求解温度场的非线性有限元方法
机械密封温度场及其热应力的有限元计算
机械密封温度场及其热应力的有限元计算机械密封是工业领域中常见的重要部件，用于防止流体或气体在管道中泄漏。
其中，温度是影响机械密封性能的一个关键因素。
通过有限元方法计算机械密封的温度场及其热应力分布，可以进一步理解机械密封的性能，为优化设计和选择材料提供有价值的参考。
一、机械密封热应力分析的重要性首先，机械密封在工作中会受到温度变化的影响。
在高温环境下，机械密封可能会发生膨胀、变形、破裂等现象，从而降低密封性能，甚至出现泄漏等危险。
因此，理解机械密封在不同温度下的热应力分布，有助于优化机械密封的设计和材料选择，提升其性能和稳定性。
其次，机械密封的热应力会影响密封面之间的接触压力分布。
接触面之间的压力分布又会影响机械密封的摩擦、磨损、寿命等方面的性能。
因此，通过对机械密封热应力分布的分析，可以为正确评估机械密封的性能提供依据。
最后，计算机械密封的热应力分布还可以为机械密封改进和优化、开发新型机械密封以及制定更可靠的维护保养计划提供帮助。
二、机械密封温度场及其热应力计算的方法1.基于有限元方法由于机械密封的几何形状和复杂工作环境的影响，直接通过实验方法进行温度场及热应力的测试是昂贵、费时并且可能存在不可避免的误差。
而有限元方法则可以通过数学模型和计算机模拟来模拟机械密封在不同温度下的工作状态，计算出对应的温度场及热应力分布。
有限元方法主要分为数值方法和解析方法两种。
数值方法是通过数学模型和数值计算来获得机械密封的温度场及热应力分布，其中常用的数值方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
解析方法则是通过解方程表达式，将机械密封的基本参数带入公式计算来获取温度场及热应力分布，例如Stefan-Boltzmann定律、Fourier定律等。
2.基于ANSYS软件ANSYS软件是目前工业领域中最常用的有限元分析软件之一。
该软件提供了一系列的功能模块和分析工具，如结构分析、流体动力学分析、热分析等，可以用于模拟机械密封在不同工作条件下的温度场及热应力分布，为机械密封的设计、优化和改进提供帮助。
有限元线法二次参数单元的温度场分析
有限元线法二次参数单元的温度场分析二次参数单元是有限元分析中常用的一种单元类型，它具有较好的适应性和精度。
二次参数单元的特点在于，在每个单元内部选取两个节点，并引入额外一个节点来近似温度场曲线。
这样，在每个单元内部的温度场可以通过这三个节点之间的线性插值得到。
在进行有限元分析之前，首先需要将连续介质分割成有限数量的单元。
对于二次参数单元，通常采用的是等均匀划分方法，即将整个区域等分成若干个单元，每个单元的大小相同。
在每个单元内部，我们需要确定三个节点的坐标以及温度值。
我们可以根据问题的具体情况来确定这些节点的位置，一般建议选择在单元的中点位置以及两个端点位置处。
然后，我们可以通过线性插值的方法来估计每个单元内部任意位置的温度值。
在确定了节点和温度值后，我们可以利用有限元线法的数学模型来建立整个问题的求解方程。
对于二次参数单元的温度场分析，我们可以采用热传导方程来描述温度场的变化情况。
热传导方程可以写成如下形式：∇(k∇T)+Q=ρC∂T/∂t其中，k是介质的热导率，T是温度场，Q是热源的密度分布，ρ是介质的密度，C是介质的比热容，∂T/∂t是温度场对时间的变化率。
根据有限元线法的思想，我们可以将热传导方程离散化为一个线性方程组，通过求解该方程组，可以得到整个区域内的温度场。
具体的离散化方法是利用基函数的展开，将温度场表示为各个单元的基函数加权求和的形式。
然后，通过变分原理，将热传导方程转化为一个待求解的线性方程组。
在求解线性方程组时，我们可以采用常用的迭代方法（如雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法等）或直接解法（如高斯消元法、LU分解法等）来得到温度场的数值解。
最后，根据得到的温度场数值解，我们可以进一步求取该问题其他感兴趣的物理量，如热流量、热流密度等。
综上所述，有限元线法是一种有效的方法来进行二次参数单元的温度场分析。
通过将连续介质分割成有限数量的单元，并在每个单元内进行近似计算，可以得到整体问题的解。
