概率论与数理统计A(B卷)

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概率论与数理统计

重庆交通大学继续教育学院2008--2009学年第一学期考试A 卷《概率论与数理统计（经管类）》课程考核形式：闭卷考试需用时间：120分钟在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（） A ．⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0;10,21)(x x fC ．⎩⎨⎧-<<=其他,1;10,3)(2x x x fD ．⎩⎨⎧<<-=其他,0;11,4)(3x x x f2.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.34133.则P{XY=0}=（） A. 41 B.125 C.43 D.14．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,100,0;100,100)(2x x x x f 任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（）A ．41 B ．31 C ．21 D ．325．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（） A ．D (X )+D (Y ) B ．D (X )-D (Y ) C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y ) D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )7．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y-4）=（）A ．-13B ．15C ．19D ．238．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（）A ．6B ．22C ．30D ．46 9．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θˆ=（） C ．2xD ．x2110.设n 1X ,,X 为正态总体N(2,σμ)的样本,记∑=--=ni i x x n S 122)(11,则下列选项中正确的是（） A.)1(~)1(222--n S n χσB.)(~)1(222n S n χσ-C.)1(~)1(22--n S n χD.)1(~22-n S χσ二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计期末考试试题(答案)

概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。

事件表达式A B 的意思是 ( ））事件A 与事件B 同时发生 (B ）事件A 发生但事件B 不发生）事件B 发生但事件A 不发生（D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )）是不可能事件 (B ）是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从（） A) 自由度为1的χ2分布（B ）自由度为2的χ2分布）自由度为1的F 分布（D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4）（C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5，所以有X +Y ~N (0，5)。

样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2，则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

概率论与数理统计(第二版)课后答案

各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或所以选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容（C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容（D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立所以选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ；（2）)(C B A ；（3）C B A C B A C B A ；（4）AC BC AB ；（5）C B A ；（6）C B A ；（7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。

《概率论与数理统计》复习题(含答案)

概率论与数理统计复习题一、选择题（１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是。

（ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立；（ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容（２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为。

（ａ）)103(13C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3102713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有。

（ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ；（ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ，)()()(Y E X E XY E =，则有。

（ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关；（ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=-（５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是。

（ａ）∑==4141i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ；（ｃ）∑=-=4122)(1i i X X K σ；（ｄ）∑=-=4122)(31i i X X S（６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。

另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有。

（ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X ni ≤≤1min ~)(x f ；（ｃ）X ni ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~∏=ni x f 1)(（７）每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复独立试验，直到第１０次试验才取得４次成功的概率为。

