半线性双曲方程的一个非协调有限元超收敛分析
各向异性及双参数非协调有限元方法研究的开题报告
各向异性及双参数非协调有限元方法研究的开题报告
题目：各向异性及双参数非协调有限元方法研究
一、研究背景及意义
有限元方法是一种常用的求解工程问题的数值计算方法。
但是在某些情况下，常规的
有限元方法可能无法准确描述物质性质的非均质性和各向异性，严重影响计算结果的
准确性。
因此，研究各向异性及双参数非协调有限元方法具有重要的理论和应用价值。
二、研究目的及内容
本研究旨在探索各向异性及双参数非协调有限元方法，具体研究内容包括：
1. 建立各向异性材料的有限元模型，研究其力学特性与应用。
2. 建立双参数非协调材料的有限元模型，并与传统有限元方法进行比较分析，优化有
限元模型。
3. 制定求解程序，实现各向异性及双参数非协调材料的有限元求解过程。
三、研究方法与技术路线
本研究采用文献调研法、数值模拟法、数学建模方法等多种研究方法，建立各向异性
及双参数非协调材料的有限元模型，探讨其力学特性与应用，制定求解程序，实现各
向异性及双参数非协调材料的有限元求解过程。
四、研究预期成果及创新性
1. 建立各向异性及双参数非协调材料的有限元模型，研究其力学特性与应用。
2. 研究各向异性及双参数非协调有限元方法，提高有限元方法求解物质性质的准确性
与可靠性。
3. 实现各向异性及双参数非协调材料的有限元求解过程，为相关科研和工程应用提供
支持。
五、论文结构及进度安排
本论文主要包括绪论、理论分析、数值模拟、结果及讨论和结论等几个部分。
预计在
12个月内完成该项研究内容及论文撰写。
二阶双曲方程二次三角形有限元的超收敛分析
Superconvergence Analysis of Quadratic Triangular Element for Second Order Hyperbolic Equations 作者： 吴志勤[1];王芬玲[1]
作者机构： [1]许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000
出版物刊名： 许昌学院学报
页码： 1-3页
年卷期： 2010年 第5期
主题词： 二阶双曲方程;三角形二次元;插值后处理技术;超逼近和超收敛
摘要：研究二次三角形有限元对二阶双曲方程的逼近问题.针对已有文献结论在解的光滑度
降低一阶的情况下,利用分析和估计技巧,并结合积分恒等式和插值后处理技术,得到了相应的超逼近与超收敛结果,从而拓宽了有限元的应用范围.。
Stokes问题的非协调有限元分析
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第４ ５ 期
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定义ｌ ｌ ＝（＾ ， ） ． ｎ（ ） 根据混合元理论【ｊ ２ 如果０（． 】 ｈ．） ．） ，和 （． ，分别满足（３ ２ ） ２ ） ．， ．和（４
明 单元 对 速度 和压 力 都 有 二 阶收 敛 精度 ．
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本文采用ｆ的记号．・） ９ 】 （・ ，表示 （ 内积，明 （ ） 日 ） 是通常 Ｓｂｌ ￣Ｉ， 。 ） （ ） 及（ （ ） 。 ｏｏ ｖ ＇ 其模 ｅ Ｎ
摘
要：构造 了两个非协调有限元， ｔｋｓ 对Ｓ ｏ ｅ问题满足 离散Ｂ Ｂ条件 ， — 单元对速度和压
力具 有 二 阶 收敛 性 ， 值 实验 验 证 了理 论 分析 结 果 ． 数
有限元非线性分析
下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应力-应变度量 等主要不同将在本章详细介绍。
序号 1.
特征 荷载-位移关系
2.
应力-应变关系
3.
比例缩放
4.
线性叠加
5.
可逆性
6.
求解序列
7.
计算时间
8.
