2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：1．在空间直角坐标系中，已知点(2A ，1，3)，(4B -，3，0)，则A ，B 两点间的距离是()A ．5B ．6C ．7D ．82．命题“1x ∀ ，2210x x -+ ”的否定是()A ．01x ∃ ，20210x x -+<B ．01x ∃<，20210x x -+<C ．01x ∃ ，20210x x -+ D ．01x ∃<，20210x x -+ 3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是()A ．p q ∧．B ．p q⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q∨4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是()A ．4y x=±B ．2y x=±C ．14y x=±D ．12y x=±5．若圆221:(1)(1)1C x y -+-=与圆2222:(2)(3)C x y r +++=外切，则正数r 的值是()A ．2B ．3C ．4D ．66．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切”的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，点(0,)B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为()A B C ．2D ．38．已知过点(1,2)-的直线l 与圆22(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长||AB 的取值范围是()A ．[4，10]B ．[3，5]C ．[8，10]D ．[6，10]9．经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为()A ．23-B ．23C ．32-D ．3210．已知圆22:(2)25(M x y M -+=为圆心，点(2,0)N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是()A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且12||8F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为()A ．9B ．18C ．25D ．5012．已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(2)(1)4C x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点．若动点P 在直线0x y +=上，则||||PA PB +的最小值为()A ．3B ．522C 3D 3-二、填空题：13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则实数k =．14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是．（结果用一般式表示）15．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，动点M 在椭圆上，则||MF 的取值范围是．16．给出下列说法：①方程2(1)0y -=表示的图形是一个点；②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点0(A x ，0)y ，0(B x -，0)y -，若点(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 为定值22b a-．其中说法正确的序号是．三、解答题：17．已知直线1:24l y x =+，直线2l 经过点(1,1)，且12l l ⊥．（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC ∆的面积．18．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：若存在0x R ∈，使得02sin 0m x -=成立（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．19．已知圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上．（1）求圆C 的方程（2）从原点向圆C 作切线，求切线方程及切线长．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为2．（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求C 的标准方程．21．已知直线1:0()l x my m R +=∈，2:240()l mx y m m R --+=∈．（1）若直线1l ，2l 分别经过定点M ，N ，求定点M ，N 的坐标；（2）是否存在一个定点Q ，使得1l 与2l 的交点到定点Q 的距离为定值？如果存在，求出定点Q 的坐标及定值r ；如果不存在，说明理由．22．已知椭圆C长轴的两个端点分别为(2,0)A-，(2,0)B，离心率32e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）作一条垂直于x轴的直线，使之与椭圆C在第一象限相交于点M，在第四象限相交于点N，若直线AM与直线BN相交于点P，且直线OP的斜率大于25，求直线AM的斜率k的取值范围．2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．在空间直角坐标系中，已知点(2A ，1，3)，(4B -，3，0)，则A ，B 两点间的距离是()A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：由两点间的距离公式，计算得||7AB ==．故选：C ．2．命题“1x ∀ ，2210x x -+ ”的否定是()A ．01x ∃ ，20210x x -+<B ．01x ∃<，20210x x -+<C ．01x ∃ ，20210x x -+ D ．01x ∃<，20210x x -+ 【解答】解：命题为全称命题，则命题“1x ∀ ，2210x x -+ ”的否定是“01x ∃ ，200210x x -+<”．故选：A ．3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是()A ．p q ∧．B ．p q⌝∨C ．p q⌝∧⌝D ．p q∨【解答】解：由q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可知p q ∨为真．故选：D ．4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是()A ．4y x=±B ．2y x=±C ．14y x=±D ．12y x=±【解答】解：根据题意，双曲线的方程为线22125100x y -=，则其焦点在x 轴上，且5a =，10b =，其渐近线方程为2y x =±；故选：B ．5．若圆221:(1)(1)1C x y -+-=与圆2222:(2)(3)C x y r +++=外切，则正数r 的值是()A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆2222:(2)(3)C x y r +++=，1C ∴坐标为(1,1)，半径为1，2C 坐标为(2,3)--，半径为r ，∴1212||14C C r r r r =+=+⇒=，故选：C ．6．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切”的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切，则|1|21d r d c c =⇒==⇒+=⇒=或3c =-，所以为充分不必要条件．故选：B ．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，点(0,)B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为()A B C ．2D ．3【解答】解：由已知可得22a b a b =⇒=，⇒22222222222c a c a c a e e a=-⇒=⇒=⇒=⇒．故选：A ．8．已知过点(1,2)-的直线l 与圆22(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长||AB 的取值范围是()A ．[4，10]B ．[3，5]C ．[8，10]D ．[6，10]【解答】解：由直线恒过定点(1,2)P -，圆心(1,2)C ，则当CP l ⊥时弦长最短，此时由222||||()||62min AB CP r AB +=⇒=，再由l 经过圆心时弦长最长为210r =，得||[6AB ∈，10]．故选：D ．9．经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为()A ．23-B ．23C ．32-D ．32【解答】解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⋯⎪⎪⎨⎪+=⋯⎪⎩①②，由②-①可得22222121032x x y y --+=⇒21212121()()()()032x x x x y y y y +-+-+=⇒212121212()3()y y x x x x y y -+=--+，经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，2p x =，2p y =，则222323pp x k y ⨯=-=-⨯．故选：A ．10．已知圆22:(2)25(M x y M -+=为圆心，点(2,0)N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是()A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【解答】解：由已知可得||||||5AM AP PM r =+==，由||||AP PN =，||||5||4PM PN MN +=>=，则P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆．故选：B．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且12||8F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为()A ．9B ．18C ．25D ．50【解答】解：由已知可得28c =，4204a c =⇒=，12253tan92PF F a b S b θ=⇒=⇒== ．故选：A ．12．已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(2)(1)4C x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点．若动点P 在直线0x y +=上，则||||PA PB +的最小值为()A ．3BC 3D 3-【解答】解：由112212||||||||||||3PA PB PC r PC r PC PC +-+-=+- ，且点1(1,1)C 关于直线0x y +=对称的点为(1,1)C --，如图所示；则1222||||||||||PC PC PC PC CC +=+= ，所以||||PA PB +3．故选：D ．二、填空题：13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则实数k =2．【解答】解：根据题意，双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则该双曲线的焦点在x 轴上，且c =则有46k +=，解可得2k =；故答案为：2．14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是20x y +-=．（结果用一般式表示）【解答】解： 两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，∴公共弦所在直线方程为22222()x y x y x y +--+--，即20x y +-=，故答案为：20x y +-=．15．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，动点M 在椭圆上，则||MF 的取值范围是[2，6]．【解答】解：由已知椭圆22:11612x y C +=可得4a =，2c =，||[MF a c ⇒∈-，]||[2a c MF +⇒∈，6]．故答案为：[2，6]．16．给出下列说法：①方程2(1)0y -=表示的图形是一个点；②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点0(A x ，0)y ，0(B x -，0)y -，若点(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 为定值22b a-．其中说法正确的序号是①②④．【解答】解：①由101101x x y y ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨-==⎪⎩⎩表示点(1,1)-所以①正确；②逆否命题为“若1x =且1y =-，则0x y +=”为真，则原命题为真，所以②正确；③根据已知焦点弦实轴最短，同支焦点弦通径最短，满足条件的直线只有2条，所以③不正确；④由已知可得220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-=⨯=-+- ，由220022222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22222220002222200x x y y y y b a b x x a ---+=⇒=--则2122b k k a=- ，所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题：17．已知直线1:24l y x =+，直线2l 经过点(1,1)，且12l l ⊥．（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC ∆的面积【解答】解：（1）由题意可设21:2l y x b =-+，将(1,1)代入上式，解得32b =，即213:22l y x =-+（或写成230)x y +-=．（2）在直线1:24l y x =+中，令0y =，得2x =-，即(2,0)A -，在直线213:22l y x =-+中，令0y =，得3x =，即(3,0)B ，解方程组241322y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得1x =-，2y =，即(1,2)C -，则ABC ∆底边AB 的长为||3(2)5AB =--=，AB 边上的高为2C y =，故1||||52ABC C S AB y ∆== ．18．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：若存在0x R ∈，使得02sin 0m x -=成立（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）若命题P 为真命题，则310m ->，并且30m -<，即m 的取值范围是133m <<，（2）若命题q 为真命题，则02sin m x =有解，得22m - ，又“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则P 、q 两个命题一真一假，若P 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<，若P 假q 真，则13322m m m ⎧⎪⎨⎪-⎩或 ，解得123m - ．综上，实数m 的取值范围为1[2,](2,3)3- ．19．已知圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上．（1）求圆C 的方程（2）从原点向圆C 作切线，求切线方程及切线长【解答】解：（1）根据题意，圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，则圆心在MN 的中垂线2y x =-上又在已知直线:240l x y +-=上，则有2240y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解可得20x y =⎧⎨=⎩，即圆心坐标为(2,0)C ，则圆的半径||1r MC ==；所求圆的方程为：22(2)1x y -+=；（2）根据题意，从原点向圆C 作切线，当切线斜率不存在时，不与圆C 相切，当切线斜率存在时，设直线方程为y kx =，代入22:430C x y x +-+=得22()430x kx x +-+=，即22(1)430k x x +-+=，令△22(4)43(1)0k =--⨯+=，解得33k =±，即切线方程为33y x =±．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为2．（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求C 的标准方程【解答】解：（1）因为双曲线2222:1x y C a b-=的实轴长为2，即22a =，则1a =，又双曲线一条渐近线方程为2y x =，即2b a=，所以2b =．（2）双曲线定义可得：12||||||22PF PF a -==，又12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，所以：12||||18PF PF =，且22221212||||||4PF PF F F c +==，所以22221212124||||(||||)2||||40c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，故210c =，所以21019b =-=，因此，3b =；故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=．21．已知直线1:0()l x my m R +=∈，2:240()l mx y m m R --+=∈．（1）若直线1l ，2l 分别经过定点M ，N ，求定点M ，N 的坐标；（2）是否存在一个定点Q ，使得1l 与2l 的交点到定点Q 的距离为定值？如果存在，求出定点Q 的坐标及定值r ；如果不存在，说明理由【解答】解：（1）由1:0l x my +=，当m R ∈，令0y =，得0x =，所以(0,0)M ；由2:240l mx y m --+=，化为(2)(4)0m x y ---=，令2040x y -=⎧⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，所以(2,4)N ；（2）解法一：由1l 可知当0y ≠时，得：xm y=-代入2l ，2240x x y y y--++=整理得：22240(0)x y x y y +--=≠可得交点P 一定在圆：22(1)(2)5x y -+-=上故满足条件的定点Q 为(1,2)，定值r =解法二：由0m =时两直线垂直，0m ≠时，121k k =- ，即两条直线始终垂直，又1l 过定点(0,0)M ，2l 过定点(2,4)N 则1l 与2l 的交点在以(0,0)M 和(2,4)N 为直径端点的圆周上可得交点P 一定在圆：22(1)(2)5x y -+-=上故满足条件的定点Q 为(1,2)，定值r =22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为(2,0)A -，(2,0)B，离心率e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）由已知椭圆C 长轴的两个端点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，得2a =，再由e =c =，又222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设0(M x ，0)y ，其中002x <<，001y <<，则0(N x ，0)y -，∴002AM y k x =+，002BN y k x =-，则直线AM 为：00(2)2y y x x =++：直线BN 为：00(2)2y y x x =--，由0000(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：00024(,y P x x ，∴000022425OP y x y k x ==>，∴0415y <<，∴00002y k x ==+t =，3(0,)5t ∈，则0y =∴111222k ===， 3(0,)5t ∈，∴25(,2)14t ∈+，∴111(,242，即11(,)42k ∈．。
