几何五大模型之精讲精练
五大模型
一、 等积变换模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
b
a
S 2S 1 D
C B
A
如左图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
二、 鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
图⑴ 图⑵
推理过程连接BE ，再利用等积变换模型即可 三、 蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A B
C
D
O
b
a S 3
S 2S 1S 4
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2
a b +．
四、 相似模型
相似三角形性质：
G
F E A
B
C
D （金字塔模型）
A
B
C
D
E
F G （沙漏模型）
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样
改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
五、 燕尾定理模型 S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ；
S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ；
【例 1】 （第3届华杯赛试题）
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．
红
红
绿
黄
21平方厘米
【例 2】 (2007年六年级希望杯二试试题)
如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．
F E D
C
B
A
【例 3】 （北京市第一届“迎春杯”刊赛）
如图．将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D ，BC 边延长2倍到E ，CA 边延长3倍到F ．如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是 ．
F
E
D
C
B A
【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若
AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．
【例 5】 如右图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，ABC ∆由这6部
分组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么ABC ∆的面积是多少平方厘米？
N M O C
B A
F E D C
B A 5()
3()6()4()
2()1()
【例 6】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．
D A
B
C E
F
G
【例 7】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，已知
5AH =cm ，3HF =cm ，求AG .
H
G
F E
D C
B
A
【例 8】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB .
O F E
D
C
B
A
【例 9】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与
BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，
已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E F
【例10】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，
连接BF ，DE ，相交于点G ，过G 作MN ，PQ 得到两个正方形MGQA 和正方形
PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =______．
Q
P
N
M G
F
E
D C
B
A。
五大模型(三角型等积变形、共角模型讲解
杨秀情一一六年级秋季一一配套练习【练练1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【练练2】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是_______ ;【练练3】（2008年”希望杯”二试六年级）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O, S i、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积•试比较0 - S3与S2 - S4的大小.【练练4】如图，三角形ABC中，DC =2BD , CE =3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【练练5】（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC =45，AC =21 , ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK = _________ .【练练6】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是__________________ 平方厘米.A IVWVI【练练7】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是_________ 平方厘米.【练练8】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是_________ •A BEC【练练9】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？【练练10】如图，正方形ABCD的边长为6, AE=1.5, CF =2.长方形EFGH的面积为______________F C【练练11】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【练练12】2008年春蕾杯五年级决赛如图，长方形ABCD的边上有两点E、F ,线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块,其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 ____________ 平方米。
小升初奥赛几何五大模型精编版
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换①、等底等高的两个三角形面积相等②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2④、在一组平行线之间的等积变形，如图3图1 图2 图3例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
解：；（2）鸟头（共角）定理模型①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
解：由题意知：∴平方厘米（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①梯形两翼相等②③梯形S对应的分数为（例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
解：：∴又∴平方厘米2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或②例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，求OC解：OC=（4）相似模型1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！①②例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？解：：：（5）燕尾模型①②③例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。
小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习
模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =V V ，1ABC S =V ， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=． (法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯V V ． 又1ABC S =V ，所以8FCE S =V ． 同理可得6ADF S =V ，3BDE S =V ．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=V V V V V ．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。
中考数学几何五大模型.docx
五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图 S1 : S2 a : b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S△ACD = S△BCD；反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于CD。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC 中，D,E分别是AB, AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E 在AC上(如图2)，则S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE )图 1图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理” ) ：① S1 : S2S4 : S3或者 S1S3S2S4② AO : OC S1S2 : S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系 ( “梯形蝴蝶定理”)2 2①S1 : S3 a : b② S1 : S3 : S2 : S4a2 : b2 : ab : ab ；③梯形 S 的对应份数为 a b 2。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型① AD AE DE AF ；AB AC BC AG② S△ADE : S△ABC AF 2 : AG 2。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
奥数几何三角形五大模型带解析
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?
【例12】（难度等级 ※※※）
如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
【例13】（难度等级 ※※※）
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【分析与解】
上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE= BC，于是EC= BC，
又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD= AC,于是AD= AC,
所以，三角形AED的面积= ×三角形AEC的面积= × ×三角形ABC的面积 = ×三角形ABC的面积
3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC的面积。
4.如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
5.如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE= BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析与解】
由任意四边形的蝴蝶定理有
所以 平方千米，故公园总面积为
平方千米，人工湖面积为 平方千米
奥数几何-圆形五大模型带解析
奥数几何-圆形五大模型带解析模型一：圆- 定义：圆是由一个确定的点叫做圆心，到这个圆心距离相等的点的集合。
- 特点：圆的直径是两个相对的点在圆上的最远距离，圆周是圆的边界。
- 公式：- 圆的周长：C = 2πr （其中r为圆的半径）- 圆的面积：A = πr²模型二：切线- 定义：切线是与圆相切于圆上某一点的直线。
- 特点：切线和半径垂直，并且在切点处与半径的夹角为90度。
- 公式：- 切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方。
- 等腰三角形的底边等于等于切点在圆上的切线。
模型三：弦- 定义：弦是圆上任意两点连线所得的线段。
- 特点：从圆心到弦的垂线分割弦成两段，这两段的乘积等于从圆心到弦中点的垂线与弦的乘积。
- 公式：- 弦长= 2r * sin(θ/2) （其中r为圆的半径，θ为圆心角的度数）模型四：弧- 定义：弧是圆上两个端点之间的一段弧线。
- 特点：弧长等于半径乘以弧所对的圆心角的弧度。
- 公式：- 弧长= r * θ （其中r为圆的半径，θ为圆心角的弧度）模型五：扇形- 定义：扇形是由圆心、弧和两条辐射连线围成的图形。
- 特点：扇形的面积等于圆心角所对的弧长与圆的面积的比值乘以圆的面积。
- 公式：- 扇形的面积= (θ / 360) * πr² （其中θ为圆心角的度数，r为圆的半径）以上是奥数几何中与圆形相关的五大模型及其解析。
在解题过程中，可以借助这些模型来简化问题、找到关联关系、求解未知量。
希望对您有所帮助！。