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
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二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
温度场分布仿真计算方法
温度场分布仿真计算方法温度场分布仿真计算方法温度场分布仿真计算方法是一种通过数值模拟和计算机仿真来预测和分析温度分布的方法。
它在工程设计、热力学研究和环境保护等领域中得到广泛应用。
本文将介绍温度场分布仿真计算方法的基本原理和常用技术。
温度场分布仿真计算方法的基本原理是建立一套数学模型来描述温度场的变化规律，并通过计算机程序对模型进行求解和模拟。
根据具体问题的需求和实际情况，可以选择不同的数学模型和计算方法。
常见的数学模型包括传热方程、能量守恒方程和流体动力学方程等。
计算方法主要包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是最常用的一种计算方法。
它将温度场划分为若干个网格点，并通过计算相邻网格点之间的温度差来近似描述温度场的变化。
有限差分法的优点是计算简单，适用于各种尺度和几何形状的问题。
但是，它需要较密集的网格划分，以获得较精确的结果。
有限元法是一种更精确的计算方法。
它将温度场划分为若干个有限元素，通过求解每个元素上的温度分布来近似描述整个温度场。
有限元法的优点是可以灵活地处理复杂的几何形状和边界条件。
但是，它需要对模型进行离散化处理，计算量较大。
边界元法是一种特殊的计算方法。
它通过求解温度场的边界值来推导出整个温度场的分布。
边界元法的优点是计算量较小，适用于二维和三维问题。
但是，它对边界条件的要求较高，需要较精确的输入数据。
除了上述常用的计算方法外，还有一些其他的技术和方法可以用于温度场分布仿真计算，如Monte Carlo方法、遗传算法和人工神经网络等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和组合，以获得更准确和可靠的结果。
综上所述，温度场分布仿真计算方法是一种重要的工程分析工具。
它通过数值模拟和计算机仿真来预测和分析温度场的分布规律，为工程设计和科学研究提供了有力的支持。
随着计算机技术的不断发展和进步，温度场分布仿真计算方法将更加精确和高效，为解决实际问题提供更好的解决方案。
机械工程中的温度场与应力场分析
机械工程中的温度场与应力场分析机械工程是一门应用学科，研究机械结构的设计、制造和维护等方面的知识。
而在机械工程中，温度场与应力场分析是非常重要的一部分，它们直接影响着机械结构的性能和寿命。
本文将介绍机械工程中的温度场与应力场分析，探讨其原理、应用以及相关技术。
一、温度场分析1. 温度场的定义与意义温度场是指在空间中不同位置的温度分布情况。
在机械工程中，温度场对于材料的热胀冷缩、热变形以及热应力等方面的影响非常重要。
通过对温度场的分析，可以确定机械结构在不同温度条件下的性能，进而进行合理的设计和优化。
2. 温度场分析的方法温度场分析可以通过数学建模和计算机仿真两种方法进行。
数学建模方法包括一些传统的热传导方程求解技术，如分析法、二维和三维有限元法等。
计算机仿真方法则是通过建立数学模型，并运用计算机软件进行数值计算，得到温度场的分布情况。
3. 温度场分析的应用温度场分析在机械工程中有着广泛的应用。
例如，在锻造、焊接、铸造等工艺过程中，温度场分析可以帮助工程师确定材料的热历史，预测材料的变形情况，从而指导工艺参数的选择。
此外，在机械结构的设计中，温度场分析可以帮助工程师确定合理的材料选择、结构改进，提升机械结构的耐高温性能。
二、应力场分析1. 应力场的定义与意义应力场是指在机械结构内部不同位置的应力状态。
应力是材料内部的力学性质，对于机械结构的强度、刚度、耐久性等方面具有重要影响。
通过对应力场的分析，可以确定机械结构在工作载荷下的应力分布情况，进而进行合理的设计和优化。
2. 应力场分析的方法应力场分析可以通过数学建模和计算机仿真两种方法进行。
数学建模方法包括一些传统的力学方程求解技术，如静力学、弹性力学等。
