2018年秋华师大版八年级上册数学同步练习：第14章检测题
华师大版八年级上册数学第14章 勾股定理含答案
华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A.11B.12C.13D.2、三角形各边（从小到大）长度的平方比，如下列各组，其中不是直角三角形的是（）A.9∶25∶26B.1∶3∶4C.1∶1∶2D.25∶144∶1693、下列各组数中，是勾股数的为（）A.1.5，2，2.5B.7，24，25C.0.3，0.4，0.5D.n，， n+14、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣5）2+|b﹣12|+c2﹣26c+169=0，则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5、若等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )A.12 cmB.10 cmC.8 cmD.6 cm6、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（）平方米．A.96B.204C.196D.3047、如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（）A.3B.4C.6或3D.3或48、以线段a、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（）A.3、4、6B.5、6、8C. 、2、D.1、、9、如图，四边形，四边形，四边形都是正方形．则图中与相似的三角形为（）A. B. C. D.10、如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（）A. B. C. D.11、如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD 的长度为（）A.1B.C.D.12、说明“若a是实数，则a2＞0”是假命题，可以举的反例是（）A.a=﹣1B.a=1C.a=0D.a=213、直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（）A.1.5B.2C.2.5D.514、“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究.如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点P，Q.若，则的值为（）A. B. C. D.15、以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（）．A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题(共10题，共计30分)16、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为________17、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．18、若的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为________.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝1，则BD＝________．20、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为________．21、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，EC＝3DE，点F在AD 边上（异于点C），且∠AFE＝∠AFB，则BF长为________．22、已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，点E是线段BD的中点，则CE的最小值为________．23、如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为________．24、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2， 10cm2，14cm2，则正方形D的面积是________ cm2．25、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、有一架秋千,当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送5m(水平距离BC=5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?28、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．29、如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．30、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、D5、D6、A7、C8、D9、B10、A11、D12、C13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、。
华东师大版八年级数学上册第14章同步测试题及答案
华东师大版八年级数学上册第14章同步测试题及答案14.1勾股定理一、单选题1．若△ABC 三边长a ，b ，c 满足25-+b a +|1--a b |+（5-c ）2=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（11，1），点C 到直线AB 的距离为5，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．8个3．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF 6．如图所示方格纸中的三角形是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形()A．仍是直角三角形B．可能是锐角三角形C．可能是钝角三角形D．不可能是直角三角形8．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5D．三内角之比为3：4：59. 下列说法正确的有（）①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．A.1个B.2个C.3个D.4个10. 有四个三角形，分别满足下列条件：①一个角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°B．如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D．如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC12. 下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．已知直角三角形三边之比为1：1：2，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形14．下列结沦中，错误的有（ ）①Rt △ABC 中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=c 2，则∠A=90°；③若△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若（x ﹣y ）2+M=（x+y ）2成立，则M=4xy ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题15．观察以下几组勾股数,并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41，…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .16．如图，已知八边形ABCDEFGH 中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 平方单位．17．若a,b,c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：①以a 2，b 2，c 2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以a 1,b 1,c1的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．18．已知|m ﹣2|+2 n +（p ﹣2）2=0则以m 、n 、p 为三边长的三角形是 三角形．19．已知x ，y ，z 均为正数，且|x ﹣4|+（y ﹣3）2+8-+z y =0，若以x ，y ，z 的长为边长画三角形，此三角形的形状为 ． 三、解答题20．一如图，在△ABC 中，AB=41cm ，BC=18cm ，BC 边上的中线AD=40cm ．