人教版八年级数学上册最短路径问题
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人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
初中数学人教版八年级上册第一课时《最短路径问题》教育教学课件
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得 AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则
AC和BC的大小关系是什么？ l
C
A
B
容易得出，AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
∙B
A∙
你能证明这个结论吗？
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求.
思考：相传古希腊亚历 大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一 天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的a地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到b地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.
八年级数学人教版(上册)13.4课题学习最短路径问题
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
A
A M
C A 图图①① B
侵权必究
P
O
图图②②
BO
N B
图图③③
当堂练习
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点 侵权必究
当堂练习
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=
10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长
最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
在△AB′C′中，
C
AB′＜AC′+B′C′，
C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
侵权必究
讲授新课
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处
修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
B
M' A
E
M
N
O
B
F
N'
图③
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学上册 最短路径问题 人教版
核心素养 利用轴对称和平移解决最短路径问题，让学生体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 例11 如图13-4-20，在由边长为1个单位长度的小正方
形组成的网格中，请分别在AB，AC上找到点E，F，使四边 形PEFQ的周长最小.
图13-4-20
解：如图13-4-21，分别作点P关于AB，点Q关于AC的对称 点P′，Q′,连接P′Q′,交AB于点E，交AC于点F，则E，F即 为所求.
图13-4-8
思路导图：
作点P关于BC的对称点
利用轴对称，求线段和最小
解：如图13-4-9，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q， 交BC于点M，M是所求的点.
图13-4-9
题型二 求线段和的最小值 例6 如图13-4-10，△ABC为等边三角形，高AH=10 cm， P为AH 上一动点，D为AB的中点，求PD+PB的最小值.
A.转化思想 B.三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任 意一个内角
解析：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB′.又∵AB′交l于点C，且两条直线相交只有 一个交点，∴CB′+CA的长度最短，即CA+CB的值 最小.此最短路径问题运用了“两点之间，线段最 短”，体现了转化思想，验证时运用了三角形的两 边之和大于第三边.故选D.
考点一 线段和最小问题 例9 (贵州黔南中考)如图13-4-17，直线l外不重合的两点A， B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点 C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的 知识或方法是( D )
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
八年级数学上册人教版课件：1最短路径问题
将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点
A
·
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
探究 活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
B
追问2 你能利用轴对称的 A
·
有关知识，找到上问中符合条
·
件的点B′吗？
l
探究 活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
于点C．
则点C 即为所求．
B
·
l B′
探究 活动 1
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
即 AC +BC 最短．
B′
探究 活动 1
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一 点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
探究 活动 3
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的 两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直。）
2023-2024学年人教版八年级数学上学期：课题学习 最短路径问题(附答案解析)
第1页（共9页）
2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。
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1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”桥梁作用，感悟转化的数学思想。
重点难点
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
回顾与思考
点到点： 两点之间，线段最短
练习1：两个城市之间修要修一条公路，怎样设计才能最省材料？（大同-朔州）
回顾与思考
点到线： 垂线段最短
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第13章 轴对称
13.4 最短路径问题
人教版 数学（初中） （八年级 上）
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前言
学习目标
Байду номын сангаас
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转化
解决
实际问题
数学问题
实际问题
测试
如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？为什么？
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