圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题
=2
1 3
m 1 m2
2 y2
y1
=
1 2
(
y1
y2 )
3 2
(
y1
y2 )
5 3
，7 3
练习2：已知AB是过椭圆 x2 y2 1左焦点的焦点弦， 43
求2 F1 A F1B 最小值.
不妨设y1 0, y2 0
2 F1 A F1B = 1+m2 (2 y1 y2 )
探究y1 y2 , y1 y2之间的关系
线路1： 整体代换
？ k PA2
kGA1
my1 y2 y1 my1 y2 3 y2
=1 3
证明：由于2my1 y2 3( y1 y2 )
即my1 y2
3 2
(
y1
y2 )
my1 y2
y1
1 2
y1
3 2
y2
my1 y2
x1 x1
x2
x2
8 4 3m
4 12m2
4 3m2
2
kPA1 kGA1
( x1
y1 y2 2)( x2
2) =
9 4
且kPA1 kPA2
3 4
kkkPPAA1AG22？ k13A1G
探究3
kPA2 为定值？ k A1G
lPG：x my 1
=
1 3
线路2：代入曲线化对称
k1 y1 x2 2 k2 y2 x1 2
x12 y12 1 43
圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法
圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法圆锥曲线是数学中的一类曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在讨论圆锥曲线中的两根不对称问题时，我们可以将其分成两种情况进行处理：椭圆和双曲线的情况和抛物线的情况。
椭圆和双曲线的情况下，圆锥曲线的两根并不完全对称，存在明显的差异。
对于这种情况，我们可以使用以下方法进行处理：1.计算关键点：首先，我们需要计算出关键点，即两根曲线的交点、焦点和顶点等。
这些关键点的坐标可以通过代数方程求解或通过几何方法确定。
2.探索特殊性质：根据关键点的位置和性质，我们可以发现两根曲线在一些方面具有特殊的性质。
例如，椭圆曲线的面积和周长在两根曲线之间可能存在差异；双曲线曲线的渐进线和离心率可能也会有所不同。
通过探索这些特殊性质，我们可以对两根曲线进行定量的比较。
3.分析解析表达式：从代数方程的角度分析，我们可以将椭圆和双曲线的方程转化为标准方程或参数方程，以便更好地理解两根曲线之间的差异。
通过对方程的分析，我们可以找到一些关键点或特性，从而更好地理解两根曲线的不对称性。
4.利用数值计算：对于一些复杂的椭圆和双曲线，我们可以利用计算机进行数值计算来研究它们的性质。
通过绘制曲线图或利用数值方法（如数值积分或数值求解等），我们可以更好地了解两根曲线之间的差异。
抛物线的情况下，圆锥曲线的两根也存在不对称的问题。
对于这种情况，我们可以使用以下方法进行处理：1.计算焦点和顶点：与椭圆和双曲线类似，首先需要计算抛物线的焦点和顶点。
这可以通过对抛物线方程进行分析和求解来实现。
2.探索对称性：虽然抛物线没有明显的对称轴，但我们可以发现它具有对称性。
通过子焦点和顶点之间的距离，我们可以确定对称轴的位置。
通过对称轴的位置，我们可以推导出抛物线的其他性质，如焦距、离心率等。
3.研究特殊点：抛物线还具有特殊点，如焦点和顶点。
通过研究这些特殊点的性质，我们可以更好地理解抛物线的不对称性。
例如，焦点到顶点的距离是固定的，这意味着抛物线的性质在两根曲线之间也是固定的。
高中数学圆锥曲线中非对称韦达定理的应用及参考答案
圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．【答案】解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px (p >0)，∵点P (1,2)在抛物线上，∴22=2p ×1，解得p =2.故抛物线的方程是y 2=4x ，其准线方程是x =-1.(2)方法一 由(1)可知F (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程可设为x =ty +1，联立y 2=4x ，x =ty +1，整理得y 2-4ty -4=0，所以y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.又AF =2FB ，即(1-x 1，-y 1)=2(x 2-1，y 2)，可得-y 1=2y 2，即y1y 2=-2，则y 1y 2+y 2y 1=(y 1+y 2)2y 1y 2-2=-52，即(4t )2-4-2=-52，解得t =±122，故k AB =-1t =±22.方法二 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，AF =(1-x 1，-y 1)，2FB =(2x 2-2,2y 2)，AF =2FB ⇒1-x1=2x 2-2，-y 1=2y 2⇒x 1=3-2x 2，①y 1=-2y 2，②∵A ，B 在抛物线上，∴y21=4x1，③y22=4x2，④由①②③④联立可得x2=1 2，则y2=±2，由③-④得(y1+y2)(y1-y2) =4(x1-x2)，即k AB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4-2y2+y2=-4y2=±22.2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．【答案】解：(1)依题意，得2a+2c=6+42，12·2c·b2a=b2a·c=13c，a2=b2+c2，即a+c=3+22，b2a=13，a2=b2+c2，解得a2=9，b2=1，c2=8，所以E的方程为x29+y2=1.(2)选择①.设直线l的方程为x=ty+32，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，直线AC的方程为y=y1x1+3(x+3)，直线BD的方程为y=y2x2-3(x-3)，联立方程，得y=y1x1+3(x+3)，y=y2x2-3(x-3)，两式相除，得x+3x-3=y2x2-3·x1+3y1=(x1+3)y2(x2-3)y1=ty1+92y2ty2-32y1=2ty1y2+9y22ty1y2-3y1=2·94(y1+y2)+9y22·94(y1+y2)-3y1=3(y1+y2)+6y23(y1+y2)-2y1=3(y1+3y2)y1+3y2=3，即x+3x-3=3，解得x=6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.选择②.联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，于是k1k2=y1x1+3·x2-3y2=(x2-3)y1(x1+3)y2=ty2-32y1ty1+92y2=2ty1y2-3y12ty1y2+9y2=2·94(y1+y2)-3y12·94(y1+y2)+9y2=32y1+92y292y1+272y2=32(y1+3y2)92(y1+3y2)=13，故存在实数λ=13，使得k1=λk2恒成立．