集合有关概念和集合间的基本关系
集合的基本概念
一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。
高一数学集合知识点总结_3
高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结一．知识归纳：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N某2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对某∈A 都有某∈B，则AB（或AB）；2）真子集：AB且存在某0∈B但某0A；记为AB（或，且）3）交集：A∩B={某|某∈A且某∈B}4）并集：A∪B={某|某∈A或某∈B}5）补集：CUA={某|某A但某∈U}注意：①A，若A≠，则A；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。
5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：【例1】已知集合M={某|某=m+,m∈Z},N={某|某=,n∈Z},P={某|某=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。
集合的概念、集合间的基本关系
第一章 集合 常用逻辑用语 推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系【考情分析】不同的具体问题.别给定集合的子集.（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义. 【知识清单】1. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.2. 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号€醒 €/表示3. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法.4. 集合间的基本关系对任意的x€ A,都有x€ B,贝J A Q B （或B 二A ）. 若A 匸B ，且在B 中至少有一个元素X 芒A,则A 訓 若A 匸B 且BQA ，贝J A= B.5. 有关数集：自然数集记作 N ，正整数集记作N *或N +，整数集记空真子集.【课前预习】考试要求 1.集合及其表示，A 级要求;2.子集，B 级要求.集合的含义与表示: （1） 了解集合的含义、 元素与集合的 属于” 关系.⑵能用自然语言、 图形语言、集合语言 （列举法或描述法）描述集合间的基本关系: （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R ，复数集记作C .6•含有n 个元素的集合有 2n个子集，有22丄个真子集，有22个非7.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集1.集合Amx|x2-3x +2=0,x壬R}，贝J A =答案：{1，2} 2.（必修1P 10.4改编）判断下列表示是否准确（1） a 匸{a}; （2）{1}迂{1,2,3 }；（ 3）{a,b}cfo,a} ；（ 4）0匚{讣请将正确判断的序号填在横线答案：（3），（ 4）解析：（1）应为a亡右} ；（ 2）应为{1}g{1,2,3}.3.（必修1P 10.5）已知数集A J O,1,X+2}，则实数x不能取到的值为答案：幺-1解析：根据集合中元素的互异性知：X+2H0, X + 2H^心―1且XH—2，所以，实数X不能取到的值为2 -1 .4._________________ 已知A={X I X2—3X+ 2< 0}, B = {X|1<X< a}，若A? B,则实数 a 的取值范围是.答案：［2,+乂）解析：因为A={X|X2—3X+2V0} = {X|1<XV2}? B,所以 a>2.5.下列关系中：①一4^ R 疋Q;③—20梓N* :④I —Q;⑤—5芒Z;⑥0€ N .其中正确的是解析：③；④；⑤是错误的，相应改成正确的应为：③I —20|€ N*;④—^2|0 Q;⑤—5€ 乙【典型例题】目标1兀素与集合的关系例1 已知集合 A = {1 , a2 + 3a + 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知，a2+ 3a +3H1 ,解之可得a工―1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.【借题发挥】变式1 已知集合A= {1 , a + 2, a2 + 3a+ 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知， a + 2工1且a+3a + 3 H1且a+3a + 3 H a +2 ,解之可得a 1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.变式2 已知集合 A= {a+ 2, (a + 1)2, a2 + 3a + 3}，且1€ A,则 2017"答案：1解析：当a+2= 1, 即卩a=- 1时,(a+ 1)2= 0, a2 + 3a+ 3 = 1 与 a + 2 = 1 相冋，不符合题意.当(a+ 1)2= 1, 即卩 a = 0 或 a=- 2 时, ①a= 0时，符合要求.②a= — 2时，a 2+ 3a+ 3 = 1与（a+ 1）2= 1相同，不符合题意.当 a 2+3a+ 3= 1, 即卩 a= — 2 或 a=— 1.①当a= — 2时，a 2+3a+ 3 = (a +1)2= 1,不符合题意. ②当a= — 1时，a 2+ 3a+ 3 = a + 2 = 1,不符合题意. 综上所述，a= 0. 