△ABC 是等腰三角形吗？为什么？21当a 、b 、c 为何值时，代数式6810322+--++-c b c b a 有最小值？并求出这个最小值和此时以a 、b 、c 值为边的三角形的面积．22.已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件： a+b+c=32 ①41=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b ②是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．23.图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？24（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．1.答案：C解答：∵△ABC 三边长a ，b ，c 满足25-+b a +|1--a b |+（5-c ）2=0=0，且25-+b a ≥0，|1--a b |≥0，（5-c ）2≥0∴a+b ﹣25=0，b ﹣a ﹣1=0，c ﹣5=0，∴a =12，b =13，c =5， ∵122+52=132，∴△ABC 是直角三角形．故选C ．2. 答案：C解答：∵点A ，B 的纵坐标相等，∴AB ∥x 轴，点C 到距离AB 为5，并且在平行于AB 的两条直线上．∴满足条件的C 点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）故选C ． 3. 答案：C解答：根据勾股定理可以得到:AC=BC=5,AB=10∵222)10()5()5(=+∴AC 2+BC 2=AB 2.∴△ABC 是等腰直角三角形.∴∠ABC=45°.故选D ． 4. 答案：B解答：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有9、12、15和15、36、39．故选B ． 5. 答案：B解答：AB 2=22+22=8，CD 2=42+22=20，EF 2=12+22=5，GH 2=32+22=13,所以AB 2+EF 2=GH 2，故选B ．6. 答案：A解答：从图上可知：△ADB ≌△AEC ，∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．故选A ．7．答案：A解答：设直角三角形的三边分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，扩大相同倍数后各边分别为na，nb，nc，因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2，所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形，故选A．8．答案：D解答：A项满足三角形中有一个内角为90º，B项满足勾股定理的逆定理，C项符合勾股数的比例关系，唯有D项不是直角三角形，故选D．9. 答案：D解答：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；④符合直角三角形的判定方法，故④正确；所以4个结论都正确，故选D．10. 答案：B解答：（1）∵一个角等于另外两个内角之和，∴这个角=1×180°=90°，是直角三角形；（2）三个内角2之比为3：4：5，∴最大的角=×180°=×180°＜90°，是锐角三角形；（3）设三边分别为5k，12k，13k，则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k)2，是直角三角形；（4）∵52+242=25+576=601≠252，∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共2个．故选B．11．答案：C解答：A．∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°∴2∠C=180°∴∠C=90°故此选项正确；B．∵∠C=90°∴c是斜边∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；C．∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边故此选项错误；D．∵∠A=30°∠B=60°∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边∴AB=2BC故此选项正确；故选C．12. 答案：D解答：①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以M×2M=2，解得M=，2M=2．根据勾股定理解得斜边为．所以此项正确；②、根据勾股定理解得，另一边==，所以此项正确；③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为=5．所以此项正确．所以正确的有四个．故选D．13．答案：D解答：由直角三角形三边之比为1：1：2，知其中两边相等，设三边分别为k，k，k2，则由于22)22k=+，所以此三角形也是直角三角形，所以此三角形是等腰直角三角形，故选D．k=k2(2k14．答案：C解答：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．故选C．二、填空题15．答案：11，60，61解答：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得x=60，则得第⑤组勾股数是11，60，61．16．答案：428+66解答：∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，∴边长分别为：5、12、4、11，∵PR=13、PS=12、RS=5，∴PS⊥SR，PQ⊥QR，∴S四边形PQRS=（PS•SR+PQ•QR）=30+22，显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，∴∠QPS=∠BPJ，∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，∴QI=BJ，∴S△APB=S△，同理S△EFR=S△QSR，则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，故八边形的面积=3（30+22）+144+48+121+25，=428+66 PSQ．故答案为：428+66．17．答案：②③解答：①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边有a+b>c (a,b,c 中c 最大)，而在a ，b ，c 三个数中c 最大，如果能组成一个三角形，则有a +b >c 成立，即(a +b )2>(c )2，即a+b +2ab >c (由a+b>c ),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边，则以a ,b ,c 的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b,c+h,h 这三个数c+h 一定最大,(a+b)2+h 2=a 2+b 2+2ab+h 2，（c+h)2=c 2+h 2+2ch ，又∵2ab =2ch =4S △ABC ，∴(a+b )2+h 2=(c+h )2,根据勾股定理的逆定理即以a+b ，c+h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a =3，b =4，c =5,则a 1，b 1，c 1的长为31，41，51,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误． 18．答案：等腰直角解答：根据题意得，m ﹣2=0，n ﹣2=0，p ﹣2=0，解得m =2，n =2，p =2，∴m=p ，又∵22+22=22=4，即m 2+p 2=n 2，∴以m 、n 、p 为三边长的三角形是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．19．答案：直角三角形解答：根据题意得，x ﹣4=0，y ﹣3=0，y+z ﹣8=0，解得x =4，y =3，z =5，∵x 2+y 2=42+32=25=z 2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角三角形． 三、解答题20．答案：△ABC 是等腰三角形 解答：△ABC 是等腰三角形，理由是：∵BC=18cm ，BC 边上的中线为AD ， ∴BD=CD=9cm∵AB=41cm ，BC=18cm ，AD=40cm ∴AB 2=1681，BD 2+AD 2=1681， ∴AB 2=BD 2+AD 2，∴AD ⊥BC∵BD=CD ，∴AC=AB ∴△ABC 是等腰三角形．21.答案：a =3，b =5，c =4，这个最小值为﹣35，以a 、b 、c 值为边的三角形的面积为12． 