高考数学专题突破 ：坐标系与参数方程题型讲解【解析版,题型方法讲解,自己整理】
坐标系与参数方程高考题型总结课题1：知识点一、直角坐标和极坐标1．直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 .2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．二、参数方程1．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆12222x =+by a 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线1-2222x =by a 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).4.消参技巧（1）t 类：利用t=t 或者ba bt t =a （2）sin θ,cos θ类：利用sin θ2+cos θ2=1化简课题2：题型讲解一、直线参数方程的几何意义（直线可过原点也可不过，P 点可有可无）1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；（t 有正负）(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |²|PB |=|t 1²t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+（同侧）当（异侧）当0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA（6）ttt PBPA PB PA B P A P 2121t 11+=∙+=+（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
【2015湖南理】已知直线l ：（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cos θ．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为（5，），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值． 【解析】（1）∵ρ=2cos θ，∴ρ2=2ρcos θ，∴x 2+y 2=2x ，故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2=1；（2）直线l ：（t 为参数），普通方程为，（5，）在直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为T ，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．二、ρ的几何意义（直线过原点）思路：第一步：圆锥曲线化为极坐标方程第二步：将直线方程带入极坐标方程，化简得关于ρ的一元二次方程：a ρ2+b ρ+c=0第三步：韦达定理：a ca b =-=+2121,ρρρρ第四步：选择公式代入计算。
或采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
【2016新课标Ⅱ(理）】-三种方法均可选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．【2017•新课标Ⅲ理】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解析】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2=+=5．∴l3与C的交点M的极径为ρ=．【2014重庆理】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= ．【解析】直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解析】（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为 ρcos θ=﹣2，故C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcos θ+4ρsin θ）+4=0． （Ⅱ）把直线C 3的极坐标方程θ=（ρ∈R ）代入ρ2﹣（2ρcos θ+4ρsin θ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=， ∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ， △C 2MN 的面积为•C 2M •C 2N=．【2011新课标23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OM OP 2=,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】（I ）设P(x,y),则由条件知M(2,2YX ).由于M 点在C 1上，所以 2cos 222sin 2xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即 4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩ 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。
射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=。
所以21||||23AB ρρ-==.【例】（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7． ∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1， 化简，得ρ=2cos θ． （Ⅱ）依题意设A （），B （），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ﹣3=0， 将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3， 同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．三、 最值问题1.圆上一点到直线的最值（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）法一【特有】：直角坐标法思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =法二：参数法思路：第一步：将圆上一点设为参数方程【圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π）】，将直线化为普通方程，带入点到直线Ax+By+C=0的距离公式得22cos sin BA cb a d +++=θθ第二步：运用辅助角公式化简22cos sin BA cb a d +++=θθ得2222)sin(a BA c d b ++++=ϕθ第三步： 根据同号大，异号小求得最值或取值范围2.圆锥曲线与直线参数法思路：第一步：将圆锥曲线上一点设为参数方程，将直线化为普通方程， 带入点到直线Ax+By+C=0的距离公式得22cos sin BA cb a d +++=θθ或有关t 的函数第二步：运用辅助角公式化简22cos sin BA cb a d +++=θθ得2222)sin(aBA c d b ++++=ϕθ第三步： 根据同号大，异号小求得最值或取值范围【2017新课标1理】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 【解析】（1）消去参数θ，得曲线C 的普通方程为2299x y +=.当a ＝－1时，消去参数t ，得直线l 的普通方程为43x y +=.联立229943x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得1130x y =⎧⎨=⎩，2221252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴C 与l 的交点坐标为(3，0)和21242525⎛⎫-⎪⎝⎭，. （2）设曲线C 上任意一点P ()3cos sin θθ，，消去参数t ，得直线l 的普通方程为4(4)0x y a +-+=.∴点P 到直线l 的距离22|3cos +4sin (4)||5sin()(4)|=1714a a d θθθϕ-++-+=+ 由题知，max 17d =，即max |5sin()(4)|17a θϕ+-+=当a ＋4＞0时，则有5(4)17a --+=-，解得8a =；当a ＋4≤0时，则有5(4)17a -+=，解得16a =-；综上，a 的值为8或－16.【2017江苏理】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的参数方程为（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0， ∴P 到直线l 的距离d==，∴当s=时，d 取得最小值=．【2014新课标1】已知曲线C ：+=1，直线l ：（t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值． 【解析】（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cos θ、y=3sin θ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）． P 到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．当sin （θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin （θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．3.圆锥曲线与圆锥曲线参数法思路：第一步：将两圆锥曲线上的点设为参数方程，带入两点间的距离公式)y ()x (212122y x d --+=第二步：运用辅助角公式化简)y ()x (212122y x d --+=得c d b +++=)sin(22aϕθ第三步： 根据同号大，异号小求得最值或取值范围【2015新课标2理】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》图文解析
