高中数学第三章统计案例章末复习课课件北师大版选修2_3
2 30 × 4 × 2 － 8 × 16 χ2＝ ＝10>6.635， 12×18×20×10
故在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年
龄有关”.
解答
当堂训练
1.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由
高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归 .根据他的
的饮食习惯进行了一次调查，并
用茎叶图表示 30 人的饮食指数，
如图所示.(说明：图中饮食指数低
于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食
指数高于70的人，饮食以肉类为主).
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明
其亲属30人的饮食习惯；
解 30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食
解答
肉类为主.
结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b
A.在(－1,0)内
喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 48 不喜爱打篮球 6 合计
2 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 3 (1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)
解答
(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有 关？说明你的理由.
2 48 × 22 × 10 － 6 × 10 由 χ 2＝ ≈4.286. 28×20×32×16
题型探究
类型一 例1
线性回归分析
某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示： 年份201x(年) 0 1 2 3 4
人口数y(十万)
(1)请画出上表数据的散点图； 解 散点图如图.
5
7
8
11
19
解答
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
解答
(3)据此估计2018年该城市人口总数. 解 令x＝8，则y＝3.2×8＋3.6＝29.2，
(1) 当χ2≤2.706 时，没有充分的证据判定变量A， B有关联，可以认为
变量A，B是没有关联的.
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联.
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联.
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.
跟踪训练2 某学生对其亲属30人
跟踪训练1 数据为：
在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组
x(元)
y(件)
14
12
16
10
18
7
20
5
22
3
且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程.
解答
类型二 例2
独立性检验思想与应用
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行
了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
当r<0时，b < 0，称两个变量负相关；
当r＝0时，称两个变量线性不相关.
知识点二 1.2×2列联表
独立性检验
设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格
B
A
B1
B2
总计
A1
A2 总计
a
c
b
d
_____ a ＋b
c＋d _____ ＋b＋c＋d n＝a __________
a＋c _____
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表； 主食蔬菜 50岁以下 主食肉类 合计
50岁以上
总计
解 2×2列联表如下：
主食蔬菜 50岁以下 4 主食肉类 8 合计 12
50岁以上 总计
16 20
2 10
18 30
解答
(3)在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食 习惯与年龄有关”？
nad－bc a＋bc＋da＋cb＋d
2
.
3.独立性检验 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量 A，B有关联，可以认为变 量A，B是没有关联的. 当χ2>2.706时，有 90% 的把握判定变量A，B有关联. 当χ2>3.841时，有 95% 的把握判定变量A，B有关联. 当χ2>6.635时，有 99% 的把握判定变量A，B有关联.
第三章 统计案例
章末复习课
学习目标
1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性. 2.掌握建立线性回归模型的步骤. 3.理解条件概率的定义及计算方法. 4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题 . 5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题.
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
故估计2018年该城市人口总数为292万人.
解答
反思与感悟
解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变 量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然 后写出回归方程. (3)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题.
知识点一
线性回归分析
1.线性回归方程
i＝1
∑ xi－ x yi－ y ∑ xi－ x 2
n
n
i＝1 n
∑ xiyi－n x y
i ＝1 2 ∑ x2 － n x i Nhomakorabean
在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝ i＝1 1n 1n ∑ y ∑ x i y － b x ni＝1 i . a＝ .其中 x＝ ni＝1 ，＝ y
b＋d _____
B1 时的数据，b表示变量A取___ A1 ， A1 ，且变量B取___ 其中，a表示变量A取___ A2 ，且变量B取___ B1 时的数据；d B2 时的数据；c表示变量A取___ 且变量B取___ B2 时的数据.上表在统计中称为2×2列联表. A2 ，且变量B取___ 表示变量A取___ 2.统计量 χ2＝
解
因为4.286>3.841 ，所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜
爱打篮球与性别有关.
解答
反思与感悟
独立性检验问题的求解策略
2 n ad － bc χ2 统计量法：通过公式 χ2＝ a＋bc＋da＋cb＋d
先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断.
=
，
2.相关系数
i＝1 n
(1)相关系数 r 的计算公式 r＝
∑ xiyi－n x y
i＝1 2 ∑ y2 － n y i n
n
i＝1
2 ∑ x2 － n x i
.
