铁路缓和曲线计算

、缓和曲线的作用及其几何特征
行驶于曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征。

如曲线运行的离
心力，外轨超高不连续形成的冲击力等。

为使上述诸力不致突然产生和消失，以保持列车曲线运行的平稳性，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高度均逐渐变化的曲线，称为缓和曲线。

当缓和曲线连接设有轨距加宽的圆曲线时，缓和曲线的轨距是呈线性变化的。

概括起来，缓和曲线具有以下几何特征：
1. 缓和曲线连接直线和半径为R的圆曲线，其曲率由零至1/R逐渐变化。

2. 缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲线的超高度，与圆曲线超高相连接。

3. 缓和曲线连接半径小于350m的圆曲线时，在整个缓和曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。

因此，缓和曲线是一条曲率和超高均逐渐变化的空间曲线。

二、缓和曲线的几何形位条件
图2-9所示为一段缓和曲线。

其始点与终点用ZH与HY表示。

要达到设置缓和曲线的目的，根据如图所取直角坐标系，缓和曲线的线形应满足以下条件：
1.为了保持连续点的几何连续性，缓和曲线在平面上的形
状应当是：在始点处，横坐标x＝ 0,纵坐标y＝ 0,倾角φ
＝ 0;在终点处，横坐标x=x0，纵坐标y=y0，倾角φ＝
φ0。

2.列车进入缓和曲线，车体受到离心力J的作用，为保持列车运行的平稳性，应使离心力不突然产生和消失，即在缓和曲线始点处，J＝0,在缓和曲线终点处Ρ=R。

3.缓和曲线上任何一点的曲率盈余外轨超高相吻合。

在纵断面上，外轨超高顺坡的形式有两种形式。

一种形式是，如图2-10（a）所示；另一种形式是曲线形，如图2-10（b）所示。

图 2－9缓和曲线坐标图
列车经过直线顺坡的缓和曲线始点和终点时，对外轨都会产生冲击。

在行车速度不高，超高顺破相对平缓时，列车对外轨的冲击不大，可以采用直线形顺坡，即可满足曲率与超高相配合的要求。

当行车速度较高，为了消除列车对外轨的冲击，应采用曲线形超高顺坡。

其几何特征是缓和曲线始点及终点处的超高顺坡倾角r=0 ，即在始点和终点处应有：
式中h--外轨超高度，其值为：
l--曲线上任何一点至缓和曲线起点的距离。

对某一特定曲线，平均速度v p可视为常数。

令
则
可见缓和曲线上各点超高为曲率K的线性函数。

因此，在缓和曲线始、终点处应有：
4.列车在缓和曲线上运动时，其车轴与水平面倾斜角φ不断变化，亦即车体发生测滚。

要使钢轨对车体傾转的作用力不突然产生和消失，在缓和曲线始、终点处应使傾转的角加速度为零。

可见：
式中h ＝ EK由此
图 2－10 超高顺坡
因为
所以
综上所述，缓和曲线的线形条件，可归纳如表2-5。

表 2-5 缓和曲线线形条件表
顺序符号始点终点始终至终点之间
1y0y0
连续变化
2φ0φ0
3K01/R
400
500
可以看出，表中前两项是基本的几何形位要求，而后三项则是由行车平稳性形成的力学条件推导出的几何形位要求。

在行车速度不高的线路上，满足前三项要求的缓和曲线尚能适应列车运行的需要，而在速度较高的线路上，缓和曲线的几何形位就必须考虑后两项的要求。

三、常用缓和曲线
满足表2-6中前三项要求的缓和曲线，是目前铁路上最常用的缓和曲线，所以也称为常用缓和曲线。

常用缓和曲线的外轨超高顺坡，其基本方程必须满足的条件为：
当l=0 时，K=0 ；当l=l0时，K=1/R。

由超高与曲率的线性关系可知，满足这些条件的基本方程应为：
（2－23）式中K--缓和曲线上任意一点的曲率；
l--缓和曲线上某一点离ZH点（或HZ点）的距离；
K0--缓和曲线终点HY点（或YH点）的曲率；
l0--缓和曲线长度。