选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，-y1)，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t 2+9)y 2+12ty -27=0，由韦达定理，得y 1+y 2=-3t t 2+9，y 1y 2=-274(t 2+9)， 设直线C ′D 与x 轴交于点M (m ,0)，由对称性可知k CM +k DM =0，即y 1x 1-m +y 2x 2-m=0，则y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=0，所以y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=x 1y 2+x 2y 1-m (y 1+y 2)=ty 1+32 y 2+ty 2+32 y 1-m (y 1+y 2)=2ty 1y 2+32-m (y 1+y 2)=2t ·-274(t 2+9)+32-m ·-3t t 2+9=0，即-9t +(3-2m )·(-t )=0，解得m =6，所以直线C ′D 恒过定点M (6,0)．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(-4,0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．【答案】(1)解：设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，由焦点坐标可知c =25，则由e =c a=5，可得a =2，b =c 2-a 2=4，所以双曲线C 的方程为x 24-y 216=1.(2)证明 由(1)可得A 1(-2,0)，A 2(2,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x =my -4，且-12<m <12，与x 24-y 216=1联立可得(4m 2-1)y 2-32my +48=0，且Δ=64(4m 2+3)>0，则y 1+y 2=32m 4m 2-1，y 1y 2=484m 2-1，直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线NA 2的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线MA 1与直线NA 2的方程可得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(my 1-2)y 1(my 2-6)=my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1，方法一 (和积转化)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=32(y 1+y 2)-2y 232(y 1+y 2)-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.方法二 (配凑)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2y 1-2y 2+2y 1my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.由x +2x -2=-13可得x =-1，即x P =-1，据此可得点P 在定直线x =-1上运动．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)解：当t =-33时，直线l ：x =-33y +1，令x =0，得y =3，即椭圆的上顶点为0，3 ，则b =3，又△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，即a +c =3，又a 2-c 2=b 2=3，解得a =2，c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明 由(1)知，M (-2,0)，N (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，点A ，B 不在x 轴上，由x =ty +1，x 24+y 23=1，消去x 并整理得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0，Δ>0，则y 1+y 2=-6t3t 2+4，y 1y 2=-93t 2+4，得ty 1y 2=32(y 1+y 2)，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线AM ，BN 的方程得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(ty 1+3)y 1(ty 2-1)=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=32(y 1+y 2)+3y 232(y 1+y 2)-y 1=32y 1+92y 212y 1+32y 2=3，于是得x =4，所以直线AM ，BN 的交点Q 在定直线x =4上．(3)证明 由(2)知，k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(ty 2-1)y 2(ty 1+3)=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．【答案】解：(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y =±a b x ，所以33=a b ，可得b 2=3a 2，将点P 3，2 代入双曲线C 的方程可得2a 2-3b 2=1，解得a 2=1，b 2=3，所以双曲线C 的方程为y 2-x 23=1.(2)由(1)可知，上焦点F (0,2)，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 的方程为y =kx +2，联立y 2-x 23=1，y =kx +2，整理得(3k 2-1)x 2+12kx +9=0，所以x 1+x 2=-12k3k 2-1，x 1x 2=93k 2-1，又AF =7BF ，即(-x 1,2-y 1)=7(-x 2,2-y 2)，可得x 1=7x 2，方法一 因为x 1x 2=7，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=507，即-12k 3k 2-1 293k 2-1-2=507，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法二 x 1+x 2=8x 2=-12k 3k 2-1，x 1x 2=7x 22=93k 2-1， 即-3k 2(3k 2-1) 2=97(3k 2-1)，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法三 利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|e cos α|=λ-1λ+1.