(完整版)导数解曲线公切线问题
导数解公切线专题
3 215
1. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切,
4
则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或7
6444644
2.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b .
3?求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程?
变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程
【答案】1 In2
【解析】
试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y =
与圉数
X x+1
y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）,
则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得
3?求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程? 解：T y ' =x 2+2x — 2,
???切线斜率 k= y'x =1=3. ???切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0.
变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程.
y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以
“ ja + 1
ln(x n +1) =1口
叫
’解之得
X ； 叼+1
3
1. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和y
ax 2
15 x 4
9都相切,
则a 等于
A .
1
或-64
B .
1 或 21
4
C .-或-24
4 64
1.设过（1,0）的直线与y
3
3
x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为
x o
3x o 2(x X o )
2
3x 0 x 2x 0
，又（1,0）在切线上，则X 。
0或X 。
2
15
25
当X 0时，由y
0与y ax
x 9相切可得 a
4
64
3」丄
27 27 一
2 15
当X ）
—时，由
y
x 与y ax X 9相切可得a
2
4 4
4
2. ( 2016 年全国II
理16) 若直线y
kx b 是曲线 y In x
y In (x 1）的切
线，
则b
所以选A .
考点：导数的几何意义?
1
,
2的切线，也是曲线
解设切点P (X。, X03+X02—2x0),
?/y' =3+2x —2,
???切线斜率k=3x o2+2x o —2.
???切线方程为y－(x03+x02－2x0)=(3x02+2x0－2)(x
－x0) .
???点A在切线上，
? 0—( x03+x02—2x0)=(3x02+2x0—2)(1—x0)．即
x03—x02—x0+1=0 ．
故(x0—1)2 ( x0+1 )=0．
解得x0= —1 或x0= 1 ．
?当x0=—1 时，切线方程为x+y—1=0；
当x o=i时，切线方程为3 x —y—3 =0.
综上，曲线过点A(1，0)的切线方程为
3x—y—3=0 ,或x+y—仁0.
y
O x
利用导数求切线的方程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案
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导数解公切线专题 1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切， 4 则 a 等于 A ． 1 或 - 25 B ． 或 21 C ． 7 或 - 25 D ． 7 或 7 64 4 64 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .
． (2009年江西文 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 9 都相切， 1 12) x 则 a 等于 4 ． 或 21 或 - 25 7 或 A ． 1或 - 25 B C ． 7 D ． 7 64 1 4 4 64 4 1. 设过 (1,0) 的直线与 3 3 3 2 y x 相切于点 0 0 ，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 ) ( x , x ) 即 y 3x 0 2 x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ， 2 当 x 0 0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a 25 ， 3 27 27 4 15 64 当 x 0 时，由 y x 与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A . 2 4 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 【答案】 1 ln2 考点： 导数的几何意义 . 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 解：∵ y ′=3x 2+2x － 2, ∴切线斜率 k= y ′|=3. x=1 ∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0. 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解 设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0）， ∵ y ′ =3x 2+2x －2， y · O A x
导数法巧解曲线的切线方程
导数法巧解曲线的切线方程 导数'0()f x 的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处切线的斜率，于是求曲线()y f x =的切线方程是导数的重要应用之一.用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率k ，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：'000()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,)P x y 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 一、已知切点，求曲线的切线方程 典例1、(2011年重庆文3)曲线32 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为（ ） A.31y x =- B.35y x =-+ C.35y x =+ D.2y x = 解：由题知，点(1,2)在曲线323y x x =-+上且为切点，所以'2'136,|3x y x x k y ==-+?==， 所以切线方程为23(1)y x -=-即31y x =-，选A. 点评：此类题较为简单，只须求出曲线的导数'()f x ，并代入点斜式方程即可． 二、已知斜率，求曲线的切线方程 典例2、与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） A.230x y -+= B.230x y --= C.210x y -+= D.210x y --= 解：设00(,)P x y 为切点，则切点的斜率为0'0|22x x y x ===．01x ∴=． 由此得到切点1,1（） ．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 点评：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代 入2 y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 三、已知曲线的切线方程求切点 典例3、（2010年全国卷2文数）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） A.1,1a b == B.1,1a b =-= C.1,1a b ==- D.1,1a b =-=-
用导数求切线方程的四种类型84657
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
导数解曲线公切线问题
导数解曲线公切线问题 Prepared on 24 November 2020
导数解公切线专题 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 3.求曲线y =x 3+x 2－2x 在点A (1,0)处的切线方程. 变式：求曲线y =x 3+x 2－2x 过点A (1,0)的切线方程. 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 1.设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为 320003()y x x x x -=- 即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032 x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564 a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594 y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-
导数之一：导数求导与切线方程
本章节知识提要 考试要求 1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 【知识点梳理】 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 ''' [()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) 【精选例题】 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
利用导数求切线的方程教案资料
利用导数求切线的方 程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．0或23- D ．23 - 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2 1,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A 、294e B 、22e C 、2e D 、22e 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C ． 2 D 6．曲线cos 16y ax x =+在2x π= 处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A ．2π- B ． 2 C ．2 π D ．2π- 7在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A ．2e 8．曲线31()(0)f x x x x =->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C ．．6