2019-2020学年蓉城名校联盟高二下学期期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年蓉城名校联盟高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z(2−i)=11+7i，则z=()A. 3+5iB. 3−5iC. −3+5iD. −3−5i2.下列命题中，真命题是()A. 存在B. 是的充分条件C. 任意D. 的充要条件是3.函数f(x)=e x sinx的图象在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A. π2B. 0C. 钝角D. 锐角4.一个三棱锥的三视图如图所示．则该三棱椎的表面积是()A. 2+√3B. 1+√3C. 1+2√2D. 2√25.将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的图象的一条对称轴为()A. x=π9B. x=π8C. x=π2D. x=π6.已知函数f(x)的定义域为，其导函数f＇(x)的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是()①恒成立；②； ③；④>；⑤<．A. ①③B. ①③④C. ②④D. ②⑤7. 设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，下列命题正确的是( )A. 若l 1//l 2，则A 1B 1=A2B 2 B. 若A 1B 2=A 2B 1，则l 1//l 2 C. 若l 1⊥l 2，则A 1B 1⋅A2B 2=−1 D. 若A 1A 2+B 1B 2=0，则l 1⊥l 28. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+2=a n+1−a n ，n ∈N ∗，利用如图所示的程序框图计算该数列的第n 项(n ≥3)，若输出S 的结果为1，则判断框内的条件可能是( )A. n ≤5？B. n ≤6？C. n ≤7？D. n ≤8？9. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ，g(x)=xe 1−x (a ∈R,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的x 0∈(0,e]，在(0,e]上总存在两个不同的x i (i =1,2)，使得f(x i )=g(x 0)成立，则a 的取值范围是( )A. (−∞,2e−5e−1] B. (−∞,2e−2e] C. (2e−2e,2)D. [2e−5e−1,2e−2e)10. 已知函数f(x)的导函数=a(x +1)(x −a)，若f(x)在x =a 处取得极小值，则 a 的取值范围是( )A.B.C. −1<a <0D. a >0或a <−111.设y=lnx−8x2，则此函数在区间(14,12)和(1,+∞)内分别()A. 单调递增，单调递减B. 单调递增，单调递增C. 单调递减，单调递增D. 单调递减，单调递减12.已知椭圆x24+y2n=1与双曲线x28−y2m=1有相同的焦点，则动点P(n,m)的轨迹为()A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 直线的一部分二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x+1x，则f′(x)______ ．14.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为______．15.在区间[−2√3,2√3]上随机取一个数k，使直线y=kx+2与圆x2+y2=1相交的概率为______．16.已知函数f(x)=e ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a，则a=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=4ax−sinx+2axcosx，(a∈R)．(1)若a=14，当x∈(0,π)时，证明：f(x)<π2；(2)若当x∈[0,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．18.一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：时间t 与答对人数y 的散点图如图：附：∑t i 2=38500，∑y i =342，∑lgy i =13.5，∑t i y i =10960，∑t i lgy i =620.9，对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，……，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=∑u i n i=1v i −nu −v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂u −.请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，y =at +b 与lgy =ct +d ，哪个更适宣作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果，建立y 与t 的回归方程；(数据保留3位有效数字)(3)根据(2)请估算要想记住75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍．(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且b 2+c 2−a 2=bc ．(I)已知_______，计算△ABC 的面积；请从①a =√7，②b =2，③sinC =2sinB 这三个条件中任选两个，将问题(I)补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．(Ⅱ)求cosB +cosC 的最大值．20.(本小题满分12分)如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且．(1)求证：；(2)求直线BD与面AＣＤ所成角的大小．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B到两焦点的距离和为4，离心率e=√32(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点A为椭圆C的右顶点，过点A作相互垂直的两条射线，与椭圆C分别交于不同的两点M，N(M,N不与左、右顶点重合)，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22.已知函数f(x)=lnx−x+1．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)设a≥1，函数g(x)=x2−3ax+2a2−5，若对于任意x0∈(0,1)，总存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵z(2−i)=11+7i，∴z=11+7i2−i=(11+7i)(2+i)(2−i)(2+i)=22+14i+11i+7i25=3+5i．故选A．，再利用复数的代数形式的乘除运算，能求出z．由z(2−i)=11+7i，知z=11+7i2−i本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：B解析：试题分析：A项：;B项：是的充分条件，正确；C项：；D项：，但，错误.故选B．考点：1.命题的真假；2.充要条件；3.指、对函数单调性．3.答案：C解析：解：由题意得，f′(x)=e x sinx+e x cosx=e x(sinx+cosx)，∴在点(3,f(3))处的切线的斜率是k=e3(sin3+cos3)，)<0，∵sin3+cos3=√2sin(3+π4∴k=e3(sin3+cos3)<0，则对应切线的倾斜角是钝角，故选C．由求导公式和法则求出导数，把x=3代入再求出切线的斜率，再由两角和的正弦公式化简，判断出斜率的符号，即得答案．本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率的关系，以及两角和的正弦公式应用，主要利用某点处的切线的斜率是该点出的导数值．4.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如下：该几何体为三棱锥，其中△ABC，△BCD为全等的等腰直角三角形，AB=AC=BD=CD=√2，侧面ABC⊥底面BCD，则S△BCD=S△ABC=12×√2×√2=1，由三视图可得，△ABD与△ADC是边长为√2的等边三角形，则S△ABD=S△ADC=12×√2×√2×sin60°=√32．∴该三棱椎的表面积是2+√3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中△ABC，△BCD为全等的等腰直角三角形，△ABD与△ADC是边长为√2的等边三角形，由三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.答案：C解析：本题考查三角函数的平移变换，以及余弦函数的性质，属于基础题．通过函数y=cos(x−π3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．函数y=cos(x−π3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为y=cos(12x−π3 )，再向左平移π6个单位得到函数为y=cos(12x−π3+π12)=cos(12x−π4)，所得函数的图象的一条对称轴为x=π2．故选C．6.答案：D解析：试题分析：由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且是递减的速度是先快后慢，所以函数的图像称下凸形状。
四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学(理)试题
绝密★启用前四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是（ ） A ．5B ．6-C ．7D ．82．命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）A ．01x ∃≥，200210x x -+<B ．01x ∃<，200210x x -+<C ．01x ∃≥，200210x x -+≤ D ．01x ∃<，200210x x -+≤3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是（ ）A ．4y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．12y x =±5．若圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=外切，则正数r 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．66．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，点()0,B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D ．38．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,109．经过点()1,1P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．3210．已知圆M ：()22225x y -+=（M 为圆心），点()2,0N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是（ ） A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线11．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为（ ） A ．9B ．18C ．25D ．5012．已知圆1C ：()()22111x y -+-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动员.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为（ ）A ．3BC 3D 3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为)，则实数k =________.14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示）15．已知定点()2,0A -，()2,0B ，若动点M 满足8MA MB +=，则MA 的取值范围是__________.16()210y -=表示的图形是一个点；②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>上有两点()00,A x y ，()00,B x y --，若点(),P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值22b a-；⑤已知命题“x ∃，y R ∈满足224x y +=，23y m x -≤-”是真命题，则实数2m ≤.其中说法正确的序号是__________. 三、解答题17．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线：命题q ：若存在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得02tan 0m x -=成立.（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 18．已知直线1l ：24y x =+，直线2l 经过点()2,1. （1）若12l l ⊥，求直线2l 的方程；（2）若2l 与两坐标轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最小值（其中O为坐标原点）.19．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线l ：240x y +-=上. （1）求圆C 的方程；（2）从y 轴上一个动点P 向圆C 作切线，求切线长的最小值及对应切线方程.20．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的实轴长为2.（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，求C 的标准方程.21．已知直线1l ：()0x my m R +=∈，2l ：()240mx y m m R --+=∈. （1）求证：无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交； （2）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程C .22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ， 离心率e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得7AB ==.故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥，200210x x -+<”.故选：A. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】由双曲线的方程，求得5,10a b ==，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由双曲线22125100x y -=，可得2225,100a b ==，即5,10a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为2by x x a=±=±. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=， 可得圆心坐标分别为12(1,1),(2,3)C C --，半径分别为121,r r r ==，又由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+1r =+，解得4r =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质，根据12BA A ∆为等腰直角三角形，求得a b =，得到222c a =，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，三角形12BA A 为等腰直角三角形，可得a b =，即22a b =，又由222c a b =+，所以222a c a =-，即222c a =，所以222ca=，即22e =，又因为1e >，所以双曲线的离心率e =故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9．A 【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率. 【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，可得22222121032x x y y --+=，整理得()()()()21212121032x x x x y y y y +-+-+=， 所以()()2121212123x x y y k x x y y +-==-+，又由P 为MN 的中点，可得12122,2x x y y +=+=，则222323k ⨯=-=-⨯， 即直线l 的斜率为23-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】由线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =，得到5PM PN +=，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =， 又由5AM AP PM r =+==，即54PM PN MN +=>=， 根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆. 故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．A 【解析】 【分析】由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222121064PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求得1218PF PF =，进而求得直角12PF F ∆的面积，得到答案. 【详解】由题意，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，三角形2PQF 的周长为20， 根据椭圆的定义，可得420a =，解得5a =， 又由128F F =，即28c =，解得4c =，又由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222212210(1)(2)64(2)PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩， 由2(1)(2)-，可得1218PF PF =，所以直角12PF F ∆的面积为12192S PF PF ==. 故选:A 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得12PF PF 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到1222PC PC PC PC CC +=+≥，即可求解. 【详解】由题意，点动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上， 线段MN 的中点为P ，可得点P 在直线0x y +=上，又由1122123PA PB PC r PC r PC PC +≥-+-=+-，点()11,1C 关于直线0x y +=对称的点()1,1C --，则1222PC PC PC PC CC +=+≥=所以PA PB +3.故选：D【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．2【解析】【分析】由双曲线方程，得到22,4a k b ==，根据222c a b =+，即可求解.【详解】 由双曲线2214x y k -=，可得22,4a k b ==， 又由222c a b =+，即46k +=，解得2k =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用222c a b =+，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14．20x y +-=【分析】根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案.【详解】由题意，圆2220x y +-=，220x y x y +--=，两圆方程相减，可得直线方程为20x y +-=，即两圆的公共弦所在直线的方程为20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．[]2,6【解析】【分析】由根据椭圆的定义，得到点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再由根据椭圆的性质，得到[],MA a c a c ∈-+，即可求解.【详解】由题意，动点M 满足84MA MB AB +=≥=，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且28,24a c ==，解得4a =，2c =， 根据椭圆的性质，可得[],MA a c a c ∈-+，即[]2,6MA ∈.故答案为：[]2,6.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的几何性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．①②④【分析】利用曲线与方程可判定①是正确；根据四种命题的关系，可得②是正确的；根据双曲线的几何性质，可得③是不正确的；根据直线与椭圆的位置关系，可判定④是正确的；直线与圆的位置关系，可判定⑤是不正确的，得到答案.【详解】()210y-=，可得1010xy+=⎧⎨-=⎩，解得11xy=-⎧⎨=⎩，即方程表示的图形是一个点()1,1-，所以是正确的；对于②中，根据四种命题的定义，可得命题“若0x y+≠，则1x≠-或1y≠”的逆否命题为“若1x=且1y=-，则0x y+=”为真，所以原命题为真，所以是正确的；对于③中，根据双曲线的性质，可得两支总实轴最短，最短为24a=，同支焦点弦通径最短，最短为224ba=，所以满足条件的直线只有2条，所以不正确；对于④中，由已知可得220001222000y y y y y yk kx x x x x x-+-⋅=⨯=-+-，又由220022222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得222222200022222x x y y y y ba b x x a---+=⇒=--，则2122bk ka⋅=-，所以是正确的；对于⑤中，令23ykx-=-，即23y kx k-=-，数形结合，如图所示，2≤，解得120,5k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又由由已知可得23ymx-≤-存在成立，则125m≤，所以不正确.综上可得：正确命题的序号为：①②④.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，其中解答中涉及双曲线的几何性质，四种命题的关系，直线与圆的位置关系的应用等知识点的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.17．（1）133m <<；（2）()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由方程表示焦点在x 轴上的双曲线，得到31030m m ->⎧⎨-<⎩，即可求解； （2）由（1）中命题p 为真命题时，得到133m <<，再求得命题q 为真命题，得到22m -≤≤，结合“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得p 、q 两个命题一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线， 则满足31030m m ->⎧⎨-<⎩，解得133m <<， 即命题p 为真命题时，实数m 的取值范围是133m <<. （2）若命题q 为真命题，则02tan m x =在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，解得22m -≤≤， 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 两个命题一真一假，若p 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<；若p 假q 真，则13322m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或，解得123m -≤≤， 综上，实数m 的取值范围为()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题,p q ，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．（1）122y x =-+；（2）4. 【解析】【分析】（1）设直线2l 的方程为12y x b =-+，代入点()2,1，求得2b =，即可求解直线的方程； （2）设为斜率为()0k k <，得到2l 的方程为()12y k x -=-，求得其在坐标轴上的截距，得出面积的表示，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，可设直线2l 的方程为12y x b =-+ 又由直线经过()2,1点，代入可得1122b =-⨯+，解得2b = 即直线2l 的方程为122y x =-+. （2）由题意可知，直线2l 的斜率存在且小于0，设为斜率为()0k k <，可得2l 的方程为()12y k x -=-，令0x =，可得2l 与y 轴的交点为()0,21Q k -+令0y =，可得2l 与x 轴的交点为12,0P k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中k 0< 故三角形OPQ 的面积()112122S k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()1222k k ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2≥+=4（当且仅当12k =-时等号成立） 即三角形OPQ 的面积最小值为4【点睛】本题主要考查了直线方程的求解及应用，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用两条直线的位置关系，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（1）()2221x y -+=；（2）min d =，y x =. 【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题设条件，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求得圆的方程；（2）利用圆的切线长公式22221PC d r d =+=+，结合直线与圆的位置关系，分类讨论，即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，可得930D F ++=， ……① 520D E F +++=，……②又由圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，即402E D ---=，……③ 由①②③，可解得4D =-，0E =，3F =，所以圆C 的方程为：22430x y x +-+=，即圆C 的方程()2221x y -+=.（2）对于动点P ，设切线长为d ，则22221PC d r d =+=+， 所以要使得切线长最短，必须且只需PC 最小即可，最小值为圆心()2,0到y 轴的距离，此时距离为2，故切线长的最小值为min d ==P 点为原点， 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切；当斜率存在时，设直线方程为y kx =,代入圆C ：22430x y x +-+=，可得()22430x kx x +-+=，即()221430k x x +-+=,令()()2244310k ∆=--⨯+=，解得k =,故切线方程为3y x =±【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的方程，以及合理应用直线与圆的位置关系，合理判定与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．（1）2；（2）2219y x -=. 【解析】【分析】（1）由双曲线C 的实轴长为2，求得1a =，再由渐近线方程为2y x =，得到2b a=，即可求解；（2）由12PF PF ⊥和12PF F △的面积为9，求得1218PF PF =，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解3b =，得到双曲线的方程.【详解】 （1）由题意，双曲线C ：22221x y a b-=的实轴长为2，即22a =，则1a =， 又由双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以2b a=，可得22b a ==.（2）由双曲线定义可得1222PF PF a -==，又因为12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为9，即121182PF PF ⨯=， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +== 又由()2221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，解得210c =，所以2221019c a b =-==-，解得3b =，故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．（1）证明见解析；（2）()222400x y x y y +--=≠. 【解析】【分析】（1）当0m =时，求得两直线有交点()0,4，当0m ≠时，分别求得直线12,l l 的斜率，判定得到两直线斜率不可能相等，即可得到结论；（2）由直线1l 的方程，当0y ≠时，求得x m y=-，代入2l ，整理可得轨迹方程，再验证当0y =时，适合题意，即求解.【详解】（1）由题意，当0m =时，1l :0x =，2l ：4y =，两直线有交点()0,4；当0m ≠时，直线()1:0l x my m R +=∈斜率为11k m=-， 直线()2:240l mx y m m R --+=∈的斜率2=k m ，令12k k =，即1m m-=，此时方程无解，即故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交， 综上可得，无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交.（2）由直线()1:0l x my m R +=∈，当0y ≠时，可得x m y=-， 代入直线()2:240l mx y m m R --+=∈，可得2240x x y y y--++= 整理得()222400x y x y y +--=≠ 当0y =时，由()1:0l x my m R +=∈，得0x =，此时交点坐标为()0,0，满足上式， 综上可得，点P 点轨迹方程为：()222400x y x y y +--=≠. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及合理分类讨论，利用代入法求解曲线的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．（1）2214x y +=；（2）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用已知条件，求得,a c ，再由222b a c =-，求得b 的值，即可求解；（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，求得直线,AM BN 的方程，联立方程组，求得点P 的坐标，得出直线OP 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率k 的取值范围.【详解】（1）由题意知，椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ，可得2a =，又由e =2c a =，可得c =，又因为2222221b a c --===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，由斜率公式，可得002AM y k x =+，002BN y k x =-， 所以直线AM 的方程为()0022y y x x =++；直线BN 的方程为()0022y y x x =--， 联立方程组()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得00024,y x y x x ==，即点00024,y P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以000022425OPy x y k x ==>，即0415y <<，又由)002000224y y k x y ====+-t =，30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y =所以111222k ====， 因为30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25,214t ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，则111,242⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,42k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即实数直线AM 的斜率k 的取值范围11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率k 的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
