2019-2020学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
【解析】由等比数列下标和的性质得 p q 9 ，再由 1 9 1 ( 1 9 )( p q) 展开利 p q 9p q
用基本不等式即可得最小值. 【详解】
等比数列 an 中，若 a3 a6 ap aq ，
所以 p q 3 6 9 .
所以 1 9 1 ( 1 9)( p q) 1 (10 q 9 p) 1 (10 2 q 9 p ) 16 .
，即
x
2 1时有最小值1 2 2 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是凑出积为定值的结构，属于中档
题.
二、填空题 13．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为__________。 【答案】1
【解析】根据题意，设公比为 q ，可设三数为 a ， a ， aq ，列出方程，求解方程即可
3
3
所以 a : b : c 2 : 7 : 3 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在几何中的应用，属于中档题.
8．记 Sn 为数列an的前 n 项和，且满足 a1 0 ，Sn an 1，若数列an 为递增数
列，则实数 的取值范围为（ ）
A． 1
B． 0
【答案】B
C． 0 1
完了，则小贩的柑桔一共有______个.
【答案】63.
【解析】设小贩原有柑桔数为 x 个，分别求得六个人所得列方程求解即可.
【详解】
设小贩原有柑桔数为 x 个，
第一人所得为： x 1 x 1 22 2
第二个人所得为：
故选：C. 【点睛】
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本题主要考查了点与直线的位置关系，属于基础题.
11．已知：数列 an ， a1 1，对任意的 n N* ， an an1 n 2n ，则 a10 （ ）
A．3185 【答案】A
B．3186
C．3187
D．3188
【解析】由 an an1 n 2n ，得 an1 an2 (n 1) 2n1 ，作差得
D． 1或 0
【解析】由 Sn
an
1，及 Sn1
an1 1 ，作差可得
an an1
1 ，进而结合单调
性及等比数列的性质可得解.
【详解】
由 Sn an 1，及 Sn1 an1 1, (n 2) ，作差可得： an an an1 ，
即 (
1)an
an1 ，因为 a1
0
，所以
sin C
2b
【答案】 5 （或填写150 ）. 6
【解析】由正弦定理结合 a 2 可得 a2 c2 b2 3ac ，再由余弦定理即可得解.
【详解】
由正弦定理 sin B sin A 2 3 c ，可得： b a 2 3 c 2 3 c .
sin C
2b
c 2b ab
可得： a2 c2 b2 2 3c 3ac .
5．若实数 满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A．
B．1
C．10
D．12
【答案】C
【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难
度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以
为顶
点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数
在 ABD 中， cos B
cos 60
c2 a2 b2 4
2c a
1 ，整理得： c2 2
a2 4
b2
1 ac （1）. 2
2
在 ABC 中， cos B cos 60 c2 a2 b2 1 ，整理得： c2 a2 b2 ac （2）.
2ca 2
（1）-（2）得： 3a 2c ，即 a 2 c ，代入（1）可得 b 7 c .
河南省南阳市高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．不等式 1 1的解集是（ ） x
A． ,1
B． 1,
C． 0,1
D． 0,
【答案】C 【解析】先将分式不等式通分，再转化为二次不等式求解即可.
【详解】
因为 1 1，得 1 x 0 ，得 x(x 1) 0 ，解得 0 x 1.
x
x
故选：C.
经过平面区域的点 时，
取最大值
.
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【点睛】 解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的 准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
6．已知数列an为等比数列， Sn 为其前 n 项和，且 Sn 2018 2020n 2019t ，则
常数 t （ ） A． 2016
【解析】由正弦定理可得边之比，进而可得角的大小关系，结合余弦函数的单调性可得
选项. 【详解】
因为 sin A: sin B : sin C 3: 4 : 6，由正弦定理可得 a : b : c 3: 4 : 6 ， 由大边对大角可得： A B C ，
又因为 y cos x 在 (0, ) 上为减函数，
an an1
,(n 1
2)
，所以
an
为等比数列.
若数列 an 为递增数列，则
0
1
1.
解得 0 .
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故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用项与和的关系证明等比数列，及等比数列的单调性，属于基础题.
9．设 a R ，若关于 x 的不等式 x2 ax 1 0 在区间 1, 2 上有解，则（ ）
x 1 x
A． 2 2
B．1 2 2
C． 2 2 2
D． 3 2 2
【答案】B
【解析】将原式变形为1 1 x 2x ，再利用基本不等式求最值即可. x 1 x
【详解】
1
2x
x 1 x
2x
11 x
2x
1 2
2.
x 1 x
x
1 x
x 1 x
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当且仅当
1 x
x
2x 1 x
q
【详解】
a3 8
三数成等比数列，设公比为
q
，可设三数为
a q
，a
，aq
，可得
a q
aq
，求出
4
a
q
2 1
，
公比 q 的值为 1
【点睛】
本题考查利用等比数列的性质求解，属于基础题
14．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 c .若 a 2 ，且
sin B sin A 2 3 c ，则 B ______.
（）
A． a 0 a 7
【答案】C
B． a 7
C． 7 a 0
D． a 0 或
【解析】由条件可得 (33 21 a)(3 4 26 a) 0 ，从而得解.
【详解】
点 M 3,1 和 N 4,6 在直线 3x 2y a 0 的两侧，
所以 (33 21 a)(3 4 26 a) 0 ，解得 7 a 0.
A． a 2
【答案】D
B． a 2
C． a 5 2
D． a 5 2
【解析】根据题意得不等式对应的二次函数 f x x2 ax 1开口向上，分别讨论
0, 0, 0 三种情况即可。
【详解】
由题意得：当 0 a 2
当
0
f 1
0或f
2
0
a a
2或a 2或a
2 5
2
a
所以 cos B a2 c2 b2 3 ，解得 B 5 （或150 ）
2ac
2
6
故答案为： 5 （或填写150 ）. 6
【点睛】
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本题主要考查了正余弦定理解三角形，属于基础题.
1 9
15．在等比数列 an 中，若 a3 a6 ap aq ，则 p q 的最小值为______.
