华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法2.一元二次方程的解法二：配方法(共20张PPT)
t3 1 22
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
4ac
， x2
b
b2 4ac 2a
及时应用：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空 中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 . 问小球何时能达到10m的高度?
解：由题意，得15t-5t2=10 整理，得t2-3t=-2
(t 3)2 1 24
华东师大版九年级上册
22.2一元二次方程的解法
2、配方法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a、b、c为常数， a 0)
其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数， c叫做常数项. 2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫 a的平方根. 即x2=a(a≠0),则x是a的平方根，记作x= a . 例如，若x2=4，则x=±2；若x2=8，则 x= 2 2 .
根据题意得 (1 x)2 12 x 8
整理得x2-64x+768＝0.
解这个方程,得 x1 ＝48，x2 ＝16.
答:一共有猴子48只或16只.
知识小结 本节课要掌握： 1、通过配方，把方程的左边化为完全平方式， 然后用直接开平方法解方程的方法叫做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把方程中含有未知数的项移到左边，
p2 2
4q
， x2
p
p2 4q 2
用配方法解下面两个关于x的一元二次方程：
(2)ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)
解：移项，得ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得
x2
b a
x
c a
配方，得 x2 b x ( b )2 c ( b )2
a 2a
a 2a
即(x b )2 b2 4ac
x1 2， x2 1
拓展 探究
用配方法解下面两个关于x的一元二次方程：
(1)x2 px q 0( p2 4q 0)
解：移项，得x2+px=-q
配方，得 x2 px p2 q p2
4
4
即 (x p )2 p2 4q
2
4
直接开平方，得 x p 2
p2 4q 4
p x1
2a
4a 2
直接开平方，得 x b 2a
b2 4ac 4a 2
x1 b
b2 2a
4ac
， x2
b
b2 4ac 2a
知识归纳
关于x的一元二次方程：x2 px q 0( p2 4q 0)
p 的解为 x1
p2 2
4q
， x2
p
p2 4q 2
关于x的一元二次方程：
ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)
4x2 -4x+1=( 2x -1)2 ，x2+1.5x+
4x2-2x+
1 4
=(2x
1 2
)2
，
9 16
=(x+
3 4
)2
25x2±30x+9=( 5x±3)2 .
自我探究
小杰尝试解一元二次方程 x2-4x=5时，运
用了因式分解法，过程如下：
解：移项，得 x2-4x-5=0 左边因式分解得(x-5)(x+1)=0 即 x-5=0或 x+1=0 得x1=5，x2=-1.
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
(3)x2 3x 2 0 (4)4x2 12 x 1 0
解：(4)移项，得4x2+12x=1
二次项系数化为1，得 x2 3x 1
配方，得 x2 3x 9 10
4
44
即 (x 3)2 10
2
4
直接开平方
一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，即得原方程
的解.
温故知新 分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(1)2x2-3=0；
解法一：
变形，得 x2 3
2
直接开平方得
x 3 2
x1
6 2
，x2
6 2
解法二：
二次项系数化为1，得
x2 3 0 2
左边因式分解，得
(x 6 )( x 6 ) 0
解完后，他想试试用直接开平方法.
但是怎样才能将原方程化为“( )2=a”的
形式呢？
自我探究
我们一起尝试将方程x2-4x=5变形为 “( )2=a”的形式。
解：方程两边同时加上4，得 x2-4x+4=5+4
即(x-2)2=9
这种将一个一元二次方程变形为( )2=a 的形式，从而用直接开平方法求解的方法， 就是今天我们要学习的——配方法。
常数项移到右边； (2)把二次项系数化为1； (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)将方程变为(x+m)2=n的形式； (5)当n≥0时，用直接开平方法解变形后的方程。
课后练习
1、认真完成导学案的“课后练习题案”. 或完成课本P27的练习题.