解答：∵6810322+--++-c b c b a =3-a +b 2﹣10b +25﹣25+c 2﹣8c +16﹣16+6 =3-a +（b ﹣5）2+（c ﹣4）2﹣35，∴3-a ≥0，（b ﹣5）2≥0，（c ﹣4）2≥0，∴代数式6810322+--++-c b c b a 有最小值时，a =3，b =5，c =4， ∴这个最小值为﹣35，∴以a 、b 、c 值为边的三角形为直角三角形，直角边为a 和c ， ∴以a 、b 、c 值为边的三角形的面积为12．22.答案：以a ，b ，c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90° 解答：解法1：将①②两式相乘，得8))((=++-++-++-+c b a abcb a ca b ac bc a c b ， 即：8)()()(222222=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b ，即0)(4)(4)(222222=-++--++--+ab c b a ca b a c bc a c b ，即0)()()(222222=-++--+--abc b a ca b a c bc a c b ，即0))(())(())((=-++++--+-+--+-abc b a c b a ca b a c b a c bc a c b a c b ，即0)]()()([)(=++++----+-c b a c b a c b a c b a abc a c b ，即0]2[)(222=+--+-c b a ab abca cb ，即0])([)(22=--+-b a c abc a c b ，即0))(()(=+--++-b a c b a c abca cb ，所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0， 即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．因此，以a ，b ，c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．解法2：结合①式，由②式可得41232232232=-+-+-ab c ca b bc a ，变形，得abc c b a 41)(21024222=++-③又由①式得（a+b+c ）2=1024，即a 2+b 2+c 2=1024﹣2（ab+bc+ca ），代入③式，得abc ca bc ab 41)](21024[21024=++--， 即abc =16（ab+bc+ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）=abc ﹣16（ab+bc+ca ）+256（a+b+c ）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0， 所以a =16或b =16或c =16．结合①式可得b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ． 因此，以a ，b ，c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．23.答案：甲巡逻艇的航向为北偏东50°.解答：AC=120×606=12(nmile)，BC=50×606=5(nmile)，又因为AB=13nmile ，所以AC 2+BC 2=AB 2，所以△ABC 是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°．24.解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ 、PA=QC ，∠ABP=∠CBQ ；∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；∵∠ABP=∠CBQ ，∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；又∵BP=BQ ，∴△BPQ 是等边三角形；∴BP=PQ ；∵PA 2+PB 2=PC 2，即PQ 2+QC 2=PC 2；∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC=90°（2）PA 2+2PB 2=PC 2；理由如下：同（1）可得：△PBQ 是等腰直角三角形，则PQ=PB ，即PQ 2=2PB 2；由旋转的性质知：PA=QC ； 在△PQC 中，若∠PQC=90°，则PQ 2+QC 2=PC 2，即PA 2+2PB 2=PC 2；故当PA 2+2PB 2=PC 2时，∠PQC=90°．14.2勾股定理的应用同步检测一、选择（每小题3分，共24分）1.如图1，做一个宽120厘米，高160厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为（ ）图1 A. 180厘米 B. 200厘米 C. 210厘米 D. 220厘米2.如图2,小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）图2A. 11米B. 12米C. 13米D. 14米3.放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（）A. 1000米B. 800米C. 600米D. 以上都不对4.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A米 B D．米5.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和底边上高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A. 5，8，4B. 13，12，12C. 12，12，8D. 13，10，126.如图3，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（）图3A. 4B. 6C. 16D. 557.如图4，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）图4A. aB. （）aC. 3aD.8.如图5，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）图5A. 6cmB. 12cmC. 13cmD. 16cm备选题：1.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤13二、填空（每小题4分，共24分）9.如图6，以1为直角边长作直角三角形，以它的斜边长和1为直角边作第二个直角三角形，再以它的斜边和1为直角边作第三个直角三角形，则第四个直角三角形的斜边长为．图610.测得一个三角形花坛的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则这个花坛的面积是 cm2．11.如图7是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．图712.如图8，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 m图813.如图9，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为．图9（填14.一根长15cm的铁丝，在不折弯的情况下，能否放入长12cm宽5cm高6cm的长方体盒内．“能”或“不能”）备选题：1.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．三、解答题（5个小题，共52分）15.（8分）如图10，一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面高度.图1016.（9分）如图11，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图．彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.求彩旗下垂时最低处离地面的高度h.图1117.（11分）你还记得曾经做过的一个数学活动吗？我们通过测量直角三角形的边长，发现了一个结论：对于任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方．事实上，这个结论可以证明是成立的．如图12,请你利用这一结论，在由边长为1的小正方形组成的网格图中作出一个面积为5的正方形．图1218.（12分）如图13，园丁住宅小区有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积.图1319.（12分）如图14，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E站应建在距A站多少千米处？图14备选题：1.如图，小明家有一块钝角三角形菜地，量得其中的两边长分别为AC＝50m、BC＝40m，第三边AB上的高为30m，请你帮助小明计算这块菜地的面积．（结果保留根号）参考答案一、1.B2.B（提示：设旗杆的高度为x米，则绳子和长度为（x+1）米，根据勾股定理，得x2+52＝（x+1）2,解得x＝12．）3.A (提示：根据题意，得他们行走的方向构成了直角．由路程＝速度×时间，得直角三角形的两条直角边分别是600米，800米，最后由勾股定理求得他们两家的距离为1000米．)