第05练 导数与定积分-备战2018年高考数学(理)期末考试回扣突破30练

第5练 导数与定积分【理】
一.强化题型考点对对练
1.（导数的几何意义）【2018届山东省菏泽期中】已知函数()1x
f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲
线C 存在与直线少y ex =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）
D. (),e +∞ 【答案】B
2．（导数的几何意义与不等式的结合）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()(),a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为
【答案】C
【解析】设曲线在点()()
,a f a 处的切线的倾斜角为α，则C.
3.与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（ ） 【答案】A
【解析】设公共点坐标为()00,x y ,所以有()()00''f x g x = ,即
解出0x a = (03x a =-舍去),又()()000y f x g x == ,所以有
对b 求导有()'21ln b a a =-+ ,故b 关于a
为增函数,
为减函数,
时b
选A. 4.（导数的几何意义与奇偶性的结合）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，若曲线
()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为-1，则实数a 的值为（ ）
A
【答案】B
5．（定积分的计算与运用）设实数2log 3a =， ）
A. b a c >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D. a c b >> 【答案】C
而()()()0
sin cos |
cos cos020
dx x π
π
π=-=---=⎰
,所以a b c >> ,选C.
6．（定积分的计算与运用）【2018届湖南师大学附中月考（三）（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（ ） 【答案】C
7.（导数几何意义）已知函数2
y x
=的图象在点()200,x x处的切线为l，若l也与函数ln
y x
=，()
0,1
x∈
的图象相切，则
x必满足（）
【答案】D
【解析】设l与函数ln
y x
=，()
0,1
x∈的图象的切点为()
11
,ln
x x,
令
()21ln2
h x x x
=--,
选D.
8.（导数的几何意义）【2018届山东省德州期中】函数()cos
x
f x e x
=+的图像在0
x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）
【答案】A
9. （导数的几何意义）【2018届福建省福州期中】已知函数()()()23
222,0
{ 33,0
x a x x f x x a x ax x -+-≤=-++>，若曲线()y f x =在点()()
,i i i P x f x ，（1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是__________. 【答案】()1,2-
【解析】函数()()()()()
2232
222,022,0
{ ,'{ 361,033,0x a x x a x x f x f x x a x a x x a x ax x -+-≤-+-≤=∴=-++>-++>，曲线()y f x =在点()(),(1,2,3i i i P x f x i =,其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，即()'y f x =在点
()(),i i i P x f x 处的值相等，画出导函数()'y f x =的图象，如图，当0x ≤时，
()'22222f x x a a =-+-≥-，∴当0x >时，()'f x 必须满足，22{
,1210
a a a a >-∴-<<+>，故答案
为()1,2-.
10（导数的综合应用）已知函数 . （1）当 时，试求函数图像过点 的切线方程；
（2）当 时，若关于 的方程 有唯一实数解，试求实数 的取值范围；
（3）若函数 有两个极值点 、 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时，有
.∵
，∴ ，
∴过点 的切线方程为： ，即 .
（2）当时，有，其定义域为：，从而方程可化为：，令，则，由或；.∴在和上单调递增，在上单调递减，且，又当时，；当时，.∵关于的方程有唯一实数解，∴实数的取值范围是：或. （3）∵的定义域为：.令.又∵函数有两个极值点、，∴有两个不等实数根、，∴，且，从而.由不等式恒成立恒成立，
∵，令
，∴，当时恒成立，∴函数在上单调递减，∴
，故实数的取值范围是：.
二.易错问题纠错练
11. （不能灵活分析问题和解决问题而致错）设函数，
，已知曲线在点，处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
（2）的定义域为，，，①若，则，故当，时，，在，上单调递增.所以，对任意，都有的充要条件为，即，解得或.
②若
，则
，故当 ， 时， ；当
， 时， ， 在 ，
上单调递减，在
， 上单调递增.所以，对任意 ，都有
的充要
条件为
，而
在
上恒成立，所以
.
③若 ， 在 ， 上递减，不合题意.综上， 的取值范围是 ，
， .
【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值，解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号，有时可将目标不等式等价变形。

12. （解题时由于目标不明确而致错）设函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线 的方程，并证明：除 点外，曲线 都在直线 的下方；
（2）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.
故除点 外，曲线 都在直线 的下方. （2）
在区间 上有零点，即
在 上有实数解，
设
，则
，设 ，则
，
数形结合得函数
的零点在 上，且 在 上恒成立，所以 ，
即 在 上单调递增，所以 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上递增，所以
，所以
.
【注意问题】函数的零点是体现函数性质重要的特征之一，解决此类问题的关键是通过求函数的极值、最值和单调区间，通过判断函数大致图像。

三.新题好题好好练 13上任意一点(,)P x y 处的切线的斜率为()h x ，则函数
()()cos 1g x h x x =+的部分图象可以为（ ）
【答案】A
14、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是，则实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．－1 【答案】B
，解得2a =，故选B ．
15．【2018届甘肃省会宁第三次月考】设函数()()2
g f x x x =+，曲线()y g x =在点()()
1,1g 处的切线
方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C
【解析】对函数()()2
f x
g x x =+，求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()
1,1g 处的切线
方程为21y x =+，∴()12g '=，∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()
1,1f 处切线斜率为4，故选C.
16．【2018届广东省阳春一中第三次月考】设点P 为函数()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值
为（ ）
【答案】D
17在1x =的切线斜率为t ，．
，得3t =，所以由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的曲线2C ：()cos g x ax x =-，若对于曲线1C 上任意一点的切线1l ，
在曲线2C 上总存在与1l 垂直的切线2l ，则实数a 的取值范围是___________． 2。