三角形与三角形有关的线段
与三角形有关的线段
与三角形有关的线段
三角形是最简单的几何图形之一，在这种多边形中，有许多与之相关的线段：
1. 三角形的腰线：它是三角形中心点到其任意顶点所确定的线段，也就是两条腰线将三角形分割成两部分。
2. 三角形的角线：它是三角形的内角所对应的三条边的线段，可以用来计算三角形的内角度数。
3. 三角形的直径线：它是三角形的三角边连线的半径线，可以用它来计算三角形的面积。
4. 三角形的三边线：它们连接三角形的三个顶点，是三角形的基本元素。
5. 三角形的角平分线：它从三角形的内角出发，连接该角的对边点，可以用它将三角形分割为两个等边三角形。
6. 三角形的外心线：它是三角形三条内角线所连接的线段，用来确定三角形的外心位置。
7. 三角形的垂直线：它是三角形内接圆的半径线，可以使用它来求出三角形的外接圆半径。
8. 三角形的对边线：用来连接三角形的两条对边，可以用它来求出三角形的内角边长。
9. 三角形的角边线：用来连接三角形的三角边，可以用它来求出三角形的内角度数。
以上就是与三角形有关的线段。
通过弄清楚这些线段及其特征，我们就能够推导出更多三角形的性质，从而更好地描述三角形。
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
三角形第一节 与三角形有关的线段经典讲义
1初二暑期课程第一讲三角形定义及相关知识点：1、三角形的分类：按角分可以分为_______________________________________; 按边分可以分为：___________________________________________________;2、三角形的三边关系定理： ________________________________________________.3、三边关系定理的推论：___________________________________________________________. 三角形的重要线段重要知识点：1.三角形的高可以在三角形内、在三角形外、在三角形的边上。
2.任意三角形的三条高所在__________必交于一点。
3.三角形的中线可以把三角形的面积分成______的两部分。
4.定义辨析：角的平分线是____________,三角形的平分线是________. 随堂练习1：1.三角形的一条高是一条 （ ） A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线2.下列各组线段中能组成三角形的是（ ）A.a=6,b=8,c=15B.a=7,b=6,c=13C.a=4,b=5,c=6D.a=12,b=14,c=183.下列说法中，正确的是 （ ）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 4.如图7-1-1，AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD 、CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中正确的是（ ） A.OE 为△ABD 中AB 边上的高 B.OD 为△BCE 中BC 边上的高 C.AE 为△AOC 中OC 边上的高 D.OF 为△AOC 中AC 边上的高 5.如图7-1-2，AD 是△ABC 的角平分线，则∠ =∠ =12∠ ；E 在AC 上，且AE=CE,则BE 是△ABC 的 ；CF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =900，CF AB.6.如图7-1-3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE= .7.如图7-1-4,以AD 为高的三角形共有 .8.已知BD 是△ABC 的中线，AB 长为5cm ，△ABD 与△BDC 的周长差为3cm.求BC 的长.CABEF图7-1-2ABD E C图7-1-3ABD C图7-1-4A BCFE O 图7-1-1。
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
7.3 认识三角形(与三角形有关的线段) 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练
专题7.17 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB 分别用b、c表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段➽➼三角形的边段➽➼概念✭✭分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出的边和角．（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：，，，，，共5个；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，再以DE为边三角形有△DEC，一共有5个三角形分别为，，，，；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．【答案】的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段➽➼构成三角形条件✭✭确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm；【答案】（1）不能，因为3cm＋4cm ＜8cm；（2）不能，因为5cm＋6cm＝11cm；（3）能，因为5cm＋6cm＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a，b，c能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a，b，c能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明即可．解：三条线段a，b，c能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知，∴三条线段a，b，c能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) (2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：中，，，，求的范围．【答案】【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∵是的三边，∴，即：，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段➽➼三角形的高➽➼作图✭✭求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1) 画出中边上的高；(2) 直接写出的面积为___．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：．故答案为：【点拨】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．举一反三：【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，分别是的中线和高，，．求和的长．【答案】，【分析】利用，求出，再根据是的中线，得到，即可得解．解：由题意，得：，∴，∵是的中线，∴，∴．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，分别是的高，若，求的长．【答案】【分析】利用，根据等面积法即可求解．解：∵分别是的高，∴∵，∴,∴．【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．类型四、与三角形有关线段➽➼三角形中线➽➼求线段长✭✭求面积✭✭周长7．如图，在中边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设，则，边上的中线把的周长分成和两部分，，当时，，解得：，，，，，，满足三边关系，；当时，，解得：，，，，，不满足三角形三边关系，所以舍去，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：(1) 的面积；(2) 的长度；(3) 与的周长的差．