由题意得AF =-7FB ，则λ=-7，e =2，α为直线l 的倾斜角，则有|2cos α|=43，解得|cos α|=23，则k =tan α=±255.6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．【答案】解：(1)设F (c ,0)，因为直线AF 的斜率为233，A (0，-2)，所以2c =233，解得c =3.又c a =32，b 2=a 2-c 2， 解得a =2，b =1， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为y =kx -2，联立x 24+y 2=1，y =kx -2， 消去y 得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0，当Δ=16(4k 2-3)>0，即k 2>34，即k <-32或k >32时，x 1+x 2=16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，由AP =12AQ，得x 2=2x 1，即x 2x 1=2，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=52，解得k 2=2720>34.又|PQ |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 216k1+4k 2 2-481+4k 2=41+k 24k 2-31+4k 2，点O 到直线l 的距离d =2k 2+1，所以S △OPQ =12·d ·|PQ |=44k 2-31+4k 2=154，此时直线l 的方程为y =31510x -2或y =-31510x -2.。
高中数学圆锥曲线系统讲解第29讲《非对称韦达定理》练习及答案
第29讲 非对称韦达定理知识与方法将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去y ，得到关键方程（设方程的两根为1x 和2x ），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了122x x −、1223x x +等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住12x x +和12x x 的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题1.（★★★★）如下图所示，椭圆有两个顶点()1,0A −，()1,0B ，过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q. （1）当2CD =时，求直线l 的方程； （2）当P 点异于A 、B 两点时，证明:OP OQ ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b =，半焦距1c =，故长半轴长a =所以椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 不与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−= 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②故12CD x x =−=，解得：k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111y y x x =++③，直线 BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−++，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−++，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()22222222222212211112222121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−++++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− ⑤ 所以()()()()()()()()()()()()22222222212121121222221212121212221212111111112212111111211122Q Q kx x x y x x x x x x x k k k k x x x x x x x k y x x x k k −−+−+⎛⎫+++++++−⎛⎫++====== ⎪ ⎪ ⎪−−−−+++⎝⎭−−−⎝⎭−++++ 因为()12,1,1x x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号，又()()()2222121212122222221111222k k k y y kx kx k x x k x x k k k −=++=+++=−−+=+++()()()222211211221k k k k k k k +−+−==−⋅+++ 所以12y y 与11k k −+异号，即21yy 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【反思】本题的解法1是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强. 2.（★★★★）已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2213x y +=，故其长半轴长a =1b =半焦距c =C的离心率c e a =（2）解法1：若AB 垂直于x 轴，如图1，直线AB 的方程为1x =，联立22133x x y =⎧⎨+=⎩，可解得：y =若A ⎛ ⎝⎭，则1,B ⎛ ⎝⎭，设()03,M y ，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k +==−若1,A ⎛ ⎝⎭，则B ⎛ ⎝⎭，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −−=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k ==− 综上所述，直线BM 的斜率为1.解法2：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，所以可设()11,A y ，()11,B y − 直线AE 的方程为()()112y y x −=−−，令3x =得：12y y =−，所以()3,2M y −，故直线BM 的斜率112131BM y y k −+==−.