§1.5_多项式的分解
如何分解多项式因式
如何分解多项式因式多项式因式分解是代数学中的一个重要概念和技巧，它可以将一个多项式表达式分解为更简单的因式乘积形式。
在本文中，我们将介绍如何进行多项式因式分解，并给出一些实际的例子。
一、多项式因式分解的基本方法多项式因式分解的基本思路是将多项式表达式写成因式乘积的形式，即将多项式表示为一系列因子的乘积。
下面是一些常见的多项式因式分解的方法。
1.提取公因式法提取公因式法是多项式因式分解的最基本方法之一。
它的基本思想是找出多项式中的公因式，然后将其提取出来。
例如，对于多项式3x+6，我们可以提取出公因式3，得到3(x+2)。
2.配方法配方法是多项式因式分解中常用的一种方法。
它的基本思想是将多项式中的某些项进行配对，使其成为一个完全平方或一个完全立方。
例如，对于多项式x^2+4x+4，我们可以将其配对为(x+2)^2。
3.因式分解公式除了提取公因式法和配方法外，还有一些常用的因式分解公式可以帮助我们进行多项式因式分解。
例如，平方差公式可以用来分解差的平方，完全平方公式可以用来分解完全平方等等。
二、多项式因式分解的实例下面我们将通过一些实际的例子来演示多项式因式分解的方法。
1.提取公因式法的例子例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x，得到2x(x+2)。
2.配方法的例子例如，对于多项式x^2-5x+6，我们可以将其配对为(x-2)(x-3)。
3.因式分解公式的例子例如，使用平方差公式，我们可以将多项式x^2-4分解为(x+2)(x-2)。
三、多项式因式分解的应用多项式因式分解在代数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们简化复杂的多项式表达式，找到多项式的根，解决方程等等。
以下是一些多项式因式分解的实际应用。
1.求多项式的根通过将多项式因式分解为因子的乘积形式，我们可以很容易地求出多项式的根。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以将其分解为(x+2)(x-2)，从而得到根为-2和2。
2.解决方程多项式因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程。
因式分解定理(高等代数)
证：若 p( x ) f ( x ), 结论成立 . 若 p( x ) 不整除 f ( x ) ，则 ( p( x ), f ( x )) = 1
Th4
⇒
p( x ) g ( x ).
不可约， 推论： 推论： p( x )不可约，p( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )L f s ( x ), 则必有某个 f i ( x ), 使得 p( x ) f i ( x ).
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
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问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： x 4 − 4 = x 2 − 2
(
)(
x2 + 2
)（在有理数域上） 在有理数域）= x− 2 = x− 2
其中 c 为 f ( x )的首项系数， pi ( x )为互不相同的， 的首项系数， 为互不相同的，
ri ∈ Z + . 称之为 f ( x ) 首项系数为1的不可约多项式 的不可约多项式， 首项系数为 的不可约多项式，
的标准分解式. 标准分解式
§1.5 因式分解定理
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
§1.5 因式分解定理
∴ f ( x )可分解为一些不可约多项式的积 可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2,L , s ; j = 1,2,L , t . ) 都是不可约
多项式怎么因式分解
多项式怎么因式分解
多项式的因式分解是求一个多项式的因式式子，可以变形到一个或
多个因式相乘的形式。
下面归纳了多项式因式分解的几种方法：
一、公因式提取法
公因式提取法是指将多项式中所有项的公共因子提取出来，写成因子
与其他部分相乘的形式。
例如，多项式4x^2+4x可以提取公因式4x，
得到4x(x+1)。
这里的x+1就是多项式4x^2+4x的因式。
二、配方法
配方法是将多项式拆分成两个含有相同因子的二次多项式的乘积形式，然后不断将分解后的两个二次多项式再次使用配方法进行因式分解。
例如，多项式x^2-6x+5可以写成(x-5)(x-1)的形式，因为(x-5)(x-1)=x^2-
6x+5。
三、特殊因式公式
特殊因式公式是一些常见的带有特定因式的多项式，例如二次差、平
方差等等。
这些特殊因式公式可以直接根据公式进行因式分解。
例如，多项式x^2-4可以根据平方差公式写成(x+2)(x-2)的形式。
四、分组分解法
分组分解法是将多项式中的项按照相同的显式因式分成不同组，然后分别求组内的公因式，再将这些公因式相乘，得到多项式的因式。
例如，多项式2x^3+8x^2+5x+20可以分成(2x^3+8x^2)+(5x+20)的形式，再分别提取公因式2x^2和5，得到2x^2(x+2)+5(x+4)的形式。
总的来说，多项式因式分解是解决复杂多项式问题的重要手段，需要对各种因式分解方法进行综合运用，找到合适的方法对多项式进行因式分解。
多项式的因式分解方法
多项式的因式分解方法在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。
多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。
本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。
一、公式法公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。