用户与软件的交互
13.3 非线性的类型
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
13.6 非线性静力分析的一般流程
一个典型的非线性静力分析项目需要以下步骤：
网格划分：有限元模型的创建是有限元分析一个非常重要的步骤，不论进行什么样的分析。在第4-7章已经讨论过对 于某些应用的如何选择适当的单元类型。FEA小组会得到零件的几何数据，需要对这些几何进行网格划分以得到零件 网格。当装配中所有的零件划分网格后，使用适当的连接单元把它们都连接在一起如CWELD或CBUSH。一般来说， 四边形单元和六面体单元优于三角形单元、楔形单元和四面体单元。应该注意模型中的关键特征，比如圆角、孔和倒 角。如果在两个平行表面之间有紧固件或焊接，应该尽量在两个面上创建相似的网格。这将有助于焊接单元或刚性单 元垂直于表面而不破坏壳单元。然而，许多有限元分析（FEA）代码支持不依赖于节点焊接，而是基于绑定接触。这 允许用户在两个焊接零件之间创建不依赖于节点的连接单元。建议首先对复杂零件进行网格划分，然后对简单或平面 几何进行网格划分以保证良好的单元质量。需要用适当的方式来模拟夹紧、铰接和焊接以在结构中正确地传递荷载。 为单元定义适当的刚度和预荷载以得到更高的精度。如果荷载从结构上的某个面传递到另一个面上，应该在两个面间 定义接触。每个FEA代码都有自己的接触参数输入格式。一个典型的接触定义需要主从节点或单元，摩擦系数，接触 面间的间隙和接触算法。
双曲积分微分方程的P1-非协调元的收敛性分析
维普资讯
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第２卷 第５ ６ 期
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通过 计算 ， 一＋ （。 ． ＝ 。 ， ｝ ＋ ，
双 曲积分微分方程 的 Ｐ 一 １ 非协调 元的收敛性分析
梁庆 利 黄 ， 墅２
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摘
要：讨论 了双曲积分微 分方程 的 Ｐ 非协调 元逼近 ， 不需要 Ｒｔ投 影及任何修正格式情 况下， ｌ 一 在 ｉ ｚ 利用该单元 的
，
单元 的边为
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（， ） 四顶 点坐标 依 次为三 （ １ １ ，２１ 一 ） 三 （ ， ） 一 ， ） 其 四边 三三 。 ｄ ） １ ２ ３ ４ ００ ， 。 ， ） 三 （ ， １ ， ３１ １ 及三 （ １ １ ， 一 （ ４ ， ， ， ， ． ｍｏ
巧 ， 不需 要 Ｒ ｔ投 影和 任何 修 正格 式情 况 下 导 出其 收 敛性 结 果 ． 由于该 元具 有 比五 节 点非 协调 元更 少 的 在 ｉ ｚ 自由度 ， 而更 具有 应用 价值 ． 从
１ 双 曲积分微分方程及单 元构造
考 虑下 面双 曲积 分微 分方 程 ：
Ⅱ△ 』ｎ， ＝Ｘ） 在 ×，内 ｎ 。 ｓ ｆ， Ｑ（ ， 一一ｔ ） Ｃ ， △ ０
非线性双曲型方程的混合有限元两层网格算法
非线性双曲型方程的混合有限元两层网格算法陈艳萍;王克彦【摘要】针对一类非线性双曲型方程,利用混合有限元法,构造了1种混合有限元两层网格算法,给出了两网格方法的误差分析.结果表明,当两层网格算法所选取的粗网格和细网格步长满足H=O(h1/2)时,能获得渐近最优的离散逼近解.并用数值例子验证了该混合有限元两层网格算法的有效性.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(048)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】非线性双曲型方程;混合有限元;两层网格算法;误差分析【作者】陈艳萍;王克彦【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631【正文语种】中文【中图分类】O241.1考虑下述非线性双曲型方程的混合问题:其中Ω是 2空间中的有界区域,∂Ω为其充分光滑边界;ut=∂u/∂t,utt=∂2u/∂t2.