所以，2 01尸=1.【规律方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性 .在 元素与集合的关系试题中，用互异性筛除不具备条件的解是解题过程 中不可缺少的步骤. 【拓展训练】1 + a数集M 满足条件：若a€ M，则1—a € M （a^±且a^0）已知3€ M , 试把由此确定的集合 M 的元素全部求出来. 解析：因为a= 3 € M,,1 , 1 1—211—3 1 1+2 =—2€ M ，二=—3€ M I =2€ M I 1 + 31 —2=3€ M .以下循环.目标2集合间的基本关系 例 2 已知集合 A= {x|x 2— 3x —10<0}，集合 B= {x|m+ 1<x<2m — 1}.若B ^A,求实数m 的取值范围.解析：由 x 2— 3x — 10< 0 得一2< x< 5.所以 A= [ — 2, 5].①当B 老时，即m+ 1<2m — 1,所以，m 》2.由 B G A 得一2< m+ 1 且 2m — 1< 5.得一3< m< 3. 所以2< m< 3.矿门1+ a 1+3所以U即 M=l3,— 2,1 1— —$②当B=0时，即m+ 1>2m— 1,所以mv2, B匸A成立.综上得mW3.【借题发挥】变式1在例2中，将集合B修改为：集合B={x(x —m—1I x —2m+1)E0}解析：解法一：(1)当 m+ 1>2m— 1 时，B = [2m_1,m+1]CA ,j m+ 1>2m— 1,则彳m+1 w 5, 解得—2w m<2;'2m— 1》—2,(2)当 m+1 =2m— 1,即卩 m= 2 时，B={3}, B^A 成立;(3)当 m+ 1<2m— 1 时，B = Im+i,2m-i]匸A,[m+ 1<2m— 1,则 4 m+ 1》—2,解得 2<mW 3.【2m— K 5,1综上：—2= mW 3.解法二：为使B匸A成立，由于集合B ={x|(x-m-1 "-2m+1戶o}中对应的不等式的解集是两根之间，所以只要让两个端点值在区间 [-2,5]之间就可以了: !m F-2=- — mg2mT 兰5 2 变式2:在例2中，若A? B,如何求解?‘m >2 « m <-3= m €0 .m >3m 的取值范围为0.变式3:若将例2中的集合A 改为A={x|xv — 2或x>5}，如何求解? 解析：因为B? A,所以:①当B = 0时，即2m — 1<m + 1时，mv2,符合题意. l m+ 1 < 2m — 1, (m+ 1 < 2m — 1, ②当 B^，l m+ 1>5,或b m —1v —2, r A2 f m>2, 解得$m ‘或{ 1即m>4.I m>4, (mv — 2综上可知，实数m 的取值范围为（—汽2）U （4,+^）.【规律方法】（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须 优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； （2）已知两个集合间的关系 求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 进而转化 为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题.【拓展训练】 1.设 A ={Xx 2-8x +15=0} , B ={x |ax -1=0}，若 B 匸 A,求实数 a 组成的集 合C.解析：A ^g x 2-8x +15=0}= {3,5},由于B G A,所以①若B=0，满足B ",此时a =0;②若B H 0，此时aH0，方程ax-1=0的根为xJa1 1 1 1 又因为BcA ，所以-=3或-=5,所以a =1或-; a a 3 5综上，适合题意的实数a 组成的集合为{o *1}.解析：若A?B,由于集合A 不是空集，则集合B 也不是空集，则:'m +1 <2m -1 *m+1<-2 = I 2m-135所以,2._____________________________________ 已知集合 A={x|x2—3x+ 2 = 0, x€ R} , B= {x|0<x<5, x€ N}，则满足条件A? C? B的集合C的个数为 ______________________________ .答案：4 解析：由题意知：A= {1 , 2} , B= {1 , 2, 3, 4}.又 A? C? B, 解法一：列举法：集合 C可能为{1 , 23}, {1 , 2, 3} , {1 , 2, 4}, {1 , 2, 3, 4}.解法二：等价转化：集合 C中必定含有数字1,2，则数字1,2不影响集合C的个数，所以集合C的个数就在于取不取3, 4与取几个的问题，因此，集合C的个数就相当于集合{3,4}的子集个数，故共有22=4 个•此方法当集合中的元素个数偏多时采用较有优势.目标3以集合为载体的创新问题例3若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可(1)判断集合A={ — 1, 1, 2}是否为可倒数集”；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集”.1解析：(1)由于2的倒数为2不在集合A中，故集合A不是可倒数集.1⑵若a€ A,则必有ze A,说明集合中的元素是成对出现的,a1现已知集合A中含有3个元素，故必有一对元素满足：a=-即a = a士 1,故可以取集合A= ｛1 , 2,舟｝或｛— 1, 2,寺或｛1 , 3,£｝等.【规律方法】解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.