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线，得到；（2）利用面积法得到，即可求出的长；（3）由的周长－的周长=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中线，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是边上的中线，，的周长－的周长=，即和的周长差是．【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．(1) 当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？(2) 当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？(3) 当t为何值时，的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒【分析】（1）先求出的周长为24cm，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①P在上；②P在上．解：（1）中，∵，，，∴的周长，∴当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，∴，解得．故答案为：6；（2）当点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，∴，解得．故答案为：6.5；（3）分两种情况：①当P在上时，∵的面积=12，∴，∴，∴，；②当P在上时，∵的面积=12=面积的一半，∴P为中点，∴，．故t为2或6.5秒时，的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．举一反三：【变式】已知的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 是的边BC上的中线，如图1，则的面积为（用含S的式子表示，下同）；是的边上的中线，如图2，则的面积为；是的边上的中线，如图3，则的面积为；……(2) 在图2022中，是的边上的中线，则的面积为.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1，∴；又∵是的边上的中线，如图2，∴；∵是的边上的中线，如图3，∴，故答案为：，，（2）解：∵，，，，以此类推，可得，∴当时，，故答案为：【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．类型五、与三角形有关线段➽➼三角形角平分线➽➼求线段长✭✭求面积9．如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．举一反三：【变式】如图，点为直线上一点，，平分，求证：AB CD．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：平分，，，，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，中，按要求画图：(1) 的平分线；(2) 画出中边上的中线；(3) 画出中边上的高．【分析】（1）画出的平分线交于D即可；（2）取的中点E，连接，中线即为所求；（3）过点C作交的延长线于F，即为中边上的高．（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，中线即为所求；（3）解：如图，高即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：(1) 画出沿方向平移2个单位后的；(2) 与的重叠部分面积为多少？【答案】(1)图见分析(2)重叠部分面积为10【分析】（1）根据题意画出沿方向平移2个单位后的即可；（2）正方形的边长为1，根据图形进行求解即可．解：（1）沿方向平移2个单位后的如图所示：（2）∵正方形的边长为1，根据（1）中的图形可得，重叠部分的面积为：．【点拨】本题考查了作图—平移变换，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．类型六、与三角形有关线段➽➼三角形的稳定性✭✭四边形的不稳定性9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）①④⑥；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；②四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①是三角形，稳定性；②四边形，稳定性．【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；②根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；②四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》说课稿
3.技术工具：网络资源、在线学习平台等，提供丰富的学习资料，拓展学生的学习视野。
它们在教学中的作用主要有：
1.直观展示几何图形和性质，降低学生的理解难度。
2.提供丰富的学习资源，满足学生的个性化学习需求。
3.创设生动、有趣的学习情境，激发学生的学习兴趣。
人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》，它是整个课程体系中几何部分的重要内容，主要介绍了三角形的中线、高线、角平分线等基本概念及其性质。这部分内容是对三角形知识的深入探究，旨在帮助学生巩固对三角形基本概念的理解，并为后续学习相似三角形、解直角三角形等知识打下基础。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采用以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.通过动态PPT或几何画板展示三角形的中线、高线、角平分线的定义和性质，让学生直观地理解这些概念。
2.结合实际例题，讲解中线、高线、角平分线的判定方法和应用，让学生在具体情境中掌握知识。
3.分步骤演示如何准确地画出三角形的中线、高线、角平分线，并指导学生进行动手操作，加深对知识点的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.基础练习：布置一些基本的画图题目，如画出给定三角形的中线、高线、角平分线，让学生独立完成。
2.提高练习：设计一些综合性的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，如求三角形的面积、判断三角形的类型等。
3.小组合作活动：组织小组讨论，让学生共同探究与三角形有关的线段在生活中的应用，培养学生的团队合作能力和创新思维。
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
专题01 与三角形有关的线段
专题01 与三角形有关的线段【思维导图】◎题型1：三角形的有关概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．备注：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．例．（2022·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．V没有公共边的三角形是( )变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，与ABCA ．CDEV B ．BCE V C ．ABE V D ．BCDV 【答案】A【解析】【分析】直接找两个三角形的公共边即可．【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边．A ，两个三角形没有公共边；B ，两个三角形的公共边为BC ；C ，两个三角形的公共边为AB ；D ，两个三角形的公共边为BC ．故选A ．【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据三角形的定义判断即可．【详解】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键．变式3．（2022·全国·七年级）如图，在34´的正方形网格中，能画出与“格点ABC V ”面积相等的“格点正方形”有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】求出ABC V 的面积为4，然后作出面积为4的格点正方形即可．