第9章 非线性问题的有限单元法
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
nonlinear(有限元非线性问题)
n
则n+1次近似解满足：
d n1 n n 0 d n
n KT n n 0
2013-7-1
NONLINEAR FEM
k 0.2 u P 0.006 u1
2013-7-1
NONLINEAR FEM
30
Load - Deflection
0.020
0.018
0.015
0.013
0.010
P
0.008
0.005
0.003
0.000 0 0.01 0.02 0.03 0.04 u 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
J.T.ODEN, 1972年。
《非线性有限元分析》，吕和洋，
化学工业出版社，1988年
《非线性橡胶材料的有限元分析》，杨晓翔，
石油工业出版社，1999年。
2013-7-1
NONLINEAR FEM
2
商 业 软 件
主要有德国的ASKA；
英国的PAFEC；
法国的SYSTUS； 美国的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、 SAP90 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
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11
INTRODUCTION
几何非线性 应变——位移关系是非线性的。 大位移小应变的情况 （梁或板壳的大挠度弯曲） 大位移大应变的情况 （橡胶材料、结构的非线性失稳） 求解 —— 相对比较复杂，需要修改基本方程。
平衡方程参考变形后的构形 几何关系应计入二次项
有限单元法名词解释
有限单元法名词解释
有限单元法（Finite Element Method）是一种数值计算方法，常用于工程领域，用于求解复杂的物理问题。
该方法将连续体分割为有限个小区域，即“单元”，并在每个单元内近似求解。
在有限单元法中，首先将待解问题建模为数学上的形式，选择适当的数学模型
和边界条件。
然后，将物理区域分割为有限个单元，每个单元内的数学形式由逼近函数表示。
每个单元的近似解通过如三角形和四边形等简单形状来表示。
通过解决每个单
元内的数学形式，得到整个物理区域的近似解。
这些单元共同构成了一个有限元模型。
有限单元法的优势在于可以处理各种形状、复杂的物理特性和非线性问题。
它
能够准确地描述材料、结构、流体等领域的行为，并能够提供与实际现象相匹配的数值结果。
此外，有限单元法还能够提供对问题的优化和灵活性，通过改变单元的大小和
形状，可以在所需精度和计算效率之间进行权衡。
总之，有限单元法是一种强大的数值计算方法，应用广泛于各个领域，因其可
靠性和灵活性而受到广泛的青睐。
它是工程分析和设计中不可或缺的工具，为我们解决复杂问题提供了有效的数值模拟手段。
第9章有限单元法-
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lห้องสมุดไป่ตู้
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EA
局部坐标系与整体坐标系之间
的转动变换
u 1 u ˆ 1 c o s e w ˆ 1 s i n e , w 1 u ˆ 1 s i n e w ˆ 1 c o s e
qeReqˆe
M ˆeReTMeRe
K ˆeReTKeRe
一、基本思想 4、单元集合
q 3 n 1 q 1T q 2T Lq nT T
6 9.73 5.01
左右支臂扭曲
7
10.1
5.58
左右支臂同时向内（ 外）弯曲
8
10.2
5.788
左右支臂同时向上（ 下）弯曲
混凝土搅拌站主站结构模态分析
阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 2.841 3.093 4.536 4.844 5.320 5.795 6.355 8.246 8.428 9.238
1、插值函数
x0,u(x,t)u1(t)
xl,u(x,t)u2(t)
u(x,t)a0a1x
轴向振动杆单元
a 0 u 1 ( t ) a 1 , u 2 ( t ) u 1 ( t ) l
结构非线性分析的有限单元法分解课件
通过本课件的学习，学习者可以深入理解结构非线性行为的本质，掌握先进的数值分析方法，提高在复杂工程结 构分析方面的专业素养和实践能力。同时，本课件也有助于推动结构非线性分析领域的科技进步和人才培养。
CHAPTER
非线性行为分类
材料非线性
边界条件非线性
ABCD
几何非线性
接触非线性
非线性分析的复杂性
建立模型
确定分析对象和边界条件 建立数学模型 定义材料属性
网格划分
选择合适的网格划分方法 进行网格划分 检查网格质量
施加载荷和约束
确定外部作用力
施加约束条件
求解非线性方程组
选择合适的求解器 求解非线性方程组 结果后处理
CHAPTER
工程实例一：大跨度桥梁的非线性分析
总结词
详细描述
工程实例二：高层建筑的抗震性能分析
CHAPTER