(完整版)《概率论与数理统计》习题及答案选择题

·151·《概率论与数理统计》习题及答案选择题单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（）. （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”；（D ）“甲种产品滞销”.解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C.2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（）.（A ）()A B B A B -=;（B ）()AB B A -=; （C ）()A B AB ABAB -=;（D ）()()()A B C A C B C -=--.解：()()()A B B AB B A B BB A B -=== ∴A 对. ()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠ B 不对()()().AB AB A B B A ABAB -=--= C 对 ∴选B.同理D 也对.3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则（）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-；（B ）()()()1P C P A P B ≥+-；（C ）()()P C P AB =；（D ）()().P C P AB =解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ⊂⇒≥=+-≥+-∴ 选B.4．设(),(),()P A a P B b P AB c ===，则()P AB 等于（）.（A ）a b -；（B ）c b -；（C ）(1)a b -；（D ）b a -. 解：()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P AB c b =-=-=--+=-·152· ∴ 选B.5．设,A B 是两个事件，若()0P AB =，则（）.（A ）,A B 互不相容；（B ）AB 是不可能事件；（C ）()0P A =或()0P B =；（D ）AB 未必是不可能事件. 解：()0P AB AB =⇒=∅/. ∴ 选D.6．设事件,A B 满足AB =∅，则下列结论中肯定正确的是（）. （A ）,A B 互不相容；（B ）,A B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()P A B P A -=. 解：,A B 相容 ∴ A 不对. ,,A B B A AB ===Φ ∴ B 错. ()0AB P AB =Φ⇒=，而()()P A P B 不一定为0 ∴ C 错. ()()()()P A B P A P AB P A -=-=. ∴ 选D. 7．设0()1,(|)(|)1P B P A B P A B <<+=，则（）（A ）,A B 互不相容；（B ）,A B 互为对立；（C ）,A B 不独立；（D ）,A B 相互独立.解：()()()()()1()1()()()1()()1()P AB P AB P AB P A B P AB P A B P B P B P B P B P B P B -=+=+=+-- ()(1())()(1()()())()(1())P AB P B P B P A P B P AB P B P B -+--+=-⇒22()()()()()()()P B P B P AB P B P A P B P B -=+--()()()P AB P A P B ∴= ∴ 选D. 8．下列命题中，正确的是（）. （A ）若()0P A =，则A 是不可能事件；（B ）若()()()P A B P A P B =+，则,A B 互不相容；（C ）若()()1P AB P AB -=，则()()1P A P B +=；（D ）()()()P A B P A P B -=-. 解：()()()()P AB P A P B P AB =+-()()()()1P A B P AB P A P B ⇒-=+=由()0P A A =⇒=Φ/， ∴ A 、B 错.只有当A B ⊃时()()()P A B P A P B -=-，否则不对. ∴ 选C.·153·9．设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列各式中正确的是（）. （A ）()()P AB P A =；（B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-. 解：()()B A AB A P A B P A ⊂⇒=⇒= ∴选A.10．设,A B 是两个事件，且()(|)P A P A B ≤；（A ）()(|)P A P A B =；（B ）()0P B >，则有（）（C ）()(|)P A P A B ≥；（D ）前三者都不一定成立.解：()(|)()P AB P A B P B =要与()P A 比较，需加条件. ∴选D. 11．设120()1,()()0P B P A P A <<>且1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+，则下列等式成立的是（）. （A ）1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+；（B ）1212()()()P A B A B P A B P A B =+；（C ）1212()(|)(|)P A A P A B P A B =+；（D ）1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+. 解1：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-12(|)(|)P A B P A B =+ 1212(|)0()0P A A B P A A B ⇒=⇒=12121212()()()()()()P A B A B P A B P A B P A A B P A B P A B =+-=+ ∴ 选B. 解2：由1212{|}(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 得1212()()()()()P A B A B P A B P A B P B P B +=可见 1212()()()P A B A B P A B P A B =+∴ 选B.12．假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则（）. （A ）B 是必然事件；（B ）()1P B =；（C ）()0P A B -=；（D ）A B ⊂.解：()(|)1()()()()0()P AB P B A P AB P A P A P AB P A ==⇒=⇒-=()0P A B ⇒-= ∴ 选C.13．设,A B 是两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是( ).