计算机仿真方法则是通过建立数学模型，并运用计算机软件进行数值计算，得到应力场的分布情况。
3. 应力场分析的应用应力场分析在机械工程中具有广泛的应用。
例如，在机械结构的设计中，应力场分析可以帮助工程师确定机械结构的合理尺寸、形状和材料，确保机械结构在工作载荷下不会发生失效。
有限元线法二次参数单元的温度场分析
有限元线法二次参数单元的温度场分析近年来，有限元线法（FEM）的发展迅速，因其对不同形状的构件的实际性能进行精确分析的能力而备受关注。
在FEM中，二次参数单元（QUAD）是一种重要的有限元种类，被广泛用于温度场分析。
本文将着重讨论QUAD单元在温度场分析方面的应用，详细阐述其优势和缺陷，并从理论出发，介绍QUAD单元有效的计算方法。
QUAD单元以二次矩形形式出现，在温度场分析中，可以快速准确地解决结构的热力学响应问题。
QUAD单元的优势在于，其使用的网格拓扑简单，即只需定义网格点的位置，而无需定义每个网格单元的节点，这极大地减少了模型拓扑定义的难度；同时，QUAD单元可以将复杂曲面转化为矩形网格，这使计算可以非常有效地进行，具有同等准确性。
QUAD单元在温度场分析中具有显著的优势，但也存在一些缺点。
由于它们是二次参数单元，因此边界上的节点只保留一个节点，它们受到网格系统的影响，因此在它们的计算结果中可能存在一定的误差。
另外，由于QUAD单元的节点分布是均匀的，颗粒分布难以准确地表述，从而影响其准确性。
要有效地解决结构的温度场分析，我们需要一种能够准确表达温度场的方法。
为此，基于QUAD单元，我们可以提出有效的数值计算方法，以及更先进的有限元方法。
首先，根据坐标变换公式，我们可以将整个构件变换到以矩形有限元模型表示，即由正方形单元组成的四边形网格模型。
此外，使用坐标转换公式，还可以将几何形状任意分布的温度场表示为矩形模型，并通过定义某些特性参数，使其能够准确表达温度变化的趋势。
然后，根据有限元理论，计算在QUAD网格上的温度响应，并利用Galerkin 法求解整体温度场分析问题，从而得到QUAD单元在温度场分析中的准确计算结果。
除了使用坐标转换公式，我们还可以采用更先进的有限元方法，例如通用有限元（GEM）、直接有限元（DFEM）等，以较高的准确度求解温度场分析问题。
GEM及DFEM方法可以使用任意形状的有限元，克服QUAD单元的一些缺点，在温度场分析中实现更高的精度和可靠性；此外，它们也能够准确描述热结构件的温度场变化特征，从而使整个热分析过程更加便捷。
温度场分析理论总结
温度场分析理论总结温度场分析理论是研究温度分布和传热的一种方法，广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
本文将对温度场分析理论进行总结，包括温度场分析的基本原理、常见的温度场分析方法以及其应用领域和发展趋势。
温度场分析的基本原理是通过对传热方程的求解，得到系统内不同位置上的温度分布。
传热方程一般为热传导方程，描述了热量在系统中的传递过程。
根据热传导方程，可以得到温度场的分布情况，并通过对温度场进行求解，得到系统内不同位置上的温度值。
常见的温度场分析方法包括解析解法和数值解法。
解析解法是通过解析求解热传导方程，得到温度场的解析表达式。
这种方法通常适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到温度场分布。
但对于复杂的几何形状和边界条件的情况，解析解法往往无法得到解析表达式，需要使用数值解法进行求解。
数值解法是通过将区域离散化为有限的网格，将热传导方程离散化为一组代数方程，并通过迭代方法求解这些方程，得到温度场分布。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是将区域划分为有限个节点，并在每个节点上近似热传导方程的导数，从而得到一组代数方程。
有限元法和边界元法则是将区域划分为有限个单元，通过对单元内部的温度进行逼近，得到温度场的数值解。
温度场分析理论广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
比如，在电子器件的散热设计中，通过对温度场的分析，可以评估器件的散热性能，优化散热结构，提高器件的工作效率和寿命。