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了利用和与项的关系计算通项公式，再由等比数列的性质列式求解，属于
基础题.
7．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 c .若 B 60 ， BC 边上的中
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线 AD b ，则 a : b : c （ ）
A．1: 2 : 3
2017
【答案】C
B． 2017 2018
C． 2018 2019
D． 2019 2020
【解析】先求 a1 2018 2020 2019t ，再由 an Sn Sn1 得 n 2 时得通项公式，
由等比数列性质知首项也满足可得解. 【详解】
由 Sn 2018 2020n 2019t ，得 S1 2018 2020 2019t a1 ， n 2 时有：
【点睛】
本题主要考查了解分式不等式，属于基础题.
2．在 ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为 a 、b 、c .若 sin A: sin B : sin C 3: 4 : 6 ，
则有（ ）
A． cos A cos B cosC C． cos B cos A cosC
【答案】B
B． cos A cos B cosC D． cosC cos A cos B
an Sn Sn1 2018 2020n 2019t (2018 2020n1 2019t) 2018 2019 2020n1
.
由数列an为等比数列，可知 a1 2018 2020 2019t 满足上式，
所以 a1
2018 2020 2019t
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
河南省南阳市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
河南省南阳市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·吉林月考) 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·驻马店期中) 给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+ ≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+ ＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+ ≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx= ．其中正确的为（）A . ③B . ③④C . ②③④D . ①②③④3. （2分）(2016·潍坊模拟) 已知F1 ， F2为椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A . ﹣1B . ﹣1C .D .4. （2分） (2018高二上·浙江月考) 过双曲线的左顶点作斜率为2的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·雨城期中) 已知椭圆的离心率为，则的值为（）A . 或B .C . 或D .6. （2分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°7. （2分）已知O是的重心，且，则=（）A .B .C .D .8. （2分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，4）C . （2，3）D . （2，4）9. （2分）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）正四面体ABCD中各棱长为2，E为AC的中点，则BE与CD所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 下列命题正确的是（）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行12. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 若，，，则________14. （1分） (2017高二下·金华期末) 已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P在C上，△PFA为正三角形，则p=________．15. （1分）(2016·金华模拟) 已知F1 ， F2分别是双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且• =0，则双曲线的离心率为________．16. （1分）一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）| x+y=4m}，命题P：A∩B=∅，命题q：直线 + =1在两坐标轴上的截距为正．（1）若命题P为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18. （10分） (2015高二上·天水期末) 已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（3，m）在抛物线E上，且|AF|=4．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．19. （10分） (2019高二下·上海月考) 在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD^平面ABCD，PD=8．（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线PB与DC所成角的大小．20. （15分） (2017高一下·廊坊期末) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．21. （10分）(2017·杭州模拟) 在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．（1）当θ=90°时，求A′C的长；（2）当cosθ= 时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．22. （10分）(2018·黄山模拟) 已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点， ,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河南省南阳市宛城区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)
河南省南阳市宛城区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列实数中，是有理数的是( )A. πB. √8C. √32D. 37 2. 计算：(−x)12÷(−x)3=( )A. −x 4B. x 4C. −x 9D. x 93. 下列说法中，不正确的是( )A. 10的立方根是√103B. −2是4的一个平方根C. 49的平方根是23D. 0.01的算术平方根是0.14. 下列因式分解中，正确的是( )A. a 4b −6a 3b +9a 2b =a 2b(a 2−6a +9)B. x 2−x +14=(x −12)2C. x 2−2x +4=(x −2)2D. 4x 2−y 2=(4x +y)(4x −y)5. 计算(x 2)4÷x 的结果是【 】A. x 5B. x 6C. x 7D. x 8 6. 能证明命题x 是实数，则(x −3)2>0”是假命题的反例是( )A. x =1B. x =2C. x =3D. x =4 7. 长方形面积是4a 2−2ab +6a ，一边长为2a ，则它周长为( )A. 2a −b +3B. 8a −2bC. 4a −b +3D. 8a −2b +68. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH =EB =3，AE =5，则CH 的长是( )A. 1B. 2C. 35D. 539. 如图，通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是( )A. (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2B. (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ab +bc +acC. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+3bc+4ac10.如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形(不含△ABC)共有()个．A. 4B. 16C. 23D. 24二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.方程2x3+54=0的解是______．12.若(x+2)(x2+mx+4)的展开式中不含有x的二次项，则m的值为______ ．13.若多项式4x2−kx+25是一个完全平方式，则k的值是__________．14.如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，则BD=______．15.如图，∠A=110°，在边AN上取B，C，使AB=BC.点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则∠BPE+∠BCE=________°．三、计算题（本大题共3小题，共25.0分）16.计算：2ab·(a−2b)=_____________，(x+y)(x2−xy+y2)=_____________．17.分解因式：(m2+4)2−16m2．18. 分解因式(1)3x 3−6x 2y +3xy 2 (2)(m −1)(m −3)−8 (3)16(a −b)2−25(a +b)2 (4)(x +y)2−4(x +y −1)四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）19. 计算：√16−√273+√14−3+5+(−1)2015．20. 先化简，再求值：[(3m −n)2−(2m +n)2+5m(m −n)]÷(−5m)，其中实数m 、n 满足3|n +2|=−12√2m −4．21. 如图，已知AB =DC ，∠ABC =∠DCB ，E 为AC 、BD 的交点．求证：AC =DB ．22. 