高等数学习题册汇总 答案(2014)

部分参考答案
练习 1—1
第一章
4． 2 sin2 x ．
练习 1—3
4．（1）2 ；（2） 1 ；（3）2； （4） 1 ；（5） 不存在．
4
4
练习 1—5
2．(1) 3 ； (2) −4 ； (3) 2x ； (4) 2 ；(5) 0 ； (6) 2 ； (7) 3 ； (8) 1 ；
2
3
3
2
2
(9) −1 ；(10) 1； (11) 0 ； (12) 0 ； (13) 0 ；(14) 2 ． 2
2
44
4．(1) dy =
cos x
dx ；(2) dy = x + y dx .
2 sin x(1− sin x)
x− y
安徽建筑大学 2014 级高等数学 A 练习题 124
部分参考答案
5．(1) 0.76 (2) 1.0067 ．
复习题二
1．(1) −1 ； (2) 2 f (x) ⋅ f ′(x) ； (3) y = 4x + 6 ； (4) (ln(e −1), e −1) ；
2
34
练习 2—1
4． a = −2,b = 1 .
第二章
练习 2—2
2．(1) 1 ； x
(2) 2xf ′(x2 ) ； (3) g(sin2 x) sin 2x ；
(5) 5 ； 5
(6) (a − b)(a − c)(a − d ) ；
⎧2x,
(7)
⎨ ⎩
ex
,
x<0
．
x>0
(4) − ln a ；
f极小 = f (−1) = −3 ； f极大 = f (1) = 3 ． 当 x < − 3, 0 < x < 3 时， f ( x) 为凸函数；当 − 3 < x < 0, 3 < x < +∞ 时， f ( x) 为凹
安徽建筑大学 2014 级高等数学 A 练习题 126
部分参考答案
⎛ 函数． 拐点： ⎜⎜⎝ −
复习题四 1.计算下列各题:
(1). − a2 − x2 + C .
( ) (2). 1 ln x2 + 4x +13 − 1 arctan x + 2 + C .
2
3
3
(3). − 1− x2 arccos x − x + C .
(4). 1 x2 − 1 x sin 2x − 1 cos 2x + C .
(10)
1
;
( ) 2 e−2x − e−x
(11)
−
arctan(1 −
1 x)( x 2
−
2x
+
2)
dx
.
2．(1) −
1
sin2 1
ex
sin
2 dx ；(2) 1
；(3) − 2(1+
y2)
；(4)
x2
x
2
y5
24
sin
⎛ ⎜⎝
2
x
+
5
⋅
π 2
⎞ ⎟⎠
；
( ) (5)
⎡ ⎢2 ⎢⎣
x
ln
(
x
2．(1)当 x = −3 时， y 有极大值为 y (−3) = 21 ；当 x = 1 时， y 有极小值为 y (1) = −11 .
（2） x = 0 y x=0 = 0 为极小值.
（4）函数在 (−∞, +∞) 内无极值.
1
（3） x = e . y (e) = ee 为极大值.
3．（1）函数的最大值为 y x=0 = 26 ，函数的最小值为 y x=2 = −6 . （2）函数的最大值为 y x=0 = 0 ，函数的最小值为 y x=−1 = −2 . 4． x = −3 为最小值点，最小值为 y x=−3 = 27 ．
(3).
x+ 1
e x + C . (4).
ln x2 − 3x + 8 + C .
(5).
x2 −1 + C . (6).
x
+C .
x
a2 x2 + a2
练习 4—3
1. (1). − 1 x−2 ln x − 1 x−2 + C . (2). −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C .
( ) 3．
xex
=
x
+
x2
+
x3 2!
+"+
(
n
xn
−1)!
+
o
xn
.
4． ln (1+
x)
=
x
−
x2 2
+
x3 3
−
x4 4
+
x5 5
−
x6 6!
1 (பைடு நூலகம் + θ
x)6
,(0
<θ
< 1)
,
ln1.2 = ln (1+ 0.2) =0.1823, R5 (0.2) ≤ 0.0000107 .
5．（1） − 1 ；（2） 7 .
44
8
(5). 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4 arctan ex −1 + C .
+ 2)(x 1+ x
−
3)
+
(
x
x2 3x2 + 2)(x −
−7 3)( x
+
1)
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎛ ⎜⎝
(
x
+ 2)(x 1+ x
−
3)
⎞x2 ⎟⎠
(6)
n!