【拓展训练】已知集合A, B,定义集合A与B的一种运算A㊉B,其结果如下表所示:按照上述定义，若 M = { — 2 016, 0, 2 017} , N = { — 2 017, 0, 2 018},解析：由给出的定义知，集合 A㊉B的元素是由所有属于集合 A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即并集中去掉交集的部分，故 A㊉B= {x|x€ A且x/ B,或x€ B且x/ A},故 MH N = { — 2 016, 2 017,— 2 017, 2 018}.【归纳分析】1•认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.2•注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.3.防范空集：在解决有关 AQB = 0, A? B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑0是否成立，以防漏解.【课后作业】 1.设集合 A ={1,2,3} , B ={1,3,9}, X"且X芒B，则x = 答案：2 解析：由于集合A ={1,2,3} , B ={1,3,9} , X"且X艺B，则x在集合A 中,不在集合B中，可知x=2 .2.设集合A={(x, y)|x + 2y= 1, x€ N , y€ N}，用列举法表示集合A答案：{(1 , 0)}解析：集合A= {(1 , 0)}.3.已知集合A={x|x2— 2x+ a>0}，且1 0 A,则实数a的取值范围是 2 3 5.已知集合 M = {1 , m}, N= {n, log?n}，若 M = N,则(m— n)2 018答答案：(―=,1]解析：因为 1/{x|x2— 2x+ a>0}，所以1€ {x|x2— 2x+ a< 0}，即 1-2+ aw0,所以 aw 1.34.已知集合A =4xx0 Z,且0 Z，则集合A中的元素个数2——X答案：43解析：因为2—Z, 2-x的取值有-3，- 1, 1 3'又X0乙所以x值分别为5, 3, 1,- 1,故集合A中的元素个数为4.案：1或0r n= 1, f n = m, f n= 1,解析：由M = N 知，1 或1 所以，[IJ og 2 n = m, IJ og 2 n= 1, [m= 0, F 2、故(m-n)2 018= 1 或 0.I n = 2.--6.已知集合 A= {1 , 2, 3} , B= {1 , 2, 3, 4, 5, 6}.则满足条件 A 呈C? B 的集合C 的个数为 _________ .答案：7 解析: 解法一：列举法 解法二：等价转化：集合C 中必定含有数字1,2,3,则数字1,2,3不影 响集合C 的个数，所以集合C 的个数就在于取不取4,5,6与取几个的 问题，因此，集合C 的个数就相当于集合{4,5,6}的非空子集个数，故 共有23-1=7个.7.定义：满足任意元素X %，则4 —x |<^A 的集合称为优集，若集合则实数a 的值为 答案：3 解析：依题意，当x=1时，4_x=3壬A ，当x = 7时，|4_X=3壬A ，所以, a =3时符合条件.8. 给定集合A,若对于任意a, b€ A, 有 a + b € A, 且 a-b€ A,贝S 称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 A={ — 4,- 2, 0,2, 4｝为闭集合；②集合A= ｛n|n= 3k, k€ Z｝为闭集合；③若集合A i ,A 为闭集合，则A 1U A 2为闭集合.其中正确结论的序号是 答案：② 解析：①中，一4+ (— 2) = -6/A,所以不正确；②中设n i ,匕€ A, n i = 3k i , n 2=3k 2, k i , k ? € Z ,则 n i + 匕 € A,山一匕 € A,所以②正确; ③令 A i = {n|n = 3k, k€ Z} , A = {n|n = 2k, k€ Z}，贝J A , A 2为闭集 合，但A i U A 2不是闭集合，所以③不正确.9. 已知 A={x|x 2 + mx+n = 0}, B= {y|y 2 + (m — 1)y + n-3= 0}，且 A =｛3｝，求集合B.所以，B= {y|y 2 — 7y+ 6 = 0} = {1 , 6}.10. 已知集合 A= {1 , 3, p x} , B= {2 — x, 1}.(1)记集合M = ｛1 , 4, y ｝，若集合A= M,求实数x+ y 的值;请说明理由.y=4,贝J x+ y= 19.x 使得 B? A ，贝J 2 — x= 3, 或 2 — x=依. 若2 — x= 3，则x=— 1, ^/X 没有意乂，舍去;若2 — x=应, 则x+G — 2= 0,解得x= 1,此时集合B 中元素相 同，舍去.故不存在实数X,使得B?A. 解析：由题可知jm —Xj 0，解得* m= —6, n=9.(2)是否存在实数 X,使得B? A?若存在，求出x 的值；若不存在, 解析：(1)由题可知, 集合A 和集合M 中元素完全相同，则V x=4且 (2)假设存在实数11.设集合 A = {xx 2+4X =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a <：R },若 B J A ,求实 数a 的值. 解析：若 ，贝J A =4(a +1)2 —4(a 2 _1) <0,所以 a c —1 . 若 B 辺，贝J B ={0}或 B ={^}或 B ={0, -4},当B =｛0｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2—1 =0有两个相等的根0. 所以賈;1T 解得a=- 1.当B =｛'｝时，方程x 2+2(a +1)x +a 2—1=0有两个相等的根一4. 所以F ：1］；方程组无解. 当B =｛0, 一4｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2一1 =0有两个不相等的根一 4, 0. 所以解得a = 1综上所述，a<- 1或a= 1 .【提优训练】M 为非空的数集，M?｛1 , 2, 3｝，且M 中至少含有一个奇数答案:集合｛1 , 2, 3｝的所有子集共有23= 8个，集合｛2｝的所有子 集共有2个，故满足要求的集合 M 共有8-2 = 6个. 2 .集合A=｛x|(a- 12x+次-N 的｝子集有且仅有两个，则实数a 答案：1或-1解析：当a=1时，A={2}，子集有两个；当aHl 时，由—0,所以，a 3 8此时，A={4}，子集有两个，综上，a= 1或」. 3 8 1.设 元素，则集合M 共有 ______ 个. 解析:。