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)记作(−3)④，读作“−3的圈4次方”.一般地，把a ÷a ÷a …÷a ⏟ n 个a(a ≠0)记作，读作“a的圈n 次方”．(1)直接写出计算结果：2③=______，(−3)④=______，(−12)⑤=______；(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n 次方等于______； (3)计算24÷23+(−8)×2③．23.如图，等边△ABC中，E是AB上任意一点，以CE为边作等边△ECD，连接AD，试判断AD与BC的位置关系，并证明你的结论．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案． 解：A.π是无理数，故A 选项不符合题意； B .√8=2√2是无理数，故B 选项不符合题意； C .√32是无理数，故C 选项不符合题意；D .37是有理数，故D 选项符合题意． 故选D ．2.答案：C解析：本题考查了同底数幂的除法和积的乘方，能熟记同底数幂的除法和积的乘方的内容是解此题的关键．先关键同底数幂的除法进行计算，再根据积的乘方求出即可． 解：原式=(−x)12−3=(−x)9=−x 9， 故选C ．3.答案：C解析：解：A.10的立方根是√103，正确； B .−2是4的一个平方根，正确； C .49的平方根是±23，故错误； D . 0.01的算术平方根是0.1，正确； 故选C ．根据立方根，平方根，算数平方根的定义，即可解答．本题考查了平方根，算术平方根及立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根及算术平方根的定义．解析：此题考查了因式分解−运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式各项分解得到结果，即可做出判断．【解答】解：A.原式=a2b(a2−6a+9)=a2b(a−3)2，此项错误；)2，此项正确；B.原式=(x−12C.原式不能分解，此项错误；D.原式=(2x+y)(2x−y)，此项错误，故选B.5.答案：C解析：【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法.掌握法则是解题的关键.先根据幂的乘方：底数不变，指数相乘计算，然后再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：(x2)4÷x=x8÷x=x7．故选C．6.答案：C解析：根据x=3时，(x−3)2=0，得出能证明命题“x是实数，则(x−3)2>0”是假命题的反例是：x=3．本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题只要找到一个反例即可．∵x=3时，(x−3)2=0，∴能证明命题“x是实数，则(x−3)2>0”是假命题的反例是：x=3．7.答案：D解析：本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法． 先通过因式分解求出另一边长，再求出周长即可． 解：4a 2−2ab +6a =2a(2a −b +3)， ∵一边长为2a ，∴另一边长为2a −b +3， 故周长为2(2a +2a −b +3)=8a −2b +6， 故选D ．8.答案：B解析：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.由AD 垂直于BC ，CE 垂直于AB ，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS 得到三角形HEA 与三角形BEC 全等，由全等三角形的对应边相等得到AE =EC ，由EC −EH ，即AE −EH 即可求出CH 的长．解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠HDC =∠AEH =90°， ∵∠AHE =∠CHD ， ∴∠EAH =∠BCE ， ∵在△HEA 和△BEC 中，{∠EAH =∠BCE ∠AEH =∠BEC EH =EB, ∴△HEA≌△BEC(AAS)， ∴AE =EC ， ∵AE =5， ∴AE =EC =5， ∵EH =3，∴CH=EC−EH=5−3=2．故选B．9.答案：C解析：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．直接利用图形面积得出等式，进而得出答案．解：根据题意得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故选C．10.答案：C解析：本题考查了全等三角形的判定，考查了图形规律的探索，解答时先找出这种三角形的基本格点图，进而可解．解，如下图，这样的图中分别可画23个三角形与△ABC全等，6×4−1=23故答案为C．11.答案：x=−3解析：此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．方程整理后，利用立方根定义求出解即可．解：方程整理得：x3=−27，开立方得：x=−3．故答案为x=−3．12.答案：−2解析：本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，求出m的值．解：(x+2)(x2+mx+4)=x3+(m+2)x2+(2m+4)x+8，由展开式中不含x2项，得到m+2=0，则m=−2．故答案为−2．13.答案：±20解析：本题主要考查了完全平方式，属于基础题．根据已知可得完全平方式是(2x±5)2=4x2±20x+25，依据对应相等可得−kx=±20x，解得k=±20．解：∵4x2−kx+25是一个完全平方式，∴4x2−kx+25=(2x)2−kx+52=(2x±5)2，∵(2x±5)2=4x2±20x+25，∴−kx=±20x，解得k=±20．故答案为±20．14.答案：√11解析：解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，∴∠ADE=∠AED=45°，∴AE=AD=1，DE=√2，∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，∴△BAE≌△CAD(SAS)，∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，∴∠BED=90°，∴BD=√BE2+DE2=√32+(√2)2=√11．故答案为√11．如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE.证明△BAE≌△CAD(SAS)，∠BED=90°，利用勾股定理求出BD即可．本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15.答案：70解析：本题考查翻折变换(折叠问题)，根据折叠的性质得到∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=110°，根据等腰三角形的性质得到∠BEC=∠BCE，根据四边形的内角和即可得到结论．解：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB，∴∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=110∘，∵AB=BC，∴BC=BE，∴∠BEC=∠BCE，∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360∘−∠A−∠BEP=140∘，∴∠BPE+∠BCE=70∘．故答案为：70．16.答案：2a2b−4ab2；x3+y3解析：本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，为基础题．能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．解：2ab·(a−2b)=2a2b−4ab2；(x+y)(x2−xy+y2)=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3=x3+y3．17.答案：解：(m2+4)2−16m2=(m2+4+4m)(m2+4−4m)=(m+2)2(m−2)2．解析：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．18.答案：解：(1)3x3−6x2y+3xy2=3x(x2−2xy+y2)=3x(x−y)2；(2)(m−1)(m−3)−8=m2−4m−5=(m−5)(m+1)；(3)16(a−b)2−25(a+b)2=[4(a−b)+5(a+b)][4(a−b)−5(a+b)]=(9a+b)(−a−9b)=−(9a+b)(a+9b)；(4)(x+y)2−4(x+y−1)=(x+y)2−4(x+y)+4=(x+y−2)2．解析：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用以及因式分解−十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．(1)提公因式3x，再利用完全平方公式即可；(2)将(m−1)(m−3)−8利用多项式乘多项式化简得到，m2−4m−5，再用十字相乘法分解即可；(3)利用平方差公式即可；(4)将(x+y)2−4(x+y−1)化为(x+y)2−4(x+y)+4后，再利用完全平方公式即可．19.答案：解：原式=4−3+12+2−1=52．解析：原式利用算术平方根，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.答案：解：原式=(9m2−6mn+n2−4m2−4mn−n2+5m2−5mn)÷(−5m)=(10m 2−15mn)÷(−5m)=−2m +3n∵3|n +2|=−12√2m −4， ∴3|n +2|+12√2m −4=0，∴n +2=0，2m −4=0，解得：n =−2，m =2，则原式=−2×2+3×(−2)=−10．解析：本题考查整式的化简求值以及非负数的性质，首先根据整式的混合运算法则将原式进行化简，然后根据绝对值和算术平方根的非负性求出m ，n 的值，再代入计算即可．21.答案：证明：在△ABC 和△DCB 中，{AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =BC∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AC =DB解析：由“SAS ”可证△ABC≌△DCB ，可得AC =DB ．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．22.答案：解：(1)12；19；−8；(2)这个数倒数的(n −2)次方；(3)24÷23+(−8)×2③=24÷8+(−8)×12=3+(−4)=−1．解析：此题考查了有理数的混合运算，考查了新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．(1)根据题中的新定义计算即可得到结果；(2)归纳总结得到规律即可；(3)利用得出的结论计算即可得到结果．解：(1)2③=2÷2÷2=12；(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=19；(−12)⑤=(−12)÷(−12)÷(−12)÷(−12)÷(−12)=−8．故答案为： 12；19；−8；(2)这个数倒数的(n −2)次方；故答案为：这个数倒数的(n −2)次方；(3)见答案． 23.答案：解：结论：AD//BC ．理由：∵△ABC ，△CED 都是等边三角形，∴CB =CA ，CE =CD ，∠BCA =∠B =∠ECD =60°，∴∠BCE =∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，{CB =CA ∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴∠CAD =∠B =60°，∴∠DAC =∠ACB ，∴AD//BC ．解析：结论：AD//BC.证明△BCE≌△ACD(SAS)，推出∠CAD =∠B =60°，可得∠DAC =∠ACB 解决问题．本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2019-2020学年河南省南阳市高二上学期期中质量评估数学试题