4.C米；②第三根铁5.D（提示：等腰三角形底边上的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，底边上的高、底边的一半为直角边，因为132＝52+122,所以选D．）6.C(提示：运用正方形边长相等，可得图中的两个直角三角形全等，由勾股定理的几何意义可得，正方形b的面积＝正形a的面积+正方形c的面积＝16．)7.D8.B备选1.A（提示：a的最小长度显然是圆柱的高12＝13．即a 的取值范围是12≤a≤13．）二、提示：运用勾股定理分别求出第一个，第二个，）10.54(提示：根据勾股定理的逆定理，得到花坛的形状为直角三角形，所以这个花坛的面积＝12×9×12＝54.)11.150（提示：根据图形标出的长度，可得AC＝90mm， BC＝120mm，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得斜边AB的长．）12.17 （提示：地毯长度＝楼梯的水平宽度+垂直高度，根据勾股定理求得水平宽度为12m，所以地毯长度＝5+12＝17m．）13.500m（提示：如图，由勾股定理，得BC＝500m，BE＝300m，所以EC＝200m，若走路线为A-B-E,则路程为700m，若走路线为A-C-E,则路程为500m，所以最近的路程为500m.）14.13cm，在由该对角线、高组成的直角三角形中，其斜边为是长方体盒内能放下的最大长度，因为15＝）备选题1.4（提示：由勾股定理可得一条路的长为5m．少走的路程＝两直角边的和-斜边＝2m，2×2＝4步．）三、15. 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，根据勾股定理，得x2+32＝（9﹣x）2解得：x＝4．答：折断处离地面高度为4尺.16. 解：如图，∵AC＝120cm，BC＝90cm，150 cm，∴EM＝150cm，∴h＝EF﹣EM＝320﹣150＝170 cm．答：彩旗下垂时最低处离地面的高度h为170 cm.17. 解：面积为5，由勾股定理，得当直角三角形的直角边分别为1、2画图如下：18. 解：如图，连结AC.由勾股定理，得AC＝5米，∴S Rt△ABC＝12AB•BC＝6平方米.∵AC＝5米，CD＝12米，DA＝13米，∴AC2+DC2＝AD2，∴∠ACD＝90°,∴S Rt△ACD＝12AC•DC＝30平方米，∴这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝36平方米．答：这块草坪的面积为36平方米.19. 解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE.在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE＝x km，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10 km，DA＝15 km代入，得x2+152＝（25﹣x）2+102，整理，得50x＝500，解得：x＝10，答：E站应建在距A站10 km处．备选题1. 解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，则CD＝30 m.在Rt△ACD中，∵AC＝50 m，CD＝30 m答：这块菜地的面积为（600−150）m．。
华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》章节测试含答案(4套).doc
第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。
华师大版八年级上册数学第14章测试题(附答案)
华师大版八年级上册数学第14章测试题（附答案）一、单选题（共6题；共12分）1.如图，中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝4，则AB的长度为（）A. 2B.C.D. 52.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为（）A. 13cmB. cmC. 2 cmD. 20cm3.如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A. B. C. D.4.下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）A. ，，B. ，，C. D. ，，5.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点相对，要爬行的最短路程（取3）是（）A. 20cmB. 14cmC. 10cmD. 无法确定6.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A. 1，2，3B. 5，6，7C. 1，4，9D. 5，12，13二、填空题（共5题；共5分）7.已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则它的斜边长为________.8.如图，在中，∠ABC＝90°，分别以的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为100，76．则字母a代表的正方形的面积是________．9.如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d等于________．10.如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为225和144，则正方形A的面积为________.11.如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需________天才能把隧道凿通．三、解答题（共6题；共30分）12.图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？13.如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AC2＝AE2－BE2．15.（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.16.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？17.小红和小军周日到郊外放风筝，风筝飞得又高又远，小红让小军跑到风筝的正下方，并测出两人之间的距离为60米，小红发现已将100米的风筝线放完了，小红想了想就说出风筝飞了多高，小红知道自己身高为1.6米，（手与头顶齐平）请计算风筝离地面多高.四、综合题（共4题；共45分）18.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米.（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？19.如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20.如图，一根长米的木棒AB，斜靠在竖直的墙AC上，且棒顶端与地面的距离为9米，当木棒A端沿墙下滑至处时，B端沿地面向右滑至处．（1）求CB的长；（2）当＝1米时，求的长．(结果保留根号)21.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9.（1）求CD的长.（2）求AD的长.（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由.答案一、单选题1. B2. D3. B4. A5. C6. D二、填空题7. 4或5 8. 24 9. 10. 81 11. 10三、解答题12. 解：⑴将前面、右面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；⑵将前面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；⑶将左面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；所以最短路径长为cm．13. 解：设AE=xkm，则BE=（20-x）km，∵DE=CE，DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD2+AE2=BE2+BC2，即82+x2=（20-x）2+142，解得：x=13.3．答：AE的长为13.3km．14. 证明：∵∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴，∵DE⊥AB，∴，∴，∴．15. 解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4解得：x=3.75.答：湖水深3.75尺.16. 解：由题意，AB=15，AC=DE=9，CD=AE=2，BD⊥AC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：，∴BD=BC+CD=14（米），答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．17. 解：如图，据题意得BD=60米，AD=100米，DE=1.6米，由勾股定理得：AB= (米)，∴风筝的高度AC=AB+BC=AB+DE=80+1.6=81.6(米).答：风筝离地面有81.6米.四、综合题18. （1）解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）解：设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米。