【详解】解：12442ABC S V =´´=，则可画出的格点正方形如图：共有6个，故选：C．【点睛】本题考查了格点图形的面积计算，掌握基本图形的性质是解题的关键．◎题型2：三角形的个数问题例．（2021·重庆巫溪·八年级期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（）A．10B．15C．21D．28【答案】C【解析】【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；第②个图中三角形的个数为3=1+2；第③个图中三角形的个数为6=1+2+3；…，故第n个图中三角形的个数为(1) 1232n nn++++⋅⋅⋅+=，故第⑥个图形中三角形的个数为：()661=212´+，故选：C．【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．变式1．（2021·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【解析】【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意；D、拿掉AD，AG，GD后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．变式2．（2021·重庆南开中学七年级期中）如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有MN为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（）A．55B．78C．96D．105【答案】B【解析】【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解．【详解】解：第①个图形中有1+2=3个三角形；第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；…第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．变式3．（2018·浙江·温州育英学校八年级阶段练习）图中，三角形的个数为（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5个．故选A．【点睛】此题考查三角形，解题关键在于掌握其性质.◎题型3：三角形的分类(1)按角分类：备注：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：备注：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.例．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）在ABC V 中，85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法判断【答案】C【解析】【分析】根据85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，求出B Ð和C Ð的度数，作出选择即可．【详解】解：∵ABC V 中，85A Ð=°，B Ð比A Ð小20°，∴20852065B A Ð=Ð-°=°-°=°，∴180180658530C B A Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴ABC V 是锐角三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了角度的计算，三角形内角和定理，掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的角的特征是解答本题的关键．变式1．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【答案】B【解析】【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．变式2．（2021·宁夏·固原市原州区三营中学八年级阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的内角即可判断．【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，∴这个三角形的内角分别为118030123´=++o o，218060123´=++o o，318090123´=++o o,∴这个三角形是直角三角形，故选A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识．变式3．（2021·全国·七年级课时练习）锐角ABC V 中，12B C Ð=Ð，则B Ð的范围是（ ）A ．1020B °<Ð<°B ．2030B °<Ð<°C ．3045B °<Ð<°D ．4560B °<Ð<°【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形的定义：三个角都小于90度的三角形和三角形内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵∠A +∠B +∠C =180°，∠C =2∠B ，∠A ＜90°，∠B ＜90°，∠C ＜90°，∴∠A +3∠B =180°，2∠B ＜90°，∴∠A =180°-3∠B ＜90°，∠B <45°，∴30°＜∠B ＜45°，故选C ．【点睛】本题主要考查了锐角三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．◎题型4：三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 备注：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．例．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．变式1．（2022·重庆巴南·八年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可．【详解】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；故选：B．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．变式2．（2022··八年级期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性D．三角形的任意两边之和大于第三边【答案】C【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．变式3．（2020·陕西渭南·八年级期中）下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．高架桥的三角形结构D．伸缩晾衣架【答案】D【解析】【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】解：由四边形组成的伸缩衣架是利用了四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选D．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．◎题型5：三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.备注：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.例．（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）下列三条线段，首尾顺次相连不能围成三角形的是（）A．2、4、5B．10、10、10C．3、3、6D．7、24、25【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．【详解】解：A、425+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意；B、101010+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意；+=，不能构成三角形，故此选项符合题意；C、336D、72425+>，故能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．