它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。
1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。
例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为$(x+3)(x+3)$。
2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。
例如，对于多项式$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。
3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。
例如，对于多项式$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。
二、提公因式法提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。
1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。
例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。
2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。
例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。
多项式的分解与因式分解
多项式的分解与因式分解多项式是单项式的和，而单项式又是常数与变量的乘积。
多项式的分解和因式分解是数学中的重要概念和技巧，它们在代数运算和解方程中起到关键作用。
本文将以通用的数学论述方式来解释多项式的分解与因式分解的概念和应用。
一、多项式的分解多项式的分解是将一个多项式拆分为两个或多个较简单的多项式之和。
通过分解，我们可以更容易地对多项式进行运算和求解。
以下是几种常见的多项式分解方法：1. 提取公因式法：提取公因式法是多项式分解的最基本方法之一。
它适用于多项式中有公因式的情况。
具体步骤如下：（1）观察多项式中的各项，找出它们的公因式；（2）将公因式提取出来，并写在括号外；（3）将剩余的部分写在括号内，用加号连接。
例如，对于多项式6x^2 + 9x，我们可以观察到6和9都可以被3整除，所以可以提取出3作为公因式，分解为3(2x^2 + 3x)。
2. 公式法：公式法是根据一些特定的公式进行分解的方法。
例如，平方差公式和差平方公式是常见的用于分解二次多项式的方法。
通过应用这些公式，我们可以将二次多项式分解为一对平方差或差平方的形式。
3. 平方差公式：平方差公式是分解二次多项式最常用的方法之一。
它适用于形如a^2 - b^2的多项式，其中a和b可以是变量或数字。
平方差公式的表达式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以使用平方差公式将其分解为(x + 2)(x - 2)。
4. 差平方公式：差平方公式是平方差公式的逆运算，用于将一对平方差形式的多项式分解为二次多项式。
差平方公式的表达式为：(a + b)(a - b) = a^2 -b^2。
例如，对于多项式9x^2 - 4y^2，我们可以使用差平方公式将其分解为(3x + 2y)(3x - 2y)。
二、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式拆分为较为简单的乘积形式，其中每个乘积因子被称为该多项式的因子。
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
多项式的标准分解式
多项式的标准分解式多项式是代数学中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在代数学中，多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式。
而多项式的标准分解式则是将一个多项式表示为一组不可约的因式的乘积，是将多项式进行因式分解的一种标准形式。
在本文中，我们将探讨多项式的标准分解式的概念、求解方法以及应用。
首先，让我们来了解一下多项式的标准分解式的概念。
多项式的标准分解式是将一个多项式表示为一组不可约的因式的乘积形式。
不可约的因式是指无法再进行因式分解的因式，它们是多项式的最基本的组成部分。
通过将多项式进行因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质和结构，从而更好地应用多项式解决实际问题。
接下来，我们将介绍多项式的标准分解式的求解方法。
对于一般的多项式，我们可以通过以下步骤来求解其标准分解式：1. 将多项式进行因式分解，将其表示为一组不可约的因式的乘积形式；2. 对每个不可约因式进行进一步的分解，直到无法再进行因式分解为止。
通过以上步骤，我们可以得到多项式的标准分解式。
需要注意的是，求解多项式的标准分解式需要一定的代数技巧和方法，有时候可能需要使用因式分解公式或者其他方法来进行求解。
除了求解方法，多项式的标准分解式还有着广泛的应用。
在数学领域，多项式的标准分解式可以帮助我们更好地理解多项式的性质，比如零点、极值等，从而更好地解决数学问题。
在实际问题中，多项式的标准分解式也有着重要的应用，比如在工程、经济学、物理学等领域都可以看到多项式的应用，而多项式的标准分解式则可以帮助我们更好地理解和求解这些实际问题。
总之，多项式的标准分解式是多项式的一种标准形式，它可以帮助我们更好地理解多项式的性质和结构，从而更好地应用多项式解决实际问题。
通过对多项式的标准分解式的求解方法和应用进行了解，我们可以更好地掌握多项式的知识，提高数学解决问题的能力，也可以更好地应用多项式解决实际问题，发挥多项式在数学和实际问题中的作用。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
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qs x .