集合有关概念和集合间的基本关系
1.理解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2.能用自然措辞、图形措辞、集合措辞（列举法或描述法）描述不合的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义,能辨认给定集合的子集；4.在具体情境中,理解全集与空集的含义；5.理解两个聚分离的交集的含义,会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1.重点：集合的暗示方法,元素和集合的关系,集合与集合之间的关系2.难点：有关⊆∈,的理解和运用三、考点阐发：本讲的内容是中学数学最底子的内容之一,根本问题往往表现集合的概念、运算及简单的运用,经常作为器械广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等常识中,在高考中占据主要地位.1.集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集 （2）集合的元素特点：确定性、互异性、无序性（3）集合的暗示方法：①列举法—把聚分离的元素一一列举出来,写在花括号内暗示集合的方法；②描述法—把聚分离元素的公共属性描述出来,写在花括号内暗示集合的方法.（4）罕有集合的符号暗示:2.集合间的底子关系：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集.常识点一：集合的底子概念例1.在以下六种写法中,错误写法的个数是（）A. 3B.4C. 5D. 6思路阐发：题意阐发：本题主要考察聚分离的有关底子概念及聚分离的两个符号⊆∈和的差别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考察集合与集合间符号的运用,对写法（4）考察元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小,写法（2）是暗示空集与随便率性集合的关系,写法（3）暗示集合相等的概念,写法（4）是暗示实数0与空集的关系,写法（5）是集合的暗示,写法（6）是对聚分离元素的熟习.解答过程：（1）是两个集合的关系,不克不及用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集,故写法精确；（3）聚分离的元素具有无序性,只要聚分离的所有元素相同,两个集合就相等；（4）φ暗示空集,空分离无任何元素,所以应是φ∉0,故写法不精确；（5）集合符号“{}”本身就暗示全体元素之意,故此“全体”两字不该写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点,而右边集合的元素是数零,故不相等.故本题选B题后思虑：本题考察集合的有关底子概念,尤其要留心差别⊆∈和两个符号的不合含义.例2.已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ,若A ∈1,求实数a 的值. 思路阐发：题意阐发：本题主要考察元素与集合之间的关系,聚分离元素的有关性质.解题思路：解答过程：{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不适合集合性质,舍去；题后思虑：本题主要考察元素在聚分离的性质,要学会用分类的思惟推敲问题,并且要经由过程聚分离元素的独一性验证集合.例 3.已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ,当A B ⊆时,求实数a 的取值范围.思路阐发：题意阐发：本题考察了子集的有关概念和运用,对于聚分离{}4,2-=A 含有确定的两个元素－2,4,假如集合B 是集合A 的子集,则聚分离B 的元素应是聚分离A 的元素,别的还考察了分类的思惟.解题思路：本题应从若何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手,寻求集合B 可能的情况,但无论若何不克不及使聚分离B 含有集合A 以外的元素,尤其不克不及忘记集合B 可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A ,B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集,因为A B ⊆,所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ）,解得24-==a a 或,当04=∆=时，恰有a ；（2）若{},4=B 则0124422=-++a a ,解得舍去，此时02>∆-=a ；（3）若{},4,2-=B 则由（1）（2）知02>∆-=，此时a 适合题意；（4）若φ=B 时,由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述,所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.