变式1．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，在ABC V 中，若D ，E 分别为,AB AC 的中点，若2,3DE CE ==，则AB 的取值范围（ ）A ．15AB <<B ．17AB <<C ．28AB <<D ．210AB <<【答案】D【解析】【分析】根据线段中点和三角形中位线定理求出AC 、BC 的长，即可利用三角形三边的关系求出AB 的取值范围．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE =2，CE =3，∴DE 是△ABC 的中位线，AC =2CE =6，∴BC =2DE =4，∵AC -BC ＜AB ＜AC +BC ，∴2＜AB ＜10，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边的关系，正确求出AC 、BC 的长是解题的关键．变式2．（2022·四川达州·七年级期末）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜32B ．0＜x ＜16C ．8＜x ＜16D ．8＜x ＜32【答案】C【解析】【分析】先用含x 的代数式表示出底边的长度，再根据三角形三边关系得到关于x 的不等式组，求解即可．【详解】解：Q 等腰三角形的周长为32，腰长为x ，\ 底边长为(322)x -，根据三角形三边关系，得322322x x x x x x+>-ìí-<-î 解得816x <<故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的定义，不等式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．变式3．（2022·山东泰安·七年级期末）在ABC V 中，A Ð、B Ð、C Ð的对边分别是a 、b 、c ，则下列条件不能判定ABC V 是直角三角形的是（ ）A ．C AB Ð=Ð-ÐB ．::5:2:3A B C ÐÐÐ=C ．35a c =，45b c =D ．::2:2:4a b c =【答案】D【解析】【分析】根据三角形的内角和，三角形两边之和大于第三边，勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A 、∠C =∠A −∠B ，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，则∠A ＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，则∠A ＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、由35a c =，45b c =，得a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；故此选项不符合题意；D 、a :b :c =2:2:4，设a =2k ，b =2k ，c =4k ，a +b =c ，不能构成三角形，故此选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理逆定理，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握这些知识点．◎题型6：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；备注：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.例．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是V ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是V ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是V ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是V ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵ 线段CD 是V ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∵ 线段CD 是V ABC 的AB边上的高线，∴B 正确，符合题意；∵ 线段AD 是V ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∵线段AD 是V ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．变式1．（2022·陕西师大附中三模）如图，AD 是ABC V 的高，BE 是ABC V 的角平分线，40,80а=°Ð=BAD BEC ，则DAC Ð的大小是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线和三角形内角和定理求出BAD Ð的度数，再利用角平分线的定义求出ABE Ð的度数，然后由三角形内角和定理求出C Ð的度数，最后用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵AD 是ABC V 的高，∴90ADB ADC Ð=Ð=°．∵40BAD Ð=°，∴180180904050ABD ADB BAD Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．∵BE 是ABC V 的角平分线，∴11502522ABE CBE ABD Ð=Ð=Ð=´°=°．∵80BEC Ð=°，∴180180258075C EBC BEC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．∵90ADC Ð=°，∴180180907515DAC ADC C Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高线和角平分线的定义，三角形内角和定理．求出C Ð的度数是解答关键．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线．则下列结论错误的是（ ）A ．BF ＝CFB ．∠BAF ＝∠CAFC ．∠B ＋∠BAD ＝90°D ．2ABC ABFS S =△△【答案】B【解析】【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的概念进行判断即可．【详解】Q AF 是中线12BF CF BC \== 故A 选项正确，不符合题意；,ABC ABF D D Q 同高2ABC ABFS S \=△△故D 选项正确，不符合题意；Q AE 是角平分线\ ∠BAE ＝∠CAE故B 选项错误，符合题意；Q AD 是高90ADC \Ð=°\ ∠B ＋∠BAD ＝90°故C 选项正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握这些概念是解题的关键．变式3．（2021·山东·乳山市教学研究中心二模）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心．【问题解决】如图，在ABC V 中，40ABC Ð=°，62ACB Ð=°，H 为ABC V 的垂心，则BHC Ð的度数为（ ）A ．120°B ．115°C ．102°D ．108°【答案】C【解析】【分析】如图，延长,,BH CH 分别交,AC AB 于,,K M 证明90,AMC AKB Ð=Ð=°再利用三角形的内角和定理求解,A Ð 再利用四边形的内角和定理可得答案.【详解】解：如图，延长,,BH CH 分别交,AC AB 于,,K MH Q 为ABC V 的垂心，,,BK AC CM AB \^^90,AMC AKB \Ð=Ð=°40,62,ABC ACB Ð=°Ð=°Q180406278,BAC \Ð=°-°-°=°360102MHK AMC AKB A \Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，∴∠BHC =102°．故选：.C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，垂心的定义，正确理解垂心的定义构建需要的四边形是解题的关键.