河南省南阳市2019-2020学年高二上学期期中质量评估注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择題)和第II 卷(非选择题）两部分.考生做题时将[答案]答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题[答案]使用2B 铅笔填涂，非选择题[答案]使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的[答案]无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题 (共60分）—、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式1>1x的解集是 A. (-∞,l) B. (l,+ ∞)C. (0,1) D .(0，+∞)2.在△ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若 sinA : sinB : sinC=3：4：6,则有 A. cosA<cosB<cosC B. cosA>cosB>cosC C. cosB>cosA>cosCD. cosC>cosA>cosB3.已知R c b a ∈,,，且b >a ，则下列不等式一定成立的是A.b1<1a B.22bc >x a C.33b >a D.22b >a 4.在等差数列{n a }中，若24,483==S a ,则=6a A. 2 B. 3 C. 4 D. 55.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≥+-0043043y x y x y x ,则y x z 23+=的最大值是6.已知数列{n a }为等比数列，n S 为其前n 项和，且t S 201920202018n -⨯=π，则常数=t A.20172016 B.20182017 C.20192018 D.202020197.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.若060=B ，BC 边上的中线AD=b ，则 a: b: c= A. 1:72 ：B. 2:7:3C. 2:6:3D. 1:2:38.记n S 为数列{n a }的前71项和，且满足1S 0,<n 1-=n a a λ0,若数列{n a }为递增数列，则实数λ的取值范围为A.λ>1B.λ<0C.0<λ<1D.λ>1 或λ<09.设R a ∈，若关于x 的不等式012≥+-ax x 在区间[1，2]上有解，则a 的取值范围是 A.2≤a B.2≥a C.25≥a D.25≤a10.已知点M(3,l)和N(4,6)在直线023=+-a x x 的两侧，则实数a 的取值范围是 A.0>a B.-7<a C.0<<7a - D.0>a 或-7<a11.已知:数列{n a }，对任意的*∈N a ,nn n n a a 21⋅=++，则=10aA. 3185B. 3186C. 3187D.3188 12.若)1,0(∈x ，则xx x -+121的最小值是 A 22 B.221+C.222+D.223+第Ⅱ卷非选择题(共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确[答案]填在答题卷中的横线上） 13.若三数成等比数列，其积为8,首末两数之和为4,则公比q 的值为 . 14.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分別为a 、b 、c ，若2=a ，且bcC A B ++=-222sin sin sin ，则=∠B .15在等比数列{n a }中，若q a a a a ⋅=⋅p 43，则qp 91+最小值为. 16.某小贩卖若干个柑桔。
河南省南阳市宛城区2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各数中，属于有理数的是（）A．B．πC．D．0.10101000…2．计算（﹣x2）3÷x2的结果是（）A．﹣x4B．x4C．﹣x5D．﹣x53．下列说法中，正确的是（）A．﹣4的算术平方根是2 B．是2的一个平方根C．（﹣1）2的立方根是﹣1 D．的立方根是44．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a2+ab+a＝a（a+b）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）25．已知x a＝2，x b＝3，则x3a﹣2b等于（）A．B．﹣1 C．17 D．726．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．7．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（）A．15 B．30 C．60 D．788．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（）A．B．2 C．2D．9．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab10．△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．方程64x3﹣125＝0的根是．12．若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是．13．若4x2﹣2ax+49是完全平方式，则a＝．14．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC 上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝．三．解答题（共8小题）16．计算或化简：（1）（﹣3x2）（4x﹣3）；（2）（x+y）（x2﹣xy+y2）17．分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）18．计算：（1）（2）19．先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣（3a﹣b）（a+b）+2（a﹣2b）（a+2b）]÷（b），其中实数a、h满足＝0．20．阅读并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某﹣﹣部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：（1）（m+n）2﹣18（m+n）+81；（2）（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+421．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．22．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是A．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．23．如图，等边△ABC中，AM为边BC上的中线，动点D在直线AM上，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，设直线BE与直线AM的交点为O．（1）如图1，点D在线段AM上时，填空：①线段AD与BE的数量关系是②∠AOB的度数是．（2）如图2，当动点D在线段MA的延长线上时，试判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请写出新的结论，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各数中，属于有理数的是（）A．B．πC．D．0.10101000…【分析】直接利用有理数以及无理数的定义分别分析得出答案．解：A、﹣是无理数，故此选项错误；B、π是无理数，故此选项错误；C、是有理数，故此选项正确；D、0.1010010001……是无理数，故此选项错误；故选：C．2．计算（﹣x2）3÷x2的结果是（）A．﹣x4B．x4C．﹣x5D．﹣x5【分析】根据同底数幂的除法解答即可．解：（﹣x2）3÷x2＝﹣x4，故选：A．3．下列说法中，正确的是（）A．﹣4的算术平方根是2 B．是2的一个平方根C．（﹣1）2的立方根是﹣1 D．的立方根是4【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．解：（A）负数没有平方根，故A错误；（C）（﹣1）2＝1，1的立方根为1，故C错误；（D）的＝4，4的立方根为，故D错误；故选：B．4．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a2+ab+a＝a（a+b）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝（x+1）（x﹣1），不符合题意；B、原式＝a（a+b+1），不符合题意；C、原式＝﹣2y（y﹣2），不符合题意；D、原式＝n（m2﹣2m+1）＝n（m﹣1）2，符合题意，故选：D．5．已知x a＝2，x b＝3，则x3a﹣2b等于（）A．B．﹣1 C．17 D．72【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．