几何非线性分析
几何非线性分析是指考虑结构的大变 形和应力应变关系非线性的情况。在 有限单元法中，需要采用适当的形函 数来描述结构的几何形状变化。
VS
常用的形函数包括多项式、样条函数、 有限元形函数等，可以根据具体问题 选择合适的形函数。
材料非线性分析
常用的本构模型包括弹性模型、弹塑 性模型、塑性模型等，可以根据具体 材料的性质选择合适的本构模型。
• 结构非线性分析的基本概念 • 有限单元法的基本原理 • 结构非线性分析的有限单元法分解方法 • 有限单元法的实现过程 • 结构非线性分析的有限单元法应用案例 • 结论与展望
CHAPTER
背景介 绍
结构非线性分析的重要性 有限单元法的应用
目的和意 义
目的
本课件旨在系统介绍结构非线性分析的有限单元法分解，使学习者掌握非线性问题的有限元建模、求解和分析方 法，提高解决实际工程问题的能力。
结构非线性分析的有限单元法分解共43页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
结构非线性分析的有限单元 法分解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
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第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。
需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。
一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。
它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。
在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。
但是纯粹的增量近似会随着每一个载荷增量积累的误差，导种结果最终失去平衡，如图9-1（a）所示所示。
.（a）纯粹增量式解（b)全牛顿－拉普森迭代求解（2个载荷增量）图9-1 纯粹增量近似与牛顿－拉普森近似的关系。
ANSYS程序通过使用牛顿－拉普森平衡迭代（Newton-Raphson—简称NR）克服了这种困难，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。
图9-1（b)描述了在单自由度非线性分析中牛顿－拉普森平衡迭代的使用。
在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。
程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性。
如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。
持续这种迭代过程直到问题收敛。
ANSYS程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降（Adaptive descent）、线性搜索（Line search）、自动载荷步（Automatic load stepping）及二分法（Bisection）等，可被激活来加强问题的收敛性，如果不能得到收敛，那么程序或者继续计算下一个载荷前或者终止（根据用户的指示）。
3. 弧长法对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果你仅仅使用NR方法，正切刚度矩阵可能变为降秩短阵，导致严重的收敛问题。
这样的情况包括独立实体从固定表面分离的静态接触分析，结构或者完全崩溃或者“突然变成”另一个稳定形状的非线性弯曲问题。
对这样的情况，你可以激活另外一种迭代方法：弧长方法（Arc-length method），来帮助稳定求解。
弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛，从而即使当正切刚度矩阵的倾斜为零或负值时，也能阻止发散。
这种迭代方法以图形表示在图9-2中。
图9-2 传统的NR方法与弧长法的比较4. 非线性求解的组织级别非线性求解被分成三个操作级别：载荷步（Load steps）、子步（Substeps or time steps）、平衡迭代（Equilibrium iterations）。
“顶层”级别由在一定“时间”范围内明确定义的载荷步组成，并假定载荷在载荷步内是线性地变化的。
在每一个载荷步内，为了逐步加载可以控制程序来执行多次求解（子步或时间步）。
在每一个子步内，程序将进行一系列的平衡迭代以获得收敛的解。
图9-3说明了一段用于非线性分析的典型的载荷历史。
图9-3 载荷步、子步、及“时间”5. 收敛容限当确定收敛准则时，ANSYS程序会列出一系列的选择：将收敛检查建立在力、力矩、位移、转动或这些项目的任意组合上。
另外，每一个项目可以有不同的收敛容限值。
对多自由度问题，同样也有收敛准则的选择问题。
以力为基础的收敛提供了收敛的绝对量度，而以位移为基础的收敛仅提供了表观收敛的相对量度。
因此，如果需要总是使用以力为基础（或以力矩为基础的）收敛容限。