第II 卷（非选择题） 二、填空题 9．设曲线1y x =在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________. 10．曲线cos y x x =-在点,22ππ?? ??? 处的切线的斜率为___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12 y x b =+，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 14．已知函数()tan f x x =，则()f x 在点(,())44 P f ππ处的线方程为__________. 15．函数()x x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19．曲线1x y x = +在点11,2?? ???处的切线方程为__________． 三、解答题 20．求曲线3=y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式）
(完整版)导数解曲线公切线问题
导数解公切线专题 3 215 1. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切, 4 则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或7 6444644 2.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b . 3?求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程? 变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程
【答案】1 In2 【解析】 试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y = 与圉数 X x+1 y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）, 则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得 3?求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程? 解：T y ' =x 2+2x — 2, ???切线斜率 k= y'x =1=3. ???切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0. 变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程. y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以 “ ja + 1 ln(x n +1) =1口 叫 ’解之得 X ； 叼+1 3 1. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和y ax 2 15 x 4 9都相切, 则a 等于 A . 1 或-64 B . 1 或 21 4 C .-或-24 4 64 1.设过（1,0）的直线与y 3 3 x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为 x o 3x o 2(x X o ) 2 3x 0 x 2x 0 ，又（1,0）在切线上，则X 。 0或X 。 2 15 25 当X 0时，由y 0与y ax x 9相切可得 a 4 64 3」丄 27 27 一 2 15 当X ） —时，由 y x 与y ax X 9相切可得a 2 4 4 4 2. ( 2016 年全国II 理16) 若直线y kx b 是曲线 y In x y In (x 1）的切 线， 则b 所以选A . 考点：导数的几何意义? 1 , 2的切线，也是曲线
利用导数求函数切线方程
利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程
两条曲线的公切线问题
两条曲线的公切线问题 ?方法导读 在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解: (1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点; (2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率; (3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法: 设曲线在点处的切线为,整理得到: . 设曲线在点处的切线为,整理得到:. 由于与是相同直线(即与的公切线), 故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.
?高考真题 【2020·全国II卷理·20】已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线 的切线. ?解题策略 【过程分析】 本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为 ,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和 上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接); 然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都
有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为 ,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点; 第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即 (注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直 接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件 ,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为. 紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
导数之一：导数求导与切线方程
本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
函数图像的切线问题
函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ??? ?? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)， f (x 0)＝ g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又3 0003y x x =-，二者联立
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线 一. 求切线万程 【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1. (1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程； ⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x . (I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值； (n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围; (川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论) 【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」, ?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：. (n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °), 则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1), .g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1, .当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1). (rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切； 过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切. (6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒
导数专项：切线问题专项突破含详细解析答案
专项突破：切线问题思路汇总 第一点：基础准备 导函数的几何意义就是指在平面图形中，所表示的涵义，即： 00()()y f x x x x ==在处有定义且可导处的导数表示该处的切线斜率。 斜率的表达方式，高中数学讲了以下几种 21221121 0(1)tan ;[0,) (2),(,)(,)n (3)(,),k= (4)() k y y k x y x y x x a m n m k f x θθπ=-=-='=为直线的倾斜角，范围是和为直线上的两点，这两点的横坐标不相同若某直线的方向向量则这是在告诉考生 第二点：切线问题结构图 0000000000()(),()()(,)(3)y b f a x a y f x a b y '-=-'-=--=（1）题中说“在”点A(a,b)：该点必为唯一的切点，设切线方程为：即只需要求导数值就可以了；(2)题中说“过”点A(a,b)且该点不在f(x)上：思路是设切点(x ,y ),切线方程为：y x x ，将带入求出(x ,y )；切线问题题中说“过”点A(a,b)且该点在f(x)上：思路是设切点(x ,y ), 切线方程为：y 00000()()(,),a f x a b a ?????????'-?????? x x ，将带入求出(x ,y )；注：这种情况，解得的x 必有一个为也可能只有一个a,也可以除了 之外还有其他值，也就是说切线方程可能不唯一 综上：上述三种情况的关键在于：设切点，并求出切点坐标 第三点：有两句话，在有关于切线问题的时候经常用到，没有思路的时候就要默念这两句话： 函数在该点处的导数值为切线方程的斜率； 切点既在切线上同时也在曲线上，可以将其带入到这两个方程； 习题巩固： 11. 2.(1)(1)______2 x f f '++=已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y=则 3142.33 (1)(2,4)(2)(2,4)y x P P =+已知曲线求曲线在点处的切线方程求过点的切线方程
利用导数求切线方程
切线方程的求法 ●基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间； 2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区 间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数'()f x ； 2) 求方程'()0f x =的所有实数根； 3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则() f x 在这个根处取得极大（小）值. 三、 求函数最值 1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目 的. 2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. ●解题方法总结和题型归类 1导数的几何意义及切线方程的求法 1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【题】求过曲线cos y x =上点1 (,)32 P π且与在这点的切线垂直的直线方程. 【答案】：22032 x π--+= 【难度】* 【点评】
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．