解：∵x a＝2，x b＝3，∴x3a﹣2b＝（x a）3÷（x b）2＝23÷32＝．故选：A．6．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．解：﹣＜1，（﹣）2﹣2＝0，∴当n＝﹣时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，故选：A．7．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（）A．15 B．30 C．60 D．78【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．故选：D．8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（）A．B．2 C．2D．【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE ＝DC，就可以求出DE的值．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2故选：B．9．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【分析】根据图形确定出图1与图2的面积，即可作出判断．解：根据题意得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选：B．10．△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．解：分三种情况找点，①公共边是AC，符合条件的是△ACE；②公共边是BC，符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH；③公共边是AB，符合条件的三角形有，但是顶点不在网格上．故选：D．二．填空题（共5小题）11．方程64x3﹣125＝0的根是x＝．【分析】根据立方根的定义即可求出答案．解：∵64x3﹣125＝0，∴x3＝，∴x＝，故答案为：x＝12．若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是﹣．【分析】根据多项式乘多项式的计算法则和（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决．解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，∴2+3m＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．13．若4x2﹣2ax+49是完全平方式，则a＝±7 ．【分析】这里首末两项是x和7这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7积的2倍，则﹣2a＝±14，a＝±7．解：∵x2﹣2ax+49是完全平方式，∴﹣2a＝±2•x•7，∴a＝±7，故答案为：±7．14．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为18 ．【分析】根据已知线段关系，将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE，证明C、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．解：∵AD＝AD，且∠DAB＝90°，∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE．∴∠ABE＝∠D，AC＝AE．根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC＝180°∴∠ABE+∠ABC＝180°．∴C、B、E三点共线．∴△ACE是等腰直角三角形．∵四边形ABCD面积＝△ACE面积＝×AC2＝×62＝18；故答案为：18．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC 上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝45°或30°．【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分类如下：①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，此方程无解．∴DE＝BE不成立．综上所述，∠B＝45°或30°．故答案为：45°或30°．三．解答题（共8小题）16．计算或化简：（1）（﹣3x2）（4x﹣3）；（2）（x+y）（x2﹣xy+y2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解；（2）根据立方和公式计算即可求解．解：（1）（﹣3x2）（4x﹣3）＝﹣12x3+9x2；（2）（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3．17．分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2；（2）原式＝x2﹣2x+1+2x﹣10＝x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．18．计算：（1）（2）【分析】（1）原式利用二次根式性质计算即可求出值；（2）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．解：（1）原式＝×0.9﹣2×+×10＝0.3﹣5+1＝﹣3.7；（2）原式＝﹣+﹣＝﹣．19．先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣（3a﹣b）（a+b）+2（a﹣2b）（a+2b）]÷（b），其中实数a、h满足＝0．【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出a、b的值，再算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．解：＝0，a+2＝0，b﹣3＝0，a＝﹣2，b＝3，[（a﹣b）2﹣（3a﹣b）（a+b）+2（a﹣2b）（a+2b）]÷（b）＝[a2﹣2ab+b2﹣3a2﹣3ab+ab+b2+2a2﹣8b2]÷（﹣b）＝[﹣4ab﹣6b2]÷（﹣b）＝12a+18b，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝﹣24+48＝24．20．阅读并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某﹣﹣部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：（1）（m+n）2﹣18（m+n）+81；（2）（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4【分析】（1）设m+n＝x，把原多项式换元后因式分解，再代入还元；（2）设x2﹣4x+2＝y，先把原多项式换元后因式分解，代入后再用完全平方公式因式分解．解：（1）设m+n＝x，则原式＝x2﹣18x+81＝（x﹣9）2＝（m+n﹣9）2；（2）设x2﹣4x+2＝y，则原式＝y（y+4）+4＝y2+4y+4＝（y+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）421．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF22．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是CA．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）①原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值；②原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用新定义化简即可求出值．解：（1）A．i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，不符合题意；B．复数（1+i）2＝1+2i﹣1＝2i，实数部分为0，不符合题意；C．（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i+4＝7﹣i，符合题意；D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i＝﹣1，不符合题意，故选C；（2）①原式＝2﹣i+4i+2+4﹣4i﹣1＝7﹣i；②原式＝27（﹣3﹣4i）（1﹣2i）＝27（﹣3+6i﹣4i﹣8）＝27（﹣11+2i）＝﹣297+54i．23．如图，等边△ABC中，AM为边BC上的中线，动点D在直线AM上，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，设直线BE与直线AM的交点为O．（1）如图1，点D在线段AM上时，填空：①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE②∠AOB的度数是60°．（2）如图2，当动点D在线段MA的延长线上时，试判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请写出新的结论，并说明理由．【分析】（1）①证明△ACD≌△BCE即可．②先证明∠CAM＝30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM＝∠CAM＝30°，由此即可解决问题．（2）结论不变．证明方法类似（1）．解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE；②∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∴∠AMC＝∠MBO＝90°，∵△ACD≌△BCE，∴∠OBM＝∠CAM＝30°，∵∠OBM+∠BOM＝90°∴∠AOB＝60°；故答案为：60°；（2）（1）中的结论成立，理由如下：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∴∠AMC＝∠MBO＝90°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，∴∠OBM＝∠CAM＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBM＝60°．。
南阳市2019_2020学年高二数学上学期期中试题含解析
【解析】
【分析】
由正弦定理结合 可得 ，再由余弦定理即可得解.
