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用导数求解曲线的切线问题
Ｉ ≥ 詈
） 的最小值为 。＋ ＋ ６ 。
ｒ ３ ｙ≥５
，
得： 当￡ ＝１ （ ＝ ０ ） 时
② 当０＜ ｎ＜１ 时， ｙ： 。 １＋６ ≥２＋６ 当且仅 当
ｌ （ ｔ ＝ ｅ ｘ ：一 １
行。
（Ｉ） 求 ｋ的值 ； （ Ⅱ） 求－ 厂 （ ） 的单调 区间 ； （ Ⅲ） 设ｇ （ ）＝（ ＋ ） ／ Ｔ （ ） ， 其 中厂（ ） 为， （ ） 的导
函数 ， 证明 ： 对 任 意 ＞ ０， ｇ （ ）＜１ ＋ｅ ～。
解析 由
＋ｋ ）：ｌ ｎ ｘ
３
ｙ＝
与ｂ 关系， 从 而 解 决 问题 。 四、 与切 线 有 关 的 其 他 问 题
； 求。 ， ６的值 。
例６ （ ２ ０ １ ２年 江苏卷第 １ ４题 ） 已知正数 Ⅱ ， ｂ ， Ｃ 满足： ５ ｃ 一 ３ 。 ≤６ ≤４ ｃ 一口 ， ｃ ｌ ｎ ６ ≥。＋ ｃ ｌ ｎ ｃ ， 则 的取 值范围是一 。 解析 条件 ５ ｃ 一 ３ ０ ≤ｂ ≤４ ｃ 一０ ， ｃ ｌ ｎ ｂ ≥。＋ｃ ｌ ｎ ｃ 可化 为 ：
物线 的切线 的斜率分 别为 ４， 一 ２ ， 所 以过 点 Ｐ、 Ｑ的抛物线 的切线方程分别 为 ｙ＝４ ｘ一 ８ ， Ｙ＝ 一 ２ ｘ一２ ， 联立 方程 组解
一
得 ＝１ ， Ｙ＝一 ４ ， 故 点 Ａ的纵坐标为 一 ４ 。 点评 本 题主 要考 查利 用导 数求 切线 方 程 。此 类 问
于是 ＿ 厂 （ ） 在 区间（ ０ ， １ ） 内 为增 函数 ， 在（ １ ， ＋ ） 内为
题 主要有两 种题 型 ： （ １ ） 是求 曲线 在某点处 的切线方 程 ， 解 减 函数
运用导数探究曲线的切线问题
运用导数探究曲线的切线问题山东 黄丽生导数与曲线的切线有缘，因为()0/x f的几何意义是曲线y=f (x)在点（x 0 ，f (x 0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。
曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
举例说明。
例1已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（1）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（2）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．分析：由题意点P 在曲线外，故求切线PM 、PN 的方程，须设出M 、N 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t 或导出矛盾。
解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 21)(x tx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x （ * ）22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ．（2）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． 把（*）式代入，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． 点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。
例谈利用导数求解曲线的切线问题
过点 Ｐ的切线的方程为
１
。
即 １ ２ ｘ － ３ ｙ －１ ６ ＝ Ｏ 。
１ ｔ ２
＝ Ｏ ， 解得 ｘ ｏ ＝ ２ 或Ｘ ｏ ＝ 一 １ 。
正解 ： 设切点坐标为 ｏ ， ｙ ｏ ） ，
则ｙ ’ ； ｌ ，
切 线 方 程 为 舻 ０ ） 。
．
故过点Ｐ 的切线方程为 ｝＝ ２ 一 ２ ） 或 ｝ （ 一 １ ） ＝ （ 一 １ ）
一
例题 ３ ． 已知两条 曲线 ｙ ＝ ｌ － ｘ 和ｙ ＝ ｘ ， 在 互相平行 ， 则３ ｇ ０ 的值为— — 。
处 的点 的切线
Ａ ． ０ 或一
Ｂ ． ０
Ｃ ． 一 争
Ｄ ． ０ 或一 睾
、
对切 线 问题 认 识 的 误 区
错解 ：两条 曲线在 。 处 的切线 的斜率分别 为 Ｉ ＝ 一 。 ，
第３ 期
中学课程辅导 ・ 教 学 研 究
２ ｏ ｌ ３
例谈利甩导数求解曲线的协线问题
＠ 殷
摘要 ： 随 着江苏高考改革的步伐 ， 我们发现导数部分 在 高考
数学试卷 中所 占的比例越 来越 大， 而利 用导数 求解曲线的切 线问
瑕
当Ｘ ｏ ＝ 一 １时， 切点 即为（ － １ ， 一 ） ， 切线方程为 １ ＋ ｌ ， 即３ ｘ 一 ３ ｙ ＋ ２ ＝ ０ ３ ． 切线不能穿过 曲线
(完整版)导数解曲线公切线问题