题后思虑：①在本题的谈论中,当{}4B =时的真正含义是：聚分离B 的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时,也可运用韦达定理求出a 的值；③在推敲子集的过程中随便马虎漏掉落空集的情况,事实上,我们应首先推敲空集.常识点二：集合的运算（交集）例4.若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x A （）A.{}3B.{}1C.φD.{}1-思路阐发：题意阐发：本题考察交集的定义和一元二次方程的解.解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法暗示出来,解0322=--x x ,用列举法把聚分离B 的元素暗示出来,再求B A . 解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ,由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ,故选D.题后思虑：本题主要考察交集的定义,是以,只要对定义的内容清晰应不难写出答案.例5.设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x （） A.{}13<<-x x B.{}21<<x x C.{}3->x x D.{}1<x x思路阐发：题意阐发：本题考察集合A 和B 的交集,A 和B 两个集合都是与不等式有关的,则求集合A 和B 的交集时,我们需要借助于数轴,用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应知足的范围,再在数轴上暗示出A 中元素知足的范围,然后在数轴上暗示出B 中元素所知足的范围,由数轴得出最终的成果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得. 又由{}23<<-=x x B ,{}1x 3x B A <<-=∴ ,故选A.题后思虑：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步调是：①先把每个聚分离知足不等式的解集解出来； ②用数轴暗示出来；③按照数轴的图像得出最终的答案.尤其要留心的是有没有“等号”,在数轴上暗示为实心点或空心点,以及能否取到该值.例6.已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.思路阐发：题意阐发：本题考察A 和B 的交集为空集,B 为已知的集合,A 聚分离包含的元素随着a 的变更而变更,需要合理的谈论.解题思路：先在数轴上得出B 集合,再由φ=B A ,确定出A 集合的地位,再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况,在解题过程中很有可能会漏掉落.解答过程：（1）若φ=A ,由φ=B A 知,此时3,32>∴+>a a a ；（2）若得如图：由,B A ,φφ=≠ A综上所述,a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思虑：①消掉交集为空集的情况,首先要推敲聚分离有没有空集,即分类谈论；②与不等式有关的集合运算中,用数轴阐发法直不雅清晰,应重点推敲；③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细阐发.①关于集合的运算,一般应把各介入运算的集合化简到最简形式,再进走运算；②消掉交集为空集的情况,首先推敲聚分离有没有空集； ③与不等式有关的集合运算中,多留心用数轴法暗示；④对于含参数的集合问题,在按照集合的互异性进行处理时,有时需要用到分类谈论、数形结合的思惟.（答题时间：45分钟）一、选择题1.集合{}5N x <∈x 的另一种暗示方法是（）A.{}4,3,2,1,0B.{}4,3,2,1C.{}5,4,3,2,1,0D.{}5,4,3,2,12.已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ,则（）A.B A >B.B A ⊂C.A B ⊂D.B A ⊆3.下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ个中精确的有（）A.①③B.①⑤C.②④D.②⑤4.设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m （）A.{}1,0B.{}1,01，-C.{}2,1,0D.{}2,1,01，-5.已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22 那么x y y N x y x （）A.φB.MC.ND.R*6.设R b a ∈,,集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1,则=-a b （） A.1 B.－1 C.2 D.－27.集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（）A.1-≤aB.1≤a C .1-≥a D.1≥a二、填空题8.已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.9.已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22 那么R x x y y N R x x y y ______. 10.若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ,则这样的x 的不合值有________个.11.已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.三、解答题*12.