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，点()1,2P 到原点的距离是( ) A.1 B.13 C.5 D.22.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离AB 是( )米. A.6 B.7 C.8 D.93.如图，已知正方形A 的面积为3，正方形B 的面积为4，则正方形C 的面积为( )A.7B.5C.25D.14.如图，点C 所表示的数是( )A.5B.3-C.5-D.55.已知钓鱼杆AC 的长为10米，露在水上的鱼线BC 长为6m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长度为8米，则BB '的长为( )A.4米B.3米C.2米D.1米6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm 7.已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，且()2724250a b c --+-=，则ABC △的面积为( )A.30B.84C.168D.无法计算8.如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，AB=5，BC=3，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交，AC 于点E ，F ，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为( )A.35B.34C.43D.539.如图，线段AB 是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C 处安装一个监控装置，对主干道AB 进行监控，已知30m AC = 40m BC = AC BC ⊥监控的半径为30m ，路段AD 在监控范围内，路段BD 为监控盲区，则BD 的长为( )ABA. B. C.16mD.20m10.如图，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB=5，AC=12，BD 平分ABC ∠交边AC 于点D ，点E 、F 分别是边BD 、AB 上的动点，当AE EF +的值最小时，最小值为( )A.6B.125C.6013D.12013二、填空题（每小题4分，共20分）11.在ABC △中90C ∠=︒ A ∠ B ∠ C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，若3c =，则²²²a b c ++=____________.12.如图5AB AC ==，BC=6，AD BC ⊥于D ，则AD =_____.13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺.问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B 离原处竹子C 的距离BC 为3尺，则原处还有竹子AC =______尺.(请直接写出答案，注：1丈10=尺.) 12m 14m14.如图,在四边形ABCD 中 已知3AB = 4AD = 12BC = 13CD = 90A ∠=︒ 则四边形ABCD 面积是______.15.如图,在ABC 中,点D 为BC 的中点 5AB = 3AC = 2AD = 则ABC 边BC 上的高为______.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度1m DE =，将它往前推送4m （水平距离4m BC =）时，秋千的踏板离地的垂直高度3m BF =，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.17.（8分）已知如图：AB BC ⊥ DC BC ⊥ AE DE ⊥ 且12AE = 3CD = 4CE = 求：AD 的长.18.（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地且距离旗杆底部A处4m.(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？=，点D是边BC上的一点，连接AD. 19.（10分）如图，ABC是等腰三角形，AB AC(1)若ABC的周长是32，CD=6，点D是BC的中点，求AD的长；BD=，AD=12，AB=15，求ABC的面积.(2)若920.（12分）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，BD=米如图，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上.经测量，24AD=米，10△的面积；（1）求ABD（2）求小路DE的长.21.（12分）如图，ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC =（1）设点P 在AB 上，若 PAC PCA ∠=∠.求AP 的长；（2）设点M 在AC 上.若MBC △为等腰三角形，求AM 的长.参考答案及解析1.答案：C解析：点(1,2P 到原点的距离是22125+=.故选：C.2.答案：C解析：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB 构成的直角三角形的斜边又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米∴221068AB =-=米故选：C.3.答案：A解析：正方体A 的面积为3，正方体B 的面积为4∴正方体C 的面积347=+=故选：A.4.答案：C解析：根据勾股定理得：2222125AB OA OB =+=+=5AC AB ∴==∴点C 表示的数是15-.故选：C.5.答案：C解析：在Rt ABC △中10m AC = 6m BC =22221068(m)AB AC BC ∴=-=-=在Rt AB C ''△中10m AC '= 8m B C ''=226(m)AB AC B C ''∴=-=862(m)BB AB AB ''∴=-=-=故选:C.6.答案：B解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm由勾股定理得：()22222023325x =++⨯⎦=⎡⎤⎣ 解得.故选B.7.答案：B解析:()2724250a b c -+-+-=70a ∴-= 240b -= 250c -=7a ∴= 24b = 25c =()233dm +⨯25x =2222724625a b +=+= 2225625c ==222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形ABC ∴△的面积12ab = 1724842=⨯⨯= 故选:B.8.答案：D解析：作DM AB ⊥于M由题意知AD 平分BAC ∠DC AC ⊥CD DM ∴= 90C ∠=︒ 5AB = 3BC =224AC AB BC ∴=-=ABC △的面积ACD =△的面积ABD +△的面积111222AC BC AC CD AB MD ∴⋅=⋅+⋅4345CD CD ∴⨯=+43CD ∴=45333BD BC CD ∴=-=-=. 故选：D.9.答案：B解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E∵AC BC ⊥∴90ACB ∠=︒ ∴()2222304050m AB AC BC =+=+=∵∴∵监控的半径为∴∴∵ ∴∴∴在中，由勾股定理，得()2222302418m AE AC CE =-=-=∴236m AD AE ==∴()503614m BD AB AD =-=-=.故选：B.10.答案：C解析：如图所示，在BC 边上截取BG BF =，连接EG ，过点A 做AH BC ⊥交于点HCE AB ⊥90AEC BEC ∠=∠=︒30m 30m AC DC ==2AD AE =Rt 1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△304050CE ⨯=304050CE ⨯=24m CE =Rt ACE △∵BD 平分ABC ∠∴FBE GBE ∠=∠∵BG BF = BE BE =∴BGE BFE ≌△△∴EF EG =∴AE EF AE EG +=+当且仅当A 、E 、G 共线，且与BC 垂直时，AE EF +的值最小，即BC 边上的垂线段AH ∵5AB = 12AC = 90BAC ∠=︒ ∴2213BC AB AC =+= ∵1122ABC S AB AC BC AH =⋅=⋅△ ∴. ∴当的值最小时，最小值为. 