中国计量大学历年高数试卷

中国计量学院2009~ 2010学年第 2 学期高等数学开课二级学院：理学院，考试时间： 2010 年_7月 1_日 9：00 时考试形式：闭卷□√、开卷□，允许带铅笔、钢笔、橡皮、胶带纸等文具入场考生姓名：学号：专业：班级：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、极限()(00,,limx y→=的值是（）A1-B12-C12D 12、改变积分次序，则1100(,)xdx f x y dy-=⎰⎰( )．A1100(,)xdyf x y dx-⎰⎰B1100(,)xdy f x y dx-⎰⎰C1100(,)ydy f x y dx-⎰⎰D1100(,)dy f x y dx⎰⎰3、幂级数212nnnx+∞=∑的收敛半径为（）A2B12C D4、下列级数中,收敛的是( )A 1154()nn∞-=∑B111514()()n nn∞--=-∑ C 115445()nn∞-=+∑D1145()nn∞-=∑5、直线123:213x y zL-+-==-与平面:4267x y zπ-+=的位置关系是（）．A 直线L与平面π平行 B 直线L与平面π垂直C 直线L在平面π上D 直线L与平面π只有一个交点，但不垂直二、填空题（每小题3分，共15分）1、设2ln()z x y=+，则=)1,1(dz．2、已知(3,1,),(1,2,3)a m b=-=-，则当m=时，向量a b⊥．3、设(,)xf a b'存在，则(,)(,)limxf x a b f a x bx→+--=．4、曲线21,,x y t z t===在1t=处的法平面方程．5、设D是圆229x y+=所围成的区域，则2Ddxdy=⎰⎰．三、计算题(每小题7分,共56分)1、求过点1(1,1,1)M和2(0,1,1)M-，且垂直于平面0x y z++=的平面方程2、设22,,z u v u x y v x y=+=+=-，求,z zx y∂∂∂∂．22Lydx xdyx y-+⎰，其中+dxdyzdzdxy223x+展开成(x-的收敛域与和函数五、证明题（6分）设级数21n n u ∞=∑收敛，证明：级数1nn u n∞=∑绝对收敛 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b '4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z vu v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域 也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x（3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x Dx y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域．解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故1zD zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y Px yx y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 Lydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

解：由对称性知：220x dzdy y dxdz ∑∑==⎰⎰⎰⎰ （3分） 320152πθπ-=-=⎰⎰⎰⎰∑dr r d dxdy z .(4分)7．解：211111()43(1)(3)213f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭11111111221412214124x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪--+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3分) ()()0011111111113, 1,35114428841124n nn n n n x x x x x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭++∑∑所以原式()()001111()11 4284n nn n n n x x f x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()223011111322nnn n n x x ∞++=⎛⎫=----<< ⎪⎝⎭∑ （4分)8．解 11lim11n R n n →∞==+，所以收敛半径为1；在端点1=x 处，级数为11n n∞=∑，发散；在端点1=-x 处，级数为()11nn n∞=-∑为收敛的交错级数．所以收敛域为[1,1)- （2分）令1()nn x S x n ∞==∑，则当1x <时有 111()1n n S x x x ∞-='==-∑， （2分） 因(0)0S = 于是在[0,]x 上积分得：()ln(1),[1,1)=--∈-S x x x ． (3分)四、应用题（8分）解：设球面方程为z =(),,x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则长方体的长、宽、高分别为2,2,x y z 体积为4V xyz = （3分） 做辅助函数()2222(,,,)4F x y z xyz x y z a λλ=+++-则有方程组2222420420420x xx F yz x F xz y F xy z x y z a =+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩解得x y z === （3分） 根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别为2x y z ===体积最大3V =。

（2分） 五、证明题（6分）证明: 证明：因为级数21nn u ∞=∑、211n n ∞=∑均收敛，所以21n n u ∞=∑+211n n∞=∑即2211()n n u n ∞=+∑收敛 （2分） 因为22112n n u u n n+≥ （2分） 因此112n n u n ∞=∑收敛，即11n n u n∞=∑绝对收敛。

（2分）。