线性和非线性有限元分析 3
有限元受力分析--结构梁-力-计算
有限元受力分析–结构梁-力-计算1. 前言受力分析是工程设计中至关重要的一环，能够帮助工程师完善设计并避免安全事故的发生。
在此，我们将介绍有限元受力分析在结构梁设计中的应用。
本文将重点讲解有限元受力分析的相关理论和计算方法。
2. 有限元受力分析有限元分析是数值计算的一种方法，可用于解决工程中的受力分析问题。
它把结构离散为有限个单元，然后对每个单元进行分析。
有限元分析可分为线性有限元分析和非线性有限元分析两种类型。
本文我们只讨论线性有限元分析。
在有限元分析中，结构被分解为离散的单元，每个单元都是基于解析解的一部分。
有限元的形状、尺寸和材料属性可以通过计算机程序进行定义。
使用数学模型和有限元方法，可以计算单元的应力、变形和应变，从而进行结构的受力分析。
3. 结构梁结构梁相信大家应该都知道，它是工程中最为常用的结构之一。
它具有一定的强度和刚度，可以支撑和传递载荷。
一般来说，结构梁通常由简单的杆件单元组成。
在进行结构梁受力分析时，我们需要考虑弯曲、剪切和挤压等不同形式的载荷，以及结构在工作条件下的应变和应力分布情况。
有限元受力分析对于这些问题的研究提供了很好的解决方案。
4.力的分析在受力分析中，载荷是非常关键的参数。
载荷可以是点载荷、均布载荷、集中荷载等。
在本文中，我们将分别介绍这些载荷类型的有限元分析方法。
4.1 点载荷分析点载荷通常是一个单点受到的载荷。
对于点载荷的有限元分析，我们可以通过构建一个网格模型，然后将点载荷作用在网格的节点上。
此外，还需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积，以计算结构的应力和变形。
需要注意的是，点载荷分析过程中的网格划分应当尽量精细，以达到更为优秀的数值精度。
4.2 均布载荷分析均布载荷是沿着梁的长度方向均匀分布的载荷，例如一根梁的自重、荷载等。
在进行均布载荷的有限元分析时，我们可以在网格的中央位置放置均布载荷，然后将梁的边缘节点设置为固定的约束条件。
同样，需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积以计算结构的应力和变形。
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
《有限元非线性》课件
本课件介绍《有限元非线性》课程的重要概念和应用领域，帮助学习者深入 了解非线性有限元分析的基本原理和解决方案。
有限元分析基础概念
介绍有限元分析的基本原理，包括离散化方法、单元类型和刚度矩阵的计算。
进一步学习非线性有限元方法
深入讨论非线性有限元方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用和优缺点，以及适用场景。
常见的非线性问题类型
弹性-塑性耦合模型
讨论弹性和塑性耦合的模型，以及其在结构分析和变形分析中的应用。
本构方程的求解方法
详细介绍求解非线性本构方程的数值方法和迭代策略，包括线性化方法和增量迭代法。
探讨材料非线性、几何非线性和边界条件非线性等常见问题类型，并提供解决方案。
经典弹塑性模型
介绍经典弹塑性模型及其在非线性有限元分析中的应用，包括塑性流动准则和硬化规律。
渐进式塑性模型
探讨渐进式塑性模型的特点及其在复杂材料行为建模中的应用。
黏塑性模型
介绍黏塑性模型及其在某些材料和地质工程分析中的应用，如粘土和岩石。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
线性和非线性有限元分析
Strain-rate dependence of tensile response of cortical bone. (Adapted from J. H. McElhaney, J. Appl. Physiology, 21(1966) 1231.)