故选：C.11.答案：18解析：90C ∠=︒ 3c =2229a b c +==2²²²218a b c c ++==故答案为：18.12.答案：4解析：∵5AB AC == AD BC ⊥ 6BC = ∴132BD CD BC === ∴224AD AB BD =-=.故答案为：4.13.答案：9120解析：设折断后的竹子AC 为x 尺，则斜边AB 为(10)x -尺 512601313AB AC AH BC ⋅⨯===AE +6013在Rt ABC △中，根据勾股定理得:2223(10),x x +=-解得:9120x = 故答案为:9120. 14.答案：36解析：如图，连接BD由勾股定理得225BD AB AD =+=∵22251216913+==∴222BD BC CD +=∴BCD △是直角三角形90CBD ∠=︒∴11345123622ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=四边形△△故答案为：36.15.答案：61313 解析：如图，延长AD 到E ，使得2DE AD ==，连接BE ，作AF BC ⊥于点F 则24AE AD ==.∵点D 为BC 的中点∴CD BD =在ADC △和EDB △中AD ED ADC EDBCD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADC EDB ≌∴3BE CA ==∴22223425BE AE +=+=∵22525AB ==∴222BE AE AB +=∴90E ∠=︒ ∴132BDE SBD DE =⋅= 22223213BD BE DE =+=+=∴3ADC BDE S S == 13CD BD ==∵AF BC ⊥ ∴12ADC AF S ⋅= 即1332AF = ∴61313AF =. 故答案为：61313 16.答案：5m 解析：3m CE BF == 1m DE =312m CD CE DE ∴=-=-=在Rt ACB △中222AC BC AB += 4m BC =设秋千的绳索长为m x ，则()2mAC x =-故2224(2)x x =+-解得：5x =答：绳索AD 的长度是5m.17.答案：13AD =解析：∵DC BC ⊥，∴90C ∠=︒∴在Rt DCE △中，根据勾股定理得：2222345DE DC CE =+=+=∵AE DE ⊥∴90AED ∠=︒∴在Rt ADE △中，根据勾股定理得：222251213AD DE AE =+=+=.18.答案：(1)旗杆在距地面3米处折断(2)距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险解析：(1)由题意可知，8m AC BC +=，设m AC x =，则()8m BC x =-. 90A ∠=︒ 4m AB =222AB AC BC ∴+= 即2224(8)x x +=-，解得3x =3m AC ∴= 5m BC =故旗杆在距地面3米处折断.(2)如图，若大风将旗杆从点D 处吹断，旗杆顶部B 落到B '处. D 点距地面的高度为()3 1.25 1.75m AD =-=()8 1.75 6.25m B D ∴=-='()226m AB B D AD ∴-'==' ∴距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险.19.答案：(1)8(2)108解析：（1）因为点D 是BC 的中点，CD=6，所以12BC =. 因为ABC 的周长是32，AB=AC ，所以()132102AB AC BC ==-=. 因为ABC 是等腰三角形，AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥. 在Rt ACD 中，AC=10，CD=6，所以228AD AC CD =-=.（2）因为BD=9，AD=12，AB=15所以22291215+=，即222BD AD AB +=，所以90ADB ∠=︒. 因为AB AC =，所以9BD CD ==所以18BC = 所以112181082ABC S =⨯⨯=△. 20.答案：（1）()2120米（2）小路的长为725米 解析：（1）26AB =米，24AD =米222AB BD AD ∴=+90ADB ∴∠=︒ABD S ∴△12BD AD =⋅⋅210242=⨯⨯()2120=米. 答：ABD △的面积是()2120米.（2）由（1）知，90ADB ADC ∠=∠=︒AC 比DC 长12米12AC CD ∴=+.由勾股定理知：222CD AD AC +=，即()2222412CD CD +=+. 18CD ∴=米.30AC ∴=米DE AC ⊥1722ADC S AD CD ∴=⋅=△241872305AD DC DE AC ⋅⨯∴===（米）. 答：小路的长为725米. 21.答案：（1）1258 （2）10，7 252 解析：（1）ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC = ∴2222251520AB AC BC =-=-=PAC PCA ∠=∠PA PC ∴=设PA PC x == 则20PB x =-在Rt PBC △中222PB BC PC +=即()2222015x x -+= 解得1258x =即1258PA =.（2）MBC △为等腰三角形 ∴①当BC CM =时，此时有：∴251510AM AC CM =-=-=；②当BC BM =时，此时： 如下图过B 作BN AC ⊥1122ABC S AC BN AB BC ∴=⋅=⋅⋅△∴12BN =∴222BN CN BC +=即2221215CN +=∴9CN =∴218CM CN ==∴25187AM =-=；③当BM CM =时 ∴MBC MCB ∠=∠又90MBC ABM ∠+∠=︒ 90MCB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ABM ∠=∠ ∴AM BM = ∴12522AC AM CM ===.。
秋华师大版八年级上册数学同步练习：第14章检测题
2018 年秋华师大版八年级上册数学同步练习：第14 章检测题第 14 章检测题(时间： 100 分钟满分： 120 分)一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )1．(广西中考)以下各组线段中，能够构成直角三角形的一组是( D )A．1，2，3B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， 2， 32．关于命题“假如a＞b＞0，那么a2＞b2.”用反证法证明，应假定( D )A ． a2＞ b2B ．a2＜b2C． a2≥ b2 D ． a2≤ b23．如图，在△ABC中，CE均分∠ACB，CF均分∠ACD且EF∥BC交AC于M，若CM ＝ 5，则 CE2＋CF2等于 ( B )A ． 75 B． 100 C． 120 D． 125,第 3题图),第4题图),第 6题图)4．(大连中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝ 5，则 BC 的长为 ( D )A. 3－1B. 3＋ 1C. 5－1D.5＋ 15．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，以下说法错误的选项是( D )A ．若∠ A －∠ B＝∠ C，则△ ABC 为直角三角形B．若∠ C＝ 90°，则 c2－ a2＝ b2C．若 (a＋ b)(a－ b)＝ c2，则△ ABC是直角三角形D．若 a2∶ b2∶ c2＝ 3∶ 4∶ 5，则△ ABC 是直角三角形6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角 E 7 分米，假如梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯子的底部将平移 ( D )A．9 分米 B．15 分米 C． 5 分米 D．8 分米7．直角三角形中，斜边长为2 cm，周长为 (2＋10) cm ，则它的面积为 ( A )A ． 1.5 cm2B ．2 cm2C． 3 cm2D． 6 cm28．(河北中考)如图是甲、乙两张不一样的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与本来面积相等的正方形，则(A)A ．甲、乙都能够B．甲、乙都不能够C．甲不能够、乙能够 D ．甲能够、乙不能够,第8题图),第 9题图),第10题图)9．如图 ，已知长方形 ABCD 中，AB ＝ 3 cm ， AD ＝ 9 cm ，将此长方形折叠 ，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF ，则△ ABE 的面积为 ( A )2222A ． 6 cmB ． 8 cmC ． 10 cmD ． 12 cm10．如图 ，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 距点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( B )A ．5 21B ．25C ．10 5＋5D ．35二、填空题 (每题 3 分，共 24 分 )11． 