导数解公切线专题3 2151. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切,4则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或764446442.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b .3•求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程•变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程【答案】1 In2【解析】试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y =与圉数X x+1y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）,则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得3•求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程• 解：T y ' =x 2+2x — 2,•••切线斜率 k= y'x =1=3. •••切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0.变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程.y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以“ ja + 1ln(x n +1) =1口叫’解之得X ； 叼+131. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和yax 215 x 49都相切,则a 等于A .1或-64B .1 或 214C .-或-244 641.设过（1,0）的直线与y33x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为x o3x o 2(x X o )23x 0 x 2x 0，又（1,0）在切线上，则X 。
0或X 。
21525当X 0时，由y0与y axx 9相切可得 a4643」丄27 27 一2 15当X ）—时，由yx 与y ax X 9相切可得a24 442. ( 2016 年全国II理16) 若直线ykx b 是曲线 y In xy In (x 1）的切线，则b所以选A .考点：导数的几何意义•1,2的切线，也是曲线解设切点P (X。
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
导数中的切线问题.docx
第二轮解答题复习一一函数和导数（ 1）（求导和切线）1导数的几何意义是 2 •默写以下的求导公式：(c)'=(1)∖ Cx)' = (kx)' =X(χn )'= (e x )' = (Sin x)' = (COSx)' 口 X(a )' = (∣og a x)'=(In x)' 口3.写出求导的四则运算公式：(f(x) 一 g(x))' = (f(x) g(χ))'=(半)'= g(x)4•如何求复合函数的导数？例如求f (x) = In (X 2 - 2x)的导数。
5、 函数y =f （χ）在x o 处的切线方程是6、 基础题型说明一一切线：（1） 直接求函数在 x o 处的切线方程或者切线斜率； （2） 已知函数f （x,a ）在x 0处的切线求a 值； （3） 已知函数f （x,a, b ）在x 0处的切线求a , b 值三、强化训练：1、请对下列函数进行求导，并写出其定义域：2(1) f(x)=xln(x 1) (2) f(x)=ln(x -x)2、曲线y=x(3Inx+1)在点(1,1 )处的切线方程为 ________________3、若曲线y = kx + In X 在点(1, k)处的切线平行于 X 轴，则k= _________Sin X 1-4、曲线y= 在点M(—,0)处的切线 的斜率为Sin X +cosx 2 45 .若点P 是曲线y = X 2 — InX 上任意一点，则点 P 到直线y = x — 2的最小距离为26、已知曲线y=x7nx 在点1,1处的切线与曲线 y = ax ' a 2 x 1相切,则a=.(3)1 ln( X 1) -X(4) f X =e x -e 」-2x .(5)Xf (x) = e 2 -k(— In x)X Xf (x)=2xe I nx S i cκ7、过原点与y = In X 相切的直线方程是3& (15年21)已知函数f ( x ) =X ax(I )当 a 为何值时，X 轴为曲线y = f(x)的切线;Xbe9、( 14年21)设函数f (X )=ae ln x 十 ---------- 曲线y=f (x )在点(1, f (1))处得切线方程为y=e (X - 1)X+2. (I)求 a 、b ;10、( 13 年 21)已知函数 f (X ) = X 2+ ax + b , g (x ) = e x (cx + d ),若曲线 y = f (x )和曲线 y = g (x )都过点 P(0, 2),且在点 P 处有相同的切线 y = 4x +2(I)求 a , b , c , d 的值1 ,g(x) - - In X4来源 :]11、已知函数f(χ)=岂nx-,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x∙2y-3=0∙ x+1 X(I)求a , b的值；212、设f X =a X -5 j亠61 n X ,其中a R ,曲线y = f x在点1, f 1 处的切线与y轴相交于点0,6 ∙( 1)确定a的值；13、已知函数f (x) =、、X，g ( x) =alnx，a 三R。
第5讲利用导数研究函数的公切线问题 高考数学
试卷讲评课件
练2
若曲线f x = acosx与曲线g x = x 2 + bx + 3在交点 0, m 处有
6
公切线，则a + b + m =___.