．
3． a = b = −1 . 5． ϕ(a) . 6． 9.
第三章
练习 3—2
2．（1）1；（2）− 5 ；（3）2 ；（4）1；（5）3 ；（6）1；（7）2 ；（8）1；（9） 1 ；（10）e−1 ；
2
12
练习 3—4
安徽建筑大学 2014 级高等数学 A 练习题 125
部分参考答案
4．（1）函数在
⎛ ⎜⎝
−∞,
1 4
⎤ ⎦⎥
上单调减少，函数在
⎡ ⎢⎣
1 4
,
+∞
⎞ ⎠⎟
上单调增加.
（2）函数在[0, n] 上单调增加；函数在[n, +∞) 上单调减少.
5．（1）曲线 y 在 (−∞, 2] 上是凸的；曲线 y 在[2, +∞) 上是凹的，故点 (2,12) 为拐点.
3
6
3
3
( ) (3). 3 ln x2 − 2x + 5 + 1 arctan x −1 + C ;
2
2
2
(4).
1 ln 3
tan
x 2
⎛ ⎜⎝
3
+
tan 2
x 2
⎞ ⎟⎠
+C
;
(5). 1 sec2 x + ln tanx + C ; 2
(6). 2 x − 2 + 2 arctan x − 2 + C . 2
3
2
（11） e ．
练习 3—3
1． 8 +10(x −1) + 9(x −1)2 + 4(x −1)3 + (x −1)4 .
2．
1 x
=
−
⎡⎣1 +
(
x
+1)
+
(
x
+ 1)2
+"+
(x
+ 1)n
⎤ ⎦
+
( −1)n+1
ξ
−(n+2)
(x
) + 1 (n+1)
，
(其中ξ 介于 x 与 −1之间).
3,
−
3
3 2
⎞ ⎟⎟⎠
；
(
0,
0
)
；
⎛ ⎜⎜⎝
3,
3
3 2
⎞ ⎟⎟⎠
．
6． a = −3;b = 0;c = 1 ．
7．（1） S = 1 x 1− x2
(0 < x < 1) ． （2）当 x = 2 时， S 有最小值 2．
2
8.（1）当 k < −1 时， f ( x) 有两相异实根；（2）当 k = −1 时， f ( x) 在 (0, +∞) 内只有一实
(5)3； (6) n ； (7) f ′(1+ sin x) cos x, f ′′(1+ sin x) cos2 x − f ′(1+ sin x) sin x ；
(8) 4![ f (x)]5 ； (9) 4x3 sin(2x4 ), 12x2 sin(2x4 ) + 32x6 cos(2x4 ), 2x2 sin 2x4 ；
3 2
(1 +
t)
，
d2y dx2
=
3
4(1− t )
；
(2)
dy dx
=
t
，
d2y dx2
=
1 2 − cos t
.
4．切线方程为 x + y − 2 = 0 ，法线方程为 x − y = 0 ．
5． 16 ≈ 0.204 m min . 25π
练习 2—5
3．1+ 1 x (在 x = 0 处)； 5 + 1 x (在 x = 3 处).
5．当 r = 3 V ， h = 3 4V ，可使用料最省．
2π
π
练习 3—6
2．曲率为 K = 1，曲率半径为 ρ = 1 .
复习题三
3．（1）
−
1
．（2）0．（3）
−1
e2
．
6
5 ． 当 x < −1, x > 1 时 ， f ( x) 单 调 递 减 ； 当 −1 < x < 1 时 ， f ( x) 单 调 递 增 ；
2． 4 ．
3．（1） − sin 2a ；（2） π
π
；（3）1；（4） 32
；（5）０；（6）
1
．
4
4
复习题一
1．（1）1 ， −1；（2） 0 ；（3） 3 ；（4） −4 ；（5） k > 0 ；（6） 2 ；（7） 1 ；（8） 2 ； 2
（9） y = 1 x − 1 ． 24
3．（1） 2x ；（2） 0 ；（3）1；（4） e3 ；（5） 2 ；（6） 3 ；（7）1；（8） 1 ．
dy dx
=
y − x2 y2 − x
；
(2)
dy dx
=
y − ex+y ex+y − x
.