◎题型7：三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC.备注：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.例．（2022·山东省济南实验初级中学七年级期中）如图，在ABC V 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（ ）A ．17B ．23C ．25D ．28【答案】A 21【解析】【分析】根据三角形中线的性质可得AD BD =，进而根据三角形周长可得12BD AD +=，进而即可求解．【详解】解：∵在ABC V 中，BD 为AC 边上的中线，∴AD CD =,Q 8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，20812BD AD \+=-=,\ABD △的周长为51217AB BD AD ++=+=．故选A【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．变式1．（2022·河北保定·三模）下列尺规作图，能确定AD 是ABC V 的中线的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案．【详解】解：A ． AD 为BC 边的中线，所以A 选项符合题意；B ．点D 为AB 的垂直平分线与BC 的交点，则DA =DB ，所以B 选项不符合题意；C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意；D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）A．角平分线B．高C．中线D．不能确定【答案】B【解析】【分析】根据垂线段最短解答．【详解】∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，∴最短的是高线．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键．V中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，变式3．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在ABCV的面积为（）CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则ABCA．8平方厘米B．12平方厘米C．16平方厘米D．18平方厘米【答案】C【解析】【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F 为CE 的中点，可以得到△AEC 的面积为8，因为D 是AC 的中点，可以得到△ADE 的面积，同理，得到△ABE 和△BEC 的面积，问题即可解决．【详解】解：∵F 为CE 的中点，∴EF =CF ，∵阴影部分图形面积等于4平方厘米，∴S △AEC =2S △AEF =8平方厘米，∵D 是AC 的中点，∴AD =CD ，∴S △AED =S △CED =4平方厘米，∵E 为BD 的中点，∴S △AEB =S △AED =4平方厘米，同理，S △BEC =S △CED =4平方厘米，∴△ABC 的面积为：S △ABE +S △BEC +S △AEC =4+4+8=16（平方厘米），故选：C ．【点睛】本题考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键．◎题型8：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .备注：（1）三角形的角平分线是线段； 21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.例．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线【答案】D【解析】【分析】Ð=Ð，作出选择即可．根据折叠的性质可得CAD BAD【详解】解：如图，Ð=Ð，∵由折叠的性质可知CAD BAD∴AD是BACÐ的角平分线，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．变式1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）下列说法正确的是（）A．三角形的三条高都在三角形的内部B．等边三角形一角的平分线是一条射线C．三个角对应相等的三角形全等D．两直角边对应相等的两个直角三角形全等．【答案】D【解析】【分析】由三角形的高的含义可判断A，由三角形的角平分线的含义可判断B，由全等三角形的判定可判断C，由SAS公理可判断两个三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】三角形的三条高都在三角形的内部，表述错误，直角三角形与钝角三角形都不满足，故A不符合题意；等边三角形一角的平分线是一条线段，故原表述错误，故B不符合题意；三个角对应相等的三角形不一定全等，故原表述错误，故C不符合题意；两直角边对应相等的两个直角三角形全等．加上两个直角对应相等，符号SAS公理，表述正确，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，三角形的角平分线的含义，三角形全等的判定，掌握“三角形全等的判定方法”是解本题的关键.变式2．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解析】【分析】根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意；折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．变式3．（2022·浙江杭州·八年级期末）在ABC V 中，线段AP ，AQ ，AR 分别是BC 边上的高线，中线和角平分线，则（ ）A ．AP AQ£B ．AQ AR £C ．AP AR >D ．AP AQ >【答案】A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵线段AP 是BC 边上在的高线，∴根据垂线段最短得：PA ≤AQ ，P A ≤AR ，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．。
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不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做I三角形I。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
1、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2、三角形ABC用符号表示为△ ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b 表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
连接三角形的与对边的线段，叫做三角形的中线
拓展：三角形中线分三角形面积相等的两个三角形
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段，叫做三角形的角平分线.
提示：
1、三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部；
2、而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
例题1. 一个等腰三角形的周长为32cm,腰长的3倍比底边长的2倍多6cm.求各边长.
例题2.已知：△ ABC的周长为48cm,最大边与最小边之差为14cm,另一边与最小边之和为25cm,求：△ ABC的
各边的长。
例题3.已知△ ABC的周长是24cm,三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.
例题4.已知等腰三角形的周长是16cm.
（1 ）若其中一边长为4cm,求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm,求另外两边长；
（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长.