设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值.一、选择题1.A 解析：由5<x 且是自然数,得x 为0,1,2,3,42.C 解析：3.D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②精确；③{}φ=0,空集不含任何元素,所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不克不及用“∈”,所以⑤{}0⊂φ精确.4.B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m5.C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x 则{}N y y N M =-≥=16.C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1,∴.1,,0,0-=-=∴=+≠ab b a b a a 7.C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴. 二、填空题8.2≥a .解析：如图：9.{}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y{}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以,{}1N M = . 10. 311.4三、解答题12.解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a ②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ由①②③得11-≤=a a 或.。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章 集合第一节 集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、 已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}3 给出下列关系：①12R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.14159}N =B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； 5- A ； 17 B7 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1 用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合： ①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且 ③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或 ； ④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠ 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的概念、集合之间的基本关系
本题主要考查集合的表示 方法：列举法、描述法及其转 化，注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质．
【变式练习1】 有下列说法： ①所有著名的数学家可以组成一个集合； ②0与0的意义相同； 1 ③集合A＝{x | x＝ ，n N*}是有限集； n ④方程x 2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素． 其中正确的有_____________
【例3】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0，x∈R}， S ＝ {x|ax ＋ 1 ＝ 0 ， x∈R} ，满足 S P ， 求实数a的取值组成的集合．
【解析】P＝{－3, 2}， 当a＝0时，S＝，满足S P， 即a＝0适合题意； 1 当a 0时，S＝{－ }，要满足S P， a 1 1 1 1 则有－ ＝－3或－ ＝2，解得a＝ 或－ . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0，，－ }． 3 2
灌云县陡沟高级中学 李成艳
考纲泛读
①理解集合、子集， 集合交、并、补的概 念及集合运算的性 质． ②了解空集的概念和 意义． ③掌握集合的相关术 语和符号．
高考展望 2012年的高考会在继承 与创新的命题思想下把握好 本章内容的命题，一是保持 以基本概念和运算为主，以 命题的真假判断为切入点， 在知识的选择上关注相关性 和逻辑性，在背景的选择上 更关注教材和课程；
1 5.已知集合M＝{x | x＝m＋ ，m Z}， 6 n 1 N＝{x | x＝ － ，n Z}， 2 3 p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}， 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系．
1 【解析】M＝{x | x＝m＋ ，m Z}＝ 6 6m 1 3 2m 1 {x | x＝ ，m Z}＝{x | x＝ ，m Z} 6 6 n 1 3n 2 N＝{x | x＝ － ，n Z}＝{x | x＝ ，n Z}； 2 3 6 p 1 3p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}＝{x | x＝ ，p Z} 2 6 6 3n 2 ＝{x | x＝ ，n Z}＝N . 6 所以M N＝P.