2、思考：为什么方程x2-4x+5=0没有解？
x 1 3
2
即 x 1 3 或 x 1 3
2
2
x1
5 2
，
x2
1 2
即 x 1 3 0
2
或 x 1 3 0
2
x1
1 2
，
x2
5 2
温故知新
根据“两数和(差)的平方公式填空：
a2 2ab b2 (a b)2
a2 2ab b2 (a b)2
x2+6x+ 9 =(x + 3 )2 ，x2-8x+16 =(x - 4 )2
归纳：
通过方程的简单变形（先把方程的常数项 移到方程的右边，再在左右两边同时加上一个 常数），把它的左边配成一个含有未知数的 完全平方式的形式，即：将方程化为(x+a)2=b 的形式.当右边是一个非负数时，就可以用 直接开平方法求解。这种解一元二次方程的 方法叫做配方法。
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
10 2
， x2
3 2
10 2
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
(3)x2 3x 2 0 (4)4x2 12 x 1 0
解：(3)移项，得x2-3x=-2
9
方程两边同时加上 4 ，得 x2 3x 9 1 44
即 (x 3)2 1 24
直接开平方，得 x 3 1 22
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
4ac
， x2
b
b2 4ac 2a
及时应用：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空 中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 . 问小球何时能达到10m的高度?
解：由题意，得15t-5t2=10 整理，得t2-3t=-2
(t 3)2 1 24
华东师大版九年级上册
22.2一元二次方程的解法
2、配方法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a、b、c为常数， a 0)
其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数， c叫做常数项. 2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫 a的平方根. 即x2=a(a≠0),则x是a的平方根，记作x= a . 例如，若x2=4，则x=±2；若x2=8，则 x= 2 2 .
根据题意得 (1 x)2 12 x 8
整理得x2-64x+768＝0.
解这个方程,得 x1 ＝48，x2 ＝16.
答:一共有猴子48只或16只.
知识小结 本节课要掌握： 1、通过配方，把方程的左边化为完全平方式， 然后用直接开平方法解方程的方法叫做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把方程中含有未知数的项移到左边，
p2 2
4q
， x2
p
p2 4q 2
用配方法解下面两个关于x的一元二次方程：
(2)ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)
解：移项，得ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得
x2
b a
x
c a
配方，得 x2 b x ( b )2 c ( b )2
a 2a
a 2a
即(x b )2 b2 4ac
x1 2， x2 1
拓展 探究
用配方法解下面两个关于x的一元二次方程：
(1)x2 px q 0( p2 4q 0)
解：移项，得x2+px=-q
配方，得 x2 px p2 q p2
4
4
即 (x p )2 p2 4q
2
4
直接开平方，得 x p 2
p2 4q 4
p x1
2a
4a 2
直接开平方，得 x b 2a
b2 4ac 4a 2
x1 b
b2 2a
4ac
， x2
b
b2 4ac 2a
知识归纳
关于x的一元二次方程：x2 px q 0( p2 4q 0)
p 的解为 x1
p2 2
4q
， x2
p
p2 4q 2
关于x的一元二次方程：
ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)
4x2 -4x+1=( 2x -1)2 ，x2+1.5x+
4x2-2x+
1 4
=(2x
1 2
)2
，
9 16
=(x+
3 4
)2
25x2±30x+9=( 5x±3)2 .
自我探究
小杰尝试解一元二次方程 x2-4x=5时，运
用了因式分解法，过程如下：
解：移项，得 x2-4x-5=0 左边因式分解得(x-5)(x+1)=0 即 x-5=0或 x+1=0 得x1=5，x2=-1.
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
(3)x2 3x 2 0 (4)4x2 12 x 1 0
解：(4)移项，得4x2+12x=1
二次项系数化为1，得 x2 3x 1
配方，得 x2 3x 9 10
4
44
即 (x 3)2 10
2
4
直接开平方
一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，即得原方程
的解.
温故知新 分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(1)2x2-3=0；
解法一：
变形，得 x2 3
2
直接开平方得
x 3 2
x1
6 2
，x2
6 2
解法二：
二次项系数化为1，得
x2 3 0 2
左边因式分解，得
(x 6 )( x 6 ) 0
解完后，他想试试用直接开平方法.