【详解】由正弦定理 ,可得: .
可得： .
所以 ，解得 （或 ）
故答案为： （或填写 ）。
【点睛】本题主要考查了正余弦定理解三角形，属于基础题.
15。在等比数列 中，若 ,则 的最小值为______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
由等比数列下标和的性质得 ,再由 展开利用基本不等式即可得最小值.
【详解】等比数列 中，若 ，
所以 .
所以 .
当且仅当 即 时有最小值 。
故答案为: 。
【点睛】本题主要考查了等比数列的下标和性质及基本不等式求最值，属于中档题。
16.某小贩卖若干个柑桔。若小贩以所有柑桔的一半又半个卖给第一人；以其剩余的一半又半个卖给第二人；同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，则小贩的柑桔一共有______个.
【分析】
在 和 中利用余弦定理可得 和 ，进而可得 和 ，从而得解。
【详解】因为 为 的中点，所以 。
在 中， ，整理得： (1)。
在 中， ，整理得： (2）.
（1）—（2）得: ,即 ，代入（1）可得 。
所以 .
故选：B。
【点睛】本题主要考查了余弦定理在几何中的应用，属于中档题。
8.记 为数列 的前 项和，且满足 , ，若数列 为递增数列，则实数 的取值范围为（ ）
所以， ，
由题,令 ，得 ．所以， ，
由 得 ，所以， 。
即第 次调和后两溶液 浓度之差小于 .
22。
数列 满足
( 1 ） 求 并求数列 的通项公式；
( 2 ） 设 ,求
河南省南阳市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(II)卷
河南省南阳市 2019-2020 年度高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|=（ ）A. B.8C. D . 16 2. （2 分） 平面 α，β 及直线 l 满足：α⊥β，l∥α，则一定有（ ） A . l∥β B . l⊂ β C . l 与 β 相交 D . 以上三种情况都有可能 3. （2 分） 已知四面体 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，且 AB=1，AC=2，AD=4，则点 A 到平面 BCD 的距离是 （）A. B. C. D. 4. （2 分） 已知双曲线的左右焦点分别为， 为双曲线的中心， 是双曲线右支上的点，第 1 页 共 12 页的内切圆的圆心为 ， 且圆 与 轴相切于点 ， 过 作直线 的垂线，垂足为 ， 若 为双曲线的离 心率，则（ ）A.B.C.D.与 关系不确定5.（2 分）在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值为（ ）A.-B.-C.-D.-6. （2 分） (2019 高二上·南宁期中) 与圆 （）外切，且与 y 轴相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为A.B.C.D.7. （ 2 分 ） (2017 高 二 上 · 静 海 期 末 ) 已 知 抛 物 线的焦点到双曲线的距离与到直线的渐近线的距离为， 是抛物线 的一动点， 到双曲线的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为（ ）上的焦点A.第 2 页 共 12 页B. C. D. 8.（2 分）(2016 高二上·绍兴期中) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M，N 分别在线段 AB1、BC1 上，且 AM=BN．以 下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面 A1B1C1D1；④MN 与 A1C1 异面，⑤MN 与 A1C1 成 30°．其中有可能 成立的结论的个数为（ ）A.5 B.4 C.3 D.2二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)9. （1 分） (2017·南通模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为 y=±x，且它的一个焦 点与抛物线 x2=8y 的焦点重合，则该双曲线的方程为________．10. （1 分） (2015 高三上·丰台期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．第 3 页 共 12 页11. （2 分） 抛物线 y=ax2 的焦点为 F（0，1），P 为该抛物线上的动点，则 a= ________ M 的轨迹方程为________；线段 FP 中点12. （1 分） (2017 高二上·临沂期末) 已知 m，n，s，t∈R+ ， m+n=2， + =9，其中 m，n 是常数，当 s+t 取最小值 时，m，n 对应的点（m，n）是椭圆=1 的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程________．13. （1 分） (2016 高二上·宝应期中) 短轴长为 ，离心率 作直线交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的周长为________．的椭圆两焦点为 F1 ， F2 ， 过 F114. （1 分） (2016 高三上·沈阳期中) 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为 AD 上的两点，已知∠CAD=θ， ∠CED=2θ，∠CFD=4θ，AE=600，EF=200 ，则 CD=________．15. （1 分） (2017·南通模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2x+y=0 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．=1（a＞0，b＞0）三、 解答题 (共 5 题；共 35 分)16. （5 分） (2017 高二下·营口会考) 如图所示，△ABC 为正三角形，CE⊥平面 ABC，BD∥CE 且 CE=AC=2BD， 试在 AE 上确定一点 M，使得 DM∥平面 ABC．第 4 页 共 12 页17. （10 分） (2017·扬州模拟) 如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 AB 和曲线 DE 分别 是顶点在路面 A、E 的抛物线的一部分，曲线 BCD 是圆弧，已知它们在接点 B、D 处的切线相同，若桥的最高点 C 到 水平面的距离 H=6 米，圆弧的弓高 h=1 米，圆弧所对的弦长 BD=10 米．（1） 求弧所在圆的半径；（2） 求桥底 AE 的长．18. （5 分） (2019 高二上·雨城期中) 椭圆 C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知点 M（0，-1），直线 l 经过点 N（2，1）且与椭圆 C 相交于 A,B 两点（异于点 M），记直线 MA 的斜率为 ，直线 MB 的斜率为 ，证明为定值，并求出该定值.19. （5 分） (2017 高二下·新疆开学考) 如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1， DC=2，PD ，M 为棱 PB 的中点．第 5 页 共 12 页（Ⅰ）证明：DM⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 A﹣DM﹣C 的余弦值．20. （10 分） (2017 高三上·嘉兴期中) 如图，椭圆点的距离为.不过原点 的直线 与 相交于的离心率为 ，其左焦点到 两点，且线段 被直线 平分.（1） 求椭圆 的方程；（2） 求的面积取最大值时直线 的方程.第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)9-1、 10-1、11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页三、 解答题 (共 5 题；共 35 分)16-1、17-1、17-2、第 8 页 共 12 页18-1、第 9 页 共 12 页第 10 页 共 12 页19-1、20-1、20-2、。
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案解析)
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2214x y +=的焦点坐标是（）A ．()B ．()C ．(0,D ．(0,2．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±4．若直线1x ya b-=过第一､二､三象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b <<D ．0,0a b ><5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（）A ．π42-B ．π82-C ．4π-D ．8π-6．若P 为椭圆22195x y +=上的任意一点，F 是椭圆的一个焦点，则PF 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（）A ．30B ．45C ．60D ．908．双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是12，则P到2F 的距离是（）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或229．已知α、β是两个平面，直线l α⊄，l β⊄，若以①l α⊥；②//l β；③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，点M 在椭圆上，若12MF F △是直角三角形，则12MF F △的面积等于（）A ．485B ．365C ．16D ．485或1611．一束光线从点()2,3射出，经x 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或2312．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．3二、填空题13．