(2)相关系数r的取值范围是 [－1,1] ，|r|值越大，变量之间的线性相关
程度越高.
(3)当r>0时，b > 0，称两个变量正相关；
2019_2020学年高中数学第三章统计案例章末优化总结课件北师大版选修2_3
[解析]
r＝
i∑＝41 xi－ i∑＝41 xi－ x
x yi－ y 2∑ i＝41 yi－
y
＝ 2
－5×1126≈－0.965，
显然 x 与 y 具有线性相关关系．
由所给数据求得 b＝－2.2，a＝21.3，
于是得到线性回归方程为 y＝－2.2x＋21.3.
销售单价为 x 时，利润为
x ＝173， y ＝176，
b＝0×－6＋9－＋39×0＋3×6＝1，
a＝ y －b x ＝176－1×173＝3.
所以回归直线方程 y＝x＋3， 当 x＝182 时，y＝185(cm)．
[答案] 185
考点 2 回归分析 回归分析是一种对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法，由于在实际 问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性相关的，这就需要根据专业知识或散 点图选择适当的曲线方程，然后通过适当的变量代换，把非线性方程化为线性回归 方程，从而确定未知参数．所以在回归问题中对两个变量进行统计分析时，常按以 下步骤进行：(1)画出两变量的散点图；(2)选择函数模型拟合散点图；(3)验证函数模 型选择的优劣；(4)借助函数模型对实际问题作出判断．
考点 1 线性回归方程的确定及应用 准确确定回归直线方程，有利于进一步加强数学应用知识，培养运用所学知识解决 实际问题的能力，所以正确地求出回归直线方程成为本章学习的一个重点，也是高 考中的一个热点问题． 1．回归直线方程过点( x ， y )，有时可以利用此性质确定直线方程． 2．利用公式求线性回归方程时，一定要用对公式．
某数学老师身高 176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ________ cm.
高中数学第三章统计案例本章整合课件北师大版选修23
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
高中数学(北师大版,选修23)第三章 统计案例+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(6份)第3章 1
第三章 §1一、选择题1．相关系数r 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．(－1,1)[答案] A2．(2014·重庆理，3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4 [答案] A[解析] 本题考查了线性回归方程，将点(3,3.5)代入个方程中可知，选项A 成立，所以选A ，线性回归方程一定经过点(x ，y )．3．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0 B. 0<r 2<r 1 C. r 2<0<r 1 D ．r 2＝r 1 [答案] C[解析] 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，而r 2<0，所以有r 2<0<r 1，故选C.二、填空题4．对于回归方程y ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y 的估计值是____________． [答案] 390[解析] ∵y ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y ＝4.75×28＋257＝390.5．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：__________线性相关关系．[答案] 13 较强的[解析] 由表中所组的数据知所求的中位数为13，画出x 与Y 的散点图知它们有较强的线性相关关系．三、解答题6．(2012·福建文，18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润.一、选择题1．(2014·湖北理，4)根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 作出散点图如下：由图象不难得出：回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.所以a >0，b <0.解答本题的关键是画出散点图，然后根据散点图中回归直线的斜率、截距来判断系数b ，a 与0的大小．2．对四对变量y 和x 进行相关性检验，已知n 是观测值的组数，r 是相关系数，且知①n ＝3，r ＝0.9950；②n ＝7，r ＝0.9533；③n ＝15，r ＝0.3012；④n ＝17，r ＝0.4991.(已知n ＝3时，r 0.05＝0.997；n ＝7时，r 0.05＝0.754；n ＝15时，r 0.05＝0.514；n ＝17时，r 0.05＝0.482)(r 0.05为r 的临界值)则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④ D ．③和④[答案] C[解析] 若y 与x 具有线性相关关系，则需r ＞r 0.05，对②和④都满足r ＞r 0.05. 3．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元[答案] B[解析] ∵a ＝y －b x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．(2012·新课标文，3)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了相关系数及相关性的判定．样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x ＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．5．(2013·湖北文，4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] 若y 与x 负相关，则y ^＝bx ＋a 中b <0，故①不正确，②正确； 若y 与x 正相关，则y ^＝bx ＋a 中b >0，故③正确，④不正确；故选D. 