2019-2020学年成都市蓉城名校联盟高二下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年成都市蓉城名校联盟高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)，则1z =( )A. 38−18iB. 110−310iC. 34−14iD. 310−110i2.设集合M ={x|(x −1)(x +2)<0}，N ={x ∈Z||x|≤2}，则M ∩N =( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {0,1，2}3.若点A(x,y)是−1380°角的终边与单位圆的交点，则yx 的值为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√334.若变量x 、y 满足约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1，则z =2x +3y 的最小值为( )A. 17B. 14C. 5D. 35.设对n ∈N ∗，f(n)=1+12+13+14+⋯+1n +⋯+12n ，若M =f(2017)−f(2016)，则( )A. M =122017B. M <122017C. 122017<M <1D. M >16.已知f(x)={x +4,x <0x −4,x >0，则f[f(−3)]的值为( )A. 3B. 2C. −2D. −37.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知A =105°，C =45°，c =√2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 28.以下给出对流程图的几种说法，其中正确说法的个数是( )①任何一个流程图都必须有起止框②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框之后 ③判断框是唯一一个具有超过一个退出点的符号．A. 0B. 1C. 2D. 39.设棱长为a 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是( )A. ℎ=R +rB. R =3rC. r =√612a D. R =√63a10. 已知函数，当时，函数上均为增函数，则的取值范围是( )A.B.C.D.11. 设A 、P 是椭圆x 22+y 2=1两点，点A 关于x 轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP 、BP 分别交x 轴于点M 、N ，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 0 B. 1C. √2D. 212. 已知关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0的解集为(a,b)，其中a >0，若该不等式在(a,b)中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围( )A. (12,2−ln23]B. [12,2−ln23)C. (14,2−ln23]D. [14,2−ln23)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线l ：{x =1+t,y =3+at,(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是______． 14. 一组数据6，7，7，8，7的方差S 2= ______ ．15. 已知一个圆内接正方形，向圆内部随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内部的概率是______． 16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e =2， (1)双曲线的渐近线方程为______ ；(2)过双曲线上一点M 作直线AM ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为是k 1，k 2，若直线AB过原点O ，则k 1⋅k 2的值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=lnx1−x ，ϕ(x)=(x −1)2⋅f′(x)(1)若函数ϕ(x)在区间(3m,m +12)上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0,1)，恒有(1+x)⋅f(x)+2a <0(a >0)，求实数a 的取值范围．18. 西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布直方图． (Ⅰ)试估计这批树苗高度的中位数；(Ⅱ)用频率代替概率，从这批树苗中任取3株树苗，用X 表示取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数，求X 的分布列和期望．19. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱AA 1的中点．问：在棱A 1D 1上是否存在点N ，使得C 1N//面B 1MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆x 236+y 29=1，求以P(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程．21. 已知函数f(x)=−4lnx −12ax 2+x ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若a =−12，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)设函数g(x)=−13x 3+12(a +2)x 2+2(a +4)x ，存在两个整数m 、n ，使得函数f(x)，g(x)在区间(m,n)上都是增函数，求n 的最大值，及n 取最大值时a 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+ty =−1+mt(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ4sinθ=1 (1)写出曲线C 1，C 2的直角坐标方程(2)若曲线C 1，C 2有且只有一个交点，求实数m 的值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)， ∴1z =13+i=3−i (3+i)(3−i)=3−i 10=310−110i ．故选：D ．由复数的几何意义得1z =13+i ，再由复数的运算法则能求出结果．本题考查复数的求法，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|(x −1)(x +2)<0}={x|−2<x <1}， N ={x ∈Z||x|≤2}， 则M ∩N ={−1,0}， 故选：A ．解出关于M 的不等式，求出M 、N 的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．3.答案：A解析：解：由tan(−1380°)=−tan(4×360°−60°)=tan60°=√3． 故yx =√3， 故选：A ．求y x 的值，即tan(−1380°)的值，利用诱导公式即可求解．本题考查了正切值的意义，考查诱导公式的应用，考查直线和圆的关系，是一道基础题．4.答案：C解析：解：约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1的平面区域如图所示：由图可知，当x =1，y =1时，目标函数z =2x +3y 有最小值为5 故选C我们先画出满足约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值． 本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5.答案：C解析：解：对n ∈N ∗，f(n)=1+12+13+14+⋯+1n +⋯+12n ， M =f(2017)−f(2016)=122016+1+122016+2+⋯+122017，由M <122016⋅22016=1，M >122017， 可得122017<M <1． 故选：C ．利用已知条件，结合函数的性质，推出结果即可． 本题考查数列的函数的性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：D解析：本题主要考查分段函数的解析式特征与所求不等式的结构，属于较易题..由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f(−3)]，必须先计算f(−3)进而即可得到答案． 解析：解：由题意可得：f(x)={x +4 x <0x −4 x >0，所以f(−3)=−3+4=1， 所以f(1)=1−4=−3， 所以f[f(−3)]=f(1)=−3． 故选：D ．7.答案：A解析：解：因为A =105°，C =45°，c =√2， 可得B =180°−A −C =30°， 由正弦定理bsinB =csinC ，可得b =c⋅sinB sinC=√2×12√22=1．故选：A ．由已知利用三角形内角和定理可求B 的值，进而根据正弦定理即可求解b 的值．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：解：对于①，任何一个完整的流程图，必须有唯一的开始框和唯一的结束框，故①正确；对于②，输入框只能放在开始框后，而输出框只能放在结束框之前，故②不正确；对于③，判断框要对条件是否成立进行判断，而判断的结果可能不止一种，故判断框是具有超过一个退出点的符号，而其它的框没有这种功能，故③正确．综上所述，正确的是①③故选：C9.答案：D解析：解：如图，设正四面体A−BCD的下底面中心为G，连接AG，则AG⊥平面BCD，连接BG并延长，交CD于E，则BE=√32a，BG=23BE=√33a，AG=(√33=√63a，即ℎ=√63a．设四面体外接球的球心为O，连接BO，则R2=(√33a)2+(√63a−R)2，解得R=√64a；由等体积可得，13×12a2×√32×√63a=4×13×12a2×√32r，即r=√612a．∴ℎ=R+r，故A正确；R=3r，故B正确；即r=√612a，故C正确；R=√64a，故D错误．故选：D．由题意画出图形，把正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别用含有a的代数式表示，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查多面体的外接球与内切球半径的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．10.答案：A解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和线性规划知识的综合应用，首先利用导数和函数的单调性可得a、b满足的条件，然后根据几何意义将所求转化为线性规划内容，利用直线的斜率，从而求出的取值范围．解：根据已知：f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]e x，令f′(x)≥0，即x2+(a+2)x+a+b≥0在(−∞,−2)和(1,+∞)恒成立，不妨设g(x)=x2+(a+2)x+a+b，根据题意可得：，它表示的平面区域如图：，而，其中表示满足上述条件的点P(a、b)与点M(2,−2)所在直线的斜率，由图可知：当直线PM过点A(1,1)时，斜率最小过点B(−1,−1)时，斜率最大，所以的最小值为1−3=−2，最大值为，所以的取值范围为．故选A．11.答案：D解析：本题考查椭圆中向量的数量积的求法，在选取题中恰当地选择特殊值能够大大地简化运算． 令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，取特殊值能够简化运算． 解：如图，取特殊值，令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，则A(0,1)，B(0,−1)，P(−√2,0)， M(−√2,0)，N(−√2,0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2． 故选：D ．12.答案：C解析：关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0化为：m >x 2−2lnx 2(x+1)，令x 2−2lnx2(x+1)=f(x)，x >0，利用导数研究函数f(x)的单调性极值与最值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解：关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0化为：m >x 2−2lnx 2(x+1)，令x 2−2lnx2(x+1)=f(x)，x >0， 则f′(x)=x 3+2x 2−2x−2+2xlnx2x(x+1)2．令u(x)=x 3+2x 2−2x −2+2xlnx ，u′(x)=3x 2+4x +2lnx 在(0,+∞)上单调递增， 由u′(1)>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得u′(x 0)=3x 02+4x 0+2lnx 0=0， 即2lnx 0=−3x 02−4x 0，且u (x )在(0,x 0)内单调递减，在(x 0,+∞)内单调递增，所以u(x 0)=x 03+2x 02−2x 0−2+2x 0lnx 0=x 03+2x 02−2x 0−2+x 0(−3x 02−4x 0)=−2x 03−2x 02−2x 0−2=−2(x 0+1)(x 02+1)<0，u(1)=−1<0，u(2)=10+4ln2>0． 因此存在x 1∈(1,2)，使得u(x 1)=0，因此函数f(x)在(1,x 1)内单调递减，在(x 1,+∞)单调递增． f(1)=14，f(2)=2−ln23．∵关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0的解集为(a,b)，其中a >0， 该不等式在(a,b)中有且只有一个整数解， ∴实数m 的取值范围是(14,2−ln23]．故选：C ．13.答案：3解析：解：根据题意，直线l ：{x =1+t,y =3+at,(t 为参数)，变形可得y −3=a(x −1)， 若直线l 经过原点，则有−3=a(−1)，则a =3， 则直线l 的斜率是3； 故答案为：3根据题意，将直线的方程变形为普通方程，将原点坐标代入，变形计算可得a 的值，即答案． 本题考查直线的参数方程，涉及直线的斜率计算，属于基础题．14.答案：25解析：解：数据6，7，7，8，7的平均数x =6+7+7+8+75=7，∴s 2=15[(6−7)2+3×(7−7)2+(8−7)2]=25．故答案为25．先求出数据6，7，7，8，7的平均数x，再利用方差的计算公式s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]即可得出．熟练掌握平均数公式x=x1+x2+⋯+x nn 和方差的计算公式s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]是解题的关键．15.答案：2π解析：解：如图示：设⊙O的直径为2a，则半径为a，⊙O的面积为πa2，正方形的边长为：AD=CD=√22×2a=√2a，故面积是2a2，∵豆子落在圆内每一个地方是均等的，∴P(豆子落在正方形ABCD内)=2a2πa2=2π，故答案为：2π．分别表示出正方形和圆的面积，作商即可．已知一个圆内接正方形，向圆内部随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内部的概．16.答案：y=±√3x；3解析：解：(1)∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e=2，∴ca=2，∴ba=√3，∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x；(2)设M(x,y)，A(x1,y1)，B(−x1,−y1)，则k1⋅k2=y2−y12x2−x12。
