全国I卷2020届高三五省优创名校联考数学(理)试题Word版含答案

全国I 卷2020届高三五省优创名校联考

数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|3x 2－13x －10＜0}和N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷个 2．

34i 34i

12i 12i

+--=-+ A ．－4 B ．4 C ．－4i D ．4i

3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是

A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高

C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

4．设x，y满足约束条件

60

3

30

x y

x

x y

-+

?

?

?

?+-

?

≥

≤

≥

，则1

1

x y

z

x

++

=

+

的取值范围是

A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）

B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）

C．[－8，1]

D．[－10，－1]

5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A ．4643

π-

B ．64－4π

C ．64－6π

D ．64－8π

6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是

A ．i ＜6

B ．i ＜7

C ．i ＜8

D ．i ＜9

7．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22

221

x y

a b

+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB 交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C 的离心率为

A．

2

B．1

2

C．1

3

D．1

4

8．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为

A．（3，＋∞）

B．[3，＋∞）

C．（－∞，3]

D．（－∞，3）

9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为

A B C．D．

10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个

数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为

A ．

532 B ．516

C ．1132

D ．1116

11．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03

f π

-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3

f x f π≤，且在区间（15π，5

π

）上有且只有一个x 1使f （x 1）

＝3，则ω的最大值为

A ．

57

4 B ．1114

C ．1054

D ．1174

12．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ?∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则

|2|

________|3|

+=-a b a b ． 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．

15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________． 16．已知双曲线

C ：22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），圆

M ：2

2

2

()4

b x a y -+=

．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22224

149

a a a

b -+取得最大值时，C

的实

轴长为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．

17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22

121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ．

18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

22

+=+．

()sin

a c

b C （1）求B的大小；

a．

（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为

19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且C E C Sλ

=．（1）若2

λ=，证明：BE⊥CD；

3

（2）若1

λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．

3

20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P 与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．

（1）求a，b的值；

（2）求函数g（x）的最小值；

（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知直线l

的参数方程为

,

x m

y

?

=+

??

?

?=

??

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．

（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；

（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；

（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．

2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学参考答案（理科）

1．C

2．D

3．D

4．A

5．B

6．B

7．C

8．B

9．C

10．B

11．C

12．D

13．1

14．

36

15．12

16

17．解：（1）由条件知S n＝na n＋1－n2－n，①

当n＝1时，a2－a1＝2；

当n≥2时，S n－1＝（n－1）a n－（n－1）2－（n－1），②

①－②得a n＝na n＋1－（n－1）a n－2n，