一题多解曲线的公切线

一题多解（1）--曲线的公切线 例：（2016全国2卷16）若直线=+y kx b 是曲线 ln 2=+y x 的切线，也是曲线ln(1)=+y x 的切线，则=b ______.

【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。

【解析】方法一、常规解法：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y .

则曲线ln 2=+y x 的切线方程为：11

1ln 1=++y x x x . 曲线ln(1)=+y x 的切线方程为：22221ln(1)+1+1=

++-x y x x x x . ∴ 12212211+1ln 1ln(1)+1⎧=⎪⎪⎨⎪+=+-⎪⎩

x x x x x x ，即122122ln ln(1ln 1ln(1)+1=+⎧⎪⎨+=+-⎪⎩x x x x x x ），解得112=x ，212=-x ∴1ln 11ln 2=+=-b x .

方法二、参数法：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y . 则11=k x 、21+1=k x ，即11=x k 、211=-x k

. ∴1122ln 22ln ln(1)ln =+=-⎧⎨=+=-⎩y x k y x k ，而112211=+=+⎧⎨=+=-+⎩y kx b b y kx b k b ，故2ln 1ln 1-=+⎧⎨-=-+⎩

k b k k b 两式相减得：2=k ，所以1ln 2=-b .

方法三、数形结合法（平移）：

设=+y kx b 与ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 分别切于点11(,)x y 、22(,)x y .

函数ln 2=+y x 和ln(1)=+y x 都是由ln =y x 平移而来，一个向上平移2单位，一个

向左平移1单位，故切线的斜率2=k .（只有是同一个函数平移成两函数，才能应用）

由ln 2=+y x 得2=k 11=

x ，即112=x ，故11ln 22ln 2=+=-y x 将切点1

(,2ln 2)2- 代入2=+y x b ，可得1ln 2=-b .

深化应用：

1．若曲线212y x e

=

与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数a 的值为( ) A ．2- B ．1

2 C ．1 D ．2

C 【解析】曲线212y x e

=的导数为：'1y x e =，在(,)P s t 处的斜率为：s k e =；曲线ln y a x =的导数为：'a y x =，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e

=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，可得s a e s =，并且212t s e =，ln t a s =，即21ln 2s a e s s a s e ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1ln 2

s =，解得2s e = ．可得1a =． 2．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）

A ．2[,)8e +∞

B ．2(0,]8e

C ．2[,)4e +∞

D ．2

(0,]4

e C 【解析】21:(0)C y ax a =>，'2y ax = ；2:x C y e =，'x y e =．设公切线与21:(0)

C y ax a =>切于点211(,)x ax ，与2:x C y e =切于22(,)x x e ，则22

211212x x e ax ax e x x -==-，可得2122x x =+，所以112

12x e a x +=；记1121()2x e f x x += ，则112'2

1(2)()(2)x e x f x x +-=，知在(0,2)x ∈时，'()0f x <，即()f x 在(0,2)x ∈上单调递减，(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 在(2,)x ∈+∞上单调递增，2min ()4

e f x =，故2[,)4e a ∈+∞.

3．已知函数()20ln 0x x a x f x x

x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围是( )

A ．(1,)-+∞

B ．(ln 2,)-+∞

C ．(2,1)--

D ．()1,2 A 【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y 为此函数上两点，且12x x <，观察函数图像可知

120x x <<，则函数()f x 在11(,)A x y 处切线方程为21111()(21)()y x x a x x x -++=+-，即211(21)y x x x a =+-+；函数()f x 在22(,)B x y 处切线方程为222

1ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-；依题意两切线重合，知12212

121ln 1x x x a x ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩，由120x x <<知2101x <<。所以22122211ln 1(1)ln 14a x x x x =+-=-+-，令21(01)t t x =<<，设函数

21()(1)ln 1(01)4g t t t t =---<<，则'11(1)(2)()(1)022t t g t t t t

+-=--=<，所以()g t 在01t <<上是单调递减函数，则()(1)1g t g >=-，又当0t →时，()g t →+∞，所以a 的取值范围是(1,)-+∞．

【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求变量a 与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想，构造函数，并注意函数自变量的范围，通过求导确定函数单调性得到函数值域也即所求参数范围．