四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023~2024学年度上期高中2022级期中联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）A.8B.9C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.⨯=．【详解】设4个小球分别为1A，2A，1B，2B，则试验结果为4312故选：C2.某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.⨯=，则成绩在515分以上人数为【详解】成绩在515分及以下人数为1600060%9600-=．1600096006400故选：D3.给出下列命题：①若空间向量a，b满足0a b ⋅<，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若a c b c ⋅=⋅，则a b =；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++ 也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]人数/人42550156A.59B.59.4C.69D.69.4【答案】D 【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为42550156506070809069.4100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：D5.若1()3P A =，()14P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 的关系为（）A.相互独立B.互为对立C.互斥D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式()5()()()6P A B P A P B P AB ==+- ，求出5()6P AB =，从而得到()()()P AB P A P B =⋅，即可判断出结果.【详解】因为()5135()()()()6346P A B P A P B P AB P AB ==+-=+-= ，得1()4P AB =，所以131()()()344P AB P A P B =⨯==⋅，故选：A.6.的正方形ABCD 对角线BD 折起，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角的大小为120︒，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A.14B.14-C.34-D.34【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出,,,A B C D 坐标，从而得到13(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =-，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取BD 中点O ，连接AO ，CO ，以OC ，OB 分别为x ，y 轴，垂直面BOC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，如图所示，因为ABCD 的正方形，所以1OA OB OC ===,则(0,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，又易知，OA BD ⊥,OC BD ⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，由题知，120AOC ∠=︒，所以030A Z ∠=︒，则13,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，1(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =- ，故131322cos ,24AD BC AD BC AD BC+⋅===⋅ ，所以，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34．故选：D.7.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为21s ．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，A 同学实际成绩137分，被错录为118分；B 同学实际成绩115分，被错录为103分；C 同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A.2212s s = B.2212s s > C.2212s s < D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为n ()0n >，因为11810312913711598++=++，所以更正前后平均分不变，且()()()()()()22222211812510312512912554913712511512598125973-+-+-=<-+-+-=，所以2212s s <．故选：C8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，其中3AB =，2BC =，14CC =，2BE =，则BC 中点G 到平面1AEC F 的距离为（）A.211B.3211C.32222D.92222【答案】D 【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(2,3,2)E ，1(0,3,4)C ，(1,3,0)G ，所以1(2,3,4)AC =- ，(0,3,2)AE =，(1,0,2)GE = ，设(,,)n x y z = 为平面1AEC F 的法向量，则100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3202340y z x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1z =，所以21,,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，点C 到平面1AEC F 的距离为2222GE n d n ⋅==．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x '，方差为2s '．下列结论正确的是（）A.x ax '=B.222a a cs =+' C.x ax c'=+ D.222s s a '=【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，则新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x ax c '=+，方差为222s s a '=.故选：CD10.下面结论正确的是（）A.若事件M 与N 相互独立，则M 与N 也相互独立B.若事件M 与N 是互斥事件，则M 与N 也是互斥事件C.若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()0.58P M N =D.若()0.6P M =，()0.4P N =，则M 与N 互为对立事件【答案】AC 【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A 、B ；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C ，D.【详解】对于A ：若事件M 与N 相互独立，因为M N M MN =-，所以()()()()P M N P M MN P M P MN=-=-又()()()()()()()()1P M N P M P N P M P N P M P M P N ==-=-⎡⎤⎣⎦，所以()()()P MN P M P N =，所以事件M 与N 相互独立，所以()()()()P M N P N NM P N P NM=-=-()()()()()()()1P N P N P M P N P M P N P M =-=-=⎡⎤⎣⎦，所以M 与N 是相互独立事件，故A 正确；对于B ：若事件M 与N 是互斥事件，如掷一枚骰子出现1、2、3点记为事件M ，出现1、2、3、4点记为事件N ，则N 为出现5、6点，满足事件M 与N 是互斥事件，显然M 与N 不互斥事件，故B 错误；对于C ，若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()()()()()()0.40.3P M N P M P N P MN N M P P =+-=+- 0.70.40.30.58=-⨯=，故C 正确；对于D ：如从110 共10个整数中随机抽取一个数，记抽到1、2、3、4、5、6为事件M ，则()0.6P M =，记抽到1、2、3、4为事件N ，则()0.4P N =，显然M 与N 不为对立事件，故D 错误；故选：AC11.某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，该单位全体工作人员平均体重x 和方差2s 分别为（）A.61x =B.60x = C.2155s = D.2169s =【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为5a （0a >），女性人数为3a ，该单位全体人员体重的平均数为：536456615353a ax a a a a=⨯+⨯=++，所以该单位全体人员体重的方差为：2253151(6461)159(5661)16988⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：AD12.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点O 是AC 中点，点M 是棱SD 的上动点（M 与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为910B.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为35C.存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60︒D.不存在点M ，使//OM 平面SBC 【答案】ABC 【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A 、O 、C 和S 、M 、D 分别共线，其余18种均不共线，故概率为2912010-=；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为93155=．故A 、B 正确．以A 为空间原点建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2,0,0,1,1,0A D C S B O ，设DM DS λ=，(0,1)λ∈，设(),,M x y z ，则有()()(),2,0,2,20,22,2x y z M λλλ-=-⇒-，则(1,12,2)OM λλ=-- ，(2,0,0)AB =-，1cos ,2AB OM AB OM AB OM ⋅==⋅，解得24210λλ--=，()22160∆=-+>，方程有解，故C 正确．设平面SBC 的法向量(,,)n a b c =，()()0,2,0,2,0,2BC SB ==-，则有()201,0,1220n BC b n n SB a c ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅=-=⎪⎩，由0OM n ⋅= ，可得1212λλ=⇒=，故D 错误．故选：ABC【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：8636029371409857572703474373964746983312 6710037162332616959780456011366142817424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为153 204=．故答案为：3 414.某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则n=__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为1n，高中生抽取的人数为3n，则初中生抽取的人数为360n+，所以331601100**********n n n +==，解得340n =，1110n =从而13306025n n n n +==++．故答案为：25015.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设i A ()1,2,3,4i =为独孤队第i 局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：123A A A ，1234A A A A ，1234A A A ，1234A A A A ，所以独孤队取胜的概率()()()()123123412341234P P A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++0.40.50.60.40.50.40.50.40.50.40.50.60.30.40.50.236=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：0.23616.已知空间向量a ，b ，c 两两之间的夹角均为60︒，且2= a ，6b = ，2c = ，若向量x ，y分别满足()0y y a b ⋅+-= 与12x c ⋅=，则y x - 的最小值为__________．【答案】5-5【解析】【分析】由题意可得2b a y --= ，令2b ap -=，可得y p -= 且2p c ⋅= ，利用数量积的性质得出5x p -≥，最后由模的三角不等式()()()()y x y p x p x p y p -=---≥--- 可得结论．【详解】依题意26cos606a b ⋅=⨯⨯︒=，22cos 602a c ⋅=⨯⨯︒=，62cos606b c ⋅=⨯⨯︒=，因为()0y y a b ⋅+-= ，所以()222022b a b a y b a y y ⎛⎫⎛⎫---⋅-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2222724b a b a b a y ⎛⎫--⋅+-== ⎪⎝⎭，所以2b ay --= ，令2b a p -= ，则y p -= ，且222b a bc a cp c c -⋅-⋅⋅=⋅==，由12x c ⋅= ，得()122x c p c x p c x p c -=⋅-⋅=-⋅≤-⋅，所以1052x p -≥=，所以()()()()5y x y p x p x p y p -=---≥---≥当且仅当x p - ，y p -u r u r共线同向且x p - ，c 共线时等号成立.故答案为：5-【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由()0y y a b ⋅+-= 结合已知变形得出2b ay --=，引入向量2b ap -=，可得y p -= ，从而得到x p - 的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2019学年四川省高二上学期期中文科数学试卷【含答案及解析】
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2
第13题【答案】
若忙H0旦V*0、则即=。
【解析】
试题分析：逆否命题霧将条件和结论交损莽加臥否走，因此逆否命题为若工疋0且，孙0,则卩右0
；,是它短轴的一个顶点•若J再二打：：：；,则该椭圆的离心率为—•
其中正确命题的序号•
三、解答题
17.已知命题汀二=.少 沁若」•:是.的充分不必要条件，求；的取
值范围.
18.直线就-七f匕皿‘与坐标轴的交点是圆；一条直径的两端点.
(1)求圆：的方程；
(2)圆 的弦■■长度为"且过点.-，求弦所在直线的方程.
相切，则此双曲线的离心率等于（）
A-B-
C•./ ■D•
11.已知椭圆一―.I :的离心率，右焦点为，.--上
B.必在圆,v_7内
C.必在圆：严十沙_■＞：夕卜
D.以上三种情况都有可能
12.已知点厂「分别是椭圆为：一一一_：「*的左、右焦点，过点
(n)设直线 与椭圆 交于执雪两点，且以占心为直径的圆过椭圆的右顶点
:，求一 ■,・「，面积的最大值.
22.已知椭圆-'-I -|的右焦点为F2(1,0)，点二 •在椭
(1)求椭圆方程；
(2)点^在圆，十一一 1上，M在第一象限，过M作圆■- -：■--I、的
切线交椭圆于P、Q
两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由.
成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中联考 文科数学试题(含答案)
成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中联考文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为A.异面B.相交C.平行D.平行或异面2.已知直线l经过点A(1，－1)，B(2，m)，若直线l的斜率为1，则m的值为A.0B.1C.－1D.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000D.10504.已知点A(1，0)，直线l：x－y＋1＝0，则点A到直线l的距离为A.1B.2C.2D.225.若直线2x－y＋a＝0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则a的值为A.4B.6C.－6D.－26.设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是，A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l⊥n，m⊥n，则l//mC.若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥nD.若l⊥α，l//β，则α⊥β7.若实数x，y满足约束条件y2x402y x80y20--≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝3x－y的最小值为A.－6B.－5C.－4D.－28.如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是9.直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是A.y－2x－1＝0B.y＋2x－1＝0C..y＋2x＋1＝0D.2y＋x＋1＝010.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SB与平面SAC所成角的正弦值为A.13B.24C.22D.101011.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝r2(r>0)，若圆C上至少有3个点到直线x＋y＋2＝0的距离为2，则实数r的值为A.22B.32C.6D.4212.如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝BC，PA＝AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则PN NCA.1B.12C.23D.13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
蓉城名校联盟高二数学上学期期中联考试题文含解析
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当弦长 取得最小值时，点 为弦 的中点,再由勾股定理可求得 的最小值。
当弦 同时过点（1,-2)和圆心时 的取值最大值.
【详解】
即
圆心为 ,半径
由直线恒过定点 ，圆心
时弦长最短
【解析】
【分析】
根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程,得到答案。
【详解】由题意，圆 ， ，
两圆方程相减,可得直线方程为 ，
即两圆的公共弦所在直线的方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了圆与圆 位置关系的应用,其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
A。 B. C. 2D。 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的几何性质，根据 为等腰直角三角形，求得 ，得到 ，即可求解双曲线的离心率,得到答案。
【详解】由题意，三角形 为等腰直角三角形，可得 ，即 ，
又由 ,所以 ，即 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以双曲线的离心率 .
故选：A。
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6。“ ”是“直线 与圆 ”相切的（ ）
A。 必要不充分条件B。 充分不必要条件
C。 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，求得 或 ，结合充分条件和必要条件的判定,即可求解.