解法3：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，故其方程为1x =，如图1，设直线2x =交x 轴于点G ，直线3x =交x 轴于点H ，则1AE DG EMGH==_所以E 为AM 中点，由对称性，显然D 为AB 中点，所以DE BM ∥而直线DE 的斜率10121DE k −==−，所以直线BM 的斜率为1. （3）解法1：当AB x ⊥轴时，由（2）可得直线BM 的斜率为1，等于直线DE 的斜率，所以DE BM ∥，当AB 不与x 轴垂直时，设其方程为()()11y k x k =−≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线AE 的方程为()111122y y x x −−=−−，令3x =解得：11112y y x +=+−，所以1113,12y M x ⎛⎫−+ ⎪−⎝⎭，从而直线 BM 的斜率()()()()()()()121121211121222121113112123233232BM y y x x k x k x k x x x x y y y k x x x x x −+−−−−+−+−−−−++===−−−−− ()()()112121121211221121232332336262x k x x x x kx kx x k x x kx x x x x x x x x −++−−⎡⎤−−++−⎣⎦==−−+−++− ①联立()22133y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()2222136330k x k x k +−+−=，易得判别式0∆>， 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k −=+，故()222121222212339323131313k k k x x x x k k k −++−=−==+++代入式①得：11333163BM x k kk x −+−==−+，即直线BM 与直线DE 斜率相等，所以DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.解法2：当AB y ⊥轴时，若A 为左顶点，如图2，则2AEEM =+，12AD BD −==+ 所以AE AD EMBD=，同理可得当A为右顶点时，2AE AD EMBD==DE BM ∥当AB 不与y 轴垂直时，如图3，设其方程为()11x my m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y 则1112211AE x my my EM=−=−−=−，1122AD y y BDy y ==−， 所以111212211AE AD y y my y my EMBDy y −==−+=+ ①联立22133x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()323220m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12223m y y m +=−+，12223y y m =−+，故1212my y y y =+ 代入式①可得()11211222110AE AD y y y y my y EMBDy y −+−−=+=+= 所以AE AD EMBD−，从而DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.强化训练3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(P，且离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为A 、B ，过点()0,4P 斜率为k 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点.求证：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，224212a b ⎧+=⎪=，解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22184x y += （2）由题意，直线MN 的方程为4y kx =+，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>，所以k <或k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−− 从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++ ③ 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++− 从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+，代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x xx k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.4.（★★★★）已知F 为椭圆22143x y +=的右焦点，A 、B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 交椭圆于不与A 、B 重合的M 、N 两点.（1）当l 斜率为1时，求四边形AMBN 的面积S ；（2）设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k 为定值. 【解析】（1）由题意，()2,0A −，()2,0B ，()1,0F ，当l 斜率为1时，其方程为1y x =− 设()11,M x y ，()22,N x y联立221143y x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：27690y y +−=，判别式()264792880∆=−⨯⨯−=>所以四边形AMBN的面积1211422S AB y y =⋅−=⨯（2）显然直线l 不与y 轴垂直，故可设其方程为1x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my ++−=，易得判别式10>△，由韦达定理122122634934m y y m y y m ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①② ，()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y −−−===+++ ③， 接下来给出两种方法求非对称结构1211223my y y my y y −+的值法l ：由①②知()121232my y y y =+，代入式③得：()()121121212212313122233933222y y y y y k k y y y y y +−+===+++，即12k k 为定值13.