二、填空题6．下列说法中错误的命题序号是________．(1)如果变量η与ξ之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1、2、…，n )将散布在某一条直线的附近(2)如果两个变量ξ与η之间不存在线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程(3)设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，b 叫作回归系数(4)为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量η与ξ之间是否存在线性相关关系[答案] (2)[解析] 两个变量不具有相关关系，但据公式，我们也能求得其回归方程，只是无意义，因此要进行相关性检验．然后再求回归直线的方程．故(2)不正确，∴填(2)．7．某化工厂为预测某产品的回收率y ，研究得知它和原料有效成分含量x 之间具有线性相关关系，现取8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则y 与x 的线性回归方程是____________．(精确到小数点后两位数)[答案] y ＝11.47＋2.62x[解析] 根据给出的数据可先求x ＝18∑i ＝18x i ＝132，y ＝18∑i ＝18y i ＝572，然后代入公式b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝1849－8×132×572478－8×1694≈2.62，a ＝y －b x ＝11.47，进而求得回归方程y ＝11.47＋2.62x .三、解答题8．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位：百万元)求线性回归方程．[解析] 求回归直线的方程，关键在于正确的求出a 和b ，由于在求a ，b 时计算量较大，计算时要仔细谨慎、分层进行，避免计算错误．作出散点图由散点图可判断出，变量间存在线性相关关系．列表：于是可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的回归直线方程是y ＝17.5＋6.5x .9．(2013·重庆文，17)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －， 其中x －，y －为样本平均值．线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.[解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝－1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i ＝n x y ＝184－10×8×2＝24.由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值B 随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10．如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震次数为N，试建立N 对x的回归方程，并表述二者之间的关系.[解析]由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出，震级x与大于或等于该震级的地震次数N之间呈现出一种非线性的相关性，随着x的减少，所考察的地震数N近似地以指数形式增长．于是令y＝lg N.得到的数据如下表所示．图1x和y的散点图如图2.图2从散点图(2)中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a≈6.704，b≈－0.741，故线性回归方程为y＝－0.741x＋6.704.因此，所求的回归方程为：lg N＝－0.741x＋6.704，故N＝10－0.741x＋6.704.[点评]在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合．。
高中数学 第三章 统计案例章末归纳提升课件 北师大版选修2-3
【 思 路点 拨】 ∑xiyi－n x · y
i＝1 n n
对变量 进 行相 关性 检 验，可 用 公 式
2 2 2 ∑x2 － n x ∑ y － n y i i i＝1 i＝1
n
计算 r 的值，当|r|越接近于 1 时，
ห้องสมุดไป่ตู้
说明两个变量具有越强的线性相关关系．
【规范解答】 ∑y2 i ＝4 i＝1 842.4，
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费 的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下： 零件数 x(个) 加工时间 y(分 钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？ (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求出线性回归方程．
可线性化的回归分析
曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非 线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可 以按最小二乘法原理求出变换和变量的线性回归方程，同时 根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对 曲线的拟合．
常用的非线性函数曲线有：(1)幂函数曲线 y＝axb，作变 换 u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bv；(2)指数 曲线 y＝aebx， 作变换 u＝ln y， c＝ln a， 得线性函数 u＝c＋bx； b 1 (3)倒指数曲线 y＝aex ，作变换 u＝ln y，c＝ln a，v＝ x，得线 性函数 u＝c＋bv；(4)对数曲线 y＝a＋bln x，作变换 v＝ln x， 得线性函数 y＝a＋bv.
