第6章 非线性有限元法(几何非线性)
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
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在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
材料非线性
( ) P( ) f 0 0
其中： 表示载荷变化的量。 dP d d f 0 KT f0 0 d d d d 1 K T ( ) f 0 d 切线矩阵
1 1 m1 m KT ( m ) f0m KT ( m )f m
一、材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后 存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情 况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系， 这是区别于非线性弹性的基本属性。
11
单调加载 对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服 应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时， 材料进入 弹塑性状态。 当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料 变形可以继续增加—理想弹塑性材料。
第六章 材料非线性问题的有限元法
1
第一节
引言
线弹性力学基本方程的特点： 几何方程的位移和应变的关系是线性的； 物理方程的应力和应变的关系是线性的； 建立于变形前的平衡方程也是线性的。 几何非线性问题 结构的变形使体系的受力状态发生显著变化， 以致于不能用变形前的平衡方程分析，且位移和应 变的关系不是线性的。
K ( ) f 0
增量法 载荷分为若干步： f 0 , f1 , f 2 , f 3 位移分成若干步： 0 , 1 , 2 , 3 每两步之间增长量为增量。 增量解法的一般做法是： 假设第m步的载荷 f m 和位移 m ； 让载荷增加 f m1 ( f m f ) ，再求解 m1( m )。 如果每一步的增量 f 足够小，解的收敛性 可以得到保证
9
NmR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度 较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突 然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛， 可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。 该方法每隔一次迭代进行一次加速。
非线性 元法 几何非线性
５、几何非线性有限元方程的建立
如前所述，几何非线性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式法)： 选取t0=0时刻未变形物体的构形A0作为参照构形进行分析。
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法）： 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因
Ni (参考面积法向矢量)
变形前面积dA’
变参2形考、后后Ti状状j不态态对下下称：：，dd因PiiP 而T较iijjN n难jjdd应A A用到有ijn 限jd元分A T 析ijN 中j。dA ni(变形后面积法向矢量)
将面积映射关系：njdA JN iFij1dA代入上式，得：
iJ j N kF k1jdA TiN j jdA
V
V
S
或写为：
12Sij 12ei*jdV12Q
V
式中， 1 2Q 1 2fibui*dV1 2fiSui*dS 表示外力所做的虚功。
V
S
５、几何非线性有限元方程的建立
引入此前Green应变张量表达式，可得：
e ijijij e ijijij
虚功方程：
12Sij 12ei*jdV12Q
和应变在变形后状态下表示未知。
x2
x3 t0=0 P0
A0
x1
tn tn+1=tn+Δtn
Pn
Pn+1
An
An+1
５、几何非线性有限元方程的建立
为了求解，需将以上变形后状态下表示的虚功方程转换到
初始状态下表达。
1、采用二阶Piola应力张量和 Green应变张量将虚应变能转换 到初始状态下表示：
2、在外力作用点和方向都不改
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
第6章 玻璃面板的计算和设计
第6章 玻璃面板的计算和设计§6.1 计算理论建筑工程中典型温度下的玻璃特征是完全弹性的，玻璃也不具有蠕变和松弛特性。
当玻璃面板变形较小时，可采用小变形理论计算外荷载作用下的玻璃面板内力和位移。
对于各种矩形、圆形或三角形的具有不同边界条件的玻璃面板可采用解析解、表格或有限元方法计算。
大面积玻璃面板的实际位移一般要大于小变形理论所得结果，这是因为板因弯曲变形会产生中面的拉应力，而小变形理论忽略了中面拉应力对位移和应力的阻止或抵消效应。
所以，对玻璃幕墙中的玻璃面板，应采用精确的几何非线性方法进行计算和分析。
玻璃与其支承结构连接处的应力状态十分复杂，可采用有限单元法计算此处的局部应力分布，计算结果的可靠性取决于的边界条件选取的合理性。
当然，连接处有限单元模型的精确与否只对局部应力有影响，对玻璃面板的位移和大面应力影响不大。
玻璃内力采用弹性方法计算，截面最大应力设计值不应超过玻璃大面强度设计值。
无地震作用效应组合时，应力应符合下式要求：g w f ≤σγ0 （6-1）有地震作用效应组合时，应力应符合下式要求：RE g E f γσ/≤ （6-2）式中 g f —— 玻璃的大面强度设计值（N/mm 2)，按表2-3取用；0γ—— 重要性系数，应取不小于1.0；RE γ——抗震调整系数，应取1.0；w σ——重力荷载和风荷载组合在玻璃中产生的最大应力设计值（N/mm 2)；E σ——重力荷载、风荷载及地震荷载组合在玻璃中产生的最大应力设计值（N/mm 2)。
玻璃最大挠度不应超过规定限值。
lim ,f f d d ≤ （6-3）式中 f d ——玻璃在风荷载标准值作用下产生的最大挠度值（mm ）；lim ,f d ——玻璃的挠度限值，对窗框玻璃取其短边的1/60；点支玻璃取其长边的1/60。
在计算中值得注意的是，由于在这里考虑了玻璃面板的几何非线性效应，因此在计算时应先进行各种荷载的组合，然后对最不利荷载组合进行最大应力的计算，它不符合线性条件下的各种荷载作用下最大应力的叠加原理。
桥梁结构几何非线性计算理论
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程
中的非线性问题逐步得以解决
1.概述(续)
非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方
程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
平面桁架单元的切线刚度矩阵；平面柔索单元的切线刚度矩阵；平面 梁单元的切线刚度矩阵。
桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
稳定函数与几何刚度阵；弯矩对轴向刚度的影响；活载几何非线性； 桥梁结构几何非线性调值计算。
非线性方程的求解
概 述；Newton-Raphson法；收敛准则。
小 结
第十一章
t t
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围 T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理
论导出的不同方法，但是，它们在相同的荷载增量步 内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到 多个实际例题的证明。
从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性