·154· （A ）()(|)P A P A B <；（B ）()(|)P A P A B ≤；（C ）()(|)P A P A B >；（D ）()(|)P A P A B ≥.解：()()(|)()()()A B P AB P A P A B P A P B P B ⊂====≥ ()()0()1A B P A P B P B ⊂⇒≤<< ∴选B （或者：,()()()(|)(|)A B P A P AB P B P A B P A B ⊂==≤）14．设12()0,,P B A A >互不相容，则下列各式中不一定正确的是（）. （A ）12(|)0P A A B =；（B ）1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+；（C ）12(|)1P A A B =；（D ）12(|)1P A A B =.解：1212()0P A A A A =⇐=Φ1212()(|)0()P A A B P A A B P B == A 对.121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-12(|)(|)P A B P A B =+ B 对. 121212(|)(|)1(|)P A A B P A A B P A A B ==-121(|)(|)1P A B P A B =--≠ C 错.121212(|)(|)1(|)101P A A B P A A B P A A B ==-=-= D 对.∴ 选C.15．设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（）. （A ）A B 与C ；（B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C . 解：[()]()()()()(1())(1())()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C ===--[1(()()()())]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =-+-= A 对.()[()]()()()()P ACC P AC C P AC CC P AC P C P AC ===+-()()()P C P AC P C =≠ AC ∴与C 不独立 ∴ 选B.16．设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（）.（A ）A 与BC 独立；（B ）AB 与AC 独立；（C ）AB 与AC 独立；（D ）A B 与A C 独立.·155·解：,,A B C 两两独立， ∴若,,A B C 相互独立则必有()()()()()()P ABC P A P B P C P A P BC == ∴A 与BC 独立.反之，如A 与BC 独立则()()()()()()P ABC P A P BC P A P B P C == ∴选A. 17．设,,A B C 为三个事件且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）. （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立；（B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立；（C ）若()1P C =，则A C -与A 也独立；（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 解：()()(),()1P AB P A P B P C ==∴概率为1的事件与任何事件独立AC ∴与BC 也独立. A 对. [()][()]()P AC B P A C B P AB BC ==()()()()()P AB P BC P ABC P A C P B =+-= ∴B 对.[()]()()()()P A C A P ACA P AC P A P C -===()()P A P AC =∴ C 对 ∴ 选D （也可举反例）.18．一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（）. （A ）121p p --；（B ）121p p -；（C ）12121p p p p --+；（D ）12(1)(1).p p -+- 解：设A =成品零件，i A =第i 道工序为成品 1,2.i = 11()1P A p =- 22()1P A p =-1212()()()()P A P A A P A P A ==12(1)(1)p p =-- 12121p p p p =--+ ∴ 选C.19．设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（）.（A ）44610(1)C p p -；（B ）3469(1)C p p -；（C ）4459(1)C p p -；（D ）3369(1).C p p -解：说明前9次取得了3次成功 ∴ 第10次才取得第4次成功的概率为33634699(1)(1)C p p p C p p -=-∴ 选B.20．设随机变量X 的概率分布为(),1,2,,0kP X k b k b λ===>，则·156· （）.（A ）λ为任意正实数；（B ）1b λ=+；（C ）11b λ=+；（D ）11b λ=-. 解：111()111k kk k k b P X K b b b λλλλλλ∞∞∞=========--∑∑∑ ∴ 11bλ=+ 选C .21．设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则下列各式正确的是（）.（A ）0()1f x ≤≤；（B ）()()P X x f x ==；（C ）()()P X x F x ==；（D ）()()P X x F x =≤. 解：()()()F x P X x P X x =≤≥= ∴ 选D. 22．下列函数可作为概率密度的是（）. （A ）||(),x f x ex R -=∈；（B ）21(),(1)f x x R x π=∈+；（C）22,0,()0,0;xx f x x -⎧≥=<⎩（D ）1,||1,()0,|| 1.x f x x ≤⎧=⎨>⎩解：A ：||0222x x x e dx e dx e dx +∞+∞+∞----∞===⎰⎰⎰∴ 错.B ：211arctan []1(1)22dx x x πππππ+∞+∞-∞-∞==+=+⎰ 且 21()0(1)f x x R x π=≥∈+ ∴ 选B. 23．下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（）. （A ）21()1F x x =+；（B ）11()arctan 2F x x π=+；（C ）1(1),0()2,0;x e x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩·157·（D ）()()x F x f t dt -∞=⎰，其中() 1.f t dt +∞-∞=⎰解：对A ：0()1F x <≤，但()F x 不具有单调非减性且()0F +∞= ∴A 不是. 对B ：arctan 22x ππ-≤≤∴ 0()1F x ≤≤.