经过调查得到 8 个厂家同种类型的产品年新增 加投资额和年利润额的数据资料，如下表所示： 八个厂家年新增投资额与年利润额数据资料 1 2 3 4 5 6 7 8 厂家 年新增投资 4 6 10 11 15 17 18 20 额 x(万元) 年利润 6 7 9 10 17 24 23 26 额 Y(万元) ln Y 1.79 1.95 2.20 2.30 2.83 3.18 3.14 3.26 求 Y 对 x 的回归方程．
高中数学(北师大版,选修23)第三章 统计案例+课件+同步
第三章综合测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个( ) (1)回归直线过样本点的中心(x －，y －)；(2)线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； (4)在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 由回归分析的概念知①④正确，②③错误． 2．变量y 对x 的回归方程的意义是( ) A ．表示y 与x 之间的函数关系 B ．表示y 与x 之间的线性关系 C ．反映y 与x 之间的真实关系D ．反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合 [答案] D[解析] 用回归方程预测变量y 对x 的不确定关系，反映的不是真实关系，而是真实关系达到最大限度的吻合．3．在列联表中，两个比值( )相差越大，两个分类变量之间的关系越强．( ) A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.a a ＋b 与c b ＋c D.a b ＋d 与c a ＋c [答案] A [解析] a a ＋b 与c c ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强．故选A.4．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时，则相关系数r 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定[答案] C[解析] 若b ＝0，则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0，∴r ＝0.5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分依据[答案] B[解析] 由表中数据得χ2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．6．(2014·淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量，得到如下数据：A.y ^＝0.5x －1 B.y ^＝x C.y ^＝2x ＋0.3 D.y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 因为x －＝0，y －＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x －，y －)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B.7．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)，(5，y 2)，(7，y 3)，(13，y 4)，(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，则y －＝( )A ．135B ．90C ．67D ．63[答案] D[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －＋45，∴y －＝2×9＋45＝63，故选D.8．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们表示它常用( ) A.∑i ＝1n(y i －y ′i )B.∑i ＝1n(y ′i －y i )C.∑i ＝1n(y i －y ′i )2D.∑i ＝1n(y 2i －y ′2i ) [答案] C[解析] 离差的平方和最小的时候，点均匀分布在直线两侧．9．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表：则χ2的值为( ) A ．0.559 B ．0.456 C ．0.443 D ．0.4[答案] A[解析] χ2＝90(12×36－9×33)245×45×21×69≈0.559.10．给出下列四个命题，其中真命题是( ) A ．∀x ∈R ，cos x ＝sin(x ＋π3)＋sin(x ＋π6)一定不成立B ．今年初某医疗研究所为了检验“达菲(药物)”对甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者数据库中的500名使用达菲的人与另外500名未用达菲的人一段时间内患甲型H1N1流感的疗效记录作比较，提出假设H 0：“达菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查对临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05，说明达菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率为95%C ．|a·b|＝|a||b|是|λa ＋μb |＝|λ||a |＋|μ||b |成立的充要条件D ．如图的茎叶图是某班学生一次测验时的成绩；可断定：男生成绩比较集中，整体水平稍高的女生[答案] C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．有下列关系：(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；(3)苹果的产量与气候之间的关系；(4)森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；(5)学生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是______．[答案] (3)(4)12．如果χ2的值为8.654，可以认为“A 与B 无关”的可信度是____________． [答案] 1%[解析] ∵8.654＞6.635，∴我们认为A 与B 有关的把握为99%，故“A 与B 无关”的可信度为1%. 13．根据下表计算χ2＝________.[答案] 1.779[解析] χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.779.14．已知在某种实践运动中获得一组数据：其中不慎将数据y 20.5x ＋a ，则y 2与a 的近似值为________．[答案] 8，－0.7[解析] 由题意，得x ＝19.5，y ＝28.2＋y 24.代入∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝0.5中，得y 2≈8.所以y ＝9.05，a ＝y －b x ≈9.05－0.5×19.5＝－0.7.15．某种产品的业务费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：则变量y 与x [答案] 0.92 [解析] 列表如下：由表中数据计算得x ＝5，y ＝50，则相关系数r ＝1380－5×5×50145－5×52×13500－5×502≈0.92.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．男性更容易患色盲吗？某机构随机调查了1000人，调查结果如下表(单位：人)：[解析] 问题是判断患色盲是否与性别有关，由题目所给数据得到如下列联表(单位：人)：由公式计算得χ2＝1000×(442×6－514×38)2956×44×480×520≈27.139.由于27.139>6.635，所以有99%以上的把握认为患色盲与性别有关．17．下表是随机抽取的8对母女的身高数据，试根据这些数据求出女儿身高y 对母亲身高x 的线性回归方程，并预测母亲身高为165cm 时女儿的身高.[解析] 散点图如图所示．由图可知两个变量呈现出近似的线性关系，可以建立女儿身高y 对母亲身高x 的线性回归方程．将数据列成下表.由此可得x ＝159.25－53.191，故y 对x 的线性回归方程为y ＝－53.191＋1.345x .当母亲身高为165cm 时，女儿身高的估计值为 －53.191＋1.345×165＝168.734≈169(cm)．18．(2013·云南玉溪一中高三月考)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：2只，未患病数为η，工作人员曾计算过P (ξ＝0)＝389P (η＝0)． (1)求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义； (3)能够以99%的把握认为药物有效吗？ 