但是怎样才能将原方程化为“( )2=a”的
形式呢？
自我探究
我们一起尝试将方程x2-4x=5变形为 “( )2=a”的形式。
解：方程两边同时加上4，得 x2-4x+4=5+4
即(x-2)2=9
这种将一个一元二次方程变形为( )2=a 的形式，从而用直接开平方法求解的方法， 就是今天我们要学习的——配方法。
常数项移到右边； (2)把二次项系数化为1； (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)将方程变为(x+m)2=n的形式； (5)当n≥0时，用直接开平方法解变形后的方程。
课后练习
1、认真完成导学案的“课后练习题案”. 或完成课本P27的练习题.
2、思考：为什么方程x2-4x+5=0没有解？
x 1 3
2
即 x 1 3 或 x 1 3
2
2
x1
5 2
，
x2
1 2
即 x 1 3 0
2
或 x 1 3 0
2
x1
1 2
，
x2
5 2
温故知新
根据“两数和(差)的平方公式填空：
a2 2ab b2 (a b)2
a2 2ab b2 (a b)2
x2+6x+ 9 =(x + 3 )2 ，x2-8x+16 =(x - 4 )2
归纳：
通过方程的简单变形（先把方程的常数项 移到方程的右边，再在左右两边同时加上一个 常数），把它的左边配成一个含有未知数的 完全平方式的形式，即：将方程化为(x+a)2=b 的形式.当右边是一个非负数时，就可以用 直接开平方法求解。这种解一元二次方程的 方法叫做配方法。
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
10 2
， x2
3 2
10 2
及时 反馈
试试用配方法解下列一元二次方程：
(3)x2 3x 2 0 (4)4x2 12 x 1 0
解：(3)移项，得x2-3x=-2
9
方程两边同时加上 4 ，得 x2 3x 9 1 44
即 (x 3)2 1 24
直接开平方，得 x 3 1 22
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华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》精品课件_2
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
5、配方法的关键和基本思想是什么？
x2-10x+( 5 2) =(x- 5 )2
二、自主探索
1、导入：用直接开平方法解一元二次方程： （1）(x-3)2=2
2、试解下列一元二次方程： （2）x2-6x+9=2 （3）x2-6x=-7 （4）x2-6x+7=0
3、完成方程（4）的解题过程。
x2-6x+7=0 解：x2-6x=-7 x2-6x+9=-7+9
x2-6x+9=2
(x-3) 2=2 X-3=± 2 X=3± 2 ∴x₁=3+ 2 x₂=3- 2
三、讲授新知
1、配方法：像这样，通过对方程的简单变 形，将方程的左边配成一个含有未知数的完全 平方式，右边是一个非负常数，从而用直接开 平方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做 配方法。
方程 x2 6x 9 2 可以化成 __x__3_2___2_ ,
22.2 一元二次方程
用配方法解一元二次方程
学习目标
1、了解什么是配方法； 2、会用配方法准确而熟练解一元二次方程； 3、理解配方法的关键、基本思想和步骤； 4、体会转化、类比、降次的思想。
一、知识回顾
1、完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2 2、填空：
x2 +8x+ (4 2 ) =(x+ 4 ) 2
解一次方程
x 3 5，x 3 5
华师大版九年级数学上册22.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法
c－13＋169＝0，则此三角形是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5
5
12．(1)y2＋5y＋(___2__)2＝(y＋__2___)2；
(2)x2－52x＋(___54___)2＝(x－______)2＝(x＋___2___)2.
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为 ___1__；(2)将常数项移到方程的__右__边___；(3)方程两边都加上 __一__次__项__系__数__一半的平方；(4)写成(mx＋n)2＝p的形式，用 ___直__接__开__平__方___法求解．
1．(4分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边加上4的是
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月上午7时48分21.11.807:48November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一7时48分37秒07:48:378 November 2021
8．(12分)用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝5；
解：x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6
(2)x2－6x－6＝0；
解：x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15
(3)2x2＋x－1＝0； 解：x1＝12，x2＝－1 (4)23x2＋13x－2＝0. 解：x1＝32，x2＝－2
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
华师大版九年级数学上册课件：22.2 一元二次方程的解法 22.2.2 配方法
第二十二章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
轻松预习
1.配方法的定义 通过配方成 (x-a)2=b(b≥0) 的形式来解一元二次方
程的方法叫做配方法. 【思考】想一想，配方的目的和作用是什么？
轻松预习
2.用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程 右边； （2）将 二次 项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上 一次项 系数一半的
名师讲解
考点一：利用配方法解一元二次方程
【例1】（1）x2-4x-1=0；（2）2x2+6=7x. 【分析】运用配方法时，应先将方程转化为完全平方的形式再
求解.当二次项系数不为1时，要先把二次项系数化为 【解答】1.