由arctan x 是单调非减的 ∴ ()F x 是单调非减的.11()()022F ππ-∞=+⋅-= 11()122F ππ+∞=+⋅=.()F x 具有右连续性. ∴ 选B.24．设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）.（A ）32,55a b ==-；（B ）22,33a b ==；（C ）13,22a b =-=；（D ）13,22a b ==.解：12()()()0F aF bF -∞=-∞--∞=，()1F a b +∞=-=，只有A 满足∴ 选A25．设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()(),()f x f x F x -=是X 的分布函数，则对任意实数a 有（）. （A ）0()1()a F a f x dx -=-⎰；（B ）01()()2a F a f x dx -=-⎰；（C ）()()F a F a -=；（D ）()2()1F a F a -=-. 解：()()()()a a a F a f x dx f du f u du μ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰()()a f x dx f x +∞-∞-∞=-⎰⎰001(()())a dx f x dx f x dx -∞=-+⎰⎰00111()()22a a f x dx f x dx =--=-⎰⎰由()2()1f x dx f x dx +∞+∞-∞==⎰⎰001()()2f x dx f x dx +∞-∞⇒==⎰⎰∴ 选B.26．设随机变量2~(1,2)X N ，其分布函数和概率密度分别为()F x 和·158· ()f x ，则对任意实数x ，下列结论中成立的是（）.（A ）()1()F x F x =--；（B ）()()f x f x =-；（C ）(1)1(1)F x F x -=-+；（D ）11122x x F F -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：2~(1,2)()X N f x ∴以1x =为对称轴对称.(1)(1)P X x P X x ∴>+=≤-即 (1)1(1)1(1)F x P X x F x -=-≤+=-+ ∴ 选C.27．设22~(,4),~(,5)X N Y N μμ，设1(4)P X p μ≤-=，2(5)P Y p μ≥+=，则（）.（A ）对任意实数μ有12p p =；（B ）12p p <；（C ）12p p >；（D ）只对μ的个别值才有12.p p =解：14(4)(1)1(1)4p P X μμμ--⎛⎫=≤-=Φ=Φ-=-Φ⎪⎝⎭25(5)1(5)11(1)5p P Y P Y μμμμ+-⎛⎫=≥+=-<+=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭∴ 12p p = ∴ 选A （or 利用对称性）28．设2~(,)X N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<的值（）.（A ）单调增大；（B ）单调减少；（C ）保持不变；（D ）增减不定.解：1)1(2)1()1()(|)(|-Φ=-Φ-Φ=+<<-=<-σμσμσμX P X P ∴ 不随σ变 ∴ 选C.29．设随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则35-=X Y 的分布函数 )(y F Y 为（）.（A ）)35(-y F X ；（B ）3)(5-y F X ；（C ）⎪⎭⎫⎝⎛+53y F X ；（D ）.3)(51+y F X解：))3(51()35()()(+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Y ⎪⎭⎫⎝⎛+=53y F X ∴ 选C.·159·30．设X 的概率密度为)1(1)(2x x f +=π，则X Y 2=的概率密度为（）. （A ）)41(12y +π；（B ）2)4(1y +π；（C ）)4(22y +π；（D ）)1(22y +π.解：⎪⎭⎫⎝⎛=≤=≤=≤=2)2()2()()(y F y X P y X P y Y P y F X Y∴ )4(2)41(121221)(22y y y f y f X Y +=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ ∴ 选C. 31．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为212111P X - 212111PY -则下列式子正确的是（）.（A ）Y X =；（B ）0)(==Y X P ；（C ）21)(==Y X P ；（D ）1)(==Y X P . 解：A 显然不对. )1,1()1,1()(==+-=-===Y X P Y X P Y X P2121212121)1()1()1()1(=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P ∴ 选C.32．设)1,1(~),1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则（）.（A ）21)0(=≤+Y X P ；（B ）21)1(=≤+Y X P ；（C ）21)0(=≤-Y X P ；（D ）21)1(=≤-Y X P .解：)1,1(~)1,0(~N Y N X 且独立 ∴ )2,1(~N Y X +21)0()1()1(=Φ=>+=≤+Y X P Y X P ∴ 选B. 33．设随机变量2,1,412141101~=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i X i且满足1)0(21==X X P ，则==)(21X X P （）.·160· （A ）0；（B ）1/4；（C ）1/2；（D ）1. 解：(2121P∴ )0()1()(212121==+-====X X P X X P X X P )1(21==+X X P0000=++= ∴ 选A.34．设随机变量X 取非负整数值，)1()(≥==n a n X P n ，且1=EX ，则a 的值为（）.（A ）253+；（B ）253-；（C ）253±；（D ）5/1.解：∑∑∑∑∞=∞=∞===-∞='-='====1111)1()(1n n n aX n aX nn n nX a X a naa naEX2)1(11a ax x a a X -='⎪⎭⎫⎝⎛-==∴ 253,013,)1(22±==+--=a a a a a ，但1<a . ∴ 253-=a . ∴ 选B. 35．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=,1,0,1,11)(4x x x x F则X 的数学期望为（）.（A ）2；（B ）0；（C ）4/3；（D ）8/3.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-114)(5x x xx f3541114144(3dx EX x dx x x x ∞∞∞-=⋅==⨯-⎰⎰34= ∴ 选C.36．