非线性有限元方法分析
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
非线性有限元法及实例分析
行。 一般来说 ， 以求得其精确解 ， 难 通常采用数值解法 ， 把非 线性问题转化为一系列线性 问题 。 为了使这一系列线性解 收敛 于非线性解 ， 曾经有 过许 多方法 ， 但这 些解法 都有一 定的局限性。 某解法对某 一类非线性 问题有效 。 对另一 但
・－－－— —
２２ ・— ２ － － － —
维普资讯
梁 军 ， ： 等 非线 性有 限元 法及 实例 分析
１ １ ２ Ｎ ｗｔｎ — Ｒ ｐ ｓｎ方 法 ． ． ｅ ｏ ａ ｈｏ
第 ４期
荷载增量 。 此时 ， 假定 方程是 线性 的 ， 劲度矩 阵 为常矩
Ｎｗｏ ｅ ｔｎ—Ｒ ｐｓｎ方法是求解非线性方程组 ａｈ ｏ
（） Ｆ ８ Ｒ ｓ Ｋ ８８一 Ｒ ＝ ０ ８ （）一 （ ） （３ １）
阵， 对每级增量求出位移增量 △ 对它累加 ， 可以得到 ， 就
合实际情 况。根据 产生 非线性 的原 因， 非线 性 问题 主要
有３ 种类 型 ： ①材料非线性 问题 （ 简称材料 非线性或物理
非线性） ②几何非线性问题 ； ； ③接触 非线 性问题 （ 简称接 触非线性或边界非线性 ） 。
类问题可能不合适 。 因而， 根据 问题性质 正确选用 求解方 法成为非线性有限元的一个极重要 的问题 。 常见的求解非 线性方程组的数值方法有迭代法 、 增量法和混合法 。
ｌ
设其初始 的近似解为 ＝ ， 由此确定 近似 的 Ｋ矩
阵
：
（
… ）＝ ０
其中 ， ， ， 是未知量 ； ， ， ， ，２ …， … … 是 ，
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
工程结构的空间非线性有限元分析
ｈ ｔｒｔ ｔｏ ｎ ｎ ｒ ａ ｅ ｔ ｄ ｗｈｃ ｓ ｏｔｎ ｕ ｅ ｎ ｔ ｎ ｌｓｓｎ ｎ ｔｅ ｉｅａｉｎ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ ｉｃ ｅ ｓ ｓ ｍｅ ｏ ｉｈ ｗａ ｆｅ ｓ ｄ ｉ ｅ ａ ａｙ ｉ ｏ — ｌｎ ａ ｒ ｂ ｅ ａ ｄ ｏ ｈ ｈ ｉ ｅ ｒ ｐ ｌｍ ｏ ｎ ｔｅｒｒｓ ｅ ｔ ｅ ｓ ｏｔｏ ｎ ｓ ｗｅ ｅ ｄｓ ｕ ｓｄ． Ｍ ｉｅ ｔ ｏ ｉｈ ｂ ｃ ｍｅ ｙ ｉ ｒｔ ｎ ｍｅ ｏ ｎ ｎ ｈ ｉ ｅ ｐ ｃｉ ｈ ｒｃ ｍｉ ｇ ｒ ｉｃ ｓｅ ｖ ｘ ｄ ｍｅ ｄ ｗｈ ｃ ｅ ｏ ｓｂ ｔ ａｉ ｔ ｄ ａ ｄ ｉ — ｈ ｅ ｏ ｈ
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有 限元法 作为 一种 理论 基 础 和广 泛 应 用 的数
对 于空 间问题 ， 须将 所 考 虑 的物 体 划 分 为 空 间 必
摘要 ： 限元法作 为一 种 非常有 效 的数 值 分析 方 法 ， 分 析 大型 复杂 结构 中得到 广 泛 应 用。探 有 在
讨 了在分析 非线性 问题 时常使 用的迭代 法 和增 量 法及 其 各 自的 缺 点。 而 由迭 代 法和 增 量 法 结 合 而成 的混 合方 法 ， 效 的解决 了纯粹 迭代 法 和增 量 法的 不足 。 并应 用此 混合 方 法 ， 工 程 结 有 对 构进 行 了有限 元计算 ， 分析 了其 承我 能 力 ， 小了分析 空 间非 线性 问题 的误 差 。 减 关键 词 ： 间非 线性 ； 限元 ； 代 法 ； 空 有 迭 增量 法 ； 载 能力 承
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇钢筋混凝土结构非线性有限元分析1钢筋混凝土结构是现代建筑结构中常用的一种结构形式。
由于钢筋混凝土结构自身的复杂性，非线性有限元分析在该结构的设计和施工过程中扮演着重要的角色。
非线性有限元分析是建立在解析的基础之上的，它可以更真实地模拟结构在实际载荷下的变形和破坏特性。
本文对钢筋混凝土结构的非线性有限元分析进行细致的介绍。
首先需要了解的是，钢筋混凝土结构存在多种非线性问题，如材料非线性、几何非线性和边界非线性等。
这些非线性问题极大地影响了结构的受力性能。
在结构的设计阶段，要对这些非线性因素进行充分分析。
钢筋混凝土结构在材料方面存在很多非线性问题，例如，混凝土的拉应力－应变曲线存在非线性变形，钢筋的本构关系存在弹塑性和损伤等等。
这些材料的非线性特性是钢筋混凝土结构变形和破坏的重要因素。
钢筋混凝土结构材料的非线性特性需要通过相关试验来获得，例如混凝土的轴向拉伸试验和抗压试验，钢筋的拉伸试验等，试验数据可以被用来建立预测结构非线性响应的有限元模型。
钢筋混凝土结构在几何方面存在很多非线性问题，例如，结构的非线性变形、结构的大变形效应、结构的初始应力状态等等。
钢筋混凝土结构几何的非线性效应可通过有限元分析明确地描述。
要对几何非线性进行分析，通常使用非线性有限元分析程序，其中包括基于条件梯度最优化技术的材料和几何非线性分析以及有限元法分析中使用的高级非线性模拟技术。
钢筋混凝土结构的边界条件也可能导致结构的非线性响应，例如基础的扰动、结构的支承和约束条件等。
所有这些条件都会导致模型在分析中出现非线性行为。
最后，非线性有限元分析可以简化结构设计的过程，并且可以更准确地分析结构的性能。
另外，分析过程中还可以考虑更多因素，例如局部的材料变形、应力浓度等等，让设计人员了解到结构的真实状态。
总之，钢筋混凝土结构非线性有限元分析是现代建筑结构中常用的一种结构分析方式，对于设计和施工都有着重要的意义。
非线性有限元方法
非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。
与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。
在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。
首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。
非线性有限元方法在许多方面都有应用。