新高中数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．参数方程22sin { 12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-Q ,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为22(2)(3)143x y ''+=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
坐标系与参数方程常考题型及解析
坐标系与参数方程高考常考题型及解析随着高考改革的不但深入，考试内用也在不但改革，分为必修和选修两部分，选修部分又分为高考必考部分和选考部分，这是对部分学生的兴趣和爱好加上了不等式选讲及几何证明选讲坐标系与参数方程，矩阵及变换等等选讲部分，笔者以多年送高考的经验将坐标系与参数方程选讲部分高考常考题型及解析总结如下，供同行们商榷。
类型一：求直线或圆锥曲线的参数或极坐标方程问题。
例题1：（2013年高考陕西卷）以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则220y x x +-=的参数方程为_____解析 ：222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。
所以圆的参数方程为R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2变式：（2013年高考江西卷）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________解析：本题考查参数方程与极坐标方程的转化。
曲线C 的普通方程为2y x =。
将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos ρθρθ=，即2cos sin 0ρθθ-=。
所以曲线c 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=点评：求极坐标方程与参数方程是坐标系与参数方程是高考常考的题型，记住参数方程与极坐标方程的转化结合直线与圆的方程形式，解决起来比较容易，是中档题目。
类型二;考查在极坐标系下求两点距离或者点到直线距离问题。
例题2：（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________解析：联立方程组得15(1)12ρρρ±-=⇒=，又0ρ≥，故所求为152+． 变式：（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.解析：在极坐标系中，点化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ ，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1。
高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案理含解析
坐标系与参数方程【高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满足题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【变式探究】．(·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．【解析】 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋3cos t ，y ＝3sin t(t 为参数，a >0)．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cos θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上(异于极点)，若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求 l 的极坐标方程．解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝3， 化简得x 2＋y 2－2ax ＋a 2－3＝0. 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以ρ2－2aρcos θ＋a 2－3＝0.代入点⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1(舍去)．所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)由题意知，设直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )， 设点M ()ρ1，α，N ()ρ2，α，P ()ρ3，α， 则ρ1<ρ3<ρ2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝α，得ρ2－4ρcos α＋1＝0，所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝cos θ，θ＝α，得ρ3＝cos α.因为|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，所以ρ23＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ23＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2. 所以2cos 2α＝4cos 2α－1，解得cos α＝22(舍负)． 经检验，满足O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线上， 所以l 的极坐标方程为θ＝±π4(ρ∈R )．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理，得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为,其中满足tan =2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 .（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.O 4cos θ0θα=0α0αt 1C 1C )1,0(a 1C 1C 21,CC 0≠ρ2tan =θ012=-a 1-=a 1=a 1=a 21,C C 3C 1=a【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】(·福建)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】(·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【举一反三】(·湖南，16Ⅱ)已知直线l ： (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.。
高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—坐标系与参数方程（全国通用）考向一 极坐标与参数方程 【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为26t x y t +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26s x y s +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标． 【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y t =226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】 因为2,6sx y s +=-=-262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目． 【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义. 【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义； 真题汇总及解析1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率． 【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1 【解析】 【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos α=tan α. (1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-， 故2(2cos )142α-=--，解得2cos α=tan 1k α==± 因此斜率为±1． 2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率． 【答案】(1)2cos 2sin=+，1C ，2C 相交21【解析】 【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin=+，又，2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即222x y x +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-- 1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C -=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin=+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin=+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=tan 21θ，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角． 