如果需要可以增加以位移为基础的（或以转动为基础的）收敛检查，但是通常不单独使用它们。
图9-4说明了一种单独使用位移收敛检查导致出错情况。
在第二次迭代后计算出的位移很小可能被认为是收敛的解，尽管问题仍旧远离真正的解。
要防止这样的错误，应当使用力收敛检查。
图9-4 完全依赖位移收敛检查6. 保守行为与非保守行为：过程依赖性如果通过外载输入系统的总能量当载荷移去时复原，那么这个系统是保守的。
如果能量被系统消耗（如由于塑性应变或滑动摩擦），则是非保守的。
如图9-5所示的非守恒系统。
图9-5 非守恒（过程相关的）过程一个保守系统的分析是与过程无关的：通常可以任何顺序和以任何数目的增量加载而不影响最终结果。
相反地，一个非保守系统的分析是过程相关的；必须紧紧跟随系统的实际加载历史，以获得精确的结果。
如果对于给定的载荷范围，可以有多于一个的解是有效的（如在突然转变分析中）这样的分析也可能是过程相关的。
过程相关问题通常要求缓慢加载（也就是，使用许多子步）到最终的载荷值。
7. 子步较多的子步能得到较好的精度，但它是以增加运行时间为代价的，ANSYS提供了两种方法来控制子步数。
❶子步数或时间步长，即用户可以指定实际的子步数，也可以通过指定时间步长来控制子步数。
❷自动时间步长。
ANSYS软件会根据结构的特性和系统的响应，自动检查时间步长。
8. 子步数如果结构在它的整个加载历史过程中显示出高度的非线性特点，而且用户也对结构的行为非常了解，以至于可以保证能得到收敛的解，这样用户就可以自己来确定时间步长的大小，并且对所有的载荷步都可以使用同一时间步。
9. 自动时间步如果结构的行为将从线性变化到非线性，或者用户想要在系统响应的非线性部分变化时间步长，这时可以激活自动时间步长，以便系统根据需要自动调节步长，可以获得精度和代价之间的良好平衡。
但是，如果用户不能保证分析问题能否成功收敛，这时可以使用自动时间分步来激活ANSYS软件的二分法。
二分法提供了一种对收敛失败自动矫正的方法，无论何时只要平衡迭代收敛失败，二分法将把时间步长分成两半，然后从最后收敛的子步自动重启动，如果已二分的时间步长再次收敛失败，二分法将再次分割时间步长然后再重启动，如此循环下去，直到获得收敛或者到达用户指定的最小时间步长。
10. 载荷和位移方向当结构经历大变形时应该考虑到载荷将发生了什么变化。
在许多情况中，无论结构如何变形施加在系统中的载荷保持恒定的方向。
而在另一些情况中，力将改变方向，随着单元方向的改变而变化。
ANSYS程序对这两种情况都可以建模，依赖于所施加的载荷类型。
加速度和集中力将不管单元方向的改变而保持它们最初的方向，表面载荷作用在变形单元表面的法向，且可被用来模拟“跟随”力。
图9-6说明了恒力和跟随力。
注意：在大变形分析中不修正节点坐标系方向。
因此计算出的位移在最初的方向上输出。
图9-6 变形前后载荷方向9.3 材料非线性问题的有限单元法许多与材料有关的参数可以使结构刚度在分析期间改变。
塑性、非线性弹性、超弹性材料、混凝土材料的非线性应力—应变关系。
可以使结构刚度在不同载荷水平下（以及在不同温度下）改变。
蠕变、粘塑性和粘弹性可以引起与时间、温度和应力相关的非线性。
膨胀可以引起作为温度、时间、中子流水平（或其他类似量）函数的应变。
ANSYS程序应可以考虑多种材料非线性特性：1.率不相关塑性指材料中产生的不可恢复的即时应变。
2.率相关塑性也可称之为粘塑性，材料的塑性应变大小将是加载速度与时间的函数。
3.材料的蠕变行为也是率相关的。
产生随时间变化的不可恢复的应变，但蠕变的时间尺度要比率相关塑性大的多。
4.非线性弹性允许材料的非线性应力—应变关系，但应变是可以恢复的。
5.超弹性材料应力—应变关系由一个应变能密度势函数定义，用于模拟橡胶，泡菜类材料，变形是可以恢复的。
6.粘弹性是一种率相关的材+料特性，这种材料应变中包含了弹性应变和粘性应变。
7.混凝土材料具有模拟断裂和压碎的能力。
8.膨胀是指材料在中子流作用下的体积扩大效应。
9.3.1 塑性分析1. 塑性理论简介许多常用的工程材料，在应力水平低于比例极限时，应力—应变关系为线性的。
超过这一极限后，应力—应变关系变为非线性，但却不一定是非弹性的。
以不可恢复的应变为特征的塑性，则在应力超过屈服点开始出现。
由于屈服极限与比例极限相差很小，ANSYS程序在塑性分析中，假设这两点相同，如图9-7所示塑性是一种非保守的（不可逆的），与路径无关的现象。
换句话说，载荷施加的顺序，以及什么时候发生塑性响应，影响最终求解结果。
如果用户预计在分析中会出现塑性响应，则应把载荷处理成一系列的小增量载荷步或时间步，以使模型尽可能符合载荷响应路径。
最大塑性应变是在输出（Jobname.OUT）文件的子步信息中打印的。
在一个子步中，如果执行了大量的平衡迭代，或得到大于15%的塑性应变增量，则塑性将激活自动时间步选项[AUTOTS]{GUI：Main menu | Solution | Sol’n Control：Basic Tab或Main Menu | Solution | Unabridged Menu | Time/Frequenc | Time and Substps }。
如果取了太大的时间步，则程序将二分时间步，并重新求解。