已知44.1,4.2),,(~==DX EX p n B X ，则二项分布的参数为（）. （A ）6.0,4==p n ；（B ）4.0,6==p n ；（C ）3.0,8==p n ；（D ）1.0,24==p n .解：4.06.04.244.144.14.2=⇒=÷=⇒⎭⎬⎫====p q npq DX np EX 6=n∴ 选B.37．已知离散型随机变量X 的可能值为1,0,1321==-=x x x ，且89.0,1.0==DX EX ，则对应于321,,x x x 的概率321,,p p p 为（）.（A ）5.0,1.0,4.0321===p p p ；（B ）1230.1,0.1,0.5p p p ===；（C ）4.0,1.0,5.0321===p p p ；（D ）1230.4,0.5,0.5.p p p ===⎪⎭⎪⎬⎫+==+=⇒-=+-==312222319.0)1.0(89.0)(1.0p p EX EX EX DX p p EX 1230.40.10.5p p p ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩ ∴ 选A.38．设)1,1(~),1,2(~-N Y N X ，且Y X ,独立，记623--=Y X Z ，则~Z __________.（A ）)1,2(N ；（B ）)1,1(N ；（C ）)13,2(N ；（D ）)5,1(N . 解：)1,1(~)1,2(~-N Y N X 且独立∴ 2)623(=--=Y X E EZ .949413DZ DX DY =+=+=.又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，∴ ~(2,13)Z N ∴ 选C.39．设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为（）.（A ）14；（B ）6；（C ）12；（D ）4. 解：),cov(2)(Y X DY DX Y X D -+=-， 246),cov(=-=-=EXEY EXY Y X 62219)(=⨯-+=-Y X D . ∴ 选B.40．设随机变量X 的方差存在，则（）.（A ）22)(EX EX =；（B ）22)(EX EX ≥；（C ）22)(EX EX >；（D ）22)(EX EX ≤.解：0)(22≥-=EX EX DX ∴ 22)(EX EX ≥. ∴ 选D. 41．设321,,X X X 相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令)(31321X X X Y ++=，则2Y 的数学期望为（）.（A ）λ31；（B ）2λ；（C ）231λλ+；（D ）λλ+231.解：321X X X 独立)(~λP )3(~)(321λP X X X ++∴λ3)()(321321=++=++X X X D X X X E3)(91)](31[321321λ=++=++X X X D X X X D 2222)(λ-=-=EY EY EY∴ 322λλ+=EY ∴选C.42．设Y X ,的方差存在，且EXEY EXY =，则（）.（A ）DXDY XY D =)(；（B ）DY DX Y X D +=+)(；（C ）X 与Y 独立；（D ）X 与Y 不独立. 解：),cov(2)(Y X DY DX Y X D ++=+DY DX EXEY EXY DY DX +=-++=)(2 ∴选B.43．若随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+，且0>DXDY ，则必有（）.（A ）Y X ,独立；（B ）Y X ,不相关；（C ）0=DY ；（D ）0)(=XY D .解：Y X P Y X Y X D Y X D ,00),cov()()(⇒=⇒=⇒-=+不相关. ∴ 选B.44．设Y X ,的方差存在，且不等于0，则DY DX Y X D +=+)(是YX ,（）.（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；（B ）独立的必要条件，但不是充分条件；（C ）不相关的必要条件，但不是充分条件；（D ）独立的充分必要条件.解：由()cov(,)00D X Y DX DY X Y X ρ+=+⇔=⇔=⇔与Y 不相关 ∴ DY DX Y X D +=+)(是不相关的充要条件. A 、C 不对. 由独立DY DX Y X D +=+⇒)(，反之不成立 ∴ 选B.45．设Y X ,的相关系数1=XY ρ，则（）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 必不相关；（C ）存在常数b a ,使1)(=+=b aX Y P ；（D ）存在常数b a ,使1)(2=+=b aX Y P . 解：⇔=1||XY ρ存在b a ,使1)(=+=b aX Y P ∴ 选C.46．如果存在常数)0(,≠a b a ，使1)(=+=b aX Y P ，且+∞<<DX 0，那么Y X ,的相关系数ρ为（）.（A ）1；（B ）–1；（C ）||1ρ=；（D ）||1ρ<. 解：aDX X X a b aX X Y X ==+====),cov(),cov(),cov(1以概率 DX a DY 21以概率==== ||||),cov(1a a DX a aDX DYDX Y X XY=====⋅=以概率ρ||1ρ∴=，以概率1成立. ∴ 选C.47．设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为则（）.（A ）Y X ,不独立；（B ）Y X ,独立；（C ）Y X ,不相关；（D ）Y X ,独立且相关.解：1.0)0,0(===Y X P)2.01.0)(25.005.01.0()0()0(+++===Y P X P 12.03.04.0=⨯= )0()0()0,0(==≠==Y P X P Y X P ∴ X 与Y 不独立. ∴ 选A.48．设X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C 和0>ε，必有（）.（A ）εε/||)|(|C X E C X P -=≥-；（B ）εε/||)|(|C X E C X P -≥≥-；（C ）εε/||)|(|C X E C X P -≤≥-；（D ）2/)|(|εεDX C X P ≤≥-. 解：||||||(||)()()X C X C X C P X C f x dx f x dx εεεε-≥-≥--≥=≤⎰⎰||1()||X C f x dx E X C εε+∞-∞-≤=-⎰∴ 选C.49．设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P （）.（A ）25.0≤；（B ）75.0≤；（C ）75.0≥；（D ）25.0≥. 解：75.0431002511)10|(|2==-=-≥<-εDXEX X P ∴ 选C.50．设 ,,21X X 为独立随机变量序列，且i X 服从参数为λ的泊松分布，,2,1=i ，则（）.（A ）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ；（B ）当n 充分大时，∑=ni iX1近似服从标准正态分布；（C ）当n 充分大时，∑=ni iX1近似服从),(λλn n N ；（D ）当n 充分大时，)()(1x x XP ni iΦ≈≤∑=.