参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).①当K 2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联； ②当K 2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联． [分析] (1)从已知P (ξ＝0)＝389P (η＝0)出发，结合2×2列联表可求． (2)求出ξ、η的分布列，再利用期望定义式求E (ξ)和E (η)即可． (3)利用公式算出K 2，结合参考数据可以判断． [解析] (1)∵P (ξ＝0)＝C 220C 250，P (η＝0)＝C 2xC 250，∴C 220C 250＝389×C 2xC 250，∴x ＝10. ∴y ＝40，∴M ＝30，N ＝70. (2)ξ取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 220C 250＝38245，P (ξ＝1)＝C 120C 130C 250＝120245，P (ξ＝2)＝C 230C 250＝87245.∴E (ξ)＝294245.P (η＝0)＝C 210C 250＝9245.P (η＝1)＝C 110C 140C 250＝80245.P (η＝2)＝C 240C 250＝156245.∴E (η)＝392245.∴E (ξ)<E (η)，即说明药物有效． (3)∵K 2＝100×(800－300)230×70×50×50≈4.76.∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效．19．某商场经营一批进价为30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)画出散点图，并判断y 与(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单位价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．[分析] 两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．[解析] (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34，∑i ＝14x i y i ＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，∑i ＝14x 2i ＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b ＝∑i ＝14x i y i －4x ·y∑i ＝14x 2i －4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125＝－2.96.∴a ＝y －b x ＝34－(－2.96)×42.5＝159.8. ∴y ＝－2.96x ＋159.8.(3)依题意有P ＝(－2.96x ＋159.8)(x －30) ＝－2.96x 2＋248.6x －4 794，∴当x ＝248.62×2.96≈42时，P 有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．[点评] 该类题属于线性回归线问题，解答本类题目的关键是首先通过散点图(或相关性检验求相关系数r )来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．20．为考察高中生是否喜欢数学课程与性别之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：性别与喜欢数学课程列联表[解析] 可以有95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：分别用a ，b ，c ，d 表示样本中喜欢数学课的男生人数，不喜欢数学课的男生人数，喜欢数学课的女生人数，不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例a a ＋b 与女生中喜欢数学课的人数比例c c ＋d应该相差很多，即|a a ＋b －cc ＋d |＝|ad －bc (a ＋b )(c ＋d )|应很大．将上式等号右边的式子乘以常数(a ＋b ＋c ＋d )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，然后平方得χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .因此χ2越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．另一方面，假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”为事件A ，由于事件A ＝{χ2>3.841}的概率为P (χ2>3.841)≈0.05，因此事件A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得χ2＝4.514，这表明小概率事件A 发生．根据假设检验的基本原理，我们应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.所以，约有95%的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．21．(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) ＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030>2.706，所以我们有90名的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为 Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.。
高中数学第三章统计案例模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i xi yi 1 70 5. 1 2 74 6. 0 444 10 108 11. 0 3 80 6. 8 544 11 115 11. 8 4 78 7. 8 608. 4 12 123 12. 2 5 85 9. 0 765 13 130 12. 5 6 92 10. 2 938. 4 14 138 12. 8 7 90 10. 0 900 15 145 13. 0 8 95 12. 0 1 140
������ = ������-����������������� , ������)称为样本点的中心. ������ ������ =1
知识网络
要点梳理
(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类 变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数 列联表(称为2×2列联表)为
xi2 =161 125,
15
i=1
∑ ������������2 =1
628. 55, ∑ xi yi =16 076. 8.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题一 回归分析 【例1】 蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均 使用氮肥量x kg与每单位面积蔬菜年平均产量y t之间的关系有如 下数据:
高二数学2013北师大版高中数学选修2-3第三章 统计案例复习课件
ln Y 1.79 1.95 2.20 2.30 2.83 3.18 3.14 3.26
求 Y 对 x 的回归方程．
【思路点拨】 先确定拟合函数模型，再利用公式求出
回归方程．
可线性化的回归分析
BS ·数学 选修2－3
曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非 线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可 以按最小二乘法原理求出变换和变量的线性回归方程，同时 根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对 曲线的拟合．
BS ·数学 选修2－3
常用的非线性函数曲线有：(1)幂函数曲线 y＝axb，作变 换 u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bv；(2)指数 曲线 y＝aebx，作变换 u＝ln y，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bx； (3)倒指数曲线 y＝aebx，作变换 u＝ln y，c＝ln a，v＝1x，得线 性函数 u＝c＋bv；(4)对数曲线 y＝a＋bln x，作变换 v＝ln x， 得线性函数 y＝a＋bv.