【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ,半径为 ，
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）(i是虚数单位)是()1.复数z=2l1+iA. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i2.命题“∃x∈Z，使x2+2x−1<0”的否定为()A. ∃x∈Z，x2+2x−1≥0B. ∃x∈Z，使x2+2x−1>0C. ∀x∈Z，x2+2x+1>0D. ∀x∈Z，使x2+2x−1≥03.()A. B. C. D.4.一几何体的三视图如图所示，则该几何的表面积为()A. 12B. 16C. 20D. 245.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m⃗⃗⃗ =(a,b)，n⃗=(cosA,−cosB)，若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(x−2)，且当x∈(−∞,1)时，(x−1)f′(x)<0，设a=)，c=f(3)，则()f(0)，b=f(12A. c<a<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<c<a7.已知直线l，m和平面α，β满足l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α⊥β⇒l//m；②α//β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α//β；④l//m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.下面的流程图表示的算法执行的结果是()A. 5050B. 2550C. 2450D. 25009.函数不存在极值点，则a的取值范围是()A. B. (0,+∞) C. [0,+∞) D.10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值11.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有()A. B.C. D.12.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M的横坐标，则椭圆的离心率等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23为()A. √53B. √23C. 13D. 45二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”应对对称中心．根据这一发现，则函数的对称中心为．14.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的男生人数应是________人．15.已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为______．16.曲线y=e−5x在点(0,1)处的切线方程为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=lnx+x+1x(Ⅰ)求函数f(x)的极值；lnx<−2恒成立，求实数a的取值范围．(Ⅱ)若x∈(0,1)时，不等式1+xa(1−x)18.随着居民收入的增加，私家车的拥有量呈快速增长趋势，下表是A市2009年以来私家车拥有量的调查数据：(1)甲、乙两同学利用统计知识对以上数据进行处理，得到的线性回归方程分别为甲：ŷ=3.5x+5，乙：ŷ=3.2x+3.6.已知甲、乙两人中只有一人计算正确，请判断哪位同学的结论正确，并说明理由；(2)在(1)前提下，请估计2014年该城市私家车的拥有量．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求2b−c的取值范围．20.如图甲，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=π，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，2MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)．(1)求证：AB//平面DNC；(2)当DN的长为何值时，二面角D−BC−N的大小为30°？21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，且椭圆C上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B 两点，直线DA、DB与y轴的交点分别为P、Q，求证：∠PF1F2+∠QF1F2=90°．22.已知函数f(x)=ln(x+1)−mx．x+1(Ⅰ)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性；)2015>e(其中e自然对数的底数)．(Ⅱ)证明：(20152014【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=2l1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，故选：B．根据复数的基本运算法则进行运算即可．本题主要考查复数的计算，比较基础．2.答案：D解析：解：命题“∃x∈Z，使x2+2x−1<0”的否定为“∀x∈Z，使x2+2x−1≥0“，故选：D由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：根据题意，由于，故答案为，故选A．考点：定积分的运用点评：主要是考查了微积分基本定理的运用，属于基础题。
四川省蓉城名校联盟2019_2020学年高二数学上学期期中联考试题文(含解析)
四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题文（含解析）一、选择题:1.在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两点之间的距离公式:d =将()2,1,3A ，()4,3,0B -两点代入,即可求得A ,B 两点间的距离.详解】()2,1,3A ，()4,3,0B -d =7故选:C.【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键. 2.命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）A. 01x ∃≥，200210x x -+<B. 01x ∃<，200210x x -+<C. 01x ∃≥，200210x x -+≤ D. 01x ∃<，200210x x -+≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥，200210x x -+<”.故选：A.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.3.若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∨C. p q ⌝∧⌝D. p q ∨【答案】D 【解析】 【分析】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题. 故选：D.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.4.双曲线22125100x y -=的渐近线方程是（ ）A. 4y x =±B. 2y x =±C. 14y x =±D.12y x =±【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的方程，求得5,10a b ==，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案.【详解】由双曲线22125100x y -=，可得2225,100a b ==，即5,10a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为2by x x a=±=±. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=外切，则正数r 的值是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=， 可得圆心坐标分别为12(1,1),(2,3)C C --，半径分别为121,r r r ==， 又由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+1r =+，解得4r =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6.“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，点()0,B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质，根据12BA A ∆为等腰直角三角形，求得a b =，得到222c a =，即可求解双曲线的离心率，得到答案.【详解】由题意，三角形12BA A 为等腰直角三角形，可得a b =，即22a b =，又由222c a b =+，所以222a c a =-，即222c a =，所以222c a=，即22e =，又因为1e >，所以双曲线的离心率e =故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知过点(1，-2)的直线l 与圆22(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A. []4,10 B. []3,5C. []8,10D. []6,10【答案】D 【解析】 【分析】当弦长AB 取得最小值时,点(1)2-，为弦AB 的中点,再由勾股定理可求得AB 的最小值.当弦AB 同时过点(1,-2)和圆心时AB 的取值最大值. 【详解】22(1)(2)25x y -+-=即222(1)(2)5x y -+-=∴ 圆心为()1,2C ,半径=5r由直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2CCP l ⊥时弦长最短在Rt CPA 中 由勾股定理得: 222||2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得min ||6AB =再由弦AB 经过圆心时弦长最长为max ||AB =210r = 则||[6,10]AB ∈. 故选:D.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,解答中掌握圆的基本性质,数形结合是解答的关键.9.经过点()1,1P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A. 23-B.23C. 32-D.32【答案】A 【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，可得22222121032x x y y --+=，整理得()()()()21212121032x x x x y y y y +-+-+=， 所以()()2121212123x x y y k x x y y +-==-+，又由P 为MN 的中点，可得12122,2x x y y +=+=，则222323k ⨯=-=-⨯， 即直线l 的斜率为23-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知圆M ：()22225x y -+=（M 为圆心），点()2,0N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是（ ） A. 两条直线 B. 椭圆C. 圆D. 双曲线【答案】B 【解析】 【分析】由线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =，得到5PM PN +=，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =， 又由5AM AP PM r =+==，即54PM PN MN +=>=， 根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆. 故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为（ ）A. 9B. 18C. 25D. 50【答案】A 【解析】 【分析】由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222121064PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求得1218PF PF =，进而求得直角12PF F ∆的面积，得到答案.【详解】由题意，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，三角形2PQF 的周长为20， 根据椭圆的定义，可得420a =，解得5a =， 又由128F F =，即28c =，解得4c =，又由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222212210(1)(2)64(2)PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩， 由2(1)(2)-，可得1218PF PF =，所以直角12PF F ∆的面积为12192S PF PF ==. 故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得12PF PF 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(2)(1)4C x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点.若动点P 在直线0x y +=上，则PA PB +的最小值为（ ）A. 3B.23D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题中给的条件,作出两个圆和直线0x y +=的图象,将PA PB +就转化为1212PC PC R 3r PC PC +--=+- 的最小值,运用几何知识,作出1C 关于直线0x y +=对称点C ,并求出坐标,由平面几何的知识可知,当C 与P 、2C 共线时,12PC PC +取得最小值,最后利用两点问题距离公式: ()()221212d x x y y =-+-即可求得答案. 【详解】先作图:根据: 222()()x a y b r -+-= 得:1C 的圆心(1,1),1r = 得:2C 的圆心(2,1),2R =对于直线0x y +=上的任一点P ,由图象可知,要使PA PB +的得最小值, 可转化为求1212PC PC R 3r PC PC +--=+-的最小值 即可看作直线0x y +=上一点到两定点距离之和的最小值减去3, 又1C 关于直线0x y +=对称的点为C(-1,-1) 当C 与P 、2C 共线时,12PC PC +取得最小值即直线0x y +=上一点到两定点距离之和取得最小值为2CC 13=∴ 12PC PC +13∴ PA PB +的最小值为12min ()3133PC PC +-=故选:D.【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题,考查了数形结合思想,利用圆的几何性质转化是解题的关键. 二、填空题:13.双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为)，则实数k =________.【答案】2 【解析】 【分析】由双曲线方程，得到22,4a k b ==，根据222c a b =+，即可求解.【详解】由双曲线2214x y k -=，可得22,4a k b ==，又由222c a b =+，即46k +=，解得2k =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用222c a b =+，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示） 【答案】20x y +-= 【解析】 【分析】根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆2220x y +-=，220x y x y +--=， 两圆方程相减，可得直线方程为20x y +-=， 即两圆的公共弦所在直线的方程为20x y +-=. 故答案为：20x y +-=.【点睛】本题主要考查了圆与圆位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，动点M 在椭圆上，则MF 的取值范围是________. 【答案】[]2,6 【解析】 【分析】设00(,)M x y ,由两点间距离公式: d =可求出MF 结合220011612x y +=即可求得:01=+4,2MF x 根据M 椭圆C上的可求得:044x -≤≤,即可求得MF 的取值范围. 【详解】解法一:椭圆标准:22221x y a b+=∴ 22:11612x y C += 化简为:22214x =可得:4a =, b = 222+a b c =∴ 2c =设00(,)M x y 故0a x a -≤≤即:044x -≤≤由M 点事椭圆C 上的点得: 220011612x y +=,可得:2200=12(1-)16x y由两点间距离公式:d =可得: MF 01+42x ∴ 012+462x ≤≤ 即26MF ≤≤解法二:由椭圆结论椭圆上点到左焦点的距离等于ex a +(此结论可由椭圆的知识可证明)0=MF ex a +0a x a -≤≤即:044x -≤≤可得:4a =, b =2c =∴ 1=2e 则001==42MF ex a x ++ ∴ 012+462x ≤≤ 即26MF ≤≤ 故答案为: []2,6.【点睛】本题考查椭圆的性质,解题时可以用两点间距离公式,表示出MF ,在结合椭圆上横坐标的取值范围,即可求得答案.也可以使用椭圆的结论即:椭圆上点到左焦点的距离等于ex a +,可简化计算.16.2(1)0y -=表示的图形是一个点;②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题;③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上有两点()00,A x y ，()00,B x y --，若点(),P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值22ba-.