【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α-；22280x y x +--= (2)π6或π2【解析】 【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-可求出直线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-． 因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+． 所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=． (2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-． 所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++整理得)23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=， 解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P -，求PA PB ⋅. 【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4. (2)12 【解析】 【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x t C y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x +=， 化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）. 曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程33112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得223131162t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===. 5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离； (2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【答案】5(2)5151()---⋃ 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围. (1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭=+ 当12s =±时，d 5，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 5；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠， 与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：115k+>1152k -<， 解得：5151()k ---∈⋃ 6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)求C 的参数方程； (2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】 【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=， 则其直角坐标方程为222x y y +=， 即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1, 则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值. 【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y 34 【解析】 【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,222x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得2220t -=，∴121222t t t t +==-，显然12,t t 异号. 由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==， ∴()212121212121212121841111342||||t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为22222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C . (1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB = (2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=． 由2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=， 1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 44522αϕαϕ---==25sin α=5cos α=）， 故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 452d -=， 因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 11452245222AB d -⋅⋅=⨯= 9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31 【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=， 与13()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=+， 即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=， 解得：14π3θ=或20θ=， 当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-， 当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13sin cos 13cos 3cos cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312； 因为33112+>，所以OAB 面积最大值为31+. 10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求PQ 的极坐标方程和OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -． 【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3 【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出OQ 所在圆的直角坐标方程即可； （2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可. (1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭， 因为点P 的直角坐标是(3,1)-， 所以OQ 所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ． （注：PQ 的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ， 将3112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t因为120t t <，由t 的几何意义得： 121212121111113||||+-=-=+==t t MA MB t t t t t t。
超实用高考数学重难点专题复习：专题九 坐标系与参数方程
极坐标是 ( , ) ，则
x cos
y sin
2 x2 y 2
y
tan
( x 0)
x
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－
函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统
计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为
载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮
复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩
固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻
开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟
比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高
我们的自信心。
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在
每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于
第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求
的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一
定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而
准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三
研究；
专题42 坐标系与参数方程(解析版)
设 A，B 两点对应的参数为 t1，t2，
则 t1+t2=
4cos
8
，t1t2=，
2
sin
sin 2
因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，
