圆的有关概念及性质专题复习课件
利用垂径定理解题时应注意：(1)过圆心作弦的垂线，连
接圆心和弦的一端(即半径)和弦的一半构建在一个直角三 角形中，这三个量“知二得一”，故往往作辅助线时看这 三条线缺哪条作哪条，然后运用勾股定理求解；(2)在直 接运用垂径定理求线段的长度时，在构建出直角三角形后
常常设未知数，用方程思想求解．
3．(2017·广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，
A．44°
B．54°
C．72°
D．53°
【分析】 首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE，
然后利用四边形ABCD是平行四边形，∠E＝36°，得到 ∠BAD，进而求得∠ADC.
【自主解答】
∵BE是直径，∴∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BEA＝∠DAE＝36°， ∴∠BAD＝126°，∴∠ADC＝54°.故选B.
第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质
知识点一 圆的有关概念 1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的 图形叫做圆．其中，定点称为 _____ ，定长称为 _____ ． 圆心 半径
2．与圆有关的概念
(1)弧：圆上任意 _______的部分叫做圆弧，简称弧． 两点间 (2)弦：连接圆上任意两点的 _____叫做弦． 线段 (3)直径：经过 _____ 的弦叫做直径． 圆心 (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆
根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它 的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合．
2．圆心角、弧、弦之间的关系
(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _____ ， 相等 所对的弦也 _____ ． 相等 (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角 _____ ，所对的弦 _____ ． 相等 相等
考点一 弧、弦、圆心角的关系
(5年0考)
(2017·宜昌)如图，四边形ABCD内接于⊙O，
AC平分∠BAD，则下列结论正确的是(
)
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行
Байду номын сангаас
逐一判断即可．
圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等，简称为“知一推二”．但
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
6．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝1，
则弦AB所对的圆周角的度数为 ____________． 30°或150°
考点四 圆内接四边形
(5年0考)
(2017·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，
∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为( )
是在进行弧、弦、圆心角之间的相互转化时一定要注意，
前提条件是“在同圆或等圆中”．
考点二 垂径定理
(5年2考)
【分析】
作OH⊥CD于H，连接OC，根据垂径定理得到
HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6求出OP.在Rt△OPH中根据
直角三角形的性质求出OH，然后在Rt△OHC中利用勾股定 理求出CH，继而求出CD.
AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列 说法中正确的是( D )
A．AD＝2OB C．∠OCE＝40°
B．CE＝EO D．∠BOC＝2∠BAD
考点三 圆周角定理
(5年1考)
如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O 的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是 ( )
垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优 弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知五个结论中的两个 结论，那么可以推出另外三个结论．
4．圆周角定理及其推论
(1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 数的 _____ ． 一半 (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角 _____ ； 相等 ②半圆(或直径)所对的圆周角是 _____； 90°的圆周
讲：与圆周角有关的多解问题
在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题， 常常会因为漏解而导致错误． 练：链接变式训练6
5．(2017·石家庄二模)如图，点A是量角器直径的一个
端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ. 若点P对应140°(40°)，则∠PQB的度数为( B )
角所对的弦是 _____ ．
直径
直角
5．圆内接多边形
(1)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同 一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做 这个多边形的外接圆． (2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 _____ ． 互补
知识点三 确定圆的条件
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边 ___________ 的 垂直平分线 交点，叫做三角形的外心．
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对
的圆心角 _____ ，所对的优弧和劣弧分别 _____ ． 相等 相等
3．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径 _____ 平分 弦，并且 _____ 平分 弦所对的弧．
(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径 _____ 于弦， 垂直 并且 _____弦所对的弧； 平分 ②弦的垂直平分线经过 _____ ，并且平分弦所对的两 条弧； 圆心 ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且 _____ 另一条弧． 平分
中，能够互相重合的弧叫做等弧．
等弧只存在同圆或等圆中，大小不等的圆中不存在等弧．
(5)圆心角：顶点在 _____ 圆心 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在 _____，两边分别与圆还有另一个 圆上 交点．像这样的角，叫做圆周角．
知识点二 圆的有关性质
1．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _______ 过圆心 的直线，有 _____ 条对称轴． 无数 (2)圆是中心对称图形，对称中心为 _____ ． 圆心
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
【分析】
先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆
内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性 质求得∠DAC的度数．
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初中数学《圆的有关概念和性质》复习课优质课件
形的外接 叫做三角形的外心．
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
第二十四章《圆》复习课件
．r
O
S = nπr2
360
2024/10/13
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2024/10/13
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2024/10/13
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本 第1部分 圆的基本性质
章 第2部分 与圆有关的位置关系
安
排 第3部分 正多边形和圆
复 习
第4部分
弧长和面积的计算
内 容
第5部分
有关作图
2024/10/13
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
2024/10/13
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
2024/10/13
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
圆的复习课件(共30张PPT).. 共32页
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3.垂径定理与推论的延伸:
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知识点5:圆心角与圆周角
________
∠ _________________. ACB=90°
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知识点6:圆内接四边形及其性质
C.115.5°
D.112.5°
【解】D
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第二节 与圆有关的位置关系
知识点1:三角形的外心和内心
1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线 的交点,到 三角形三个顶点 的距离相等. 2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形 三条角平分线 的交点,到
___∠___D___
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知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
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尺规作图
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第六章 圆
第一节 圆的有关性质
知识点1:圆的概念: 圆是平面内到定点的距离等于 定长 的点的集合.