跟踪训练
±1 A
跟踪训练
名师讲解
考点二：配方法的其他应用 【例2】用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的
平方，使方程左边成为一个 完全平方式 ； （4）解方程：利用 开平方 直接解方程. 注：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一
元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用.
轻松预习
3.配方法的其他应用 （1）通过配方来构造完全平方式，利用完全平方式的
非负性来确定代数式的取值范围； （2）通过配方解决恒等变形问题.
A
跟踪训练
LOGO
谢谢观看
最大值. 【分析】首先运用配方法将代数式配成完全平方的形式，再
利用完全平方的非负性来进行判断.
【解答】-4x2+8x-6=-4(x2-2x+ )=-4(x2-2x+1+ -1)=-4(x1)2-2x-1）2=0时 ，此式取最大值-2.
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
轻松预习
1.配方法的定义 通过配方成 (x-a)2=b(b≥0) 的形式来解一元二次方
程的方法叫做配方法. 【思考】想一想，配方的目的和作用是什么？
轻松预习
2.用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程 右边； （2）将 二次 项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上 一次项 系数一半的
名师讲解
考点一：利用配方法解一元二次方程
【例1】（1）x2-4x-1=0；（2）2x2+6=7x. 【分析】运用配方法时，应先将方程转化为完全平方的形式再
求解.当二次项系数不为1时，要先把二次项系数化为 【解答】1.
跟踪训练
±1 A
跟踪训练
名师讲解
考点二：配方法的其他应用 【例2】用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的
平方，使方程左边成为一个 完全平方式 ； （4）解方程：利用 开平方 直接解方程. 注：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一
元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用.
轻松预习
3.配方法的其他应用 （1）通过配方来构造完全平方式，利用完全平方式的
非负性来确定代数式的取值范围； （2）通过配方解决恒等变形问题.
A
跟踪训练
LOGO
谢谢观看
最大值. 【分析】首先运用配方法将代数式配成完全平方的形式，再
利用完全平方的非负性来进行判断.
【解答】-4x2+8x-6=-4(x2-2x+ )=-4(x2-2x+1+ -1)=-4(x1)2-2x-1）2=0时 ，此式取最大值-2.
九年级数学上册22.2一元二次方程的解法“配方法”及其应用素材华东师大版(new)
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法"告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方,得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1;2．移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥,用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++，则M N -的值（ )A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数解：(作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选B ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小。
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法2配方法pptx课件新版华东师大版
【点拨】由已知得x2－2x＝3 599，配方得x2－2x＋1 ＝3 600，即(x－1)2＝3 600，开方得x－1＝±60，所 以x1＝61，x2＝－59.因为a>b，所以a(－59)＝181.
16 ． 将 代 数 式 x2 － 10x ＋ 5 配 方 后 ， 发 现 它 的 最 小 值 为 __－__2_0___．
第22章 一元二次方程
2．配方法
提示：点击 进入习题
新知笔记
1 见习题
2 完全平方式； 非负常数
1D 2B 3A
4C
5 见习题
答案显示
6 见习题 7A 8C 9D 10 见习题
11 见习题 12 D 13 A 14 A 15 181
答案显示
16 －20 17 1或－3
18 见习题
19 见习题
1．一元二次方程配方的方法：(1)当二次项系数为1时，方 程两边都加上___一__次__项__系__数__一__半_______的平方；(2)当二 次项系数不为1时，方程两边同时除以 ____二__次__项__系__数____，将二次项系数化为1后再配方．
4．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的 是( C ) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝4 C．x2－4x＝3 D．x2＋2x＝5
5．【教材改编题】将下列各式配方：
(1)x2－4x＋___4___＝(x－__2____)2；
(2)x2＋12x＋__3_6___＝(x＋___6___)2；
(3)x2－
3 2
9
3
x＋___16___＝(x－___4___)2；
(4)x2＋2 2 x＋___2___＝(x＋____2__)2.