(2)设所求的线性回归方程为 y＝bx＋a，那么，由上表可
10
∑xiyi－10 得：b＝i＝110
∑x2i －10
x x
y
2
＝55
398505－001－0×105×5×55921.7≈0.668，
i＝1
a＝ y －b x ＝91.7－0.668×55＝54.96.
所以所求的线性回归方程为 y＝0.668x＋54.96.
BS ·数学 选修2－3
掌握这几种曲线模型，有利于我们研究更多的曲线拟合 与回归分析的问题．
利用线性回归拟合曲线的一般步骤 (1)绘制散点图． 绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲 线类型． (2)进行变量替换 y′＝f(y)，x′＝g(x)． 使变换后的两个变量呈线性相关关系． (3)按最小二乘法原理求线性回归方程． (4)将线性化方程转换为关于原始变量 x，y 的回归方程．
2017-2018版高中数学 第三章 统计案例章末复习课 北师大版选修2-3
当堂训练
1.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高
尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结
论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b
A.在(－1,0)内
B.等于0
√C.在(0,1)内
D.在ห้องสมุดไป่ตู้1，＋∞)内
解析 子代平均身高向中心回归，b应为正的真分数，故选C.
跟踪训练2 某学生对其亲属30人 的饮食习惯进行了一次调查，并 用茎叶图表示30人的饮食指数， 如图所示.(说明：图中饮食指数低 于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食 指数高于70的人，饮食以肉类为主). (1)根据茎叶图，帮助这位同学说明 其亲属30人的饮食习惯；
解 30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食 肉类为主.
解答
(3)据此估计2018年该城市人口总数. 解 令x＝8，则y＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人.
解答
反思与感悟
解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变 量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然 后写出回归方程. (3)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题.
解答
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；
主食蔬菜 50岁以下 50岁以上 解 2×2列联表如总下计：
主食蔬菜
50岁以下
4
50岁以上
16
总计
20
主食肉类
主食肉类 8 2 10
合计
合计 12 1解8 答 30
高中数学第3章统计案例章末高效整合课件北师大版选修2_3
10
10
10
x ＝55，y ＝91.7，x2i ＝38 500，y2i ＝87 777，xiyi＝55 950
i＝1
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
i＝1
r＝
10
10
x2i －10 x 2y2i －10 y 2
i＝1
i＝1
＝ 38 5005－5 1905×0－55120×87557×779－1.170×91.72≈0.999 8， 0．999 8>0.75，故 y 与 x 具有线性相关关系．
解析： (1)列出下表，并用科学计算器进行计算. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
1 2 3 4 5 7 8 10 12 xiyi 620 360 250 240 450 700 140 640 350 200
∧
附：若(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)为样本点，y＝bx＋a
为回归直线，则 x ＝
1 n
n
xi，
y
＝
1 n
n
yi，
i＝1
i＝1
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，a＝ y －b x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
④可以利用线性回归方程 y＝a＋bx 预报在 x 取某一个值时 y 的估计值．
(3)先判定相关性，再求线性回归方程 利用样本相关系数 r 来判断两个变量之间是否有线性相关 关系时，可以依据若|r|>0.75，我们认为有很强的线性相关关系， 可以求线性回归方程，并可用求得的线性回归方程来预报变量 的取值；若|r|<0.75，则认为两个变量之间的线性相关关系并不 强，这时求线性回归方程没有太大的实际价值．