分析，但一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转 角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于 上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、 徐变分析。可以追踪变形过程的应力变化。
求得的位移状态下，新的抗力与总外荷载之间有一差量， 即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消 除这个失衡力。
在计算中，一般通过迭代法来求解。
2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L列式)
在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参
照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已 知平衡状态，即以本增量步起始时的t时刻构形为参照 构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列 式) 。
梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量：
t + ∆t t Eij
式中， ∆ Eij 为：
∗
∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期：2013-05-01；修改日期：2014-03-06 基金项目：国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介： 陈政清(1947―)， 男， 湖南湘潭人， 教授， 博士， 湖南大学风工程研究中心主任， 主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44
工
程
力
学
E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变，应 力应变增量关系可以记为：
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下： ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中：
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式中，Eij称为Almanshi应变张量 或Almanshi –Eular应变张量。
可以证明Green应变张量和Almanshi应变张量都是二阶对称张量。
３、应变与变形测度
2、Green – Lagrangian应变张量eij与小应变张量εij的关系
将变形梯度张量表达式代入到 Green应变张量公式中，得：
ds2 ds2 dxi dxi dxidxi
dxiFki Fkj dxj dxidxi Fki Fkj ij dxidxi 2eij dxidxi
1 eij Fki Fkj ij 2
ds ds
dxi dxi dxidxi
t0=0
P0
Pn An
Pn+1
An+1
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
A0
x1
x2
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—Updated Lagrangian Formulation）： 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因 此其构形和坐标值也是变化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增量 步的开始时刻。 3、欧拉描述法(Eulerian Formulation)： 独立变量是质点当前时刻的位置xn+1与时间tn+1。
1 1 dxi dxi dxi Fki Fkj dx j
1 1 ij Fki Fkj dxi dxi 2 Eij dxi dxi
Eij
1 1 1 ij Fki Fkj 2
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
x dxi i dxj Fij dxj xj x Fij i xj
Qxi dxi
x3
Pxi dxi
Pxi
x2
Pxi
x1
式中，Fij称为变形梯度张量。
２、变形梯度张量
由位移方程，得：
Fij xi xi ui xj xj xj
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
几何非线性的有限元方程一 1、变形体的运动描述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式
法—Total Lagrangian Formulation)：
tn
x3
tn+1=tn+Δtn
３、应变与变形测度
由于变形梯度张量Fij中包含了刚体运动，因此不能直接用于定 义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值 可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度，定义为： 初始状态: 变形后状态：
ds2 dxidxi
ds
2
dxi dxi
Qxi dxi
xi u F ij i x j x j
1 ij
变形前面积dA’
ni(变形后面积法向矢量)
逆映射F-1ij 体积映射:
变形后面积dA
由二阶张量特性，变形梯度张量 的三个不变量为：
dV det Fij dV JdV
1 面积映射： n j dA JNi Fij dA
３、应变与变形测度
1、Green 应变张量
Green应变张量采用Lagrangian运 动描述方法，即按初始状态下的 构形定义应变张量。 由于大变形问题有 限元方程主要采用 ２、 Almanshi应变张量 T.L列式法或U.L列式 Almanshi 应变张量采用Eular运动 法建立，因此应在初 描述方法，即按当前状态下的构 始状态下定义应变张 形定义应变张量。 量，即采用Green应 变张量。 2 2
式中：
1 ui u j ij 2 xj xi
Cij Fki Fkj
为小变形应变张量；
ij
1 uk uk 2 xi xj
I1 Fii Fij ij I 2 1 Fij Fij Fii Fjj 2 I3 det Fij J
Ni (初始面积法向矢量)
ui 或写为： Fij ij 于Fij表示从初始状态到变 形后状态的一个映射，其逆映射 Fij-1一定存在，即：
1 uk u k eij ki kj 2 xi xj ij
1、Green应变张量
eij ij ij
为小应变张量与一个非线性二 次项之和，这意味所有大变形 分析都是非线性的。
２、变形梯度张量
1、首先采用Lagrangian方法， 将一个物体的加载过程划分为 一系列平衡状态。 初始状态与变形后状态之间坐 标关系为： 位移方程
初始/未变形
x3
变形后
P’
位移u
P
x’
x1
x
xi xi ui
x2
2、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量 描述物体内一段无限小的单元。
初始状态与变形后状态之间材料方向矢量 的关系：
x3
Pxi dxi
一个应变测度应该能反映出材料一段 长度发生的改变。因此，应变张量可以由 下式定义：
Pxi
x2
Pxi
x1
ds ds
2
2
dxi dxi dxidxi
提醒：由于Green应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状
态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。
2、Green变形张量也可写为： 1 eij Cij ij 2 式中，Cij是Cauchy变形张量
1 ui u j uk uk ij ij 2 xj xi xi xj u j 1 uk uk 1 u i ij ij 2 x j xi 2 xi x j