6．用配方法解方程： (1)【2021·厦门期末】x2－2x－5＝0；
16 ． 将 代 数 式 x2 － 10x ＋ 5 配 方 后 ， 发 现 它 的 最 小 值 为 __－__2_0___．
第22章 一元二次方程
2．配方法
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新知笔记
1 见习题
2 完全平方式； 非负常数
1D 2B 3A
4C
5 见习题
答案显示
6 见习题 7A 8C 9D 10 见习题
11 见习题 12 D 13 A 14 A 15 181
答案显示
16 －20 17 1或－3
18 见习题
19 见习题
1．一元二次方程配方的方法：(1)当二次项系数为1时，方 程两边都加上___一__次__项__系__数__一__半_______的平方；(2)当二 次项系数不为1时，方程两边同时除以 ____二__次__项__系__数____，将二次项系数化为1后再配方．
4．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的 是( C ) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝4 C．x2－4x＝3 D．x2＋2x＝5
5．【教材改编题】将下列各式配方：
(1)x2－4x＋___4___＝(x－__2____)2；
(2)x2＋12x＋__3_6___＝(x＋___6___)2；
(3)x2－
3 2
9
3
x＋___16___＝(x－___4___)2；
(4)x2＋2 2 x＋___2___＝(x＋____2__)2.
6．用配方法解方程： (1)【2021·厦门期末】x2－2x－5＝0；
2022秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法目标二解一元二次方程课件新版华
⑤x2－ 2x＋14＝0; ⑥x2－2x－98＝0.
(1)直接开平方法：____①________； (2)配方法：___④__⑥___________； (3)公式法：____③__⑤__________； (4)因式分解法：___②_________．
4 已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－ 3＝0，那么x2＋x＋1的值为( A ) A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
【点拨】运用换元法解方程时，先要找出相同的整 体进行换元，使方程变得简单，解完方程后还要注 意还元．
(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值； 解：设x2－y2＝a， 则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5， 解得a1＝－2，a2＝4， 则x2－y2＝－2或x2－y2＝4. 变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
2 解 方 程 (5x － 1)2 ＝ 3(5x － 1) 的 最 适 当 的 方 法 是
(D) A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
3 已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法
后的横线上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3; ④x2－2x－1＝0；
第22章
一元二次方程
22.2. 公式法
3
目标二 解一元二次方程
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1
5
2D
6
3
4A
答案呈现
1 【2021·浙江钱江新城实验中学期末】阅读材料，解答 问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0. 解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y， 则原方程可化为y2－10y＋24＝0. 解得y1＝6，y2＝4. ∴4x－1＝6或4x－1＝4. ∴x1＝74，x2＝54.
22.2.2 配方法 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
0，配方后得到的方程是（ D ）
A. + ＝28
B. − ＝28
C. + ＝1
D. − ＝1
典例导思
2. 一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0配方后得（ x －1）2＝
n ，则 m ＋ n 的值是 1 .
典例导思
题型二 用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
C ）
典例导思
4. 解下列方程：
（1） x2－4 x ＋1＝0；
解： x1＝2＋ ，
x2＝2－ .
（2）2 x2＋ x ＝5 x ＋5；
解： x1＝1＋
x2＝1－
.
，
典例导思
（3）3 x2－6 x －2＝0；
解： x1＝1＋
，
x2＝1－
.
2
（4）－ x ＋ x － ＝0.
＝1＋
，
即 −
＝ .
直接开平方，得 x － ＝± .∴ x1＝3， x2＝－ .
典例导思
3. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0配方后可化为（
2
2
A. （ x ＋2） ＝5
B. （ x －2） －5＝0
2
2
C. （ x ＋2） ＝3
D. （ x －2） －3＝0
2
2
2
2
配方，得 x －4 x ＋2 ＝ ＋2 ，即（ x －2） ＝ .