并作以下假定:(A1)κ=K -1是一致对称正定的矩阵, 即存在常数K*, K*>0, 使得(A2)f=f(u)为已知的有界光滑函数, 且存在常数K1, 使得(A3)对于r>0, 假设满足式(1)的解函数u有下列正则性双曲型方程描述声波、光波、多孔介质波传播问题和流体力学等众多物理现象,对许多实际问题具有重要的理论价值及现实意义.目前, 许多数值求解方法被应用到双曲问题, 如有限差分法[1-2]、有限元法[3-4]和有限体积元法[5-6]等等.混合有限元方法是在有限元方法的基础上发展起来的一个分支, 已成为偏微分方程数值求解的一种重要方法. 20世纪70年代, BABUSKA[7]和BREEZZI[8]基于B-B相容性条件获得了混合有限元方法的一般理论. FALK和OSBORN[9]改进了该方法，推广了混合有限元方法的适应性. RAVIART和THOMAS[10]针对二阶椭圆问题,提出了R-T混合有限元的构造方法,通过引入中间变量将高阶微分方程降阶, 从而降低了对有限元空间的光滑性要求, 与标准有限元只能通过后处理对微分算子进行计算相比, 其数值解的精度往往会提高. 在过去的几十年里, 混合有限元方法得到了广泛的应用[11-13].两层网格算法是一类求解非线性偏微分方程的高效算法, 它的基本思想是：通过构造2种不同尺度(粗网格和细网格)的有限元空间, 首先在粗网格上求解原来的非线性问题, 然后利用粗网格上的数值解将原问题用合适的方式进行线性化, 再在细网格上求解相应的线性化问题. 该方法最先由XU[14-15]提出和讨论, 他将两层网格思想与非线性Galerkin方法相结合，成功运用于求解半线性和非线性椭圆型问题. 随着对这种高效的有限元两层网格算法研究的深入,许多学者已经将它应用于各类不同的、具有实际应用背景非线性的偏微分方程问题. DAWSON等[16]研究了非线性问题的有限差分两层网格方法; WU和ALLEN[17]使用了扩展混合有限元两层网格方法研究了半线性反应扩散方程; HOLST等[18]分析了半线性界面问题的两层网格算法; ZHOU等[19]研究了Maxwell特征值问题两层网格算法; CHEN等[6,20]分别使用两网格有限元和两网格有限体积元法研究了双曲型方程; 最近, CHEN等[21-23]研究了针对抛物型方程问题的混合有限元两网格方法.本文针对非线性双曲型方程构造了混合有限元两层网格算法, 通过将非线性问题的求解转化为1个节点数较少的粗网格上的非线性问题和1个细网格上的线性问题, 使问题在一定程度上得到了线性化, 从而加快了非线性问题的求解速度.同时给出了两层网格法的误差分析, 根据误差估计和数值算例可知两层网格算法在不降低解的精度的情况下提高了计算效率.采用标准的Banach空间记号Lp(Ω) (p>1),具有范数‖·‖p, 设(·,·)表示L2(Ω)或(L2(Ω))m中的内积. W m,p(Ω)表示定义在Ω 上的Sobolev空间, 其范数记为‖·‖m,p, 定义为‖φ‖‖D αφ‖为简单起见, 当p=2时, 记W m,2(Ω)=H m(Ω),把上述范数简记为‖·‖m=‖·‖m,2,‖·‖=‖·‖0,2.接下来定义如下空间:W=L2(Ω),V=H(div;Ω)={υ(L2(Ω))2,▽·υL2(Ω)},其范数定义为设Th为区域Ω上四边形或三角形的拟一致剖分,其剖分步长为h. 采用混合有限元方法, 其逼近子空间记为Vh×Wh⊂V×W, 它是拟一致剖分Th下的k (k≥1)阶的Raviart-Thomas空间[10], 对R-T空间, 将利用以下结论:▽·υhWh(∀υhVh).设Qh为L2投影算子,则有假设1<q<∞, 对于任意的φL2(Ω)或者φ(L2(Ω))2, L2投影算子具有如下的逼近性质：同时利用标准混合有限元空间的Fortin投影算子Πh:(H1(Ω))2Vh, 使得对任意的qH(div,Ω),有对任意的qH(div,Ω), 投影算子Πh有如下的逼近性质：对于空间Wh和Vh, 具有逆估计(w Wh, υVh).