法2：由①知122634my y m =−−+，代入式③得：222221222229631343434993333434m m m y y k m m m m m k y y m m ⎛⎫−−−−−+ ⎪++⎝⎭+===−+−+++即12k k 为定值13.5. （★★★★）点,A B 是椭圆22:143x y+=E 的左右顶点若直线:(1)l y k x =−与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上． 【解析】由题意得，()2,0A −，()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，化简得(222234)84120k x k x k +−+−=， 所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k −=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =−−， 联立()112222(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩，即()1122(1)22(1)(2)2k x y x x k x y x x −⎧=+⎪+⎪⎨−⎪=−⎪−⎩，解得1121222(23)34x x x x x x x −+=+−原式()()222221212221222241282234223434342482434k k x x x x x x k k x x x k x k ⎛⎫−⋅−⋅+ ⎪⎡−++⎤++⎣⎦⎝⎭==++−+−+ 2222222222221624812244234344812812223434k k x x k k k k x x kk⎛⎫−−−−++ ⎪++⎝⎭==⎛=−−−−++++⎫ ⎪⎝⎭， 故直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上． 6 . （★★★★）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程. 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知10y >，20y <.（1）直线l的方程为)y x c =+，其中c =.联立)2222{1y x c x y a b=++=得()22224330a b y cy b +−−=，解得()212223c a y a b+=+，()222223c a y a b−=+.因为2AF FB =，所以122y y −=.即()()222222222?33c a c a a ba b+−−=++，得离心率23c e a ==. （2）因为21||||AB y y =−2154=.由23c a =得3b a =.所以51544a =，得3a =，b =.椭圆C 的方程为22195x y +=考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 7. （★★★★）已知1A 、2A分别是离心率2e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=−. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4−，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点. 【解析】（1）由题意得()1,0A a −，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=−−⋅−=−+=−=−，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =−，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y −，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，消去y 得()221216300k x kx +−+=.由()22(16)120120k k ∆=−−+>，得2152k >，所以1221612kx x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x −−−−+===+++，直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x −−=−+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x −−−++−−=+−=−+−=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x −++−−==+−+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +−=−=−++， 直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x −=−+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. （★★★★）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(P，且离心率为2．11（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】（1）由椭圆过点(P，且离心率为2，所以222224212a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=， ∴1221612k x x k −+=+，1222412x x k =+．由求根公式可知，不妨设12812k x k −−=+，22812k x k −+=+， 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y x x −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++ 代入12,x x，得2224162123k k y y −−+−===−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题是指,与标准圆锥曲线不同,某些圆锥曲线的方程在顶点处不是平衡的。
这意味着,在顶点处,圆锥曲线的切线与曲线本身不相交。
这些非对称圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线等。
这些曲线在几何学和物理学中都有广泛的应用,例如在光学、天体物理学和工程学中。
非对称问题的一个重要应用是,它们可以用来描述光学中的反射和折射。
当光线照射到一个非对称圆锥曲线上的点时,它将发生反射和折射。
研究非对称问题可以帮助我们更好地理解这些现象,并为光学设计提供更多的理论基础。
在物理学中,非对称问题也被用来研究天体的运动。
例如,椭圆和双曲线可以用来描述行星的轨迹,而抛物线可以用来描述太阳的运动。
研究非对称问题可以帮助我们更好地理解这些天体运动的规律,并为天文学提供更多的理论基础。
除了几何学和物理学外,非对称问题也在数学研究中发挥着重要作用。
例如,在数论中,非对称问题被用来研究素数分布。