其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。
由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。
此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。
其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。
与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。
但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。
通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。
然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。
如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。
这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。
最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。
非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。
它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。
例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。
总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。
如何利用非线性有限元法进行力学分析
如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。
这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。
在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。
1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。
静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。
而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。
因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。
下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。
2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。
在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。
(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。
其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。
其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。
因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。
3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。
建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。
模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。
构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。
3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。
边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。
因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。
3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。
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非线性有限元方法分析
一、问题描述
一直径为10mm，长为100mm 的钢棒，将其沿轴向拉伸20mm，求其最后的变形情
况和应力分布。
弹性模量EX = 200E3 ，泊松比NUXY = 0.3 。
塑性时的应力－应变关系如下表1
表 1 塑性时的应力－应变关
系
由于模型和载荷都是轴对称的，因此建模时可以只取钢棒轴向截面的1/4，用平面轴对称单元来实现。
二、结果分析
经过计算得出以下成果：
1. 应力－应变曲线如图1 所示。
2. 钢棒单轴拉伸等效应力分布如图2。
3. 钢棒X 方向应力分布等值线如图3 所示。
4. 钢棒Y 方向应力分布等值线如图4 所示。
分析钢棒受力后的结果，可以看出：
（1）对于钢棒的单轴拉伸，由于模型和载荷都是轴对称的，因此建模时可以只取钢棒轴向截面的1/4，用平面轴对称单元来实现。
而且为了产生颈缩现象，在建模时钢棒端部和中部截面作了5％的误差，使其诱导出颈缩现象。
（2）从钢棒单轴拉伸等效应力图上可以看出，最大主应力出现在受拉一侧的拉伸受力处，其值为603.4Mpa；最小主应力出现在钢棒的中部，其值为38.37Mpa。
对于钢棒X 方向应力分布可以看出，最大和最小应力的位置发生了变化，出现在钢棒中下部，靠近受拉一侧。
图 1 应力－应变曲线
图 2 钢棒单轴拉伸等效应力分布
图3 钢棒X 方向应力分布等值线
图4 钢棒Y 方向应力分布等值线。