设p=-K▽u, 则有κp=-▽u. 现在, 定义方程(1)的弱形式如下:求(u,p)W×V满足设Δt>0,N=T/Δt,N+,tn=nΔt,tN=T,n=0,1,…,N. 为了简便起见, 引入下面记号: 对方程(8)离散化, 可得(whWh,n≥1),接下来定义一椭圆混合投影, 将方程(8)的解(u,p)通过椭圆混合法投影到有限维空间(Rhu, Rhp)Wh×Vh,满足下列方程由方程(8)和方程(12), 得到误差方程为了后面的理论分析,给出以下引理.引理1[21]199 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理2[21]200 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理3[13]389 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有下面将得到全离散混合有限元解和椭圆混合法投影之间的超收敛现象.引理4[24] 已知g是剖分Th上的逐段分片光滑函数, 如果是g(u)在剖分Th的每一个元上的平均值, 且‖▽g‖0,∞≤M, 则为了分析方便, 记αn=un-Rhun,γn=pn-Rhpn,δn=Qhun-Rhun.引理5 已知Wh×Vh是混合有限元离散格式(9)～(11)的解,(Rhun,Rhpn)Wh×Vh是它们的椭圆混合投影, 假设条件(A1)～(A3)成立, 且有那么当k≥1, Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+2+Δt2).证明方程(13)可写为:(▽Wh),(υhVh).由方程(8)可得(κpn+1,υh)-(▽·υh,un+1)=0 (υhVh).令式(17)减去式(10)和式(15), 易得(▽(T1,wh)+(T2,wh)+(T3,wh) (whWh),其中.式(11)与式(18)相减并利用式(16)得到(κζn+1,υh)-(▽·υh, ξn+1)=0(υhVh).注意到,于是将式(20)改写为(κ∂tζn,υh)-(▽·υh,∂tξn)=0(υhVh).分别在式(19)、(21)中取检验函数然后相加,得到(T1,∂tξn)+(T2,∂tξn)+(T3,∂tξn).式(22)两端同乘以2Δt并对t从1到l-1(1<l<N)求和,可得}.接下来利用文献[12]185-187中引理6的证明方法, 可获得方程的全离散解和椭圆混合法投影之间的超收敛结果(式(14)). 进一步, 利用三角不等式、引理1～引理3及引理5可获得混合有限元的误差估计.定理1 如果条件(A1)～(A3)成立,Wh×Vh是混和有限元方程(9)～(11)的解, 且初始函数,则当Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+1+Δt2).本节构造了非线性双曲型方程(1)的全离散两网格混合有限元格式.对区域Ω进行2个拟一致三角形网格剖分TH和Th,得到有限维空间WH×VH(⊂Wh×Vh).此算法可以分为2步进行: 首先在粗网格TH上解1个非线性问题(即原问题); 然后在细网格Th上解1个线性问题(即原问题线性化). 算法如下:第1步：在粗网格TH上求解非线性问题：求(uH, pH)(WH×VH)，满足(▽VH),(wHWH,n≥1),(▽VH,n≥1).第2步：在细网格Th上求解线性问题: 求(Wh×Vh)，满足(▽Vh),(whWh, n≥1),(▽Vh, n≥1).首先估计‖‖0,p.引理6 设(uH, pH)WH× VH是粗网格上的解, 条件(2)～(4)成立, 且有那么对1≤n≤N, 2≤q<∞, Δt充分小时, 存在不依赖于H 的常数C, 满足证明利用三角不等式、逼近性质(5)、引理2、引理5及逆估计(7), 易得到式(29).定理2 已知Wh×Vh是方程(27)、(28)的解, 如果条件(2)～(4)成立, 取初始函数,那么存在与h和Δt无关的C,使得C(hk+1+H2k+2+Δt2).证明令n=un-Qhun 和n=pn-Πhpn. 