非线性有限元分析
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
《有限元非线性》课件
本课件介绍《有限元非线性》课程的重要概念和应用领域，帮助学习者深入 了解非线性有限元分析的基本原理和解决方案。
有限元分析基础概念
介绍有限元分析的基本原理，包括离散化方法、单元类型和刚度矩阵的计算。
进一步学习非线性有限元方法
深入讨论非线性有限元方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用和优缺点，以及适用场景。
常见的非线性问题类型
弹性-塑性耦合模型
讨论弹性和塑性耦合的模型，以及其在结构分析和变形分析中的应用。
本构方程的求解方法
详细介绍求解非线性本构方程的数值方法和迭代策略，包括线性化方法和增量迭代法。
探讨材料非线性、几何非线性和边界条件非线性等常见问题类型，并提供解决方案。
经典弹塑性模型
介绍经典弹塑性模型及其在非线性有限元分析中的应用，包括塑性流动准则和硬化规律。
渐进式塑性模型
探讨渐进式塑性模型的特点及其在复杂材料行为建模中的应用。
黏塑性模型
介绍黏塑性模型及其在某些材料和地质工程分析中的应用，如粘土和岩石。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性结构有限元分析
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇钢筋混凝土结构非线性有限元分析1钢筋混凝土结构是现代建筑结构中常用的一种结构形式。
由于钢筋混凝土结构自身的复杂性，非线性有限元分析在该结构的设计和施工过程中扮演着重要的角色。
非线性有限元分析是建立在解析的基础之上的，它可以更真实地模拟结构在实际载荷下的变形和破坏特性。
本文对钢筋混凝土结构的非线性有限元分析进行细致的介绍。
首先需要了解的是，钢筋混凝土结构存在多种非线性问题，如材料非线性、几何非线性和边界非线性等。
这些非线性问题极大地影响了结构的受力性能。
在结构的设计阶段，要对这些非线性因素进行充分分析。
钢筋混凝土结构在材料方面存在很多非线性问题，例如，混凝土的拉应力－应变曲线存在非线性变形，钢筋的本构关系存在弹塑性和损伤等等。
这些材料的非线性特性是钢筋混凝土结构变形和破坏的重要因素。
钢筋混凝土结构材料的非线性特性需要通过相关试验来获得，例如混凝土的轴向拉伸试验和抗压试验，钢筋的拉伸试验等，试验数据可以被用来建立预测结构非线性响应的有限元模型。
钢筋混凝土结构在几何方面存在很多非线性问题，例如，结构的非线性变形、结构的大变形效应、结构的初始应力状态等等。
钢筋混凝土结构几何的非线性效应可通过有限元分析明确地描述。
要对几何非线性进行分析，通常使用非线性有限元分析程序，其中包括基于条件梯度最优化技术的材料和几何非线性分析以及有限元法分析中使用的高级非线性模拟技术。
钢筋混凝土结构的边界条件也可能导致结构的非线性响应，例如基础的扰动、结构的支承和约束条件等。
所有这些条件都会导致模型在分析中出现非线性行为。
最后，非线性有限元分析可以简化结构设计的过程，并且可以更准确地分析结构的性能。
另外，分析过程中还可以考虑更多因素，例如局部的材料变形、应力浓度等等，让设计人员了解到结构的真实状态。
总之，钢筋混凝土结构非线性有限元分析是现代建筑结构中常用的一种结构分析方式，对于设计和施工都有着重要的意义。
如何利用非线性有限元法进行力学分析
如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。
这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。
在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。
1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。
静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。
而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。
因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。
下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。
2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。
在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。
(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。
其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。
其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。
因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。
3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。
建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。
模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。
构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。
3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。
边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。
因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。
3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。
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非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
并且可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。
利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。
在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。
如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。
有限单元法的应用范围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。
分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学，传热学等连续介质力学领域。
在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。
各种各样商业化的大型通用有限元软件层出不穷，不断推陈出新。