高1数学必修1集合间的基本关系知识点
高1数学集合间的基本关系知识点总结(一)集合知识点总结知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
一、集合有关概念1、集合的含义2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集。
二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集集合考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。
在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。
主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
误区提醒2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
4、集合的运算注意端点的取等问题。
最好是直接代入原题检验。
5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。
在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
【典型例题】高1数学集合间的基本关系知识点总结(二)集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)，也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作，读作A真包含于B(B真包含A)集合间基本关系：性质1：(1)空集是任何集合的子集，即A;(2)空集是任何非空集合的真子集;(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC;(4)AB，BAA=B。
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课程信息年级冋 学科 数学内容标题 集合有关概念和集合间的基本关系 编稿老师丁学锋、学习目标:1. 了解集合的含义及元素与集合的属于”关系；2. 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义；5. 理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集、重点、难点:1. 重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系2. 难点：有关，的理解和应用三、考点分析:本讲的内容是中学数学最基本的内容之一， 基础问题往往体现集合的概念、 运算及简单 的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、 方程、不等式、三角函数及区间、 轨迹等知识中， 在高考中占有重要地位•1.集合(2) 集合的元素特性：确定性、互异性、无序性 (3) 集合的表示方法：① 列举法一把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ② 描述法一把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法(4数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号N* NZQR(5)集合与元素的关系:文字语言付号语言属于(1) 集合的分类有限集无限集含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合一般地，由属于集合 A 且属于集合B 的所有元素组成的集合， 称为集合A 与集合B 的 交集•题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号禾口 的区别.对写法（1）、（ 2）、（ 3）、（ 5）、（ 6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（ 4）考查元素与 集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小， 写法（2）是表示空集与任意集合的关系， 写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合 的表示，写法（6 ）是对集合中元素的认识. 解答过程：（1） 是两个集合的关系，不能用 “”；（2） 空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3） 集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等； （4） 表示空集，空集中无任何元素，所以应是 0，故写法不正确； （5） 集合符号“ ”本身就表示全体元素之意，故此全体”两字不应写；（6） 等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等 . 故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别禾口 两个符号的不同含义.例2.已知A a 2, （a 1）2,a 2 3a 3，若1 A ，求实数a 的值. 思路分析：呼負型他题知识点一：集合的基本概念 例1.(1)0 0,1 ,(2) 0,(3) 0, 1,11,0,1 ,(4)0(5)Z全体整数 ，(6 (0,0A. 3B. 4C. 5D. 6思路分析：在以下六种写法中，错误写法的个数是（题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质 解题思路：—解答过程：当a 2 1时，a 1, A 1,0,1不符合集合性质，舍去;B A ，所以B2,, 4,2,4,(1 )若 B2 ,则(2)2a( 2) a 212 0 ，解得a 4或 aa 4时，恰有0 ；(2 )若 B 4 ,则424a a 212 0 解得a 2, 此时0舍去；(3)若 B2,4 ,则由(1) (2) 知1 a2,此时0符合题意；(4)若 B时，由0解得a 4或 a4.综上所述，所求实数 a 的取值范围是a 4或a 2或a 4.题后思考：①在本题的讨论中，当 B 4时的真正含义是：集合 B 中的一元二次方程有两 个相等的实根x 1 x 24 ；② 当B 为单元素集时，也可利用韦达定理求出a 的值；③ 在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况，事实上，我们应首先考虑空集 知识点集合的运算（交集）当(a 1)2 1时, a 0或 a2,1)当a 0时，A2,1,32)当a 2时， A 0,1,1 ,舍去;当a 2 3a 3 1时, 2 a 3a 2 所以， 综上所述：a 0题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质, 集合中元素的唯一性验证集合 •0,a 1或a 2（舍去）.