例题5.已知等腰三角形的周长是25, 一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角
形各边的长。
例题6.已知：△ ABC的周长为48cm,最大边与最小边之差为14cm,另一边与最小边之和为25cm,求：△ ABC的
各边的长。
例题7.如图所示，已知在厶ABC中，AB=A（=8, P是BC上任意一点，PD丄AB于点D, PE± AC于点E.若厶ABC的面积为14,问：PD+PB的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由
1.下列说法错误的是（）.
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点；
B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；
D.三角形的三条高可能相交于外部一点
2.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A.1、2、3
B.1、2、4
C.2、3、4
D.2、3、6
3.已知三角形的周长为15cm,且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（）
A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm
4.已知三角形的三边长分别为4、5、x,则x不可能是（）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
5.等腰三角形的底边BC=8cm且|AC—BC|=2cm,则腰长AC为（）
A.10cm 或6cm
B.10cm
C.6cm
D.8cm 或6cm
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）
A.5
B.6
C.7
D.8
7.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[]
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
8.如图，在厶ABF中，/ B的对边是（）
A.AD
B.AE
C.AF
D.AC
（第8题）（第9题）（第10题）
9.已知，如图所示，△ ABC的顶点坐标分别为A（-4,-3）,B（0,-3）,C（-2,1），如将B点向右平移2个单位后再向上
平移4个单位到达B点，若设△ ABC的面积为S i, △ ABC的面积为S,则S,S2的大小关系为（）
A.S i>S
B.S i=S2
C.S i<S
D.不能确定
10.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4 4
的方格纸中，找出格点。
，使厶ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是（）.
A.8
B.9
C.10
D.11
11.图中有个三角形，用符号表示为
（第11题）（第12题）（第13题）
1
12.如图，人。
是厶ABC的角平分线，则/ =/ =— /; E在AC上，且AE=CE则BE是厶ABC的;。
卩是厶ABC的高，
2
则/ =/ =90°, CFAB.
13.如图,AD是厶ABC的中线,AE是厶ABC的角平分线,若BD=2cm贝U BC=;若/ BAC=6°,则/ CAE=
14.如图，以AD为高的三角形共有个_
（第14题）（第15题）（第2°题）
15.如图，AB丄BD于B,DC丄AC于C,AC与BD交于点E,则厶ADE的边DE上的高为，AE上的高为
16.长为11 , 8, 6, 4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是
17.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm则第三边长x的取值范围是________ . ?
若x是奇数，则x的值是_______ ；这样的三角形有_______ 个；？若X?是偶数，则X?的值是________ ；这样的三角形又有________ 个.
18.现有8根木棒，它们的长分别是1,2,3,4,5 , 6,7,8，若从8根木棒中抽取3根拼成三角形，要求三角形的最
长边为8,另两边之差大于2,那么可以拼成的不同的三角形的有种。
19.一个三角形的两边长分别是3和8,则第三边的范围是
20.如上图，BD=DE=EF=F,那么，AE是__________ 的中线。
21.三角形三边的比是3 : 4 : 5,周长是96cm,那么三边分别是 ___________cm.
22.已知等腰三角形的周长是25cm,其中一边长为10cm,求另两边长 _____________
23.已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.
24.已知a、b、c ABC的三边长，b、c满足（b-2 ）2+ | c-3 | =0，且a为方程|x-4 | =2的解，求△ ABC的周长，判断△ ABC的形状.
25.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5, ?若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为
多少？
26.已知，△ ABC的周长为18cm, BE CF分别为AC AB边上的中线，BE CF相交于点O, AO的延长线交BC于D, 且
AF=3cm,AE=2cm 求BD的长.
1.如图，已知AD AE分别是△ ABC的高和中线，AB=8厘米，AC=6厘米，BC= 10厘米，/ CAB=90,试求：
（1）AD的长；
（2 ）△ ABE勺面积；
（3 ）△ ACEf^ ABE勺周长的差。
2.如图，ABC的中线，BE为厶ABD的中线.
(1 )Z ABE=15，/ BAD=40，求/ BED的度数；
(2 )在厶BED中作BD边上的高；
(3)若厶ABC的面积为40, BD=5,则点E到BC边的距离为多少？
3.如图，在三角形ABC中，AD丄BC, B E X AC, CF丄AB, BC=16, AD= 3, BE=4, CF=6,你能求出三角形
ABC的周长吗？。