【分析】若曲线 与曲线 在交点 , 处有公切线，则切点的
坐标相等且切线的斜率(切点处的导函数值)均相等，由此构造关于，
当 , 不是 的切点时，
设切点为 , − + ≠ ，
则 ′ = − + ，
试卷讲评课件
− +
所以
= − + ，得 = ，
所以
= − ，所以直线的方程为 = − .
=
+
= .
故选：
− = + − +
，则
= +
，即
试卷讲评课件
例2
已知f x =1 lnx，g x = x a ，若f x 与g x 的图象在交点处的切
−1
/e
线重合，则a =______.
e
【分析】设 与 的图象交点为 , ，再根据导数的几何意义
第5讲 利用导数求解函数的切线(3)
主讲人：某某某老师
某某学校
知识点一 利用导数求解公切线问题
知识点二 与公切线有关的参数问题
知识点一 利用导数求解公切线问题
试卷讲评课件
例1
若直线y = kx + b是曲线y = lnx + 2的切线，也是曲线
y = ln x + 1 的切线，则k =(
(完整版)导数解决切线问题的习题.doc
导数复习专题——切线问题例一：求曲线 y x33x21在点(1，1)处的切线方程变式一：已知函数变式二：已知函数y x33x ，过点A(0，16)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．y x33x ，过点A(2,2)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．例二：已知函数 f(x)=x3+3ax2-3b， g(x)=-2x2+2x+3(a ≠ 0)(1) 若 f(x)的图象与 g(x)的图象在 x=2 处的切线互相平行，求 a 的值；(2)若函数 y=f(x)的两个极值点 x=x1,x=x2恰是方程 f(x)=g(x)的两个根，求 a、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．变式二：设函数 y x3 ax2 9x 1 a 0 ，若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线12 x y 6 平行，求：（Ⅰ） a 的值; （Ⅱ）函数 f ( x) 的单调区间.例三：已知函数 y x3ax b a, b R（Ⅰ）若f ( x)的图像在 2 x 2 部分在 x 轴的上方，且在点(2, f 2 ) 处的切线与直线9x y 50 平行，求b的取值范围；（Ⅱ）当 x1 , x20,3，且x1x2时，不等式 f x1 f x2x1x2恒成立，求的3取值范围。
变式三：已知函数 f(x)=ax ，在 x=1 处取得极值为 2.2x b（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若函数 f(x)在区间（ m， 2m＋ 1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P（ x0，y0）为 f(x)=axl 与 f(x)=ax的图象相切于x 2图象上的任意一点，直线2b x b点 P，求直线l 的斜率的取值范围.课后练习：一：选择题1. 曲线 y 1 x2 2x 在点(1， 3 )处切线的倾斜角为 ( )2 2A. 1B. 45C. 45D.1352. 过点（－ 1， 0）作抛物线y x2 x 1 的切线，则其中一条切线为（）A.2 x y 2 0B. 3x y 3 0C. x y 1 0D. x y 1 0 3．已知函数f ( x) x2 (ax b)(a,b R) 在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1)) 处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数f(x) 的单调减区间为（）A. ,0B.（ 0， 2）C. 2,D. ,4. 曲线 y x( x 1)( x 2)...( x 50) 在原点处的切线，方程为（）A、y 1275 xB、y 50 2 x C. y 100x D、y 50! x曲线 y 1 x5. e2在点 (4， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. 9 e2B. 4e2C. 2e2D. e226. 设点 P 是曲线：y x3 3x b (b 为实常数 )上任意一点， P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A. 2 ,B.2 ,5C.［0, ］∪［ 5 , π］D.［ 0,2)∪［ 2 , π)3 6 2 6 37. 函数 y ax2 1的图象与直线y x 相切，则 a ＝( )1 1 1A．8 B．4 C．2 D． 1二：填空题nx) 在x 2 处的切线与a n1．