为何线性有限元
• 线性元是对自然界非线性问题的小范围和小规 模逼近 • 线性材料是人为假设的 • 人类在构造建筑和机械结构时假设它们不会在 人造环境和人为的载荷条件下产生大的物理量 变 • 线性有限元可以解决大部分民用建筑结构和民 用机械结构问题 • 非线性问题可以用多个线性问题的解来逼近
ZIENKIEWICZ &CHANG popularize the method with the practicing engineering community (有限元在工程界广泛推广） IRONS &RAZZAQUE frontal solution technique successful implementation of finite elements (成功应用单元前沿刚度矩阵方程解法） isoparametric elements , modern finite element methods （参数元，从长现代有限元） theory of distributions, generalized functions, weak solutions of pde’s （广义函数，偏微分方程弱解） the decade of the mathematics of finite elements (数学家的十年）
几何非线性：
• • • Large deformation （线性和非线性材料大变形） Contact Non linearity（线性材料接触和非线性材料接触） Nonlinear Buckling （线性和非线性材料屈曲）
有限元非线性分析
下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应力-应变度量 等主要不同将在本章详细介绍。
序号 1.
特征 荷载-位移关系
2.
应力-应变关系
3.
比例缩放
4.
线性叠加
5.
可逆性
6.
求解序列
7.
计算时间
8.
用户与软件的交互
13.3 非线性的类型
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
13.6 非线性静力分析的一般流程
一个典型的非线性静力分析项目需要以下步骤：
网格划分：有限元模型的创建是有限元分析一个非常重要的步骤，不论进行什么样的分析。在第4-7章已经讨论过对 于某些应用的如何选择适当的单元类型。FEA小组会得到零件的几何数据，需要对这些几何进行网格划分以得到零件 网格。当装配中所有的零件划分网格后，使用适当的连接单元把它们都连接在一起如CWELD或CBUSH。一般来说， 四边形单元和六面体单元优于三角形单元、楔形单元和四面体单元。应该注意模型中的关键特征，比如圆角、孔和倒 角。如果在两个平行表面之间有紧固件或焊接，应该尽量在两个面上创建相似的网格。这将有助于焊接单元或刚性单 元垂直于表面而不破坏壳单元。然而，许多有限元分析（FEA）代码支持不依赖于节点焊接，而是基于绑定接触。这 允许用户在两个焊接零件之间创建不依赖于节点的连接单元。建议首先对复杂零件进行网格划分，然后对简单或平面 几何进行网格划分以保证良好的单元质量。需要用适当的方式来模拟夹紧、铰接和焊接以在结构中正确地传递荷载。 为单元定义适当的刚度和预荷载以得到更高的精度。如果荷载从结构上的某个面传递到另一个面上，应该在两个面间 定义接触。每个FEA代码都有自己的接触参数输入格式。一个典型的接触定义需要主从节点或单元，摩擦系数，接触 面间的间隙和接触算法。
有限元方法分类
有限元方法分类
有限元方法是一种强大的数值分析工具，广泛应用于工程计算、物理模拟等领域。
按照不同的分类方式，有限元方法可以划分为多个类别：
1. 按求解问题类型划分：结构力学有限元、热传导有限元、电磁场有限元、流体力学有限元、声学有限元等，分别对应于解决固体结构应力变形、热量传递、电磁场分布、流体流动以及声音传播等问题。
2. 按单元性质划分：线性有限元和非线性有限元。
线性有限元处理的是线性问题，如弹性力学中的小变形问题；非线性有限元则是针对材料非线性、几何非线性等问题。
3. 按时间因素考虑划分：静态有限元分析和动态有限元分析。