若直角三角形的两直角边长为a ，b ，且知足a 2－ 6a ＋ 9＋ |b － 4|＝ 0，则该直角三角形的斜边长为 __5__．12．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假定__一个三角形的三个内角中，起码有两个钝角 __．13．(2017 ·长春 )如图① ，这个图案是我国汉代的赵爽在讲解《周髀算经》时给出的 ，人 们称它为“赵爽弦图” ．此图案的表示图如图② ，此中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形 ， △ ABF ， △ BCG ， △ CDH ， △DAE 是四个全等的直角三角形．若EF ＝ 2，DE ＝ 8， 则 AB 的长为 __10__．14． 如图， △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90°， AB ＝ 6，分别以边 AC ，BC 为直径向三角形外作两个半圆 ，则这两个半圆的面积的和为__9π __．(结果保存 π)2,第 13题图 ) ,第 14题图 ),第 15 题图),第 16 题图)15． (2017 ·烟台 )如图 ，O 为数轴原点 ，A ，B 两点分别对应－ 3，3，作腰长为 4 的等腰 △ABC ，连接 OC ，以 O 为圆心 ， CO 长为半径画弧交数轴于点 M ，则点 M 对应的实数为__ 7__．16．如图 ，Rt △ABC 的两直角边分别为1，2，以 Rt △ ABC 的斜边 AC 为向来角边 ，另向来角边为 1 画第二个△ ACD ；再以△ ACD 的斜边 AD 为向来角边 ，另向来角边长为1 画第三个△ ADE ；依此类推 ，第 n 个直角三角形的斜边长是__ n ＋ 4__．17． 等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为 __3 10或 10或 8__．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，P是AB边上一动点，则 PC＋ PD 的最小值是 __ 5__．三、解答题 (共 66 分)19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.证明：假定 PB＝ PC，又∵AB＝ AC，AP＝ AP，∴△ ABP ≌△ ACP，∴∠ APB ＝∠APC，这与已知∠APB≠∠ APC 相矛盾，∴假定不建立，即 PB≠PC20．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB 的度数．解： 135°21．(8分)有人说：假如Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于 1 的正整数 )为三边的三角形也是直角三角形．(1)这个说法能否正确？请说明原因；(2)写出上述命题的抗命题，并判断抗命题是真命题仍是假命题．解： (1)正确，原因略(2) 抗命题：假如以an， bn，cn(n 是大于 1 的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以 a， b， c 为三边的三角形也是直角三角形；真命题2018 年秋华师大版八年级上册数学同步练习：第14 章检测题22．(7分)如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳索拉船靠岸，开始时绳索BC 的长为 13 米，这人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船挪动到点 D 的地点，问船向岸边挪动了多少米？ (假定绳索是直的，结果保存根号 )解：在 Rt△ABC 中，∵∠ CAB＝ 90°，BC＝ 13 米，AC＝5 米，∴ AB＝ 132－ 52＝ 12(米)，∵这人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船挪动到点 D 的地点，∴ CD＝13－×10＝ 8(米)，∴AD ＝CD 2－ AC2＝ 64－ 25＝ 39(米)，∴ BD ＝ AB－ AD＝12－ 39(米)，答：船向岸边挪动了 (12－39)米23．(7分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B 的距离为400 米，且 CA ⊥ CB ，为了安全起见，爆破点C四周半径260 米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段能否有危险，能否需要临时封闭？请经过计算进行说明．11解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由勾股定理得AB＝ 500 米，由 S△ABC＝2AB·CD ＝2 AC×BC，得 CD ＝ 240 米＜ 260 米，∴公路 AB 段有危险，需要临时封闭24．(8分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB ＝∠ ECD＝ 90°，D 为AB 边上一点，求证： AD 2＋ DB 2＝ DE2.证明：易证△ACE≌△BCD，∴AE ＝DB ，∠CAE ＝∠B，∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ＝∠CAD ＋∠B＝90°，∴AE2＋AD2＝DE 2，即 DB 2＋ AD2＝ DE 225． (10 分 )在△ ABC 中， AB ＝ 15， BC ＝ 14， AC ＝ 13，求△ ABC 的面积．作AD ⊥BC 于D ， 依据勾股定理 ，利用 利用勾股定理求设 BD ＝ x ，用含 x → AD 作为“桥梁”，建 → 出AD 的长，再 的代数式表示 CD 立方程模型求出 x 计算三角形面积某学习小组经过合作沟通 ，给出了下边的解题思路：(1)请你依据他们的解题思经过程达成解答过程；(2)填空：在△ DEF 中，DE ＝ 15， EF ＝ 13，DF ＝ 4，则△ DEF 的面积是 __24__．解： (1)在△ABC 中，AB ＝ 15， BC ＝ 14， AC ＝ 13，设 BD ＝ x ，则 CD ＝ 14－ x ，由勾股2222222222222定理得： AD ＝ AB － BD ＝15 － x ，AD ＝ AC － CD ＝ 13 － (14－x ) ，故 15 － x ＝ 13 － (14 － x )2，解得： x ＝9， ∴ AD ＝12.∴S △ ABC ＝ 1BC ·AD ＝ 1×14× 12＝8422(2)如图 ，在△ DEF 中， DE ＝ 15， EF ＝ 13，DF ＝ 4，设 GD ＝x ，则 GE ＝ 15－ x ，由勾股定理得： FG 2＝DF 2－ GD 2＝ 42－ x 2， FG 2＝ EF 2－ EG 2＝ 132－( 15－ x )2.故 42－ x 2＝ 132－ (15－ x ) 2，解得： x ＝ 2.4. ∴ FG ＝ ∴ △ ＝ 1＝1× 15×＝ 24.故答案为： 243.2. S DEF · 22DE FG26．(12 分 )如图 ，我渔政船从广州出发开赴南海履行维权护渔、渔政管理的任务，渔政船位于南海的 O 处履行任务 ，一艘外国渔船从点 O 正东方向 25 海里的 A 处，以 20 海里 / 时的速度沿 AB 方向航行 ，随即我渔政船对其推行雷达追踪监控．(1)已知渔政船到 AB 的距离 OD 长为 7 海里，那么外国渔船从 A 点行驶到 D 点经过多长时间？(2)若在 A ， D 之间的点 C 处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的行程相等 ，此时 C ， D 两处相距多远？(3)假如渔政船四周 8 海里的圆形地区内为危禁地区 ，那么外国渔船会在我渔政船禁区行家驶多长时间？解：(1)AD＝OA2－OD2＝ 24 海里，外国渔船从 A 点行驶到 D 点经过的时间为24÷20＝(小时) (2)设 CD＝ x 海里，则 OC＝ AC＝(24－x)海里，由 x2＋ 72＝(24－ x)2，解得 x＝527，48 527∴C，D 两处相距48海里( 3)在 AB 上取 E， F两点，使 OE＝OF＝ 8 海里，E点为外国渔船进入禁区地址， F 点为外国渔船驶离禁区地址，由三线合一得DE＝DF，∵DE＝OE 2－ OD 2＝15(海里)，∴ EF ＝2 15海里，因此外国渔船会在我渔政船禁区行家驶215＝201510 (小时 )。