3.切线的判定定理:
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
3.垂径定理与推论的延伸:
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知识点5:圆心角与圆周角
________
∠ _________________. ACB=90°
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知识点6:圆内接四边形及其性质
C.115.5°
D.112.5°
【解】D
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第二节 与圆有关的位置关系
知识点1:三角形的外心和内心
1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线 的交点,到 三角形三个顶点 的距离相等. 2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形 三条角平分线 的交点,到
___∠___D___
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知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
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尺规作图
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第六章 圆
第一节 圆的有关性质
知识点1:圆的概念: 圆是平面内到定点的距离等于 定长 的点的集合.
3.切线的判定定理:
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
圆的复习资料课件
弧长计算
01
根据给定的圆心角，利用弧长公式计算对应的弧长。
扇形面积计算
02
根据给定的圆心角和半径，利用扇形面积公式计算对应的面积
。
正弦定理和余弦定理在圆中的应用
03
利用正弦定理和余弦定理解决与圆相关的问题。
圆的实际应用
机械零件设计
在机械零件设计中，经常需要用 到圆的性质和定理来设计轴、齿
轮等部件。
点在圆外
如果点到圆心的距离大于半径，则点 在圆外。
点在圆内
如果点到圆心的距离小于半径，则点 在圆内。
点在圆上
如果点到圆心的距离等于半径，则点 在圆上。
直线与圆的位置关系
相离
如果直线到圆心的距离大 于半径，则直线与圆相离 。
相切
如果直线到圆心的距离等 于半径，则直线与圆相切 。
相交
如果直线到圆心的距离小 于半径，则直线与圆相交 。
圆的一般方程是$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中 $D, E, F$是常数。
圆的基本性质
01
02
03
04
圆心到圆上任一点的距离都等 于半径。
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆是轴对称图形，任何经过圆 心的直线都是它的对称轴。
弦、直径、弧、切线等与圆相 关的概念。
圆的应用
圆与扇形
总结词
扇形是圆的一部分，其弧长小于圆的周长，由Байду номын сангаас条半径和圆弧围成。扇形的面积 可以通过公式 A = (θ/360) × πr^2 来计算，其中 θ 是扇形的圆心角，r 是半径 。
详细描述
扇形是圆的一部分，其弧长等于圆心角与圆周率的乘积除以360，即弧长 = θ/360 × 2πr。扇形的面积等于圆心角与圆面积的乘积除以360，即面积 = θ/360 × πr^2。
圆的基本概念和性质PPT课件
第14页/共19页
圆的相关概念
1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
AB”. 以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B 读作“弧
2、弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3、直径：经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
4、半圆：直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如
弧 ABC).
B
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 （３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＜r ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点 与一个定点的距离相等。
第17页/共19页
1:在以AB=5cm为直径的圆上到直线AB的距离为2.5cm 的点有 （ C ） Ａ．无数个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．４个
２：圆的半径是５cm，圆心的坐标是（0,0），点Ｐ 的坐标为（4,2），点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是（A ）
A．点Ｐ在⊙Ｏ内 Ｃ．点Ｐ在⊙Ｏ外
Ｂ．点Ｐ在⊙Ｏ上 Ｄ．点Ｐ在⊙Ｏ上或⊙Ｏ外
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，２厘米长为
半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的内部的公共
AA
BB
部分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
第12页/共19页
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
(5)到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２ cm的所有点组成的图形.
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
A
B
第13页/共19页
如图菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、 F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，求证： E、F、G、H在同一个圆上。
圆的相关概念
1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
AB”. 以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B 读作“弧
2、弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3、直径：经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
4、半圆：直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如
弧 ABC).
B
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 （３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＜r ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点 与一个定点的距离相等。
第17页/共19页
1:在以AB=5cm为直径的圆上到直线AB的距离为2.5cm 的点有 （ C ） Ａ．无数个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．４个
２：圆的半径是５cm，圆心的坐标是（0,0），点Ｐ 的坐标为（4,2），点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是（A ）
A．点Ｐ在⊙Ｏ内 Ｃ．点Ｐ在⊙Ｏ外
Ｂ．点Ｐ在⊙Ｏ上 Ｄ．点Ｐ在⊙Ｏ上或⊙Ｏ外
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，２厘米长为
半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的内部的公共
AA
BB
部分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
第12页/共19页
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
(5)到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２ cm的所有点组成的图形.