正整数n，y x (1 y 轴交点的纵坐标为a n，则数列n 1 的前 n 项和的公式是2曲线ysin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为.x3. 函数 y f ( x) 的图象在点P处的切线方程是y x 8，则 f (5) f (5) =.94. 点 P 是曲线y x 2 ln x 上任意一点，则P 到直线y x 2 的距离的最小值为三：解答题1. 求曲线 ( x 1)2 ( y 3 )2 5 的切线，使该切线平行于直线 2 x y 82 41 2与 C2 2 1 2都相切，求直线l 的方程 .2. 已知曲线 C :y=x :y=－ (x－2) ,直线 l 与 C 、C3.已知函数（1）求曲线f (x) x3x ．y f (x) 在点 M (t， f (t)) 处的切线方程；（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线y f (x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．。
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导数解公切线专题
1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线
y
x 3
和 y ax 2
15
x 9 都相切，
4
则 a 等于
A ．
1 或 -
25
B ． 或
21
C ．
7 或 - 25
D ．
7 或 7 64
4 64
4
4
2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线
y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线
y ln( x
1) 的切线，则 b
．
3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .
变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .
． (2009年江西文
若存在过点 (1,0) 的直线与曲线
y
x 3 和
y ax 2
15
9 都相切，
1
12)
x
则 a 等于
4
． 或
21
或 -
25
7 或
A ． 1或 - 25
B
C ． 7
D ． 7
64
1
4
4
64
4
1. 设过 (1,0) 的直线与
3
3
3 2 y x
相切于点
0 0
，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 )
( x , x )
即 y 3x 0 2
x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ，
2
当 x 0
0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a
25 ，
3
27
27
4
15 64
当
x 0
时，由 y x
与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A .
2
4
4
4
2.（ 2016 年全国 II
理 16）若直线
y
kx b 是曲线 y ln x
2 的切线，也是曲线
y ln( x 1) 的切线，则 b
．
【答案】
1 ln2
考点： 导数的几何意义 .
3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .
解：∵ y ′=3x 2+2x － 2,
∴切线斜率
k= y ′|=3.
x=1
∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0.
变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解
设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0），
∵ y ′ =3x 2+2x －2，
y
·
O
A
x
∴切线斜率k=3 x02+2x0－2.
∴切线方程为
y－（ x03+x02－2x0）=(3 x02+2x0－ 2)(x－ x0) .
∵点 A 在切线上，
∴0－（ x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－ 2)(1－ x0)．即x03－ x02－ x0+1=0 ．
故(x0－ 1)2 ( x0+1 ）
=0．解得 x0=－ 1 或 x0= 1 ．
∴当 x0=－ 1 时，切线方程为x+y－ 1=0；
当x0=1 时，切线方程为３ x－y－３
=0．综上，曲线过点 A（ 1， 0）的切线方程
为
3x－ y－ 3=0 ，或 x+y－ 1=0.。