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第14章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(广西中考)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，2， 32．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”用反证法证明，应假设( D )A．a2＞b2B．a2＜b2C．a2≥b2D．a2≤b23．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( B )A．75 B．100 C．120 D．125,第3题图),第4题图),第6题图)4．(大连中考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为( D )A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋15．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( D )A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( D )A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米7．直角三角形中，斜边长为2 cm，周长为(2＋10) cm，则它的面积为( A )A．1.5 cm2B．2 cm2C．3 cm2D．6 cm28．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以,第8题图),第9题图),第10题图)9．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝9 cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为( A )A ．6 cm 2B ．8 cm 2C ．10 cm 2D ．12 cm 210．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 距点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( B )A ．521B ．25C ．105＋5D ．35二、填空题(每小题3分，共24分)11．若直角三角形的两直角边长为a ，b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．12．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．13．(2017·长春)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形．若EF ＝2，DE ＝8，则AB 的长为__10__．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，分别以边AC ，BC 为直径向三角形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为__92π__．(结果保留π),第13题图) ,第14题图),第15题图) ,第16题图)15．(2017·烟台)如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连结OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为．16．如图，Rt △ABC 的两直角边分别为1，2，以Rt △ABC 的斜边AC 为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD ；再以△ACD 的斜边AD 为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE ；依此类推，第n 个直角三角形的斜边长是．17．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，P是AB边上一动点，则PC＋PD的最小值是．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.证明：假设PB＝PC，又∵AB＝AC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC，这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，即PB≠PC20．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．解：135°21．(8分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n 是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．(1)这个说法是否正确？请说明理由；(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．解：(1)正确，理由略(2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题22．(7分)如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝90°，BC ＝13米，AC ＝5米，∴AB ＝132－52＝12(米)，∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，∴CD ＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD ＝CD 2－AC 2＝64－25＝39(米)，∴BD ＝AB －AD ＝12－39(米)，答：船向岸边移动了(12－39)米23．(7分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA ⊥CB ，为了安全起见，爆破点C 周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由勾股定理得AB ＝500米，由S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC ×BC ，得CD ＝240米＜260米，∴公路AB 段有危险，需要暂时封锁24．(8分)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：AD 2＋DB 2＝DE 2.证明：易证△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝DB ，∠CAE ＝∠B ，∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ＝∠CAD ＋∠B ＝90°，∴AE 2＋AD 2＝DE 2，即DB 2＋AD 2＝DE 225．(10分)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积． 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数式表示CD →根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；(2)填空：在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，则△DEF 的面积是__24__．解：(1)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，故152－x 2＝132－(14－x )2，解得：x ＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84(2)如图，在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，设GD ＝x ，则GE ＝15－x ，由勾股定理得：FG 2＝DF 2－GD 2＝42－x 2，FG 2＝EF 2－EG 2＝132－(15－x )2.故42－x 2＝132－(15－x )2，解得：x ＝2.4.∴FG ＝3.2.∴S △DEF ＝12DE·FG ＝12×15×3.2＝24.故答案为：2426．(12分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务，渔政船位于南海的O 处执行任务，一艘外国渔船从点O 正东方向25海里的A 处，以20海里/时的速度沿AB 方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．(1)已知渔政船到AB 的距离OD 长为7海里，那么外国渔船从A 点行驶到D 点经过多长时间？(2)若在A ，D 之间的点C 处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C ，D 两处相距多远？(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？解：(1)AD ＝OA 2－OD 2＝24海里，外国渔船从A 点行驶到D 点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD ＝x 海里，则OC ＝AC ＝(24－x )海里，由x 2＋72＝(24－x )2，解得x ＝52748，∴C ，D 两处相距52748海里 (3)在AB 上取E ，F 两点，使OE ＝OF ＝8海里，E 点为外国渔船进入禁区地点，F 点为外国渔船驶离禁区地点，由三线合一得DE ＝DF ，∵DE ＝OE 2－OD 2＝15(海里)，∴EF ＝215海里，所以外国渔船会在我渔政船禁区内行驶21520＝1510(小时)。