2．(1)
y′
=
⎛ ⎜⎝
ln sin x cos2 x
+
1⎟⎠⎞
(sin
x)tan
x
；
(2)
y′
=
⎡⎣⎢ln
⎛ ⎝⎜
x 1+
x
⎞ ⎠⎟
−
1⎤ x +1⎦⎥
⎛x ⎝⎜ 1+
x
⎞x ⎠⎟
.
3．(1)
dy dx
=
(8). 2x +1e 2x+1 − e 2x+1 + C .
安徽建筑大学 2014 级高等数学 A 练习题 127
部分参考答案
练习 4—4
1. (1). x + 3ln x − 3 + C ; x−2
( ) (2). 1 ln x +1 − 1 ln x2 − x +1 + 3 arctan 2x −1 + C ;
（2）曲线在 (−∞,1] 上是凸的；曲线在 [−1,1] 上是凹的；曲线在[1, +∞) 上是凸的；曲线有
两个拐点，分别为 (−1, ln 2) ， (1, ln 2) ．
（3）曲线在 (−∞, +∞) 上是凸的. 曲线无拐点.
6． a = 1,b = −3, c = 3, d = 0 ．
练习 3—5
2
4
1
(3). 2 x arcsin x + 2(1− x)2 + C .
(4). − 1 xe−2x − 1 e−2x + C .
2
4
(5).
1 2
x
⎡⎣sin
(
ln
x
)
−
x
cos
(
ln
x
)⎤⎦
+
C
.
(6). tan x ln cos x + tan x − x + C .
( ) (7) x ln x + 1+ x2 − 1+ x2 + C .
安徽建筑大学 2014 级高等数学 A 练习题 123
部分参考答案
3． (1) tan x + x sec2 x + csc2 x ； (2) 15x2 − 2x−3 ex+2 (ln 2 +1) ；
(3)
2 ⋅10x ln10 ； (10x +1)2
(4)
y′
=
sin
x(1− ln x) − x cos (x sin x)2
(4)
an f n (ax + b) ；(5)
1 x2
[
f
′′(ln
x) −
f
′(ln
x)] .
2．(1) y′′ = e2x−1 (3sin x + 4 cos x) ；
(2) y′′ = 4 −
1 x2
.
3． x2 sin x −160x cos x − 6320sin x .
练习 2—4
1．(1)
3． a = 2,b = −8 .
练习 1—6
4． a = 1,b = −1 ．
3．(1) 0 ；(2) 2 ；(3) 2 ；(4) e2 ；(5) e2 ；(6) e−k ；(7) 1； (8) 1；(9) 1 ； (10) 3 .
2
3
2
练习 1—7
4． α = 3 .
练习 1—9
5．（1） 2 ;（2） 2 ; （3） 3 ;（4） 5 . 3
x
ln
x
．
4．(1) x′( y) = e−x ;
x +1
(2) x′( y) = −(1+ x2 ) .
5．(1)
−
1
1 + x2
；(2)
−
−e
x 2
(
1
cos
3
x
+
3
sin
3x)
；
2
(3) csc x ；(4)
cos x
；
2 sin x − sin2 x
(5)
x
x 2+
1
−
3
(
1 x−
2
)
；
(6)
ln(x +
1 a2 + x2 )
.
a2 + x2
6．(1)
dy dx
=
e f (x)
⎡⎣
f
′(ex )ex
+
f
(ex )
f
′(x)⎤⎦ ；
(2)
dy dx
=
2 f (x) f ′(x) 1+ f 2(x)
.
练习 2—3
1．(1)
n!⋅ an ；(2)
(−1)n−1(n −1)!x−n ；(3)
2n cos(2x + n ⋅ π + π ) . 24
(5). 1 x3 − x + arctan x + C . 3
3. (1). f ( x) = x2 − x +1；
(6). − cot x − 2x + C .
(2). S (t ) = t3 + 4 .
练习 4—2
( ) 2． (1). 1 arctan sin2 x + C . (2). ln cos x + sin x + C . 2
根；（3）当 k > −1 时， f ( x) 在 (0, +∞) 内无实根．
10． a = 1 ,b = − 1 ．
2
2
练习 4—1
2． (1).
x2
+
4
3
x2
+
x
+
C
.
23
第四章
(2).
6
7
x6
−
4
3
x4
+C
.
73
(3). 4x + 9x + 2× 6x + C . (4). tan x − sec x + C . ln 4 ln 9 ln 6