可以预见，随着现代力学，计算数学，计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用范围的数值分析工具，必将得到进一步的完善和发展。
2 非线性问题的类型和求解特点.2．1 非线性问题的类型2. 1. 1 线性分析的含义在有限元分析中的线性假设包含下列含义：即结点位移为无限小量，材料为线弹性，加载时边界条件的性质保持不变。
于是，静力平衡方程可以表示为：[]{}{}R U K =其中，[]K 为刚度矩阵，{}R 为荷载矢量。
由于[]K 和{}R 的元素为常数，故位移响应{}U 是荷载矢量{}R 的线性函数。
也就是说，如果{}R 变为{}R α，则{}U 变为{}U α，其中，α为常数。
这就是所谓的线性有限元分析。
如果上述假设中的任何一条不能得到满足，那么就属于非线性有限元分析。
2. 1. 2 非线性分析的必要性结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。
当然，任何实际工程问题的求解都避免不了适当地简化，简化是否合理主要应根据求解效果和实际经验来判断。
对于目前工程实际中的很多问题，如地震作用下结构的弹塑性动力响应，高层建筑抗风，大跨度网壳结构动力稳定性，索膜结构找形荷载与裁减分析，大型桥梁风致振动等问题的研究，仅仅假设为线性问题是很不够的，常常需要进一步考虑为非线性问题。
因此，对各种工程结构的非线性分析就是必不可少且日趋重要了。
对于结构力学的非线性问题来说，有限单元法是最为有效的数值分析方法。
2. 1. 3 非线性问题的类型通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。
但从建立基本方程和程序设计的方便出发，又可分为三种类型：1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。
非线性的应力应变关系是结构非线性的常见原因，许多因素都可以影响材料的应力应变性质，包括加载历史（如在弹塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。
}2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：第一种情形，大位移小应变。
只是物体经历了大的刚体平动和转动，固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为无限小。
此时的应力应变关系则根据实际材料和实际问题可以是线性的也可以是非线性的。
第二种情形，大位移大应变。
也即最一般的的情况，此时结构的平动位移，转动位移和应变都不再是无限小量，本构关系也是非线性的。
3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。
例如，一根只能拉伸的钢索可能是松散的,也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的,也可能是不接触的； 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。
这些系统的刚度和边界条件由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。
状态改变也许和载荷直接有关，也可能由某种外部原因引起。
最为典型的就是接触问题，接触是状态非线性类型中一个特殊而重要的子集。
通常情况下，状态非线性问题可以在上述材料非线性和几何非线性类型中的每一种同时出现，从而使得问题的分析变得更为复杂。
2．2 非线性问题的求解特点2. 2. 1 非线性分析的基本问题非线性分析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。
如果作用的荷载被描述成时间的函数，则物体有限元离散系统的平衡方程可以表示为：{}{}0=-F R t t其中，矢量{}R t由t 时刻外荷载的结点力分量所构成，而矢量{}F t 则表示t 时刻的单元应力所引起的结点力分量。
平衡方程应针对t 时刻的几何位形建立，并应计入所有的非线性效应。
如果是动力分析，矢量{}R t中还应当包括惯性力和阻尼力。
在求解非线性问题时，式应在全部加载历史中成立。
变量t 的引入并不意味着一定是动力问题。
在静力分析中，t 不具有真实“时间”的含义，它的不同取值只是表示相应于不同位形的不同的荷载水平。
但是，在动力分析或具有时间效应的静力分析中，变量t 就有了它本来的“时间”的含义。
[2. 2. 2 非线性方程组的增量逐步解法对于许多工程结构，我们所关心的常常是在特定的荷载水平下，或相应的时间物体中的应力和变形。
实际问题根据其解法可以分为两大类型。
第一类问题无需计算中间变形过程，可直接求解在给定荷载下的平衡位形。
但是，如果问题的几何性质或材料性质与路径相关或与时间相关，即该问题依赖于变形历史，则中间变形过程的计算是不可缺少的，这就是第二类问题。
从本质上来说，非线性问题是第二类问题。
此时，往往采用增量分析的方法。
增量逐步解法的基本思想是：假定t 时刻的解为已知，要求t ＋Δt 时刻的解，其中，Δt 是适当选择的时间增量。
在t ＋Δt 时刻，式写成为：{}{}0=-∆+∆+F R t t t t这里，左上标表示为t ＋Δt 时刻的量。
由于t 时刻的解为已知，因此，可以写为： {}{}{}F F F t tt +=∆+ 式中，{}F 表示t 到t ＋Δt 时间间隔内，由于单元内应力增量所引起的结点力增量矢量。
这一矢量可以近似表示为：{}[]{}U K F t ≈式中，[]K t为相应于t 时刻材料和几何条件的切线刚度矩阵。
{}U 为Δt 时间间隔中的结点位移增量，现在它还是未知的。
将式和代入式中，得到：[]{}{}{}F R U K t t t t -=∆+(上式中只有位移增量{}U 为未知，一旦解出，即可算得t ＋Δt 时刻的位移： {}{}{}U U U t t t +=∆+根据{}U t t ∆+，就容易算出t ＋Δt 时刻的应力及{}F t t ∆+，{}K t t ∆+，于是马上可以着手下一步的计算。
但要指出的是，式是一个近似表达式，因此t ＋Δt 时刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最终结果可能出现不可忽视的重大误差以致于达到荒谬的地步。
解决这一困难的办法是以花费计算时间为代价，即在t 到t ＋Δt 时步中进行足够次数的迭代，以保证最终的解获得足够的精度。
2. 2. 3 引入修正Newton －Raphson 迭代格式的增量逐步解法现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中，使用Newton －Raphson 迭代法或修正的Newton －Raphson 迭代法。
由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵，因此在实际中具有更广泛的应用。
现对该方法做简单的介绍。
在t 时刻到t ＋Δt 时刻的时步中，修正Newton －Raphson 法的迭代公式可以表示为：[]{}(){}{}()1-∆+∆+-=∆i t t t t i t F R U K{}(){}(){}()i i t t i t t U U U ∆+=-∆+∆+1其中，i 表示迭代步数，依次取1，2，3，…，其迭代所用的初始值正是t 时刻的解，即： {}(){}{}(){}F F U U t t t t t t ==∆+∆+00,|式的右端项：{}{}()1-∆+∆+-i t t t t F R 称为第i 步迭代前的不平衡荷载。