静态分析处理稳态问题，不考虑随时间变化的影响；动态分析则考虑了随时间演变的效应，如瞬态动力响应。
4. 按离散形式划分：等参有限元、非等参有限元。
等参有限元在单元内部采用一致的坐标变换，非等参有限元则根据实际情况灵活选择节点和形状函数。
5. 按求解流程划分：直接法有限元和迭代法有限元。
直接法直接求解全局刚度矩阵，而迭代法则通过多次迭代逐步逼近解。
总之，有限元方法因其灵活性和普适性，能够处理各类复杂的物理问题，已成为现代工程与科学研究中不可或缺的分析手段。
有限元分析的原理及应用
有限元分析的原理及应用1. 引言有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程数值模拟方法，通过将大型、复杂的物理问题离散成多个小的有限元单元，并对每个单元进行数值计算，最终得到整体系统的解。
本文将介绍有限元分析的原理及其在工程领域的应用。
2. 有限元分析的原理有限元分析的原理可以概括为以下几个步骤：2.1. 建立几何模型首先，根据实际问题的几何形状，以及需要分析的部分，建立一个几何模型。
这个模型可以是二维的或三维的，可以通过计算机辅助设计（CAD）软件绘制，也可以通过测量现场物体的尺寸来获得。
2.2. 网格划分在建立好几何模型后，需要将其离散化为有限多个小的有限元单元。
常见的有限元单元有三角形、四边形和六面体等。
划分过程决定了数值计算的精度，越精细的划分可以得到更精确的结果，但同时也会增加计算量。
2.3. 建立数学模型和边界条件有限元分析需要建立一个数学模型来描述物理问题。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，取决于具体的问题。
在建立数学模型时，还需要考虑边界条件，即模型的边界上可能存在的约束或加载。
2.4. 求解数学模型有了数学模型和边界条件后，需要对其进行求解。
求解过程可以采用迭代方法或直接求解方法，具体取决于问题的复杂程度和计算要求。
在这一步中，需要进行数值计算，得到对应的物理量，例如应力、位移、温度等。
2.5. 后处理在得到数学模型的解后，需要进行后处理，将数值结果转化为可视化或可以使用的形式。
后处理可以包括绘制位移云图、应力云图等，以及针对特定问题进行统计分析。
3. 有限元分析的应用有限元分析在工程领域有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用领域：3.1. 结构力学有限元分析在结构力学中的应用非常广泛。
通过有限元分析，可以对结构的强度、刚度、变形等进行分析和优化。
常见的应用包括建筑结构、桥梁、飞机、汽车、船舶等领域。
3.2. 热传导有限元分析可以用于模拟物体内部的温度分布和热传导过程。
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石墨烯的应力应变关系
馮式指数生物力学模型(血管，皮肤等） Fung’s Exponetial Law
馮元楨 （Yuan-Cheng.Fung): Founder of Modern Biomechanics
1919年生于江苏，美籍华人，国际知名学者。生 物力学开创者及奠基人，有“生物力学之父”美 誉。现为美国国家科学院院士、美国国家工程院 院士、美国国家医学院院士、中国科学院外籍院 士及台湾中央研究院院士。2000年获美国科学最 高荣誉“美国国家科学奖章”，为获此殊荣首位 生物工程学家；2007年获地位堪比诺贝尔奖的 “拉斯奖”(Russ.Prize)；另有美国“百年大奖”、 美国国家工程院“奠基者奖”、 中国南京大学世 纪校友学术成就金质奖章等。
3. 石墨烯杆元
f 1x AE 1 1 AD | u 2 x u1x f 2 x L 1 1 L2
1 1 u 1x | 1 1 u 2 x
f 1x l2 f 1 y AE lm { f 2 x L l 2 f 2y lm
牛頓 - 拉夫遜 算法示意图 Algorithm for Newton-Raphson method
xi 1 xi f xi
1
f xi , i 1, 2,3...