分别将式(17)、(18)减去式(27)、(28), 得到误差方程:(▽,(κωn+1,υh)-(▽·υh,μn+1)=-(κn+1,υh),其中f .注意到于是将式(33)改写为(κ∂tωn,υh)-(▽·υh,∂tμn)=-(κ∂tn,υh).将方程(32)和方程(34)中的检验函数分别替换成wh=∂tμn和, 然后相加得到(F1,∂tμn)-(κ∂t).式(35)两边同乘以2Δt, 对t从1到l-1(1<l<N)求和, 得(κ∂t}.对式(36)左端进行估计. 由初始条件(30), 得到在式(33)中, 当n=0, υh=ω1时, 易得ω1=0. 进而有以下估计(‖ωl‖2+‖ωl-1‖2).下面估计方程(36)的右端，有‖‖2}.对于F1中的每一项, 利用逼近性质(5)、引理4和引理6, 可以得到‖‖2),C‖‖·‖∂tμn‖≤C(h2k+2+‖μn‖2+‖‖2),C(H4k+4+‖‖2).由式(40)～(42), 得到F1的估计如下:‖μn‖‖‖2).接下来, 利用Fortin投影算子性质(6), 有n-(‖∂tn-‖+‖‖)·‖‖≤因此, 结合式(37)～(39)、(43)、(44), 可得式(36)的估计:‖‖2+‖ωl‖2+‖ωl-1‖2≤C{Δt4+h2k+2+H 4k+4+‖μn‖‖ωn‖‖‖2+‖tt(·,t)‖2dt}.在式(45)两边同时加上‖μl‖, 并使用不等式利用离散的Gronwall引理可得C{Δt4+h2k+2+H 4k+4}.最后, 由逼近性质(5)、式(6)以及三角不等式，式(31)成立.考虑非线性双曲型方程问题其中由方程(46)的精确解u(x,t)=sin(πx1)sin(πx2)sin t唯一确定.首先对区域Ω进行网格剖分. 在这里对Ω进行三角形单元划分, 采用均匀网格步长(分别取为h={1/16,1/64,1/256}). 使用混合有限元法计算方程(9)～(11)的解, 求解时需要用到非线性牛顿迭代, 如果取步长h=1/256, 则需要计算65 536个点的近似解(uh,ph).使用本文的两层网格算法, 根据定理2, 选取H =O(h1/2)作为粗网格上的步长,用非线性迭代格式(23)～(25)计算出粗网格解(uH, pH), 然后在细网格求解线性问题(26)～(28)，得到两层网格解h), 并使h)≈(uh,ph).由表1和表2可知, 两网格法得到的数值解与直接法求得的结果几乎一致, 同时通过比较计算时间t(利用MATLAB软件的运行时间)可知, 两网格法提高了计算效率, 当计算规模较大的时候, 更能体现两网格法的优势. 这些结果和理论分析的结果一致.该方法简单有效, 我们可以知道当粗网格十分粗时, 即粗网格的网格数比细网格的网格数小得多, 不会影响细网格上有限元方法解的精度, 这样可以将大规模的计算问题转化成小规模问题进行求解.【相关文献】[1] WIRZ H J,SCHUTTER F D,TURI A. 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Improved error estimates for mixed finite-element approximations for nonlinear parabolic equations: the continuous-time case[J].Numerical Methods for Partial Differential Equations,1994,10:139.。
Maxwell’s方程的非协调有限元分析
郑州大学硕士学位论文Maxwell’s方程的非协调有限元分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20070401Maxwell’s方程的非协调有限元分析作者：裴丽芳学位授予单位：郑州大学1.王琳两类抛物型微分方程的非协调有限元方法[学位论文]20092.龚伟各向异性下发展方程的一些高精度分析[学位论文]20063.姚昌辉发展型Stokes方程变网格各向异性元分析及Poisson方程五参数元高精度分析[学位论文]20034.关宏波各向异性下抛物问题及变分不等式的变网格有限元方法[学位论文]20065.