθθ+=得22sin 4cos 0ρθρθ+=，又∵cos ,sin x y ρθρθ==， ∴曲线C 的普通方程为24y x =-.……………6分 （Ⅱ）设,A B 对应的参数为12,t t ， 将2{x ty =-+=代入24y x =-得23480t t +-=，∴121248,33t t t t +=-=-，∵直线l 的参数方程为2{x t y =-+=可化为()()1222{2x t y t =-+⨯=，∴122,2MA t MB t ==， ∴12121141612334t t MA MB t t +-==÷=.…………12分18．(1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ， 当n ∈N *时，a nn ≠0，又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．……………4分(2)解由⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列， 得a n n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ……………6分∴S n ＝1·12＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，12S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴两式相减得12S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝2－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.综上，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，S n ＝2－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ……………12分19． （1）连接',',A C AC A B BH '，，由于E 为BC 中点，且//HC AB ，故E 为AH 中点，CHE ABE CH AB ∴∆≅∆∴= 故四边形CBHA 为平行四边形, //AC BH 由于四棱柱'//'ABCD A B C D AA CC =∴''''且''AA CC =故四边形''A C AC 为平行四边形, //''//AC A C AC BH ∴由于底面ABCD 为菱形，故BD AC ⊥，且//AC BH ，BD BH ∴⊥由于''//,''A C BH A C BH =，故四边形''A C BH 为平行四边形，所以'//'BA HC 故：'A B ∴⊥平面ABCD 'A B BD ∴⊥ 又'A B ⊂平面',A BH BH ⊂平面',A BH 故BD ⊥平面',A BH 'A H ⊂平面',A BHBD A H ∴⊥'………………………………………………………………………6分（2）由（1）BH ，BD ，'BA 两两垂直，以B 为原点如图建立空间直角坐标系.(0,0,0),(3,1,0),'(3,1,23),'(3,1,23)B C D B ∴-''(0,2,0),'(3,1,23),'(0,2,23),(3,1,0)D B D B CB CB ∴==---=-=--设平面''D BB 的法向量为(,,)n x y z =，故''20'3230n D B y n D B x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩，令21x z =∴=-，故(2,0,1)n =-设平面'CBB 的法向量为(,,)m x y z =，故'2030n CB yn CB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1,1y x z ==-=，故(m =-由图像得二面角D BB C '-'-为锐角，故3cos |cos ,|||5||||D C m n m n n BB m -⋅''<>=<>=-= 故4sin 5D BB C ''-<>=-………………………………………………………12分 20．（1）31,2a b ==-；（2）见解析详解：（1）解：()()12xf x x e x a '=+++，由题意有()()012302f a f b ⎧=+=⎪⎨==-'⎪⎩，解得31,2a b ==-……………………………………………………………………4分（2）证明：（方法一）由（1）知，()232x f x xe x x =++-.设()2ln x h x xe x x x =++- 则只需证明()32h x >()()1121x h x x e x x =+++-' ()112xx e x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，设()12x g x e x =+-则()210xg x e x=+>'， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增 1412404g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，1312303g e ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭011,43x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得……………7分且当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >∴当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()0minh x h x ∴== 020000ln x x e x x x ++-，由00120x e x +-=，得0012x e x =-，()00012h x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭2000ln x x x +- 20001ln x x x =-+-，设()21ln x x x x φ=-+-，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()121x x x φ'=-- ()()211x x x +-=∴当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x φ'<，()x φ在11,43⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，∴ ()()00h x x φ=> 21133φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln 33⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 73ln392=+>， 因此()32h x >……………12分 （方法二）先证当0x ≥时，()232x f x xe x x =++- 322x ≥-，即证20x xe x x +-≥设()2x g x xe x x =+-，0x ≥则()()121xg x x e x '=++-，且()00g '=()()220x g x x e '=++>，()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，()()00g x g ''≥= ()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，则当0x ≥时，()()200x g x xe x x g =+-≥=（也可直接分析233222x xe x x x ++-≥- ⇔ 20x xe x x +-≥ ⇔ 10x e x +-≥显然成立）再证32ln 2x x -≥ 设()32ln 2h x x x =--，则()1212x h x x x ='-=-，令()0h x '=，得12x =且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增.∴ ()32ln 2h x x x =-- 11ln2022h ⎛⎫≥=-+> ⎪⎝⎭，即32ln 2x x ->又()233222x f x xe x x x =++-≥-，()ln f x x ∴>。
2021届安徽省合肥市合肥市六中高三上学期第十三次限时练数学(理)试题(12月)
合肥六中2021届高三第一学期第十三次限时练数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}28xB x =>，那么集合A B =（ ）A ．()3,+∞B ．[)1,-+∞C ．[3，4]D ．(]3,42．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－4＋i D ．－4－i3．在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ）A ．1536AC AB -B ．1536AC AB -+C ．1136AC AB -+D ．1136AC AB -4．命题:p ABC ∆为锐角三角形，命题:q ABC ∆中，sin cos A B >. 则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．45B ．35C ．45- D ．356．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数()(1)sin e 12xf x x =-+在区间ππ(,)22-上的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()()123,1ln ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212nn n a a S +=，且0n a >，则100S =（ ）A ．10B ．C ．10-D ．119．已知实数a ，b ，c 满足1lg 10ba c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ． c b a >>10．若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ）． A ．23B ．43C ．2D ．411．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ）．A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦12．