解：由独立同分布中心极限定理∑∞→=⇒nn i iX1近似服从),(λλn n N∴ 选C51．设 ,,21X X 为独立随机变量序列，且均服从参数为λ的指数分布，则（）.（A ）)(/lim 21x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ；（B ）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ；（C ）)(/11lim 21x x X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ；（D ）).(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ解：λ1=i EX 21λ=i DX λnX E n i =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1 21λn X D n i =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑由中心极限定理⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑∞→x n nX P n i n 21lim λλ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=∑∞→x n n X P n i n 1lim λ)(x Φ=. ∴ 选B.52．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是（）.（A ）415X X +；（B ）41ii Xμ=-∑；（C ）σ-1X ；（D ）∑=412i iX.统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.53．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21 为来自X 的样本，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k X P （）.（A ）p ；（B ）p -1；（C ）k n k k n p p C --)1(；（D ）k n k k n p p C --)1(.解：n X X X 21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=ni ip n B X1),(~即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n-====- ∴ 选C.54．设n X X X ,,,21 是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（）.（A ）)1(~/-n t S X ；（B ）)1,0(~N X ；（C ）)1(~)1(22--n S n χ；（D ）)1(~-n t X n .解：∑==ni i X n X 11 0=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(222--n S n χσ )1(~)1(1)1(2222--=-∴n S n S n χ)1(~-n t n SX . ∴ A 错.∴ 选C.55．设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 1112232222)(11,)(1,)(11μ，∑=-=n i i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（）.（A ）1/1--=n S X T μ；（B ）1/2--=n S X T μ；（C ）nS X T /3μ-=；（D ）n S X T /4μ-=解：)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ)1,0(~N n X σμ-)1(~1)(1122----=∑=n t n X XnX T ni iσσμ)1(~11/)(222---=--=n t n S X n nS n X T μμ ∴ 选B.56．设621,,,X X X 是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2DS 的值为（）.（A ）431σ；（B ）451σ；（C ）452σ；（D ）.522σ 解：2126,,,~(,),6X X X N n μσ= ∴)5(~5222χσS由2χ分布性质：1052522=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σS D即442522510σσ==DS ∴ 选C.57．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21 μ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是（）.（A ）1X 是μ的无偏估计量；（B ）1X 是μ的极大似然估计量；（C ）1X 是μ的一致（相合）估计量；（D ）1X 不是μ的估计量. 解：11EX EX X μ==∴是μ的无偏估计量.∴ 选A.58．设n X X X ,,,21 是总体X 的样本，2,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（）.（A ）2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）2S 与X 独立；（C ）)1(~)1(222--n S n χσ；（D ）2S 是2σ的无偏估计量. 解：已知总体X 不是正态总体 ∴（A ）（B ）（C ）都不对.∴ 选D.59．设n X X X ,,,21 是总体),0(2σN 的样本，则（）可以作为2σ的无偏估计量.（A ）∑=n i i X n 121；（B ）∑=-n i i X n 1211；（C ）∑=n i i X n 11；（D ）∑=-ni i X n 111. 解：2222)(,0σ==-==i i i i i EX EX EX DX EX22121)1(σσ=⋅=∑n nX n E n i∴ 选A.60．设总体X 服从区间],[θθ-上均匀分布)0(>θ，n x x ,,1 为样本，则θ的极大似然估计为（）（A ）},,max {1n x x ；（B ）},,min{1n x x （C ）|}|,|,max {|1n x x （D ）|}|,|,min{|1n x x解：1[,]()20x f x θθθ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它似然正数∏==ni i n x f x x L 11),();,,(θθ 1,||1,2,,(2)0,i nx i n θθ⎧≤=⎪=⎨⎪⎩其它此处似然函数作为θ函数不连续不能解似然方程求解θ极大似然估计∴ )(θL 在)(n X =θ处取得极大值 |}|,|,max{|ˆ1nn X X X ==θ ∴ 选C.。