在热处理过程的温度控制中，通过对温度场的分析，可以控制加热行程和时间，保证材料达到所需的热处理效果。
在建筑空调系统的设计中，通过对温度场的分析，可以确定合理的风流设计，提高空调系统的能效。
温度场分析理论的发展趋势主要体现在以下几个方面。
首先，随着计算机技术的快速发展，数值解法在温度场分析中的应用越来越广泛。
计算机能够快速进行大量数据的计算和处理，大大提高了温度场分析的效率和精度。
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Ξ求解温度场的非线性有限元方法刘福来1, 杜瑞燕2(1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110004;2.河北青年干部管理学院教务处,河北石家庄 050031)摘要:从G alerkin 有限元方法出发,对自由表面上的辐射换热的数学表达式不作线性化处理,而是把温度场的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题,并且用Newton 迭代法计算了温度场.关键词:温度场;有限元方法;Newton 迭代法中图分类号:O 242.21 文献标识码:A 文章编号:100025854(2005)0120021204由文献[1]知,求解二维待轧过程的温度场,就是要求下面微分方程和初值问题的解: 52T 5x 2+52T 5y2=1α5T5t ;(1) -k 5T5n=0,(x ,y )∈S 2;(2) -k 5T 5n=σεA (T 4-T 4∞),(x ,y )∈S 3;(3) T (x ,y ,0)=T 0(x ,y ).(4)其中:α=λρc称为导温系数,λ,ρ和c 分别为热导系数、密度和比热;S 2为给出热流强度Q 的边界面;T ∞为环境温度;S 3为给出热损失的边界面.对轧制问题的温度场,常常考虑的几种边界面[1]是:对称面、自由表面和轧件与轧辊的接触面.在辐射面上,边界条件的数学表达式为σεA (T 4-T 4∞)(其中:σ为Stefan 2Boltzmann 常数,ε为物体表面黑度,A 为辐射面积,T ∞为环境温度)是温度T 的4次幂,具有强烈的非线性.以往在实际计算中有2种处理方法[2],一种是简化问题的物理模型,有时将表达式看成常数,有时将边界条件转化成h r A (T -T ∞)(其中h r =σε(T 2+T 2∞)(T +T ∞)),在轧制问题中求解温度场时文献[1,3]都采用了这一方法;另一种是处理问题的数学方法,即用近似方法求解非线性的偏微分方程问题.例如,用数值分析的方法,文献[4]中利用了差分方法.本文中,笔者从G alerkin 有限元法出发,对自由表面上辐射换热的数学表达式不作线性处理,而是直接对非线性代数方程组用Newton 迭代法计算温度场,以二维待轧过程温度场的有限元解析进行讨论.1 G alerkin 有限元方法简介将待求解区域Ω剖分为E 个单元,每个单元4个节点.设N i 是形函数(i =1,2,3,4),用4节点线性等参单元,则单元内的温度为 T e =N 1T 1+N 2T 2+N 3T 3+N 4T 4={N }T {T}e ,(5)其中:{N }=(N 1,N 2,N 3,N 4)T ;{T}e =(T 1,T 2,T 3,T 4)T .设ω1,ω2,…,ωn 是一组基函数,用G alerkin 方法求方程(1)～(4)的解,实际上是求c 1,c 2,…,c n ,使T n =c 1ω1+c 2ω2+…+c nωn 满足 κΩρc 5T n 5t -k 52T n 5x 2+52T n5y 2ωi d x d y =0,i =1,2,…,n.(6)对式(6)应用Green 公式,有Ξ收稿日期:20040105;修回日期:20040420作者简介:刘福来(1975),男,河北省唐山市人,东北大学博士研究生.第29卷第1期2005年 1月河北师范大学学报(自然科学版)Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition )Vol.29No.1Jan.2005κΩρc5T n 5t ωi +k 5ωi 5x 5T n 5x +5ωi 5y 5T n5yd x d y -∫S 3k5T nn ωid s =0,i =1,2,…,n.