设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，若对于任意的x ∈R ，恒有()()20xf x f x '+<，则函数()()22x f x g x =-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____________. 14．()5212x x+-展开式中的6x的系数为_______.15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题（本大题共4题，每小题12分，共48分）17． 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty =-+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=.(1)求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设(2,0)M -，求11MA MB-的值.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n (n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n .19．已知四棱柱-ABCD A B C D ''''中，底面ABCD 为菱形，2460AB AA BAD '==∠=,,，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点.（1）求证：BD A H '⊥；（2）求二面角D BB C '-'-的正弦值.20．已知函数()2x f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为4230x y --=()1求a ，b 的值； ()2证明：()ln f x x >．合肥六中2021届高三第一学期第十三次限时练13．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．30 15．48π16．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．试题解析：（Ⅰ）由2{x t y =-+=得)+2y x =，∴直线l0y -+=；………………………………………3分 由2sin 4cos 0ρθθ+=得22sin 4cos 0ρθρθ+=，又∵cos ,sin x y ρθρθ==， ∴曲线C 的普通方程为24y x =-.……………6分 （Ⅱ）设,A B 对应的参数为12,t t ， 将2{x ty =-+=代入24y x =-得23480t t +-=，∴121248,33t t t t +=-=-，∵直线l 的参数方程为2{x t y =-+=可化为()()1222{2x t y t =-+⨯=，∴122,2MA t MB t ==， ∴12121141612334t t MA MB t t +-==÷=.…………12分18．(1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ， 当n ∈N *时，a nn ≠0，又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．……………4分 (2)解由⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列， 得a n n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ……………6分 ∴S n ＝1·12＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 12S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴两式相减得12S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝2－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 综上，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，S n ＝2－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ……………12分19． （1）连接',',A C AC A B BH '，，由于E 为BC 中点，且//HC AB ，故E 为AH 中点，CHE ABE CH AB ∴∆≅∆∴=故四边形CBHA 为平行四边形, //AC BH由于四棱柱'//'ABCD A B C D AA CC =∴''''且''AA CC = 故四边形''A C AC 为平行四边形, //''//AC A C AC BH ∴由于底面ABCD 为菱形，故BD AC ⊥，且//AC BH ，BD BH ∴⊥由于''//,''A C BH A C BH =，故四边形''A C BH 为平行四边形，所以'//'BA HC 故：'A B ∴⊥平面ABCD 'A B BD ∴⊥ 又'A B ⊂平面',A BH BH ⊂平面',A BH 故BD ⊥平面',A BH 'A H ⊂平面',A BHBD A H ∴⊥'………………………………………………………………………6分 （2）由（1）BH ，BD ，'BA 两两垂直，以B 为原点如图建立空间直角坐标系.(0,0,0),(3,1,0),'(3,1,23),'(3,1,23)B C D B ∴-''(0,2,0),'(3,1,23),'(0,2,23),(3,1,0)D B D B CB CB ∴==---=-=--设平面''D BB 的法向量为(,,)n x y z =，故''20'30n D B y n D B y ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩，令21x z =∴=-，故(2,0,1)n =- 设平面'CBB 的法向量为(,,)m x y z =，故'2030n CB yn CB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1,1y x z ==-=，故(m =- 由图像得二面角D BB C '-'-为锐角，故3cos |cos ,|||5||||D C m n m n n BB m -⋅''<>=<>=-= 故4sin 5D BB C ''-<>=-………………………………………………………12分 20．（1）31,2a b ==-；（2）见解析详解：（1）解：()()12xf x x e x a '=+++，由题意有()()012302f a f b ⎧=+=⎪⎨==-'⎪⎩，解得31,2a b ==-……………………………………………………………………4分（2）证明：（方法一）由（1）知，()232x f x xe x x =++-.设()2ln x h x xe x x x =++-则只需证明()32h x >()()1121x h x x e x x =+++-' ()112xx e x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，设()12x g x e x =+-则()210xg x e x=+>'， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增 1412404g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，1312303g e ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭011,43x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得……………7分且当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >∴当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()0minh x h x ∴== 020000ln x x e x x x ++-，由00120x e x +-=，得0012x e x =-，()00012h x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭2000ln x x x +- 20001ln x x x =-+-， 设()21ln x x x x φ=-+-，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()121x x x φ'=-- ()()211x x x +-=∴当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x φ'<，()x φ在11,43⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，∴ ()()00h x x φ=> 21133φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln 33⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 73ln392=+>， 因此()32h x >……………12分 （方法二）先证当0x ≥时，()232x f x xe x x =++- 322x ≥-，即证20x xe x x +-≥设()2x g x xe x x =+-，0x ≥则()()121xg x x e x '=++-，且()00g '=()()220x g x x e '=++>，()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，()()00g x g ''≥= ()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，则当0x ≥时，()()200x g x xe x x g =+-≥=（也可直接分析233222x xe x x x ++-≥- ⇔ 20x xe x x +-≥ ⇔ 10x e x +-≥显然成立）再证32ln 2x x -≥ 设()32ln 2h x x x =--，则()1212x h x x x ='-=-，令()0h x '=，得12x =且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴ ()32ln 2h x x x =-- 11ln2022h ⎛⎫≥=-+> ⎪⎝⎭，即32ln 2x x ->又()233222x f x xe x x x =++-≥-，()ln f x x ∴>11。