A. + ＝28
B. − ＝28
C. + ＝1
D. − ＝1
典例导思
2. 一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0配方后得（ x －1）2＝
n ，则 m ＋ n 的值是 1 .
典例导思
题型二 用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
C ）
典例导思
4. 解下列方程：
（1） x2－4 x ＋1＝0；
解： x1＝2＋ ，
x2＝2－ .
（2）2 x2＋ x ＝5 x ＋5；
解： x1＝1＋
x2＝1－
.
，
典例导思
（3）3 x2－6 x －2＝0；
解： x1＝1＋
，
x2＝1－
.
2
（4）－ x ＋ x － ＝0.
＝1＋
，
即 −
＝ .
直接开平方，得 x － ＝± .∴ x1＝3， x2＝－ .
典例导思
3. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0配方后可化为（
2
2
A. （ x ＋2） ＝5
B. （ x －2） －5＝0
2
2
C. （ x ＋2） ＝3
D. （ x －2） －3＝0
2
2
2
2
配方，得 x －4 x ＋2 ＝ ＋2 ，即（ x －2） ＝ .
22.2.2 配方法 课件 华东师大版数学九年级上册
(5) x2 + 8x + 42 = ( x + 4 )2；
(6)
x2
−
4 3
x
+
2 2
__3_ =
(
x
−
2
_3__)2.
典例讲解
例1 用配方法解方程：
(1) x2－4x + 1 = 0；
解： (1) 原方程可化为
x2 - 4x = -1.
配方 (两边同时加上 4 )，得
x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22，
(2) -3x2 + 6x - 7 的最大值. 解：原式 = -3(x - 1)2 - 4 当 x = 1 时，有最大值 -4.
5. 解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；
解：x2 + 2x + 2 = 0， (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解.
（3）4x2 - 6x - 3 = 0；
(x + 1)2 = 4. ∴ x1 = -3，x2 = 1.
解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3 = (k - 1)2＋3
因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3.
所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零.
课堂小结
配方法
配方 方程两边同时加一次项系数一半的平方
思路 ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0)
解方程： x2 + 2x = 5.
要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为
(
)2 = a 的形式．那么，怎么实现呢？
华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法
2.像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平 方式后，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
华师大版初中数学九年级上册22.2《一元二次方程的解法》ppt课件2
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得
x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
(2)(x 3)(x 1) 5 解 : 原方程可变形为
x2 2x 8 0
(x 2)(x 4) 0,
x 2 0或x 4 0,
(2)当x 0时,方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
解：移项，得
x2 x 0, x(x 1) 0
x 0,或x 1 0,
原方程的解为: x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根 ，那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确 ，错误在哪？
小结：
1.因式分解法解一元二次方 程的基本思想和方法：
当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次
因式时，可以使每一个一次因式
等于零，分别解两个一次方程，
得到的解就是原一元二次方程的
解.
（降次）
2.一元二次方程的解法： 直接开平方法 因式分解法 配方法
公式法
作业 P37 1 (4) (6) P38 2 (6)
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的：
移项，得
x(3x＋2)＝6(3x＋2),
22
一
元
二
次
方
程
22.2.2
解：整理原方程，得
x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
(2)(x 3)(x 1) 5 解 : 原方程可变形为
x2 2x 8 0
(x 2)(x 4) 0,
x 2 0或x 4 0,
(2)当x 0时,方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
解：移项，得
x2 x 0, x(x 1) 0
x 0,或x 1 0,
原方程的解为: x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根 ，那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确 ，错误在哪？
小结：
1.因式分解法解一元二次方 程的基本思想和方法：
当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次
因式时，可以使每一个一次因式
等于零，分别解两个一次方程，
得到的解就是原一元二次方程的
解.
（降次）
2.一元二次方程的解法： 直接开平方法 因式分解法 配方法
公式法
作业 P37 1 (4) (6) P38 2 (6)
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的：
移项，得
x(3x＋2)＝6(3x＋2),
22
一
元
二
次
方
程
22.2.2