(7)取基函数ω1,ω2,…,ωn 为形函数,即求{T}e ,使得T e ={N }T {N }e 满足 ∑Ee =1κΩeρc 5T etN i +k 5N i 5x 5T e 5x +5N i 5y 5T e 5yd x d y -∫S 3k5T nn ωid s =0,i =1,2,…,n.(8)将边界条件代入式(8)且对5Te 5t作差分后有下面的等式: ∑E e =1κΩeρc T e -T et -Δt Δt N i +k 5N i 5x 5T e 5x +5N i 5y 5T e5y d x d y + ∫S 3eσεA [({N }T {T}e )4-T 4∞]N i d s =0,i =1,2,…,n.(9)2 非线性有限元求解公式这里从式(9)出发,构造出Newton 迭代法(参见文献[5])求解方程组.式(9)可以改写为 ∑Ee =11Δt κΩeρc T e N i d x d y +k κΩe5N i 5x 5T e 5x +5N i 5y 5T e 5y d x d y + ∫S 3eσεA ({N }T {T}e )4N i d s -∫S 3eσεA T 4∞N i d s -1Δt κΩeρcN i d x d y{T}e t -Δt =0.(10)利用式(5),(10)经整理后变为 ∑Ee =11Δt κΩeρc{N }TN i d x d y{T}e +kκΩe5N i 5x 5N 5xT+5N i 5y 5N 5yTd x d y{T}e - 1Δt κΩeρc{N }T N i d x d y{T}et -Δt -∫S 3eσεA T 4∞N i d s + ∫S 3eσεA ({N }T {T}e )4N i d s =0,i =1,2,…,n.(11)记式(11)为F (T )=∑Ee =1F e(T )=0(其中:F e (T )=[f 1(T ),f 2(T ),f 3(T ),f 4(T )]T;T =[T 1,T 2,T 3,T 4]T ;0=[0,0,0,0]T),则F e (T )的Jacobi 矩阵为 F ′e (T )=5f 15T 1…5f 15T 4………5f 45T 1…5f 45T 4=[K e 1]+[K e 2]+[K e3].(12)其中[K e 1],[K e2]的元素分别为 K e 1ij =κΩek 5N i 5x 5N j x +5N i y 5N j5y d x d y ,K e 2ij =κΩeρcN i N j d x d y.当单元位于上边边界时,[K e3]=∫S 3σεA00000N 220N 4N 20000N 2N 4N 24d s ;22河北师范大学学报(自然科学版)第29卷当单元位于右边边界时,[K e3]=∫S 3σεA 000000000N 23N 4N 30N 4N 3N 24d s.这样F (T )的Jacobi 矩阵为 F ′(T )=∑Ee =1F ′e(T ).利用文献[5]采用下列形式 T k +1=T k +ΔT k ,F ′(T k )ΔT k +F (T k )=0,k =0,1,…,n ,(13)即每一步要解1个n 阶线性方程组.这样利用初始条件(4)认为t -Δt 时刻温度场{T}t -Δt 已知,由式(13)进行迭代求解,给出终止条件‖ΔT k ‖≤ε1‖T k‖(范数‖‖取分量的绝对值的最大值,ε1为事先给定的精度).当‖ΔT k ‖≤ε1‖T k ‖时,取Tk +1=T k +ΔT k作为解.3 计算机模拟利用上述非线性有限元理论,计算板坯从出炉到出炉后30s 时的温度场,并与线性有限元方法计算结果进行比较.计算时取板坯的对称中心为坐标原点,坐标系参见图1.图1 笛卡尔坐标系的选取 由板坯的对称性只需计算第一象限内板坯的温度场,计算时取表1中的参数.板坯右上角的一点(图1中a 点)温度变化最为剧烈,以这点的温度变化为代表对这2种方法的计算结果进行分析.