在代数中,非对称问题被广泛用于解决线性代数中的相关问题。
总之,非对称问题是一个具有广泛应用的数学问题,它们可以帮助我们更好地理解自然界中的各种现象,并为科学技术的发展提供更多的理论基础。
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理圆锥曲线是数学上非常重要的一类曲线，包括抛物线、双曲线和椭圆等。
在研究这些曲线时，我们经常需要使用到韦达定理。
但是，韦达定理只适用于对称曲线，那么对于非对称的圆锥曲线呢？这时，我们就需要使用到圆锥曲线的非对称韦达定理。
1. 什么是韦达定理？韦达定理是指对称曲线上两个点的坐标之积与焦点和直线的距离之积相等。
具体来说，若对称曲线的方程为F(x,y)=0，其焦点为S，直线为L，则对称曲线上任意两点P、Q的坐标之积PQ与焦点S和直线L的距离之积SL·LQ相等。
2. 圆锥曲线的非对称特性相比于对称曲线，圆锥曲线具有非对称的特性，其方程形式不能够简单地表示为F(x,y)=0。
因此，韦达定理无法适用于圆锥曲线。
3. 圆锥曲线的非对称韦达定理圆锥曲线的非对称韦达定理是对圆锥曲线上两点P、Q的坐标之积与直线L和点S的距离之积的关系进行了描述。
具体来说，对于圆锥曲线上任意两点P、Q和一条直线L，设直线L与圆锥曲线交于点A、B，直线SP、SQ分别与直线L垂直且交于点P'、Q'，则有以下公式成立：$$(PQ)^2 = \frac{(AP'·AQ')·(BP'·BQ')}{SL·SQ}$$其中，S为圆锥曲线的焦点。
4. 圆锥曲线的应用圆锥曲线非对称韦达定理在很多实际问题中都有着广泛的应用。
例如，在轨道设计中，圆锥曲线被广泛应用于连接两个不同半径的圆弧。
此时，我们需要计算通过圆锥曲线的列车速度和加速度等参数，因此需要使用到圆锥曲线的相关性质和公式。
结语：圆锥曲线非对称韦达定理是圆锥曲线研究中非常重要的一项定理，其应用广泛，不仅在数学领域中，也在生物学、物理学、工程学等应用领域中都有着重要的作用。
因此，我们需要深入学习、理解和应用这一定理，推动科学研究和技术发展的进步。
新高考数学二轮复习圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
专题强化练
1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)， A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p×1，解得p＝2. 故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
培优点8 圆锥曲线中非 对称韦达定理的应用
在圆锥专曲题线一问题函数中与，导我数们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y，得到一个一 元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，x21＋x22，x11＋x12之类的结 构，但在有些问题中，我们会遇到涉及 x1，x2 的不同系数的代数式的运算，比如 求xx12，32xx11xx22＋－2xx11＋－xx22或 λx1＋μx2 之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为 “非对称韦达结构”.
y＝kx－2，
消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34， 即 k<－ 23或 k> 23时， x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2，
由A→P＝12A→Q， 得 x2＝2x1，即xx21＝2， 所以xx12＋xx21＝x1x＋1xx222－2＝52，
得 ty1y2＝32(y1＋y2)，
直线 AM 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 直线 BN 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 联立直线 AM，BN 的方程得xx＋－22＝yy21xx12＋－22 ＝yy12ttyy21－＋13＝ttyy11yy22＋－3yy12 ＝3223yy11＋＋yy22＋－3yy12＝3122yy11＋ ＋9232yy22＝3，
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理是一种重要的数学定理，它在圆锥曲线的研究中起着重要的作用。
本文将从圆锥曲线的定义、非对称韦达定理的概念和应用等方面进行阐述。
圆锥曲线是指平面上由一个固定点F（称为焦点）和一条固定直线L（称为准线）确定的点P的集合。
当P点到焦点的距离等于P点到准线的距离时，P点在圆锥曲线上。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
非对称韦达定理是指在圆锥曲线上，对于任意一点P，设P点到准线的距离为d，焦点到P点的距离为r，则有d^2=r^2-2a(x-x0)，其中a为圆锥曲线的半轴长，(x0,0)为圆锥曲线的中心点。
这个定理的意义在于，它可以用来求解圆锥曲线上任意一点的坐标，从而进一步研究圆锥曲线的性质和应用。
非对称韦达定理的应用非常广泛，例如在天文学中，可以用它来计算行星的轨道；在工程学中，可以用它来设计反射镜和抛物面天线等；在物理学中，可以用它来研究光学成像和电磁波的传播等。
此外，非对称韦达定理还可以用来证明圆锥曲线的对称性和判定圆锥曲线的类型等。
圆锥曲线非对称韦达定理是圆锥曲线研究中的重要定理，它可以用来求解圆锥曲线上任意一点的坐标，进一步研究圆锥曲线的性质和
应用。
在实际应用中，非对称韦达定理具有广泛的应用价值，可以用来解决天文学、工程学、物理学等领域的问题。
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圆锥曲线非对称问题
韦达定理是初中要求的基本知识，到了高中，他的作用日趋明显，在解析几何的解答题中，有着不可或缺的地位，对于直接运用韦达定理的运算，学生已非常熟练，但在有些问题中会遇到两根不对称的情形，一定要学会找关系，用性质
问题导入
已知椭圆C：的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），M,N为左右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于两点A,B且当m=−√33时，A是椭圆C的点，且△AF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A在x轴上方，设AM,BN,交于一点T，求证点T的横坐标为定值
变式训练
已知椭圆C：的左右顶点为M，N，过定点p（-3，0）且斜率不为零的动直线与椭圆c交于A，B 两点，设A（x1，y1）B（x2，y2）从左往右依次为P,A,B
(1)求x1x2+4x1+x2的值
(2)设直线AN与直线BM交于点E，求证点E的横坐标为定值
一，共线向量问题型
例1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.