则有① r=s； ② 适当调整 q j x 的位置后，有
qi x ci pi x ,
i 1, 2,
,r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
q1 c1 p1 p2 ( x)
1 1 1 2
pr ( x) c1q2 x
qs x
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c c p c2 p2 , qi ci pi , i 3,4, , r
故
qi ci pi , i 1,2, , r
例如：
f x 5 x 3 x 2 x 1 ,
5 3
g x 7 x 3 x 1
3
4
x 1 ,
3
则 f x , g x x 3 x 1 虽然根据多项式的标准分解式写出
f x , g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
第一章 多项式
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x , , pl x 为 F x 的首一不可约多项式，
证： 若 p x f x , 则结论成立； 若 p x
第一章 多项式
f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x , f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
p x g x.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x 则 p x 必整除某个 fi x ,1 i s. 二、因式分解
x 2 1 x
第一章 多项式
2 1 x
f x x 6x 1
4 2
2 1 x 2 1
x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
第一章 多项式
4 f x x 4 在 Q x , R x , C x 求 例1.5.2：
上的标准分解式。
f x x 2 2 x 2 2 ; 解： 在Q上：
在Q x 上
2 f x x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2
2 2 f x x 1 x 在R x 上 2 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
第一章 多项式
则 p x f x p x , f x 1. 证：设 p x , f x d x , 由 d x f x d x 1 或 d x cp x . 若 d x 1, 则 p x , f x 1. 若 d x cp x , 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x 则 p x f x 或 p x g x.
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
f x g x h x g n, h n. 2、若 f x 可约，
由假设知 g x , h x 均可分解为不可约多项式的乘积。 问题： 多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？
fs x .
问题： f x F x, f 0, f x 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1：F x 中任一个n n 0 次多项式 f x 都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
第一章 பைடு நூலகம்项式
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x p1 x p2 x
第一章 多项式
pr x q1 x q2 x
qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x) qs (x)，
为方便起见不防设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
§1.5 多项式的分解
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于F x 中任一个多项式 f x , c F 及cf x 总是 f x 的因式。 这样的因式称为平凡因式。
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
还是采用辗转相除法。
第一章 多项式
问：如何求 f x 的标准分解式？ 在 Q x, R x 中的标准分解式。
2 即有 x 1 f x 。
4 2 f x x 3 x 2, 例1.5.1：求
解： 利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
首项系数 k1 , , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解 式。 1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
第一章 多项式
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x , g x .
第一章 多项式
若 f x p1 x p2 x
pr x , 取 c1c2
cr 1.
则 f x c1 p1 x c2 p2 x cr pr x , 可见 f x 分解式不唯一。
F x 中任一个次数大于零的多项式 定理1.5.2： f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x 在数域F上可约。
第一章 多项式
由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x 2 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质 性质1 若 p x 不可约，则 cp x 也不可约， c 0, c F . f x F x , 性质2 若 p x 是不可约多项式，
f x 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， 还有没有其他的因式？
第一章 多项式
一、不可约多项式 1、定义 定义1.5.1 设 f x 是 F x 中次数大于零的多项式，
f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域 如果在 F x 中，
若 f x 除平凡因式外，在 F x 中还有 F上不可约。 其他因式， 则称 f x 在数域F上可约。 等价定义：如果 F x 中一个 n n 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x , h x 的积，即 f x g x h x , 则称
在R上：f x x 2 x 2 x 2 2 ;
在C上： f x x 2 x 2 x 2i x 2i . 例1.5.3：在R上分解
2 2 f ( x ) x 2 2 x 1 x 2 2x 1 解：
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
第一章 多项式
f x p1 x p2 x
pr x ,
f x p1 x p2 x
pr x q1 x q2 x