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概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-】3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f则下列等式成立的是（）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()$5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （）． (A)⎰b ax x F d )( (B) ⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （）． (A) (B) (C) (D)`8. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （）．￥(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （）．(A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（）． (A) E X D X (),().==321 (B) 9.0)(,3)(==X D X E (C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==0321《13. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （）．(A) 30 (B) 20 (C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（）~)1,0(N .|(A)10050-X (B) 1050-X(C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=1%18. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（）成立． …(A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立 (C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容%23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+(C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（）是不正确的． %(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（）. ?(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅=(C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为，，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（）. (A) (B) (C) (D)~30. 若A B ,满足（），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（）有关.—(A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（）．(A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α;35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为的置信区间为（）.>(A) （x －n σ，x +n σ） (B) （x －nσ，x +nσ）(C) （x －nσ，x +nσ） (D) （x －nσ，x +nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++%40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（）.(A) x (B) ∑=-n i i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（）是统计量． /(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（）不是统计量．（A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（）.—(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（）．(A) 0 (B) 81(C) 21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（）.(A) (B) (C) (D)~47. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（）成立．【(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D +=(C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=, D (X )=，则（）． (A) n = 8, p = (B) n = 6, p = (C) n = 6, p = (D) n = 24, p =二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = ，P (B ) = ，P (B A +) = ，则P (AB ) = 0．:2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+． \3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.》5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．/7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1． '8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．'10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .]2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).：3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，求A 与B 只有一个发生的概率."5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +． ?7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．￥8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，P (A B )=，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少^10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().[12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．-13. 已知P (B ) = ，)(B A P =，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．;15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.@16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.%18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19.268-16. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．、20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．&21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.[23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.—25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.@26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是和，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是，乙工序的次品率是，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.(28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