由式（2-12）可见，缓和曲线长度l与其曲率K成正比。

符合这一条件的曲线称为放射螺旋线。

缓和曲线的偏角为：
（2－24）
在缓和曲线终点处，l=l0,缓和曲线偏角为：
（2－25）
由式（2-24）可见，在缓和曲线长度范围内，偏角数值较小，可取近似值：
于是可得
积分上两式得
（2－26）
（2－26）
这就是放射螺旋线得近似参变数方程式，是我国铁路常用得缓和曲线方程式。

如消去上两式得参变数l，则得
（2－28）
这是放射螺旋线得近似直角坐标方程式。

在曲线半径较小得铁路上，采用第一项作为近似式。

四、高次缓和曲线
满足表2-6中前两项或全部五项要求得缓和曲线称为高次缓和曲线。

高次缓和曲线外轨超高顺坡为曲线顺坡。

这种曲线在列车经过时，各种力得作用不突然产生和消失，适应高速行车的需要。

求缓和曲线方程的方法，可先确定一个符合条件的基本方程，在逐步推导，最后得出所需求的缓和曲线方程式。

表2-6列出可用于高速铁路的三种高次缓和曲线。

表 2-6 高次缓和曲线
缓和曲线基本方程方程式
赵氏七次式
沙氏正弦形
日本高速铁路半
波正弦形
五、缓和曲线的长度
缓和曲线长度的确定，受到许多因素影响，其中最主要的是保证行车安全和行车平稳两个条件。

1.缓和曲线要保证行车安全，使车轮不致脱轨。

机车车辆行驶在缓和曲线上，若不计轨道弹性和车辆弹簧作用，则车架一端的两轮贴着钢轨顶面；另一端的两轮，在外轨上的车轮贴着钢轨顶面，而在内轨上的车轮是悬空的。

为保证安全，应使车轮轮缘不爬越内轨顶面。

设外轨超高顺坡坡度为i，最大固定轴距为Lmax ，则车轮离开内轨顶面的高度为。

当悬空高度大于轮缘最小高度 iLmax时，车轮就有脱轨的危险。

因此必须保证：
（2－29）
式中i0-- 外轨超高顺坡坡度。

缓和曲线长度l0应为：
(2-30)
式中 h0--圆曲线超高度。

对外轨超高顺坡为曲线性的缓和曲线，外轨超高顺坡的最大坡度也要满足式（2-29）对
i0的要求。

曲线形顺坡的坡度由下式计算：
（2－31）
《铁路线路维修规则》规定：曲线超高应在整个缓和曲线内完成，顺坡坡度一般不应大于1/(9v max)；困难条件下不得大于1/(7v max) 。

当1/(7v max)大于2‰时，按2‰设置。

2.缓和曲线长度要保证外轮的升高（或降低）速度不得超过限值，以满足旅客舒适度要求。

车轮在外轨上的升高速度μ由下式计算：
式中h--圆曲线外轨超高，以mm计；
v max--通过曲线的最高行车速度，以m／s计；
l0--缓和曲线长度，相当于直线形顺坡缓和曲线长度，以m计。

为保证旅客舒适度的要求，则缓和曲线长度为：
（2－32）
式中Vmax--通过曲线的最高行车速度，以km／h计；
1/换算系数。

我国根据长期运营实践，μ０在一般情况下采用32mm／s；困难地段用40mm／s 。

运营铁路以实际最高行车速度及实设超高为计算标准。

一般地段μ０＝28mm／s，特别困难地段μ０＝40mm／s。

则在一般地段应取：
（2－33）
计算结果取两项要求中的最大值，并取为10m的整倍数。

《铁路线路设备大修规则》规定：缓和曲线长度一般地段：
（2－34)
特别困难地段
（2－35)
式中l0--缓和曲线长，以m计；
h--超高，以m计；
Vmax--容许最高行车速度。

计算结果取10m的整倍数，长度不短于20m。

两缓和曲线间的圆曲线长度不短于20m。

缓和曲线长度应根据曲线半径，路段旅客列车设计速度和地形条件按表2-7选用。

有条件时应采用较表2-7规定的更大值。

表 2-7 缓和曲线长度(m)。