经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为______．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过11,,A C B 三点的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11A C 的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）15．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．16．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的18，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．已知直线:4320l ax y a --+=.（1）求证：无论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.19．已知直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，12l l ⊥且垂足为A ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 与直线2l 相切于点A ，且圆心C 的横坐标为2，求圆C 的标准方程．20．如图，在多面体ABCDGE 中，已知四边形ABCD 为矩形，ABEG 为平行四边形，⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且24AB AE AD ===.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥P ACF -的体积.21．已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （N m ∈）个公共点.(1)若3m ≥，求k 的最小值；(2)若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，()0,1F ，证明：2FB FC FA⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，三点()()1230,2,,0,1A A A -中恰有两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于,M N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为-，过P 作直线l l '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.【详解】由题设方程，椭圆焦点在x 轴上且c ==∴焦点坐标为().故选：A.2．C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C 3．C【详解】c e a ==2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．C【分析】将直线1x ya b-=过第一､二､三象限，转化为直线在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，可得答案.【详解】将直线1x y a b -=化为+1x y a b=-，又直线过第一､二､三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a<0，0b ->．所以0,0a b <<.故选：C.5．B【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，所以体积为()21π222π12842⨯⨯-⨯⨯⨯=-.故选：B6．D【分析】先求得,a c ，由此求得PF 的最大值.【详解】22195x y += ，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：D 7．B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，由于正方形ABCD ，所以2AC PA ==，所以45PCA ∠=︒.故选：B8．D【分析】讨论P 点位置，结合1PF 求2PF .【详解】当P 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得2121210PF PF PF -=-=，解得222PF =，当P 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得1221210PF PF PF -=-=，解得22PF =，因为225PF c a =≥-=，所以22PF =满足题意.所以22PF =或22，故选:D.9．A【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：①②⇒③为真命题因为l α⊥，//l β，设l 平行于β内一条直线l '，所以l α'⊥，根据面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，所以①②⇒③为真命题；（2）证明：①③⇒②为真命题因为l α⊥，αβ⊥，所以l ⊂α或l //β，又因为l β⊄，所以l //β，所以①③⇒②为真命题；（3）证明：②③⇒①为假命题作出正方体如下图所示：记直线AD 为l ，平面1111D C B A 为α，平面11BB C C 为β，所以αβ⊥，//l β，但//l α，所以②③⇒①为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.10．D【分析】对12MF F △的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】依题意，5,4,3a b c ===，不妨设()()13,0,3,0F F -，对于直角三角形12MF F ，若12π2F MF ∠=，由1222212210436PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，整理得1232PF PF ⋅=,所以12121162MF F S PF PF =⨯⨯= .若12MF F ∠或21MF F ∠为直角，由()22312516M y ±+=得225616,255M M y y ==，所以121211164862255MF F M S F F y =⨯⨯=⨯⨯= .所以，12MF F △的面积等于485或16.故选：D 11．C【解析】设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，根据对称性可知，直线与圆()()22321x y ++-=关于x 轴的对称圆相切，即可求出斜率k .【详解】由题意可知，点()2,3在入射光线上，设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，即2kx y k --30+=.圆()()22321x y ++-=关于x 轴对称的圆为()()22321x y +++=，则入射光线与该圆相切.1=，化为21225120k k -+=，解得34k =或43.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.12．B【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b ba a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ===.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.13．20x y -=．【解析】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，然后将()2,1P 求解.【详解】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，把()2,1P 代入，得：2210c -⨯+=，解得0c =，∴经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.14．平行【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知：11//A C AC ，由于11A C ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以11//A C 平面ABCD ，由于平面11AC B ⋂平面ABCD l =，11AC ⊂平面11A C B ，所以11//l AC .故答案为：平行15．6【分析】利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．16【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.【详解】球的体积为3344ππ33R R ⨯=，则两个圆锥的体积之和为3314π=π8316R R ⨯，设两个圆锥的高分别为12,h h ，则122h h R +=，设圆锥底面圆半径为r ，则()2231212π1ππ336r h h r R R ⋅+==⋅，解得：2R r =，即2PD R =，所以222232AP R R R R ⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭，222232BP R R R R ⎛⎫=+-= ⎪⎝+⎭所以这两个圆锥的高之差的绝对值为2232233R --=3R17．（1）24π；（2）21π2．【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，2222534PO PB OB =-=-=，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==，∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）证明见解析；（2）2a ≥.【分析】（1）将含有a 的项整理在一起，令a 的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.【详解】（1）直线:4320l ax y a --+=化为(41)230a x y -+-=，令410,230,x y -=⎧⎨-=⎩1,42,3x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即直线:4320l ax y a --+=恒过定点12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 总经过第一象限.（2）直线:4320l ax y a --+=化为4233ax a y -=+，当0a =时，得23y =，直线经过第二象限；要使l 不经过第二象限，须有403203a a ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得2a ≥.19．（1）()1,3-；（2）()()22255x y -++=．【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得220a +=，解可得a 的值，即可得直线2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得A 的坐标，即可得答案．（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为(2,)b ，将其代入直线1l 的方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，若12l l ⊥，则有220a +=，解可得1a =-，则直线2l 的方程为270x y -++=，即270x y --=；联立两直线的方程：210270x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解可得13x y =⎧⎨=-⎩，即A 的坐标为()1,3-；（2）根据题意，若圆C 与直线2l 相切于点A 且12l l ⊥且垂足为A ，则圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为()2,b ，则有2210b ⨯++=，解可得=5b -，则圆心C 的坐标为()2,5-，圆的半径r CA ===则圆C 的标准方程为()()22255x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．20．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）通过证明EF BC ⊥、EF BE ⊥来证得EF ⊥平面BCE ；（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥P ACF -的体积.【详解】（1）因为⊥AE 平面,ABCD AE ⊂平面ABED ，所以平面ABCD ⊥平面ABEG .因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥.又BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABEG AB =，所以BC ⊥平面ABEG .因为EF ⊂平面ABEG ，所以EF BC ⊥.因为四边形ABEG 为平行四边形，AB AE =，所以AE GE =.又F 为AG 中点，所以EF AG ⊥.易知//BE AG ，所以EF BE ⊥.又,,BC BE B BC BE ⋂=⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE .（2）因为⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F ABEG 为平行四边形，GE AE ⊥，所以三棱锥F ACP -的高为122AE =.又PAC △的面积12222PAC S =⨯⨯= ，所以三棱锥P ACF -的体积142233P ACF F PAC V V --==⨯⨯=.21．(2)证明见解析【分析】（1）联立2x y =-与3y kx =-，21=120k ∆+>，故l 与抛物线2x y =-恒有两个交点.所以24x y =与3y kx =-，至少有一个交点，故令22=16480k ∆-≥，可求得k 的最小值；（2）由（1）知，k =A x =3A y =，142A FA y =+= ，即可证明22FB FC FA FA ⋅== .【详解】（1）联立2x y =-与3y kx =-，得230x kx +-=，∵21=120k ∆+>，∴l 与抛物线2x y =-恒有两个交点；联立24x y =与3y kx =-，得24120x kx -+=，∵直线l 与曲线M 有m 个公共点，且3m ≥，∴l 与抛物线24x y =至少有1个交点，∴22=16480k ∆-≥，∵0k >，∴k ≥∴k（2）由（1）知，k =且24120A A x kx -+=，∴24A x k =，∴2A x k ==，∴(24A y =，∴3A y =，故()A ，易知()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，则23142A FA y =+=+= ，设()11,B x y ，()22,C x y ，由230x kx +-=可得12x x k +=-=123x x =-，∴()121269y y k x x +=+-=-，()()()21212121233399y y kx kx k x x k x x =--=-++=，∴()()()121212*********FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ，∵2216FA FA == ，∴2FB FC FA⋅= 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)221124x y +=(2)证明见解析，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)分别讨论即可确定12,A A 在C 上，即可求解；(2)利用点差法表示出l 的斜率，再表示出l '的直线方程，即可求出定点.【详解】（1）显然13,A A 不能同时在C 上，若23,A A 在C 上，则2223331,31b a b a =+=+≠.故12,A A 在C 上，则22332,1b a b=+=，所以212a =.所以椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）设()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭.当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠.联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+.又P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-.又l l '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.当00y =时，l '过点,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，l '恒过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
河南省南阳市2019-2020学年高二上学期期中质量评估 数学(含答案)
2019年秋期高中二年级期中质量评估数学试题第I 卷 选择题 (共60分）—、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式1>1x的解集是 A. (-∞,l) B. (l,+ ∞)C. (0,1)D.(0，+∞)2.在△ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若 sinA : sinB : sinC=3：4：6,则有 A. cosA<cosB<cosC B. cosA>cosB>cosC C. cosB>cosA>cosC D. cosC>cosA>cosB3.已知R c b a ∈,,，且b >a ，则下列不等式一定成立的是A.b1<1a B. 22bc >x a C. 33b >a D. 22b >a 4.在等差数列{n a }中，若24,483==S a ,则=6a A. 2B. 3C. 4D. 55.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≥+-0043043y x y x y x ,则y x z 23+=的最大值是6.已知数列{n a }为等比数列，n S 为其前n 项和，且t S 201920202018n -⨯=π，则常数=t A.20172016 B. 20182017 C. 20192018 D. 202020197.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.若060=B ，BC 边上的中线AD=b ，则 a: b: c= A. 1:72 ： B. 2:7:3 C. 2:6:3 D. 1:2:38.记n S 为数列{n a }的前71项和，且满足1S 0,<n 1-=n a a λ0,若数列{n a }为递增数列，则实数λ的取值范围为A.λ>1B.λ<0C.0<λ<1D.λ>1 或λ<09.设R a ∈，若关于x 的不等式012≥+-ax x 在区间[1，2]上有解，则a 的取值范围是 A. 2≤a B. 2≥a C. 25≥a D. 25≤a10.已知点M(3,l)和N(4,6)在直线023=+-a x x 的两侧，则实数a 的取值范围是 A. 0>a B. -7<a C. 0<<7a - D. 0>a 或-7<a11.已知:数列{n a }，对任意的*∈N a ,nn n n a a 21⋅=++，则=10aA. 3185B. 3186C. 3187D.3188 12.若)1,0(∈x ，则xx x -+121的最小值是 A 22 B. 221+ C. 222+ D. 223+第Ⅱ卷 非选择题(共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上） 13.若三数成等比数列，其积为8,首末两数之和为4,则公比q 的值为 . 14.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分別为a 、b 、c ，若2=a ，且bcC A B ++=-222sin sin sin ，则=∠B .15在等比数列{n a }中，若q a a a a ⋅=⋅p 43，则qp 91+最小值为 . 16.某小贩卖若干个柑桔。