1）求曲线E 的方程；
2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
例2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ= ，
2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
例3设双曲线C ：)0(1222>=-a y a
x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=PB 125，求a 的值
变式训练
1设A ，B 是以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上两点，且AF=3FB ，求AB 的中点到准线的距离
2给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且[]
9,4,∈=λλAF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围。
3设F1.F2分别是椭圆2X2+3y2=6的左右焦点，过点E （3，0）的直线L 与椭圆交于A ，B 两点且F1A=λF2B（λ不等于-1）求直线L 的方程
4.如图，椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （2，0），左、右焦点分别为F 1、F 2，过点A 且斜率为的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点P 且斜率大于的直线与椭圆交于M ，N 两点（|PM |＞|PN |），若S △PAM ：S △PBN =λ，求实数λ的取值范围．
二，定比分点差法在共线型向量问题中的运用
例1，椭圆C:x24+y22=1过点p（4，1）的动直线L与C交于不同的两点A，B时，直线段上取点Q满足｜AP｜｜QB｜=｜AQ｜｜PB｜，证明Q总在某定直线上。
例2，椭圆C x24+y23=1过点P（2，1）做直线L1，L2分别交C于AC，BD四点，且AB的斜率为-32，判断AB与CD的位置关系
例3，已知E=1（a＞b＞0）的e=A（13，23）在E上，射线AO与E另一交点为B，P（-4t，t）在E内部
射线AP，BP与椭圆E另一交点分别为C，D
（1）求E的方程
（2）证明CD∥AB
变式训练
1已知C：X2+3y2=3，过点D（1，0）且不过E（2，1）的直线过C交于AB，直线AE与x=3交于M判断BM与DE的位置关系
2设F1，F2分别为E x23+y2=1的焦点，点AB在E上，F1A=5F2B，则A点坐标为
3已知E x29+y24=1，过点P（0，3）的直线与E交于AB，求PA PB的取值范围
4已知定点M（2，0）若过直线L（斜率不为0），与E x23+y2=1交于不同两点E,F（E在MF之间）记λ=S∆DME S∆DMF求λ的取值范围
5，已知E x 24+y 23=1，过点P（4，0）作E 的割线PAB，C 为B 关于x 轴对称点，求证：AC 过x 轴上一定点6设点P（0，1），椭圆x 24+y 2=m （m〉1）两点A，B 满足AP=2PB，则当m=（）时，B 点横坐标的绝对值最大
9已知E =1（a ＞b ＞0）内存一点M （2，1）
，过M 两条直线L1，L2分别与E 交于AC 和BD 两点，且满足AM=λMC，BM=λMD（λ大于0且不等于1），若λ变化时AB 的斜率为-12，则E 的离心率为（）
总结题型
【2014年全国课标Ⅱ，理20】设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
候补题.．已知点,A B 的坐标分别为()),
，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-，点M 的轨迹为曲线E .
（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，交y 轴于R 点，若1RP PF λ= ，2RQ QF λ= ，证明：12λλ+为定值.
6.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）A 、B 是椭圆的左右顶点，P （x P ，y P ）是椭圆上任意一点，椭圆在P 点处的切线与过A 、B 且与x 轴垂直的直线分别交于C 、D 两点，直线AD 、BC 交于Q （x Q ，y Q ），是否存在实数λ，使x P =λx Q 恒成立，并说明理由．。