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；例题精讲燕尾定理综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC ===△△，36510ABFCBFS AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFES =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，1126BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，所以441226 2.455255ABXABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V ． 方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE FABCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为．OFE DCBA684621O F E DCB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BEH BEBE【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=X ．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==， 而1602ABC ABCD S S ∆==X ，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEGABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==， 所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为，三角形AGE 的面积为，三角形GHI 的面积为．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接、得619ABH ABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHIABCS S ---==△△ 三角形的面积是1，所以三角形的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=， 那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABCS S =△△,同理连接、得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHIABCS S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此313AGC ABCS S =△△,同理连接、得13ABH ABC S S =△△,313BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHIABCS S ---==△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接，AGC S △=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此1237AGCABCS S =△△, 同理连接、得1237ABH ABCS S =△△,1237BIC ABC S S =△△, 所以3712121213737GHIABCS S ---==△△ 三角形的面积是74,所以三角形的面积是174237⨯=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF FE=，再连结DE．所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四边形的面积为18．方法二：设ADFS x=△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S=+阴影，解得2S=阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S+=阴影（），解得2S=阴影.【例 10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?35304084OFED CBA【解析】设BOFS x=△，由题意知:4:3BD DC=根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDOS S S S==△△△△,所以33(84)6344ACOS x x=⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形的面积是844030355670315+++++=【例 11】三角形的面积为15平方厘米，D 为中点，E 为中点，F 为中点，求阴影部分的面积．F CBAF CBA【解析】 令与的交点为M ，与的交点为N ，连接，．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△, 所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =为中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANGAFCSS =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△． 根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是．F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==，那么4BM DM =，即45BM BD =．那么421453215BMF BCD BM BF S S BDBC∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，14721530CDMF S =-=四边形． 另解：得出24ABMACM ADM S S S ∆∆∆==后，可得111155210ADMABD S S ∆∆==⨯=， 则11731030ACF ADM CDMF S S S ∆∆=-=-=四边形．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设与交于点P ，与交于点Q ，与交于点M ，与交于点N ．连接，，，．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HABC D EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．CBB【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ，IF ．∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，916AIF ABC S S ∴=△△ ∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△， ∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴364AHM ABC S S =△△， ∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴316AHF ABC S S =△△ ． 同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33::1:46416HM HF ==， ∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==，∴IF BC ∥ ，又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =， ∴17710160160HMN HDF ABC S S S ===△△△．同理 6个小阴影三角形的面积均为7160． 阴影部分面积721616080=⨯=．【例 15】如图，面积为l 的三角形中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是、、 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令与的交点为M ，与的交点为N ，与的交点为与的交点为Q ,连接、、 ⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMIS S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQES五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABC S S =△△所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 16】如图，面积为l 的三角形中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是、、 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 4B 5A 3A 45A 3【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G△的面积，根据燕尾定理可得2312333117732A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A GS=△份，则233A A GS =△份,313A A GS=△份，所以2312333111773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形， 因此141620091148147S S =-⨯=⨯=阴影正六边形（）（平方厘米） （方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814⨯=（平方厘米）A 3A【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baEDbaNMHFED【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接、，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作⊥、⊥， ∵=∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲∴:1:2a b =。
专题8 几何五大模型
几何的五大模型1、 等积变换模型1） 夹在一组平行线之间的等积变换，如图反之， 如果BCD ACD S S ∆∆=，则两条直线AB //直线CD练习1、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．练习2、如图所示，在ABC △ 中，12CP CB = ，13CQ CA = ，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于_______________．FE C BA XQP ABC2、 共角模型（乌头定理）3、 蝴蝶定理模型任意四边形中比例关系()()432142313421::2::1S S S S OC AO S S S S S S S S ++=⨯=⨯=）或者）梯形中的比例关系()22222423122313::::::2::1b a d c b a S S S S b a S S +==）梯形对应的份数为））练习3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12 ，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBA4、 相似模型;2;122AGAF S S AGAF BC DE AC AE AE AD ABC ADE ====∆∆））相似三角形：形状相同，大小不同的三角形1）相似三角形一切对应线段的长度的比相比，并且这个比等于他们的相似比；2）相似三角形的面积比等于他们相似比的平方5、燕尾定理模型练习4 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于 点，CEF △ 、OEF △ 、ODF △ 、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △ 的面积．（金字塔模型）OGFEDCBA。
几何的五大模型
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间旳关系
6、SΔADE =S2+S3，S ΔBCF =S4+S3 想想？为何，用了什么模型
7、∴正方形ABCD被提成了24份 S阴影=S2+S4=6÷24×12=3cm2
例题：相同模型
例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD旳中点，AF与BE、BD分别交于
例题：二分之一模型
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB旳长是4厘米，BC旳长是3厘 米，那么图中阴影部分旳面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一种个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分旳三角形底边长度为矩形旳长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思索：二分之一模型是什么意思？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积百分比
黄
50%-15%=35% 所以，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分旳面积是多少平方厘米？
AB
S1 S2
a
b
图1
CD 图2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一种角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形旳面积比等于相应交（相等或互补角）两夹边旳乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC