高考模拟试卷理科数学试题及详细答案解析02

高考模拟试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}0,2,4M =，|,,,0b N x x a M b M a a ??==∈∈≠????且，则集合M N =I （ ） A ．{}0,4 B ．{}0,2 C ．{}2,4 D ．{}1,2

2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝（ ）

A ．－4＋i

B ．5

C ．－5

D ．－4－i 3．下列三个命题：

①2x >是11

2x <的充分不必要条件；

②设a ，b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠；

③命题p ：存在0x ∈R ，使得20010x x ++<，则p ?：任意x ∈R ，都有210x x ++≥

其中真命题是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③ 4．按照此程序运行，则输出k 的值是（ ）

A ．4

B ．5

C ．2

D ．3

5．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为

3

6π，则其表面积为（ ）

A ．332π+

B ．32π

C ．334π+2

D ．334π+ 6．若π1cos()43α+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ） A ．426- B ．426+ C ．718 D ．23 7．已知直线a 和平面α，β满足l αβ=I ，a α?，a β?，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是（ ） A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面 8．已知函数()2sin 26f x x π??=+ ???，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12x π= B ．4x π= C ．3x π= D ．3x 2π= 9．若实数x ，y 满足条件202020x y y x y -+??+??++?≥≥≤，则231x y z x +-=-的最大值（ ） A ．5 B ．4 C ．7 D ．8 10．已知P 是ABC △内部一点，且23PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r ，在ABC △内部随机取点M ，则点M 取自ABP △内的概率为（ ） A ．23 B ．13 C ．12 D ．16 11．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，A 是椭圆上的点，212F A F A c ?=u u u r u u u u r （c 为椭圆的半焦距），则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．303?? ? ??， B ．32,32?????? C ．2322??????， D ．312???????， 12．设实数a ，b ，c ，d 满足0b ≠，1d ≠-，且2ln 111a a c b d --==+，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14 此卷只装订不密封

班级

姓名

准考

证

号

考场号

座位

号

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若d 25n n x x -=?（其中0n >），则()21n

x -的展开式中2x 的系数为________．

14．已知函数log (2)2a y x m n =--+恒过定点（3，2），其中0a >且1a ≠，m ，n 均为正数，则11

12m n ++的最小值是________．

15．已知数列{}n a 中，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，有221n

n n n

a

a S S =-成立，

则2017S =________．

16．设F 是双曲线C ：2

2

1169x y -=的右焦点，P 是C 左支上的点，

已知A ，则PAF △周长的最小值是________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C c a +=．

（1）求角B 的大小；

（2）若4a =，BC

边上的中线AD =，求ABC △的面积．

18．（本小题满分12分） 某学校依次进行A 、B 两科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为23，每次考B 科合格的概率均为12．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响． （1）求甲恰好3次考试通过的概率； （2）记甲参加考试的次数为X ，求X 的分布列和均值． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1，直线PB 与CD 所成角的大小为3π． （1）若Q 是BC 的中点，求三棱锥D －PQC 的体积； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知函数2()(1)x f x xe x =-+．

（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；

（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图所示，1F 是抛物线C ：24y x =的焦点，i F 在x 轴上（其中i ＝1，2，3，…，n ），i F 的坐标为(,0)i x 且1i i x x +<，i P 在抛物线C 上，且i P 在第一象限1i i i PF F +△是正三角形．

（1）证明：数列{}1i i x x +-是等差数列；

（2）记1i i i PF F +△的面积为i S

，证明：1231111n S S S S +++???+<．

选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+??=?（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤． （1）求a 的值； （2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．

答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．－40 14．4

3 15．1

1009 16．38

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2cos 2b C c a +=，由正弦定理，得2sin cos sin 2sin B C C A +=，

A B C +

+=πQ ，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，

2sin cos sin 2(sin cos cos sin )B C C B C B C ∴+=+，

sin 2cos sin C B C ∴=，

0C <<πQ ，sin 0C ∴≠，1cos 2B ∴=，∴3B π

=．

（2）在ABD △中，由余弦定理得：222cos 2BD AB AD B AB AD +-=?，

即247

1

42c c +-=，解得3c =，

1

1sin 4322ABC S ac B ∴==??=△

18．【答案】（1）甲恰好3次通过考试有两种情况，第一种情况是第一次A 科通过，第二次B 科不过，第三次B 科通过；第二种情况是第一次A 科没通过，第二次A 科通过，第三次B 科通过，

2

111215

(1)32233218P ∴=?-?+??=．

（2）由题意得2ξ=、3、4，21114

(2)32339P ξ==?+?=；

2

1

1

1

212114

(3)(1)(1)(1

)3223323229P ξ==?-?+??+?-?-=；

12112111(4)(1)(1)(1)332332

2

9

P ξ==??-+??-?-=， 则ξ的分布列为：

44()2349993E ξ=?+?+?=． 19．【答案】（1）以AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A （0，0，

0），B （1，0，0），D （0，1，0），P （0，0，1）．设C （1，y ，0），则PB u u u r ＝（1，0，－1），CD uuu r ＝（－1，1－y ，0）． 因为直线PB 与CD 所成角大小为π3， 所以1cos ,2PB CD PB CD PB CD ?<>==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 12=，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C （1，2，0），所以BC 的长为2． ∴--111111326D PQC P DQC V V ==????=． （2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ）． 因为PB u u u r ＝（1，0，－1），PD u u u r ＝（0，1，－1）， 则1100PB PD ??=???=??u u u r u u u r n n ，即00x z y z -=??-=?， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝（1，1，1）． 因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝（1，0，0），

所以121212cos ,3

?<>==n n n n n n ，

所以，由图可知二面角B －PD －A

的余弦值为3．

20．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+，

所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，

令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：

()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，

因为22e 90->，10e -<，21

2e 9e ->-，

所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．

（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---，

所以()10f x ax x =-?=或e 20x x a ---=，

设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥，

且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，

①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根；

②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．

综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．

21．【答案】（1）由题意知，1(1,0)F ，所以1PF 的方程是π

tan (1)1)3y x x =-=-，

代入抛物线可得231030x x -+=，则13x =，21

3x =（舍），即1(3P ，

()25,0F ∴，11x ∴=，25x =，又设11(,0)n n F x --，(,0)n n F x ， n n n+1P F F Q △是等边三角形，1(2n n n x x P ++代入抛物线得： 2113()2()4n n n n x x x x ++-=+，2113()2()4n n n n x x x x ---=+两式相减得： 1111113(2)()2()4n n n n n n n x x x x x x x +-+-+--+-=-，且110n n x x +--≠， 所以11823n n n x x x +--+=，118()()3n n n n x x x x +-∴---=， 所以数列{}1n n x x +-是等差数列，其中首项为214x x -=，公差是83． （2）由（1）184(21)4(1)33n n n x x n ++-=+-=， 2216(21)(21)499n S n n ∴=+=+， 211111()4(21)4(21)(21)82121n S n n n n n ∴=<=-++--+ 1211111111+)()+()]83352121n S S S n n ∴++<-+-+--+……1)21n =-<+． 选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =， （2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-， ∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4．

23．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤． 当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142a a ?-=-????=??，解得2a =；

当0

a<时，42

x

a a

-

≤≤，因为不等式()3

f x≤的解集是{}

12

x x

-≤≤，所以

2

2

4

1

a

a

?

-=

??

?

?=-

??

，无

解．

所以2

a=．

（2）因为

()()|21||21||(21)(21)|2 3333

f x f x x x x x

+--++--+

==

≥，

所以要使

()()

3

f x f x

k

+-

<存在实数解，只需

2

3

k>．

解得

2

3

k>或

2

3

k<-．所以实数k的取值范围是

22

(,)(,)

33

-∞-+∞

U．