胡来平.刘占军电磁学计算方法的比较[期刊论文]-现代电子技术2003(10)6.张继伟Stokes特征值问题及曲率障碍变分不等式的各向异性元逼近[学位论文]20067.纪凤珠.王长龙.陈正阁.左宪章.JI Feng-zhu.WANG Chang-long.CHEN Zheng-ge.ZUO Xian-zhang基于三维有限元法的漏磁场分析[期刊论文]-兵工学报2007,28(7)8.李秋红各向异性网格下发展型方程的超收敛分析[学位论文]20069.王海红发展型方程的H<'1>-Galerkin混合有限元方法[学位论文]200610.汪松玉两类各向异性非协调元的超收敛性分析[学位论文]2005引用本文格式：裴丽芳Maxwell’s方程的非协调有限元分析[学位论文]硕士 2007华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。
有限元基本理论及工程应用：第六章 非协调单元
det
J
dd
u E u I
T
rrEI
(6-1-10)
rrEI
11 1 1
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
(1 2 ) 0
(1 2 ) 0
0 (1 2 )
0 T (1 2 )
f f
x y
t
det
J
dd
(6-1-11)
（3）静凝聚
内自由度： uI 1 2 3 4 T
,u) ( p,u)
(6-2-8)
当所有边界条件均为位移边界条件时：
h P
1 2
Dh (u,u) ( f
,u)
(6-2-9)
Sh 中使
h P
取驻值的元素即为非协调元的有限元解 uh 。或者换个提法：找一
个元素uh∈Sh，使得对任何δu ∈Sh 都有
h P
Dh (uh ,u) ( f ,u) ( p,u)
e
1 1
单元变形能
Ve
1 uE T
2
u I
k
u E u I
1 2
u E u I
T
k EE
k
IE
k EI k II
u E u I
由于 [k] 为对称阵，必有
kIE T kEI
(6-1-8)
Ve
1 2
(
uE
T
kI
uE
uI T k IE
(6-2-4)
由于当Sh不是H1(Ω)的子空间，试探函数 u 在穿过单元边界时为δ─ 函数。 积分（6-2-4）在整个求解域内积分不存在。但是，在单元 e 内积分存在。
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｛ ， ， ｝ ， ， Ｖ ， ５
ｓａ｛， Ｙ （） （）， ｐｎ １ ， ， ｝ ，
其 中
ｄ １，１ＩＬｄ ｓ ，４２￣ ｖ ， ＿’， Ｉｅ ２ ５ ｘ ３ ｙ
（ ｆ∈． （， ， ， Ｏｘ ０ ） 】 １ ２ ∈ ， Ｘ∈ ， ㈣ ～
本 文在 各 向异性 条 件下 ，讨 论 一类 半 线性 双 曲 方程 半 离散 格式 的非协 调元 逼 近 ，通过 导 数转移 方 法 和一些 特 殊技 巧 ，给 出 了其近 似解 与 精 确解 的误
Ｉ（ ０ ＝ ） ｔ ，） （ ， ｔ
差估 计 及超 逼 近 性质 ，同 时，通 过 插值 后 处 理技 巧
为其 光滑边 得 到 了整体超 收敛结 果 ．
其 中 为 Ｒ 上 的一 个有界 闭 区域 ，
界，Ｘ ＝（，） ．
双 曲方程 是一 类 重要 的发 展方 程 ，关 于该 方程 的研究 已有 很多 结果 ．文献 … 研究 了这类方 程解 的
存 在 唯一 性；文献 【．】 ２４利用 有 限元 方法对 其 进行 了
收敛性分 析． 但上 述有 限元 分析都 是基 于对 网格经典 假设，也就是对 剖分 的正则性假设或一致性假设，即
ｈ ｛ Ｋ ｈｈ Ｘ ｐ ≤Ｃ ／ ≤Ｃ， 寸 Ｊ ， 、 Ｋ∈ ｈ
Ｋ Ｅｄｈ Ｅ
单元 的 ４个顶点 其 中 是 的一个凸剖分簇 ，ｈ ｍａ ，Ｊ＝ｍ ｎ ， 条边的边长分别记为 ２ 和 ２ ， ＝ ｘ ； ｉ 而 ， 分别 是一 般单元 的最 大直径 和最大 内 分 别 为 Ｚ（Ｋ— ｘＹ ） Ｚ （ ＋ ， Ｋ— ｙ ￣ ｘ ｈ ， Ｋ一 ， ２ Ｙ ｂ）， Ｚ （Ｋ＋ ，Ｋ十 ，Ｚ （ 一 ，Ｋ十 ） ３Ｘ Ｙ 厅） ４ Ｙ ，单元 Ｋ 的 ４ 条边分 别为 ‘＝Ｚ ｆ （ ｄ ） ＝１ ，， ｉ ＋ ｍｏ ４， ， ３４． Ｚｌ ｉ ２