大学专业试卷华南理工大学理工科专业《概率论与数理统计》试卷及参考解答

件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。

解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。

概率论与数理统计期末试卷及答案(最新6)

八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。
，n=2,3,4…
2005级概率论与数理统计试卷A卷参考答案
一、
1.C
注释：由“A B成立”得P(A)=P(AB)
2.C
3.B
注释：参考课本86页
4.B
?5.
6.B
A项参见课本64页，D项参见课本86页
二、
1.2
注释：若X服从Poisson分布，则EX= ，DX= 。（课本84页）
A. f(z)= B. f(z)=
C. f(z)= D. f(z)=
6.设（，）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是（）
A.（，）的边际分布仍然是正态分布
B.由（，）的边际分布可完全确定（，）的联合分布
C.（，）为二维连续性随机变量
D. 与相互独立的充要条件为与的相关系数为0
A） B）
C） D）
3、设是一个连续型变量，其概率密度为(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x值有( )
A）P(=x) = 0 B）F(x) =(x)
C）P(= x) =(x) D）P(= x) = F(x)
4、对于任意两个随机变量和，若，则（）
A） B）
C）和独立D）和不独立
5、设的分布律为
五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？
六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。求整个系统正常工作的概率。

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浙江理工大学2012 —2013学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末试卷（B ）卷
班级：学号：姓名：
一、填空题（共24分，每题4分）
1．设A, B 为随机事件, 5.0)(=A P , 6.0)(=B P , 8.0)(=A B P , 则=)(AUB P __. 2．设随机变量),(~p n B X ，且05.1)(,5.3)(==X D X E ，则 ,
.
3．设()4,()1,0.6,XY D X D Y ρ===则=-)23,(Y X X COV __ _.
4.设二维随机变量
(),X Y 的概率密度函数为⎩⎨
⎧≤≤≤≤=,,
0;
10,10,1),(其他y x y x f 则)2(Y X P >=__ .
5．设总体X 服从参数为2=λ的泊松分布，321,,X X X 为X 的一个样本，则
=+),(221X X X Cov __ _ ；)(2
321X X X E +=__ __.
6. 随机变量X 和Y 数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据契比雪夫不等式≤≥-)6(Y X P .
二、选择题（共20分，每题4分）
1、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（）
A. 5/2,5/3-==b a
B. 3/2,3/2==b a
C. 2/3,2/-1==b a
D. 2/3,2/1-==b a 2. 随机变量
，
,且
相互独立,
（）
A ．7-
B ． 6-
C ．6
D ．0.6 3．设随机变量1~3,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则(1)P X ≥= （） A ．271 B ．278 C ．2719 D ．27
26
4．设离散型随机变量()Y X ,的联合概率分布律为
记()Y X ,的联合分布函数为),(y x F ，则)0,1(F =（） A ．
121 B ． 61 C ．32 D ．2
1 5．设总体()
2
~,X N μσ，其中μ未知，1234,,,X X X X 为来自总体X 的一个样本，下列关
于μ的三个无偏估计：1ˆμ
=12341(),4X X X X +++ 212341112
ˆ5555
X X X X μ=+++，
312341221
ˆ6666
X X X X μ
=+++中，哪一个方差最小？（） A ．1ˆμ
B ．2ˆμ
C ．3ˆμ
D ．无法比较
三、综合题（共56分）
1. 100个电子元件中，甲类80个，乙类12个，丙类有8个。

三类电子元件的使用寿命能达
到指定要求的概率依次为0.9,0.8,0.7。

今任取一个元件A ，此元件的寿命达到了指定的要求，问：A 元件来自哪个类别的概率最大？（10分）
2. 设),(Y X 的联合概率密度函数为,01,
0(,),0,
A y x y
f x y ≤≤≤≤⎧⎪=⎨
⎪⎩其他
，（1）求常数A ；（2）求关于X 及Y 的边缘密度；（3）)(Y X E +；（4）),(Y X Cov .（16分）
3. 设离散型随机变量()Y X ,的联合概率分布律为
已知0,0,5.0)(,0)(2
=====XY EY X E Y X P ρ。

（1）求()Y X ,的联合概率分布律（2）求X 与Y 边缘概率分布律；（12分）
4. 甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众随机的选择影院，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%. （8分）
备用数据：
()()()0.8389
Φ
=
=
Φ
，
，
，
=
=，
2.236
1
0.8413
0.99
0.9901
2.33
5=
10
3.162
Φ
5. 已知总体X 的概率分布为()()
1,0,11=-==-x p p x X P x
x ，0>p 为未知常数，
n X X X ,,,21 为从总体X 抽取的一个样本，n x x x ,,,21 是它的样本观测值。

求未知参数p 的矩估计量和极大似然估计值.（10分）。

概率论与数理统计A(B卷)