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
A
B
第13页/共19页
如图菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、 F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，求证： E、F、G、H在同一个圆上。
22、圆及其相关性质PPT课件
17
【名师辨析】 本题没有给出图形，AB和CD的位置不确定，所以应分AB、CD 在直径的同侧和异侧两种情况，若两种情况存在，则AB、CD之间的距离有两个结 果．
【正解】 ①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1， ∵AB＝24 cm，CD＝10 cm，∴AE＝12 cm，CF＝5 cm， ∵OA＝OC＝13 cm， ∴EO＝5 cm，OF＝12 cm， ∴EF＝OF－OE＝12－5＝7 cm；
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
3
►知识点二 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径①_平__分___弦，并且平分弦所对
的②__两__条___弧． 2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧． 3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称轴，如图所示，在
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
5
►知识点三 弧、弦、圆心角
1．定理：在①__同__圆__或__等__圆__中，相等的圆心角所对的②_弧___相等，所对的③ __弦___相等，所对的④_弦__心__距___相等．
2．推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条⑤__弧__相等，那么它们所对的⑥__圆__心__角___相等， 所对的⑦__弦___相等． (2)在同圆或等圆中，如果两条⑧__弦___相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的⑨___弧___相等．
【考查内容】圆周角定理．
【解析】如图，当点 C 在以 O 为圆心的优弧 AB 上时， 总有∠AC1B＝12∠AOB＝60°，此时 OC＝OA＝2；当点 C 在过 A、O、B 时三点的圆的优弧 AB 上时，总有∠ACB＋∠AOB ＝180°，此时 OC 的长随点 C 的位置不同而改变，且有 OB≤OC2≤OC3，即 2≤OC≤4，∴OC 长度的整数值为 2、3 或 4.
圆的复习课课件
4. 在艺术和文学作品中，圆常被用来象征完美、完整和无限。
总结词：说明圆在实际生活中的应用
1. 日常生活用品，如碗、盘子和轮胎的设计都利用了圆的特性。
3. 物理学中的波、磁场和力场理论中经常用到圆或圆的性质。
01
02
03
04
05
06
02
圆的周长与面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占的平面的大小。
03
圆与其他几何形状的应用
在实际生活中，这些几何形状的应用非常广泛，如建筑设计、机械制造等。
01
与圆相关的其他几何形状
圆与椭圆、圆环等其他几何形状有着密切的联系。
02
圆与其他几何形状的相似性
圆与其他几何形状在某些性质上具有相似性，如周长、面积等。
03
圆的方程
标准方程是描述圆的最基本形式，包含了圆心和半径的信息。
圆的复习课PPT课件
圆的定义与性质圆的周长与面积圆的方程圆的几何证明圆的实际应用
contents
目录
01
圆的定义与性质
总结词
描述圆的基本定义
详细描述
圆是平面内所有点到一个固定点（圆心）的距离等于一个固定长度（半径）的点的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
详细描述
2. 建筑学中，圆或圆弧常用于设计美观和功能性的建筑结构。
公式推导
总结词：参数方程是另一种描述圆的方式，通过引入参数来表示圆的各个部分。
04
圆的几何证明
总结词
总结词
总结词
总结词
01
02
03
04
理解圆的相交性质，掌握证明方法
理解弦心距定理，掌握应用弦心距定理证明弦与圆相交的方法
总结词：说明圆在实际生活中的应用
1. 日常生活用品，如碗、盘子和轮胎的设计都利用了圆的特性。
3. 物理学中的波、磁场和力场理论中经常用到圆或圆的性质。
01
02
03
04
05
06
02
圆的周长与面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占的平面的大小。
03
圆与其他几何形状的应用
在实际生活中，这些几何形状的应用非常广泛，如建筑设计、机械制造等。
01
与圆相关的其他几何形状
圆与椭圆、圆环等其他几何形状有着密切的联系。
02
圆与其他几何形状的相似性
圆与其他几何形状在某些性质上具有相似性，如周长、面积等。
03
圆的方程
标准方程是描述圆的最基本形式，包含了圆心和半径的信息。
圆的复习课PPT课件
圆的定义与性质圆的周长与面积圆的方程圆的几何证明圆的实际应用
contents
目录
01
圆的定义与性质
总结词
描述圆的基本定义
详细描述
圆是平面内所有点到一个固定点（圆心）的距离等于一个固定长度（半径）的点的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
详细描述
2. 建筑学中，圆或圆弧常用于设计美观和功能性的建筑结构。
公式推导
总结词：参数方程是另一种描述圆的方式，通过引入参数来表示圆的各个部分。
04
圆的几何证明
总结词
总结词
总结词
总结词
01
02
03
04
理解圆的相交性质，掌握证明方法
理解弦心距定理，掌握应用弦心距定理证明弦与圆相交的方法
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
圆的有关概念及性质复习课件
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等.
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
直径所对的圆周角是 直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°， 则∠DAB的度数为（ ） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练 】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )