非线性有限元解法
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
如何利用非线性有限元法进行力学分析
如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。
这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。
在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。
1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。
静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。
而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。
因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。
下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。
2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。
在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。
(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。
其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。
其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。
因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。
3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。
建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。
模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。
构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。
3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。
边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。
因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。
3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。
两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法
图1 Fig.1
索单元的坐标系
Reference frame of cable element
根据抛物线假定，取索的单元位移模式如下： u = Φ 1u1 + Φ 2 u 2 (1) v = Φ1v1 + Φ 2 v 2 w = Φ 1w1 + Φ 2 w 2 − ∆ f 其中
Φ1 = 1 − x / L, Φ2 = x / L
{u}e = {u1 v1 w1 u2 v2 w2 }T
(10)
为节点位移列向量； 0 0 Φ2 0 0 Φ1 [N] = 0 Φ1 0 0 Φ2 0 −Φ 3 0 Φ1 Φ 3 0 Φ 2 为形函数。 其中，Φ1 和 Φ 2 同前，Φ 3 = 6Φ 1Φ 2 f e / L 。 其中
要： 从 UL 列式的虚功增量方程出发，引入索的基本假定，推导出了两节点曲线索单元切线刚度矩阵
的显式；同时根据索的特性还导出了精确计算索单元索端力的表达式，从而建立起了一套完整的对拉索进 行精细分析的非线性有限元法。应用本文方法，可进行大跨度悬索桥、斜拉桥以及张拉结构等的非线性有 限元分析计算。算例结果表明，本文方法是精确有效的。 关键词： 索支承桥；张拉结构；非线性有限元；两节点曲线索单元 中图分类号： O242.21 文献标识码： A
2
基本假定和位移模式
2.1 基本假定 1. 索在弹性阶段工作； 2. 大位移小应变假定； 3. 索是理想柔性的， 只能承受拉力而不能受压 和抗弯； 4. 考虑索的自重影响， 假设索的几何形状为二 次抛物线。 2.2 位移模式 如图 1 所示，A 、B 为索单元的两节点，OXYZ 为结构整体坐标系， oxyz 为索单元的局部坐标系， 其中， x 轴为索的弦长方向， xz 为索平面， xyz 构 成右手直角坐标系， u 、 v 、 w 分别为索截面沿 x 、 y 、 z 方向的位移， u1 、 v1 、 w1 和 u 2 、 v 2 、 w2 为 相应的节点位移。
非线性有限元之非线性求解方法
非线性有限元之非线性求解方法平衡回顾✧静态平衡是内力I和外载P力量平衡；✧在非线性问题中，模型的内力I可以是以下量的非线性函数；✧在非线性问题中，模型的外力P也可以是某些量的非线性函数，如位移u和时间t。
非线性求解方法1.已知一个分析，知道结构总载荷和初始刚度，目的是找到最后的位移。
线性分析中，一次计算就能求解出最终位移；非线性问题中不可能，因为结构刚度随着结构变形而改变。
2.求解这类非线性问题需要的是一种增量\迭代技术，获得的解是非线性问题准确的近似。
这些方程通常没有精确解。
3.Abaqus使用迭代求解该方程：使用牛顿拉普森方法求解近似解，使误差最小。
4.Abaqus用法：1）载荷历史被拆解为一系列的分析步；每个分析步拆解为一系列增量步；用户为初始时间增量猜测一个值；Abaqus使用自动增量算法确定其他的增量步。
在每个增量步结束时，Abaqus根据载荷与时间关系计算当前负载大小2）使用牛顿拉普森程序迭代求解每个增量结束时的解；根据收敛容差判断牛顿拉普森程序的收敛；如果迭代不收敛，减少增量步的大小；然后使用小增量步重新进行计算。
5.分析步、增量步、迭代步1）分析步仿真载荷历程含有一个或多个分析步。
2）增量步是分析步的一部分；在静态问题中，总载荷被分成很小的增量步。
以便可以沿着非线性路径求解。
3）迭代步迭代步是增量步中寻找平衡解得一次计算尝试。
5.牛顿拉普森方法Abaqus/Standard 基于牛顿拉普森方法的增量迭代求解技术，该方法是无条件稳定（任何大小的增量步都可以）。
增量步大小影响动态分析精度，每个增量步通常要求多次迭代才能满足收敛要求，每个分析步通常有多个增量步，牛顿拉普森定义了一个残差为0位移曲线。
6.牛顿拉普森方法基础。
平衡是u的非线性方程，牛顿拉普森迭代求解在Cu 处的线性方程，Cu是位移u的修正量。
7.残差定义为了得到线性方程组，重写一下平衡方程，R（u）是u的残差。
这个残差表示的是位移u处不平衡力。
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
有限元求解非线性问题
• 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成 型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当 一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常 要考虑非线性边界条件。 • 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线 性问题。
由于从理论上还丌能提供能普遍接受的据有时非线性材料特性可用数学模型迚行模拟尽管这些模型总有他们的局限性
有限元求解非线性问题
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1）材料非线性问题
• 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却 很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题 属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提 供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应 力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有 时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管 这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为 重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题，几何非线性问题是由于 位移之间存在非线性关系引起的
• 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线 性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力 和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位 移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位 移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题 。
3）非线性边界问题
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非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
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不论材料非线性问题还是几何非线性问题，其有限元 方程都是非线性的：
( u ) P( u ) R 0
R---外部载荷的等效节点力矢量； P---内力的等效节点力矢量。 在全量方法的位移有限元解法中，u是结构的位移矢量， 在增量方法的位移有限元解法中， u是结构的位移增 量矢量。
un un1 u n
范数的定义可取 或
(3) (4)
un max{ un }
un [{ un }t { un } ] 1/ 2
于是收敛判据可取为： un un （位移收敛判据） 在这里注意到，对于非线性方程（1），将 un 代入一般不是严格满足的，即
(5) (6)
现在来求相应于载荷因子为1 n 时的解。 设 un1 un u 为其解， n 于是有 ( un u,n ) P( un u ) ( n )R 0 (4)
将 ( un u,n ) 在 un , n 处泰勒展开得
非线性有限元方程组的解法
• 直接迭代法 • 牛顿法 • 增量法
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
固体力学中非线性有限元方程通常可以写成： 其中
Ku R 0 K K( u )
u1 ( K1 )1 R
(1 )
设初始近似解为 u u0 ，那么可得一个近似矩阵 K1 K ( u0 ) 于是由（1）可得到一个改进的近似解：
( K T ( un , n )) ( n 1 R P ( un ))
1
(9)
(10 )
( un ) K ( un )un R 0
（失衡力收敛判据）
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为： ( un ) R
(8 )
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为：
( u ) P( u ) R 0
(1 )
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
K n K ( un )
un1 ( K n ) | R
1
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计 算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n 次和第 n+1 的解分别为 u un 、 un 1 ，则“偏差”为： u
现在设
u un
是方程（1）的第 n 次近似解。一般地，这时
( un ) P( un ) R 0
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为 此时新的近似解为：
(2)
un
(3)
，
u un1 u n un
将（3）代入（1）中并在 u un 附近将 ( un un ) 泰勒（Taylor)展开： (4) ( un un ) ( un ) un un (5) n 若记 K K (u )
T T n
可得 n 1 n 1 从而可解出修正量 un 为 un ( K T ) ( un ) ( K T ) ( R P( un ))
0 ( un un ) ( un ) K T un
n
un
(6)
(7)
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
这样，牛顿法的迭代公式：
( un ,n ) P( un ) n R 0
( un u ,n ) ( un ,n )
un un n
(5)
非线性有限元方程组的解法（增量法）
若记作：
K T ( un ,n )
考虑到
R ，于是方程（5）可近似为 n K T ( un ,n )u R 0
un ( K T n )1 ( un ) ( K T n )1( R P( un ))
K T K T ( un )
n
un
(8)
un1 u n un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。 •在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限 元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0 (1 ) (2) 用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1 相应于不同的载荷。 若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 (3)
un
(6)
(7) (8)
或
u ( K T ( un ,n ))1 R
若考虑到相应于载荷因子 n 的解 u un 并不是精确解，亦即：
( un ,n ) P( un ) n R 0
于是方程的解为
u ( K T ( un , n ))1( R ( un , n ))
( u ) K ( u )u R 0
非线性有限元方程组的解法
• 对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的
Ku R 0
• 其解答利用直接方法很容易得到 u K 1R • 但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法 得到其解答。 • 一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。 • 通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去 逼近非线性方程组的解。