∴|PA||PB|=|MN|2=16，
∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，
∴
8
1
=16，∴sin2α= ，
2
sin
2
∵0≤α＜π，
∴sinα=
2
，
2
1/9
∴α=
4
或 α=
3
．
4
x 2 cos
，（ 为参数），
y 2sin
2．（参数方程与伸缩变换）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x ' x
将曲线 C 按伸缩变换公式
1 ，变换得到曲线 E .
∴x2+y2-x2+y2=8x，即 y2=4x．
由 ρcosθ=1 得 x=1，
x 1
由 y 4 x 的 M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．
2
x 2 tcos
（2）直线 l 的参数方程为： y tsin (t 为参数)，联立直线 l 的参数方程与曲线 C：y2=4x，
y
1
sin
线 M 的参数方程为
(1)求 l 和 M 的极坐标方程；
(2)当 0， 时，求 OA OB 的取值范围．
4
【答案】（1） ( R ) ， 2 2(cos sin ) 1 0 （2） 2, 2 2
高考复习数学B版考点考法讲解：坐标系与参数方程
{
ｘ ＝ ２＋２ｃｏｓ θ，
（θ 为
ｙ ＝ ３＋２ｓｉｎ θ
参数） 的对称中心，则直线 ｌ 的方程是
ｘ ＝ －１＋２ｔ，
（２） 若直 线
（ ｔ 为 参 数） 与 曲 线
ｙ ＝ ３－２ｔ
为参数，ａ＞０） 有且只有一个公共点，则 ａ ＝
{
{
解析 （ １） 由曲线的参数方程
如图，ＡＢ 即为直线 ｙ－ｘ ＝ １ 被圆 ｘ ２ ＋ｙ ２ ＝ １ 截得的线段，且 ＡＢ
１ ２ ＋１ ２ ＝ ２ ．
答案 （１） Ｄ （２） Ｂ
１－１ （２０１６ 北京西城一模，２） 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，
{
ｘ ＝ ２＋ ２ ｃｏｓ θ，
ｙ ＝ ２ ｓｉｎ θ
Ａ．关于 ｘ 轴对称的图形
Ａ．
１
２
Ｂ．
２
２
Ｃ．１
（ ）
Ｄ． ２
（２） ☉Ｃ １ ：（ ｘ－１） ２ ＋ｙ ２ ＝ １，☉Ｃ ２ ：ｘ ２ ＋（ ｙ－１） ２ ＝ １，
如图，易得交点为（０，０） ，（１，１） ，则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ ．
（ ２） （２０１６ 北京海淀一模，６） 在极坐标系中，圆 Ｃ １ ：ρ ＝ ２ｃｏｓ θ
４ｘ＋３ｙ ＝ １０，
所 以
２ｘ－４ｙ ＝ ５，
(
１－
５
２
{
) ＋２ ＝ ２５ ．
２
２
５
，
２ 即 Ｂ
ｙ ＝ ０，
ｘ＝
( ５２ ，０ ) ， 所 以 ｜
ＡＢ ｜ ＝
曲线 Ｃ 的参数方程为
（ θ 为参数） ，则曲线 Ｃ 是
（ ）
Ｂ．关于 ｙ 轴对称的图形
高考数学压轴专题杭州备战高考《坐标系与参数方程》图文解析
【最新】高中数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）A ．2sin ,cos x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）B ．2tan ,1tan x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数） C ．1,x t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）D ．2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 【答案】B 【解析】A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围.2．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE ，¶EF ，·FG，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】分别计算»AE ，»EF，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】根据题意可知，»AE 的长度2π，»EF 的长度为π，»FG的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.3．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A．4 BC．2D【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=4．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A．7B．7C．13D．13【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则12t t ==，结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）AB．CD．【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d=，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.7．已知曲线T的参数方程1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），则其普通方程是（）A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠ C．00x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩D．y =0x ≠)【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1k x=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析坐标系与参数方程是高中数学中比较重要的概念，也是高考中的热点考点之一。
本文将从高考中常见的考点入手，分析坐标系与参数方程在高考中的考查形式以及解题方法。
一、坐标系坐标系是指用数轴和平行于数轴的直线相交构成的平面。
平面上的每个点都可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别表示该点在水平方向和竖直方向的坐标。
高考中常见涉及坐标系的考查形式有以下几种：1.计算坐标距离考查学生对坐标系中距离的计算方法和概念的理解。
一般来说，题目给出两个点的坐标，要求求出这两个点之间的距离。
此时，学生需要注意计算公式和计算方法，以及坐标系的实际含义。
2.对称性分析考查学生对坐标系中对称性的理解和运用能力。
例如，题目给出一个图形，要求求出它的对称轴。
此时，学生需要找出图形的中心对称轴，然后进行分析。
3.绘图题考查学生对坐标系中各种图形和曲线的绘制能力和几何直观。
例如，题目要求学生在坐标系上绘制一条直线、抛物线、圆形等图形。
此时，学生需要根据要求确定图形的特征参数，然后进行逐步绘制。
四、参数方程参数方程是指用参数来表示函数的一种方式。
常见的函数有一元函数、多元函数、隐函数和参数函数等。
在参数方程中，则是用一组参数来确定函数的值。
1.确定函数关系考查学生对函数关系的理解和计算能力。
例如，题目给出一组参数方程，要求学生确定它们的函数关系。
此时，学生需要通过逐一代入参数的方法，求出相应的函数值，然后将它们放在同一坐标系中进行分析比较。
2.绘制函数图像3.求导数和积分考查学生对参数方程中导数和积分的计算方法和策略的掌握能力。
例如，题目要求学生求出某个参数方程的导数或积分。
此时，学生需要根据导数和积分的基本公式，结合参数方程的特点，运用不同的计算方法求解出最终的结果。
总的来说，坐标系和参数方程是高中数学中比较基础的内容，同时也是高考数学中的热点考点。
希望通过本文的分析和总结，能够帮助同学们更好地理解和掌握这两个概念，从而在高考中取得更好的成绩。
高考数学专项复习坐标系与参数方程答题技巧及思路.doc
4.在直角坐标系xOy 中，直线1的参数方程为< 中档解答题特训之一一专题篇专题十坐标系与参数方程(二)类型一：圆的参数方程的应用 1. 以坐标系原点。
为极点,X 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位.已知直线1的参数方程为Jx=tco 舛 (t 为参数，OWcpV 兀)，曲线C 的极坐标方[y=2+tsin 。
程为 pcos 20=8sin0.(1) 求直线1的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2) 设直线1与曲线C 相交于A, B 两点，当cp 变化时，求|AB|的最小值. 类型二：抛物线参数方程的应用f_ 22. 已知AB 和CD 是曲线C ： x=4t J 为参数)的两条相交于点P (2, 2)的.y=4t弦，若 ABLCD,且 PA • PB = PC • PD .(1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；(2) 试求直线AB 的方程.类型三：椭圆极坐标方程的应用 3. 已知椭圆C 的极坐标方程为p2= - —12——，点F I ,F2为其左右焦点.以3cos 2 0 +4si n 2 0极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线1的参数方程为 x=2+乎"t< (t 为参数，tGR). V2(1) 求直线1的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程；(2) 求点Fi, F2到直线1的距离之和.类型四：图像变换点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为p=4cos0.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线1的普通方程;(2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的再将所得曲线向左平移1个单 2 位，得到曲线Ci,求曲线Ci 上的点到直线1的距离的最小值.(t 为参数)若以O64sirj2 巾 * 64 = 8cos"中 cos^ 0 cos^ e专题九 坐标系与参数方程(二)参考答案与解析1. (2017-海口模拟)以坐标系原点。