2021年圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理

欧阳光明（2021.03.07）

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22221x y a b +=(0)a b 双曲线：22221x y a b -=(0)a b 、

直线：y kx m =+

(PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

(PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：20Ax Bx C ++=

2

221()k A a b =+，所以0A ，即方程为一元二次方程。

判别式：24B AC ∆=- 化解得：22222214()k m a b a b

∆=+-

1)

当0∆，方程无实根，直线与椭圆没有交点； 2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当0∆，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立： 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b

=- 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时

为渐近线）

2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲

线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）

3)

当0,0A ≠∆时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线

相切；

5) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线

相交.

PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥

12B

x x A +=-，12C x x A =

，12x x -==（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：

2

12222

21km

b

x x k a b -+=+；

2

2

12222

1

1m b

x x k a b -=+；

由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：

2

12222

21m

a y y k a

b +=+；

2

2

2

12222

1m k a

y y k a b -=+；

1222

y y a b -=+；

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

2

12222

21km

b

x x k a b +=-；

2

212222

11m b x x k a b -

-=-；

由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：

2

12222

21m

a y y k a

b +=-；

2

2

2122

221m k a

y y k a b -=-；

1222y y a b -=-；

PS ：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2b 项变号。 原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是222221x y a a c +=-。椭圆中22a c ，

令222b a c =-；双曲线中22a c ，令222b a c -=-。