要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过例3.已知集合A xx 2 2x 8 0 , B 求实数a 的取值范围. 思路分析：xx 2 ax a 2 12 0，当 B A 时,题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合A 2,4中含有确定的两个元素—2, 4,如果集合B 是集合A 的子集, 外还考查了分类的思想.则集合B 中的元素应是集合 A 中的元素，另解题思路：本题应从如何使方程 x 2 ax 寻求集合B 可能的情况，但无论如何不能使集合 记集合B 可能是空集.2aB 中含有集合 A 的子集入手,12 0的解集成为集合 A 以外的元素，尤其不能忘解答过程：由已知得A 2,4 ,B 是关于 x 的方程x 2ax a 212 0的解集，因为二：例4.若A x x2 1 , B x 2 x2x 3 0,则A B （）A. 3 B.1 C. D. -1思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解解题思路：先解方程X2 1得出集合A的元素用列举法表示出来，解X2 2x 3 0，用列举法把集合B中的元素表示出来，再求A B.解答过程：由x21得x 1，A 1,1 ，由x2 2x 3 0 得x 1 或3, B -1,3A B -1，故选D.题后思考：本题主要考查交集的定义，因此，只要对定义的内容清楚应不难写出答案例5.设集合A x2x 1 3,B x 3 x 2 则A B （）A. x 3 x 1B. x1 x 2C. xx 3D. xx 1思路分析：题意分析：本题考查集合A和B的交集，A和B两个集合都是与不等式有关的，则求集合A和B 的交集时，我们需要借助于数轴，用数形结合的方法来解题更形象解题思路：先解出A中元素应满足的范围，再在数轴上表示出A中元素满足的范围，然后在数轴上表示出B中元素所满足的范围，由数轴得出最终的结果解答过程：由2x 1 3解得x 1, A xx 1 .又由B x 3 x 2，A B x 3 x 1，故选A.题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来；②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有等号”在数轴上表示为实心点或空心点，以及能否取到该值例6.已知A x2a x a 3,B xx 1或x 5若A B ，求a的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查A和B的交集为空集，B为已知的集合，A集合中包含的元素随着a的变化而变化，需要合理的讨论.解题思路：先在数轴上得出B集合，再由A B ，确定出A集合的位置，再解关于A集合的不等式•但不要忘了A 这个特殊情况，在解题过程中很有可能会遗漏解答过程：（1）若A ，由A B 知，此时2a a 3, a 3 ；（2）若A ，由A B ,得如图：2a 1 a 3 5,解得-a 2.22a a 3综上所述，a 的取值范围是题后思考： ①出现交集为空集的情况，首先要考虑集合中有没有空集，即分类讨论;② 与不等式有关的集合运算中，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑; ③ 对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析 .•Fla<9 Vi① 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化简到最简形式，再进行运算； ② 出现交集为空集的情况，首先考虑集合中有没有空集； ③ 与不等式有关的集合运算中，多注意用数轴法表示；④ 对于含参数的集合问题，在根据集合的互异性进行处理时，有时需要用到分类讨论、 数形结合的思想.甲同轸蜷3 （答题时间：45分钟） 」、选择题1. 集合x N x 5的另一种表示方法是（)A.0,1,234B. 1,2,3,4C0,123,4,5 D. 1,2,3,4,52. 已知集合A x 1 x 2,Bx0x 1 ,则( )A.A BB. A BCB AD.A B3. 下列五个关系式：① 0 0 ；②00 ，③0 ;④0 ； ⑤0其中正确的有（)A. ①③B.①⑤ C②④D.②⑤4. 设集合Mm Z 3 m 2 ,Nn Z1 n3则M N ()A.0,1B.1,0,1C0,1,2D.1,0,1,25. 已知Mx y2x 1,N yy2x 1 ,那么M N ()A.B. MC ND.R*6 设a,bR ，集合 1, a b, a0,b ,b , 则b a()aA. 1B. —1C. 2D.—2三、解答题*12.设 A x|x 2 4x 0, Bxx 2 2(a 1)x a 2 1 0,若A B B ，求 a的值.7.集合M x 2 2x a 0,x R 且 M,则实数a 的范围是()A. a 1B.C. a 1D. a 1二、填空题8.已知集合XX2,x R ,Bxx a ,且A B ，则实数a 的取值范围是9.M y y 2x 21,X R,N10.若 A yy21,3, x ,B x ,1 且 A x 2 1,x R,那么 M N{1,3, x},则这样的x 的不同值有11.已知集合A 1,3,m ,集合 B3,4.若B 代则实数m、选择题1. A解析:解析:2. C3. D 空集不含任何元素,解析:正确.000应是0 0 ；所以②正确；③0集合与集合之间不能用“”，所以⑤A B1由X 5且是自然数，得X为0, 1, 2, 3, 4所以0:④4. B 解析:5. C 解析:n Z| xy x21R,N6. C 解析:2, 1,0,1 ,1,0,1,2,3 J则Myy x2 1 yy1,0,1N yy1,a b, a0,b,ba 0, ab 0, 1.a 1,b 1,故b7. C 解析：由M,所以x2 2x a 0必有根, 4 4a 1.二、填空题8. 2.解析：如图:9. 解析：M 2y y 2x 1, x R10.11.三、解答题12.解析:①若0②若x24x1,x4,0，yy 1,y y 1,所以,B B, B 则a2 10,a 1,当a1时，B A 1时，B4 B,则a2 8a 7 0,a 7或1,当a 7时，B -12,-4，③若B ，贝y 4(a 1)2 4(a2 1) 0,a 1 由①②③得a 1或a 1.。