N-R 计算流程图
牛顿法手算例子(附件）
石墨烯杆架例子
边界条件
Boundary conditions
三、稳态塑性固体结构单元简介（非线性元） 密率轴向杆元 密率欧拉梁元 密率框架元 密率平面元 Power-law Axial Bar Power-law and Euler Beam Power-law and Truss and Frame Powerlaw CST and Bi-linear Elements Piecewise Linear Approximation of Material Properties Other Power-law Models: Hollomon, Ramberg_Osgood，Graphene 钛铝合金船结构设计案例、石墨烯 等,牛頓拉夫遜和共轭梯度法的应用
2. Ramberg_Osgood 杆元
1 u 2 x u1 x ( L ) f 1x n 1 A , ( s ) As B | s | s f 2x 1 ( u 1 x u2 x ) L
f 1x f 1y f 2x f 2y l m 0 0 1 (l (u 2 x u1x ) m(v2 y v1 y )) m l 0 0 0 A 0 0 l m 1 (l (u 1x u2 x ) m(v1 y v2 y )) 0 0 m l 0
2.09465 1.39643 2.09465 1.39643
3.14198 2.09465 3.14198 2.09465
n 1
d du K ( dx dx
2 n 1
n 1
du ) f ( x) 0 dx
2
材料非线加几何非线性方程：
K | |
n 1
d du 1 du K { dx dx 2 dx
du 1 du [ ]} f ( x) 0 dx 2 dx
(a) Local nodes:元节点
For element 1: For element 2: At node 1 At node 2
(b) Global nodes:整体节点
At node 1: At node 3:
单元1材料和几何数据
Between Nodes 1 and 2 A(1) 4.9087 106 m 2 E (1) 1 1012 Pa D (1) 1.92307 1012 Pa L(1) 4 13 m 100 Angle of orientation 33.69
美国海军的未来驾驭于钛钢的强度
Future Naval Force May Sail with the Strength of Titanium
（Story Number: NNS120403-17Release Date: 4/3/2012 10:40:00 PM）
钢材的地位遭到了强劲的竞争对手-钛钢： 美国海军研究办公室（ONR）资助的项目，将完全用钛钢产生一个全尺寸的 船体，采用焊接的创新，可以帮助到未来的海军船舶建造带来钛钢。
分段线性材料
其它密率模型
工程实例
现代工业中常用的非线性弹朔性模型
简单的形式： (1) Hollomon's Power-Law: K | |n 1 , 0 n 1 1 0.002 n 1 (2) Ramburg-Osgood Law: | | , n 2 n E | y | (3) Graphene Quadratic Law: E D | | (4) Fung's Exponential Law: E ( e 1 )
单元1局部矩阵方程
2.35634 1.57089 2.35634 1.57089 1.57089 1.04726 1.57089 1.04726 107 (1) f1x 2.35634 1.57089 2.35634 1.57089 (1) 1.57089 1.04726 1.57089 1.04726 f1 y (1) 3.14198 f2 x 2.09465 f 2(1) y 108 |0.8320(u 2 x u1x ) 0.5547(v2 y v1 y ) | 3.14198 2.09465
Steel may have met its match: An Office of Naval Research (ONR)funded project will produce a full-size ship hull section made entirely with marine grade titanium using a welding innovation that could help bring titanium into future Navy ship construction。 If constructed in titanium, Navy ships would have lighter weight for the same size-allowing for a bigger payload-and virtually no corrosion. But because titanium costs up to nine times more than steel and is technically difficult and expensive to manufacture into marine vessel hulls, it has been avoided by the shipbuilding industry. But perhaps not for much longer. Heating produced by welding causes metal pieces to heat up to a "plastic" condition, but not to melt.
1. Hollomon 密率杆元
1 u 1x f 1x AK n 1 1 n | u 2 x u1x | u 1 1 2 x f 2x L
f 1x l 2 lm l 2 lm u 1x f lm m 2 lm m 2 v 1 y 1 y AK n 1 n | l (u 2 x u1x ) m(v2 y v1 y ) | 2 f 2x L l lm l 2 lm u 2 x 2 2 f 2y lm m lm l v 2 y
（/submit/display.asp?story_id=66264）
杆非线性问题各种静态力平衡方程和有限元方程
力的平衡方程：
d f ( x) 0 dx
du 1 du 大位移应变： dx 2 dx
2
du 平小位移应变： dx
0 0 f 1x f 1x cos sin f f 0 0 1y 1 y sin cos 0 cos sin f 2 x f 2x 0 f f 2y 0 0 sin cos 2 y l cos , m sin
美國杜邦聚酰亞胺VESPEL序列产品 DuPont’s Polyimide Products-Vespel S Line Hollomon 密率曲线 应用范围
The Ramberg_Osgood Law
（钛合金） 应力应变关系
/Stress-strain_curve
非线性有限元简介
首先我们介绍一下单变量一维的简单非线性有限元分析 这部分用我的课本中的第10章还有附件： 牛顿法Matlab程序；牛顿法手算例子
1. 非线性杆元简介
y
y
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0 u 1x u 1x cos sin v v 0 0 1y 1 y sin cos u 2x 0 u 2 x 0 cos sin v v 2 y 0 0 sin cos 2 y