图2～图4中曲线B 和曲线C 分别为a 点用线性方法和非线性方法计算的每间隔5,3,2s 温度变化情况;图5是板坯上边端出炉后第30s 的温度分布,从图2到图5可以看出以下几点:表1 相关的参数Boltzmann 常数/(nW ・m -2・K -2)56.75环境温度/K 298 出炉温度/K 1553 板坯上表面空气温度/K 323 板坯侧面空气温度/K323 板坯高度/mm150 黑度0.8密度/(kg ・m -3)7800 比热容/(J ・kg -1・K -1)670 导热系数/(W ・m -1・K -1)30 板坯宽度/mm 80 计算时间/s 30 预定精度0.1 图2 间隔5s 的温度曲线 图3 间隔3s 的温度曲线 1)非线性有限元方法计算的温度值稍高于用线性方法计算的温度值,并且温度差随时间的间隔减小而减小,实际计算中经常使用线性化的有限元方法,非线性有限元方法在理论上有严格的数学推导,32第1期刘福来等:求解温度场的非线性有限元方法42河北师范大学学报(自然科学版)第29卷 图4 间隔2s的温度曲线 图5 板坯的温度场计算结果与实测温度值较好的吻合;2)板坯表面温度下降幅度大,初始温度差最大达到340K,这是由于板坯尺寸小放热剧烈的结果;3)板坯表面温度分布均匀,只是在边界上与中心点温度差稍大一些,尤其右上角一点与中心点的温度差达到25K,主要是因为边界通过辐射与外界热交换的结果.表2 Newton迭代法计算结果迭代次数kΔT k T k实测温度/K015531213.31-16413892-112.91276.13-54.51221.6表2给出了板坯右上角(a点)在出炉后30s时用Newton迭代法的计算情况,其中ε1=0.1.从表2可知Newton迭代法收敛速度非常快,只需要3次迭代就可以求解,并且求解的温度和实测温度非常吻合.4 结 论本文中,笔者从G alekin有限元方法出发,对自由表面上辐射换热的数学表达式不作线性处理,而对非线性代数方程组,用Newton迭代法计算温度场,得到了令人满意的结果.非线性有限元方法在理论上有严格的数学推导,在计算中构造非线性方程组时有一定的难度.线性化的有限元方法在理论上虽然不太严格,但求解过程比非线性有限元方法简单,而且计算结果与非线性方法的计算结果差别不大,这2种方法计算的轧件的温度曲线基本一致.因此这里进一步验证了线性化的有限元方法求解轧件温度场的实用性.参考文献:[1] 刘相华.刚塑性有限元及其在轧制中的应用[M].北京:冶金工业出版社,1994.[2] 俞昌铭.热传导及其数值分析[M].北京:清华大学出版社,1981.[3] 李长生.棒线连轧轧件温度场有限元解析[D].沈阳:东北大学,1997.[4] HILL R.New horizons in the machine of solids[J].Mech Ph ys S olids,1956,4(5):66267.[5] 李庆扬,莫孜中,祁中群.非线性代数方程组的迭代解法[M].北京:科学出版社,1997.Nonlinear FEM for C alculating T emperature FieldL IU Fu2lai1, DU Rui2yan2(1.School of Information Science and Engineering,Northeastern University,Liaoning Shenyang 110004,China;2.Teaching Department,Hebei Y outh Administrative Cadres College,Hebei Shijiazhuang 050031,China)Abstract:Instead of the linearization of expression of thermal radiation on free surface,start at G alerkin finite element method,convert the calculation problem of the temperature field into a calculation of nonlinear equations,and then calculate the temperature by Newton iteration method.K ey w ords:temperature field;finite element method;Newton iteration method(责任编辑 白占立)。