其中说法正确的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据曲线方程的几何意义、命题和逆否命题真假相同，圆锥曲线的基本性质,逐个选项进行判断,即可求得答案.【2101(1)0101x x y y y +==-⎧⎧-=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩,2(1)0y -=表示点()1,1-,故①正确;②逆否命题为“若1x =且1y =-，则0x y +=”为真，根据原命题和逆否命题真假相同,则原命题为真,故②正确; ③根据异支焦点弦实轴最短为4，同支焦点弦通径最短为4，满足条件的直线只有2条,故③错误;④根据两点斜率公式:2121y y k x x -=-可得:010y y k x x -=-,020y y k x x +=+∴ 220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⨯=-+- 由220022222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22222220002222200x x y y y y b a b x x a ---+=⇒=--则2122b k k a ⋅=-, 故④正确;故答案为: ①②④.【点睛】本题考查原命题和逆否命题真假判断,逆否命题和原命题真假相同,在原命题难以判断时,将其转化为逆否命题进行判断.本题还考查了圆锥曲线的基本知识,在熟记基本知识基础上,要能灵活使用,这是解本题的关键. 三、解答题:17.已知直线1:24l y x =+，直线2l 经过点()1,1，且12l l ⊥. (1)求直线2l 的方程;(2)记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC △的面积 【答案】(1) 1322y x =-+(或写成230x y +-=)；(2)5. 【解析】 【分析】(1)设直线2l 的解析式为y kx b =+,由于12l l ⊥,根据两条直线垂直是:121k k ⨯=-,可求得2l 的12k =-,即2l 的解析式为12y x b =-+,代入点()1,1即可求解出直线2l 的方程.(2)求出的A ,B ,C 坐标,然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得ABC △的面积. 【详解】(1)12l l ⊥,根据两条直线垂直是:121k k ⨯=-可求得2l 的12k =-, 则2l 的解析式为12y x b =-+,将点()1,1代入解得:3=2b即213:22l y x =-+(或写成230x y +-=) (2)在24y x =+中，令0y =，得2x =-，即()2,0A - 在1322y x =-+中，令0y =，得3x =，即()3,0B 解方程组241322y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得1x =-，2y =，即()1,2C -如图:则ABC △底边AB 的长为()325AB =--=，AB 边上的高为2C y =故1||52ABC C S AB y =⋅=△. 【点睛】本题主要考查直线的斜率公式,两直线垂直的性质,点到直线的距离公式,数形结合是解题的关键. 18.命题:p 方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线;命题:q 若存在0x ∈R ，使得02sin 0m x -=成立.(1)如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围;(2)如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)133m <<；(2) 12,(2,3)3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】(1) 若命题p 为真命题,即221313x ym m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线,根据焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为:22221x y a b -=,可得()()31030m m ⎧->⎪⎨-<⎪⎩,即可得出答案.(2)由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题,可得: 则p 、q 两个命题一真一假,可分为二种情况即: p 真q 假, p 假q 真.通过联立不等式组,即可求得答案.【详解】(1) 若命题p 为真命题,即221313x ym m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线可化为22-1313x y m m=--标准方程为:22221x y a b -=,可得:22313a m b m ⎧=-⎨=-⎩即:3103>0m m ->⎧⎨-⎩解得:m 的取值范围是133m <<. (2)若命题q 为真命题，则02sin m x =有解，得22m -≤≤，又“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 两个命题一真一假，当p 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<;当p 假q 真，则13322m m m ⎧⎪⎨⎪-⎩或，解得123m -; 综上所述:实数m 的取值范围为12,(2,3)3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假,综合考查双曲线的方程以及三角函数的有界性,非命题、且命题、或命题真假有关的题型时,应注意:原命题与其非命题真假相反,或命题一真则真,且命题一假则假.19.已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上. (1)求圆C 的方程(2)从原点向圆C 作切线，求切线方程及切线长.【答案】(1) 22430x y x +-+=(或写成:22(2)1x y -+=)；(2)y x =. 【解析】 【分析】(1) 解法一: 设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将()3,0M ，()2,1N 两点代入得:930520D F D E F ++=⎧⎨+++=⎩,根据圆的一般方程的圆心为:,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,代入:240l x y +-=,联立方程即可求出答案.解法二:设根据题意,分析可得圆C 的圆心是线段MN 的垂直平分线与直线的交点,先求出线段MN的垂直平分线的方程,与直线联立可得圆C 的圆心的坐标,在由两点间距离公式:d =代入圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= 即可得出答案.(2) 解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切，当斜率存在时，可设直线方程为l :y kx =,直线l 圆C 线切,联立方程:22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩将其化为关于x 的一元二次方程,由题意可知此方程的=0,解得k ,即可求出切线方程及切线长.解法二: 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切，当斜率存在时，可设直线方程为l :y kx =.因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径,根据点到直线的距离公式:d =可求得圆C 的圆心到l :y kx =的距离为1,可解得k ,即可求出切线方程及切线长.【详解】(1)解法一:设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++= 由题意:930D F ++= ①520D E F +++= ②又圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上 故402ED ---= ， ③ 由①②③解得:4D =-，0E =，3F =，圆的方程为:22430x y x +-+=(或写成:22(2)1x y -+=)， 解法二:由题意，圆心在MN 的中垂线2y x =-上， 又在已知直线:240l x y +-=上， 解得圆心坐标为()2,0C ， 于是半径1r MC ==所求圆的方程为:22(2)1x y -+=;(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切 当斜率存在时，设直线方程为y kx =代入22:430C x y x +-+=得22()430x kx x +-+=即()221430kxx +-+=令()22(4)4310k∆=--⨯+=，解得k =，即切线方程为y x =.=.解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切； 当斜率存在时，设直线方程为y kx =，因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式:d =1=解得3k =±.即切线方程为3y x =±.=.综上所述: 切线方程为3y x =±,【点睛】本题主要考查圆的方程,圆的切线方程的求解.在求解圆的方程时,把已知点代入圆的一般方程,联立方程,这种求法的计算量较大,可以结合题意用数形结合,用几何知识来求解,可简化计算.20.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的实轴长为2.（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，求C 的标准方程.【答案】（1）2；（2）2219y x -=.【解析】 【分析】（1）由双曲线C 的实轴长为2，求得1a =，再由渐近线方程为2y x =，得到2ba=，即可求解；（2）由12PF PF ⊥和12PF F △的面积为9，求得1218PF PF =，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解3b =，得到双曲线的方程.【详解】（1）由题意，双曲线C ：22221x y a b-=的实轴长为2，即22a =，则1a =，又由双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，可得22b a ==. （2）由双曲线定义可得1222PF PF a -==， 又因为12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为9，即121182PF PF ⨯=， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==又由()2221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，解得210c =，所以2221019c a b =-==-，解得3b =，故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知直线1:0()l x my m +=∈R ，2:240()l mx y m m --+=∈R . (1)若直线1l ，2l 分别经过定点M ，N ，求定点M ，N 的坐标;(2)是否存在一个定点Q ，使得1l 与2l 的交点到定点Q 的距离为定值?如果存在，求出定点Q 的坐标及定值r ;如果不存在，说明理由.【答案】(1)()()0,0,2,4M N ；(2) 存在，()1,2， r =【解析】 【分析】(1)求直线1l 经过定点M ，即当0(0,0)0x M y =⎧⇒⎨=⎩.求直线2l 经过定点N ,可将2:240()l mx y m m --+=∈R 化简为(2)(4)0m x y ---=即当2040x y -=⎧⎨-=⎩即可得出答案.(2) 解法一:通过直线1:0()l x my m +=∈R 可解得xm y=-将其代入2:240()l mx y m m --+=∈R ,整理的22(1)(2)5x y -+-=,进而可以得出定点,和定长.解法二:当0m ≠,直线1l 的斜率1k m =-,直线2l 的斜率21k m=,所以121k k ，即两条直线始终垂直,根据由圆的知识:90圆周角所对的弦是圆的直径, 即可得出()0,0M 和()2,4N 为直径端点的圆周上.即可求出答案.【详解】(1)由1:0l x my +=，当m ∈R ，则0(0,0)0x M y =⎧⇒⎨=⎩. 由2:240(2)(4)0l mx y m m x y --+=⇒---=，当m ∈R ，则202(2,4)404x x N y y ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩. (2)解法一:由1l 可知当0y ≠时，得:xm y=-， 代入2l ，2240x x y y y--++=， 整理得:22240(0)x y x y y +--=≠，可得交点P 一定在圆:22(1)(2)5x y -+-=上， 故满足条件的定点Q 为()1,2，定值r =解法二:由0m =时两直线垂直，0m ≠时，121k k ，即两条直线始终垂直，又1l 过定点()0,0M ，2l 过定点()2,4N ，则1l 与2l 的交点在以()0,0M 和()2,4N 为直径端点的圆周上，根据中点坐标公式:121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩的Q 的圆心为()1,2根两点距离公式:d =求得||MN =可得交点P 一定在圆:22(1)(2)5x y -+-=上， 故满足条件的定点Q 为()1,2，定值r =综上所述: 存在一个定点Q ()1,2，使得1l 与2l 的交点到定点Q .【点睛】本题考查了求直线过定点问题,和两直线交点轨迹问题.在求解直线过定点时,将所给表达式整理成关于参数m 的方程:例如:(2)(4)0m x y ---=,在根据m R ∈此式恒成立可得所过定点.22.已知椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ， 离心率e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求得,a c ，再由222b a c =-，求得b 的值，即可求解；（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，求得直线,AM BN 的方程，联立方程组，求得点P 的坐标，得出直线OP 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率k 的取值范围.【详解】（1）由题意知，椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ，可得2a =，又由e =c a =c =，又因为2222221b a c --===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -， 由斜率公式，可得002AM y k x =+，02BN y k x =-，所以直线AM 的方程为()0022y y x x =++；直线BN 的方程为()0022y y x x =--， 联立方程组()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得00024,y x y x x ==，即点00024,y P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以000022425OPy x y k x ==>，即0415y <<，又由)002000224y y k x y ====+-t =，30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y =所以111222k ====， 因为30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25,214t ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，则111,242⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,42k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即实数直线AM 的斜率k 的取值范围11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率k 的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二(上)期中数学试卷(文科)
