(完整版)导数解曲线公切线问题.docx

导数解公切线专题

1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线

y

x 3

和 y ax 2

15

x 9 都相切，

4

则 a 等于

A ．

1 或 -

25

B ． 或

21

C ．

7 或 - 25

D ．

7 或 7 64

4 64

4

4

2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线

y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线

y ln( x

1) 的切线，则 b

．

3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .

变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .

． (2009年江西文

若存在过点 (1,0) 的直线与曲线

y

x 3 和

y ax 2

15

9 都相切，

1

12)

x

则 a 等于

4

． 或

21

或 -

25

7 或

A ． 1或 - 25

B

C ． 7

D ． 7

64

1

4

4

64

4

1. 设过 (1,0) 的直线与

3

3

3 2 y x

相切于点

0 0

，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 )

( x , x )

即 y 3x 0 2

x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ，

2

当 x 0

0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a

25 ，

3

27

27

4

15 64

当

x 0

时，由 y x

与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A .

2

4

4

4

2.（ 2016 年全国 II

理 16）若直线

y

kx b 是曲线 y ln x

2 的切线，也是曲线

y ln( x 1) 的切线，则 b

．

【答案】

1 ln2

考点： 导数的几何意义 .

3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .

解：∵ y ′=3x 2+2x － 2,

∴切线斜率

k= y ′|=3.

x=1

∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0.

变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解

设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0），

∵ y ′ =3x 2+2x －2，

y

·

O

A

x

∴切线斜率k=3 x02+2x0－2.

∴切线方程为

y－（ x03+x02－2x0）=(3 x02+2x0－ 2)(x－ x0) .

∵点 A 在切线上，

∴0－（ x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－ 2)(1－ x0)．即x03－ x02－ x0+1=0 ．

故(x0－ 1)2 ( x0+1 ）

=0．解得 x0=－ 1 或 x0= 1 ．

∴当 x0=－ 1 时，切线方程为x+y－ 1=0；

当x0=1 时，切线方程为３ x－y－３

=0．综上，曲线过点 A（ 1， 0）的切线方程

为

3x－ y－ 3=0 ，或 x+y－ 1=0.