第 ３ ５卷 第 ２期
江西 师范大 学学报 （ 自然 科 学 版 ） ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ￣ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ ＮＩＥ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ａ Ｇ Ｉ Ｒ Ｌ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｎ Ｕ
Ｖｂ ． ５ＮＯ． １３ ２
２１ 年 ３ ０１ 月
１ 单 元构 造
为简单起见 ， 不妨假设 是 Ｒ 上 的一个有界凸 ２ 多边形 区域， 其边界 分别平行 于坐标轴 轴和 Ｙ轴 ． 为 的一个 矩形 单元 剖 分族 ，Ｖ Ｋ∈Ｊ ，单 ｈ 元 的 中心设为 （Ｋ Ｙ ） 沿 Ｘ Ｘ ，Ｋ ， 轴方 ￣ｆ ｙ轴方向的 ２ ｆ ｌ ｌ
法与技 巧 ，给 出了近似 解与 精确解 的误 差估 计及 超逼 近性 ．最后 ，通 过使 用插 值后 处理 技 巧得到 ； 双曲方程； 各向异性； 非协调元； 超收敛 中图分 类号： ２ １ Ｏ２ ． ４２ 文献标识 码： Ａ
点 的有 效途 径 之一 就是 采 用各 向异性 剖分 ，它可 以
） ３ 一 ） ２ ＝（ｔ １／ ．
格 不能 很好 地体 现 解 的这种 性质 ．这 时解 决 这一 难
有 限元 空 间定义 为
收稿 日期：２ １． ３０ ０ １０ ．１
基金项 目：国家 自然科学￣ （０ ７ １９ 河南省 自然科学基金（ ２ ０ ４Ｏ ４ ） １９ ２ １） ， Ｏ ３ｏ ｌ １ １ ９ 和河南教育厅 自然科学基金（ ｌＡｌ０ ｌ） ２ Ｏ ｌ０ ４资助项 目 ０ 作者简 介：乔保 民（９ ３） 男 ， 南宁 陵人，副教授 ，主要从 事有 限元理论 及应 用 的研 究 ． １６一 ， 河
这 里 【 表 示 ｖ 跨 过边 界 Ｆ的跳 跃 度 ，当 Ｆ［０２ １】 ， ． ６
在空间Ｖ 上定义 ｌｉ （ １ ） 其中 Ｉｂ ∑ ． “ ．＝ １ Ｉ ，
Ｍ ａｒ ．２Ｏｌ １
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ｏ —１ １０ １０ —８ ２２ １）２０ ３ —４ １
半 线 性 双 曲方 程 的 一个 非协 调 有 限元 超 收 敛 分 析
乔 保 民
（ 商丘 师 范 学 院 数 学 系，河 南 商 丘 ４ ６ ０ ） ７ ００
摘 要 ：在各 向异性条 件下 ， 利用有 限元 方法 对半线 性双 曲方 程的一 个非 协调元 逼近 进行 了研究 ， 通过 新 的方
１２ ３
江 西师 范 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
２ １ 矩 ０１
Ｖ ｛；Ｉ ， ∈ ｈｖｖ ∈ ， ＝ ｈ
时，［ ＝ ． ］
＝Ｆ ｝ ０ ｃＫ， ， Ｏ
代 入（） ，整理得 ３式
Ａ 芎 专 十Ｂ ＝ｃ ｏ， （ （） ， ０＝ 芎 ＝＿ ， ｊ Ｂ ｊ
０ 引 言
考虑下 面一 类半线性 双 曲方 程 ：
” 一 ｕ＝， 材， Ａ （） ｕ （ Ｘ ０ ＝ ） ） （ ，
，
使人 们 用很 少 的 自由度 而 得 到 同样 的收敛 效果 ． 文
献 ［．］ ５９分别 在各 向异性 条件 下，对 ２ 阶椭 圆等问题
进行 了分析研 究 ．
在 上定 义如下 有 限元 ， ， ） ：
切 圆直 径．这 里及 以后 出现 的 Ｃ均表示 一 个常 数且 与ｈ 无关 ，不 同的地方 可 以取 不 同的值．然 而，在实
际应 用 中 ，对 于直 接定 义 在 窄边 区域 上 的 问题 ，如
果采用 上 面传 统 的正 则剖 分 ，总体 自由度 的增 加将 会 使 计算 量 非 常大 ．另 一 方 面，由于方 程 的解 在 其