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：1．在空间直角坐标系中，已知点(2A ，1，3)，(4B -，3，0)，则A ，B 两点间的距离是()A ．5B ．6C ．7D ．82．命题“1x ∀…，2210x x -+…”的否定是( )A ．01x ∃…，20210x x -+< B ．01x ∃<，20210x x -+< C ．01x ∃…，200210x x -+… D ．01x ∃<，20210x x -+… 3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧．B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是( ) A ．4y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．12y x =±5．若圆221:(1)(1)1C x y -+-=与圆2222:(2)(3)C x y r +++=外切，则正数r 的值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．66．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，点(0,)B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D ．38．已知过点(1,2)-的直线l 与圆22(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长||AB 的取值范围是( ) A ．[4，10]B ．[3，5]C ．[8，10]D ．[6，10]9．经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23 C ．32-D ．3210．已知圆22:(2)25(M x y M -+=为圆心，点(2,0)N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且12||8F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为( ) A ．9B ．18C ．25D ．5012．已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(2)(1)4C x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点．若动点P 在直线0x y +=上，则||||PA PB +的最小值为( )A ．3BC 3D 3-二、填空题：13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则实数k = ． 14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是 ．（结果用一般式表示）15．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，动点M 在椭圆上，则||MF 的取值范围是 ．16．给出下列说法：①2(1)0y -=表示的图形是一个点； ②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点0(A x ，0)y ，0(B x -，0)y -，若点(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 为定值22b a -．其中说法正确的序号是 ．三、解答题：17．已知直线1:24l y x =+，直线2l 经过点(1,1)，且12l l ⊥． （1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC ∆的面积．18．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：若存在0x R ∈，使得02sin 0m x -=成立（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．19．已知圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上． （1）求圆C 的方程（2）从原点向圆C 作切线，求切线方程及切线长．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2．（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求C 的标准方程．21．已知直线1:0()l x my m R +=∈，2:240()l mx y m m R --+=∈． （1）若直线1l ，2l 分别经过定点M ，N ，求定点M ，N 的坐标；（2）是否存在一个定点Q ，使得1l 与2l 的交点到定点Q 的距离为定值？如果存在，求出定点Q 的坐标及定值r ；如果不存在，说明理由．22．已知椭圆C长轴的两个端点分别为(2,0)A-，(2,0)B，离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）作一条垂直于x轴的直线，使之与椭圆C在第一象限相交于点M，在第四象限相交于点N，若直线AM与直线BN相交于点P，且直线OP的斜率大于25，求直线AM的斜率k的取值范围．2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．在空间直角坐标系中，已知点(2A ，1，3)，(4B -，3，0)，则A ，B 两点间的距离是()A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：由两点间的距离公式，计算得||7AB ==．故选：C ．2．命题“1x ∀…，2210x x -+…”的否定是( )A ．01x ∃…，20210x x -+< B ．01x ∃<，20210x x -+< C ．01x ∃…，200210x x -+… D ．01x ∃<，20210x x -+… 【解答】解：命题为全称命题，则命题“1x ∀…，2210x x -+…”的否定是“01x ∃…，200210x x -+<”．故选：A ．3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧．B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∨【解答】解：由q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可知p q ∨为真． 故选：D ．4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是( ) A ．4y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．12y x =±【解答】解：根据题意，双曲线的方程为线22125100x y -=， 则其焦点在x 轴上，且5a =，10b =， 其渐近线方程为2y x =±； 故选：B ．5．若圆221:(1)(1)1C x y -+-=与圆2222:(2)(3)C x y r +++=外切，则正数r 的值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆2222:(2)(3)C x y r +++=， 1C ∴坐标为(1,1)，半径为1，2C 坐标为(2,3)--，半径为r ，∴1212||14C C r r r r =+⇒=+⇒=，故选：C ．6．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线0x y c ++=与圆22(2)(1)2x y -++=相切，则|1|21d r d c c =⇒==⇒+=⇒= 或3c =-，所以为充分不必要条件．故选：B ．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，点(0,)B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )AB C ．2D ．3【解答】解：由已知可得22a b a b =⇒=，⇒22222222222c a c a c a e e a=-⇒=⇒=⇒=⇒=．故选：A ．8．已知过点(1,2)-的直线l 与圆22(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长||AB 的取值范围是( ) A ．[4，10]B ．[3，5]C ．[8，10]D ．[6，10]【解答】解：由直线恒过定点(1,2)P -，圆心(1,2)C ， 则当CP l ⊥时弦长最短，此时由222||||()||62min AB CP r AB +=⇒=， 再由l 经过圆心时弦长最长为210r =， 得||[6AB ∈，10]．故选：D ．9．经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23 C ．32-D ．32【解答】解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⋯⎪⎪⎨⎪+=⋯⎪⎩①②， 由②-①可得22222121032x x y y --+=⇒21212121()()()()032x x x x y y y y +-+-+=⇒212121212()3()y y x x x x y y -+=--+，经过点(1,1)P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，2p x =，2p y =，则222323pp x k y ⨯=-=-⨯．故选：A ．10．已知圆22:(2)25(M x y M -+=为圆心，点(2,0)N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【解答】解：由已知可得||||||5AM AP PM r =+==，由||||AP PN =，||||5||4PM PN MN +=>=，则P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆． 故选：B ．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且12||8F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为( ) A ．9B ．18C ．25D ．50【解答】解：由已知可得28c =，4204a c =⇒=， 12253tan92PF F a b Sb θ=⇒=⇒==．故选：A ．12．已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(2)(1)4C x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点．若动点P 在直线0x y +=上，则||||PA PB +的最小值为( )A ．3B C 3 D 3-【解答】解：由112212||||||||||||3PA PB PC r PC r PC PC +-+-=+-…， 且点1(1,1)C 关于直线0x y +=对称的点为(1,1)C --，如图所示；则1222||||||||||PC PC PC PC CC +=+=…，所以||||PA PB +3． 故选：D ． 二、填空题：13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则实数k = 2 ．【解答】解：根据题意，双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为，则该双曲线的焦点在x 轴上，且c = 则有46k +=，解可得2k =； 故答案为：2．14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是 20x y +-= ．（结果用一般式表示）【解答】解：两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点， ∴公共弦所在直线方程为22222()x y x y x y +--+--，即20x y +-=，故答案为：20x y +-=．15．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，动点M 在椭圆上，则||MF 的取值范围是 [2，6] ．【解答】解：由已知椭圆22:11612x y C +=可得4a =，2c =， ||[MF a c ⇒∈-，]||[2a c MF +⇒∈，6]．故答案为：[2，6]． 16．给出下列说法：①2(1)0y -=表示的图形是一个点； ②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点0(A x ，0)y ，0(B x -，0)y -，若点(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 为定值22b a -．其中说法正确的序号是 ①②④ ．【解答】解：①由101101x x y y ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨-==⎪⎩⎩表示点(1,1)-所以①正确；②逆否命题为“若1x =且1y =-，则0x y +=”为真，则原命题为真，所以②正确； ③根据已知焦点弦实轴最短，同支焦点弦通径最短，满足条件的直线只有2条，所以③不正确；④由已知可得220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-=⨯=-+-，由220022222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22222220002222200x x y y y y b a b x x a---+=⇒=--则2122b k k a =-，所以④正确．故答案为：①②④． 三、解答题：17．已知直线1:24l y x =+，直线2l 经过点(1,1)，且12l l ⊥． （1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC ∆的面积 【解答】解：（1）由题意可设21:2l y x b =-+，将(1,1)代入上式，解得32b =，即213:22l y x =-+（或写成230)x y +-=．（2）在直线1:24l y x =+中，令0y =，得2x =-，即(2,0)A -， 在直线213:22l y x =-+中，令0y =，得3x =，即(3,0)B ，解方程组241322y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得1x =-，2y =，即(1,2)C -，则ABC ∆底边AB 的长为||3(2)5AB =--=，AB 边上的高为2C y =， 故1||||52ABC C S AB y ∆==． 18．命题p ：方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：若存在0x R ∈，使得02sin 0m x -=成立（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）若命题P 为真命题，则310m ->，并且30m -<， 即m 的取值范围是133m <<，（2）若命题q 为真命题，则02sin m x =有解，得22m -剟，又“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则P 、q 两个命题一真一假，若P 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<，若P 假q 真，则13322m m m ⎧⎪⎨⎪-⎩或剠剟，解得123m -剟． 综上，实数m 的取值范围为1[2,](2,3)3-．19．已知圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上． （1）求圆C 的方程（2）从原点向圆C 作切线，求切线方程及切线长【解答】解：（1）根据题意，圆C 经过(3,0)M ，(2,1)N 两点，则圆心在MN 的中垂线2y x =-上又在已知直线:240l x y +-=上，则有2240y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解可得20x y =⎧⎨=⎩，即圆心坐标为(2,0)C ， 则圆的半径||1r MC ==；所求圆的方程为：22(2)1x y -+=； （2）根据题意，从原点向圆C 作切线， 当切线斜率不存在时，不与圆C 相切， 当切线斜率存在时，设直线方程为y kx =， 代入22:430C x y x +-+=得22()430x kx x +-+=， 即22(1)430k x x +-+=， 令△22(4)43(1)0k =--⨯+=，解得k =y =．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2．（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求C 的标准方程【解答】解：（1）因为双曲线2222:1x y C a b -=的实轴长为2，即22a =，则1a =，又双曲线一条渐近线方程为2y x =， 即2ba=， 所以2b =．（2）双曲线定义可得：12||||||22PF PF a -==， 又12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，所以：12||||18PF PF =，且22221212||||||4PF PF F F c +==， 所以22221212124||||(||||)2||||40c PF PF PF PF PF PF =+=-+=， 故210c =，所以21019b =-=，因此，3b =；故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=． 21．已知直线1:0()l x my m R +=∈，2:240()l mx y m m R --+=∈． （1）若直线1l ，2l 分别经过定点M ，N ，求定点M ，N 的坐标；（2）是否存在一个定点Q ，使得1l 与2l 的交点到定点Q 的距离为定值？如果存在，求出定点Q 的坐标及定值r ；如果不存在，说明理由 【解答】解：（1）由1:0l x my +=，当m R ∈， 令0y =，得0x =，所以(0,0)M ；由2:240l mx y m --+=，化为(2)(4)0m x y ---=， 令2040x y -=⎧⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，所以(2,4)N ； （2）解法一：由1l 可知当0y ≠时，得：xm y=-代入2l ，2240x xy y y--++=整理得：22240(0)x y x y y +--=≠可得交点P 一定在圆：22(1)(2)5x y -+-=上 故满足条件的定点Q 为(1,2)，定值r =解法二：由0m =时两直线垂直，0m ≠时，121k k =-，即两条直线始终垂直， 又1l 过定点(0,0)M ，2l 过定点(2,4)N则1l 与2l 的交点在以(0,0)M 和(2,4)N 为直径端点的圆周上 可得交点P 一定在圆：22(1)(2)5x y -+-=上 故满足条件的定点Q 为(1,2)，定值r =22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为(2,0)A -，(2,0)B，离心率e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围．【解答】解：（1）由已知椭圆C 长轴的两个端点分别为(2,0)A -，(2,0)B ， 得2a =，再由e =c =， 又222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设0(M x ，0)y ，其中002x <<，001y <<，则0(N x ，0)y -， ∴002AM y k x =+，02BN y k x =-， 则直线AM 为：00(2)2y y x x =++：直线BN 为：0(2)2y y x x =--， 由0000(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：00024(,)y P x x ，∴000022425OPy x y k x ==>， ∴0415y <<，∴002y k x ====+t =，3(0,)5t ∈，则0y =∴111222k ====， 3(0,)5t ∈，∴25(,2)14t ∈+，∴111(,)242， 即11(,)42k ∈．。