湖北省稳派教育2014年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷(四)数学(理)试题(扫描版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)理
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014湖北,理1)i 为虚数单位,(1-i 1+i)2=( ). A .-1 B .1C .-iD .i答案:A解析:(1-i 1+i)2=(1-i )2(1+i )2=-2i2i=-1,故选A .2.(2014湖北,理2)若二项式(2x +a x )7的展开式中1x3的系数是84,则实数a=( ). A .2 B .√45C .1D .√24答案:C解析:二项式通项T r+1=C 7r (2x )7-r (ax -1)r =27-r a r C 7r x 7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5.令22a 5C 75=84,解得a=1.3.(2014湖北,理3)设U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C”是“A ∩B=⌀”的( ).A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 答案:C解析:如图可知,存在集合C ,使A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则有A ∩B=⌀.若A ∩B=⌀,显然存在集合C.满足A ⊆C ,B ⊆∁U C.故选C .4.(2014湖北,理4)根据如下样本数据:得到的回归方程为y ^=bx+a ,则( ). A .a>0,b>0 B .a>0,b<0 C .a<0,b>0D .a<0,b<0答案:B解析:由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的.故b<0,又回归直线过第一象限,故纵截距a>0.故选B . 5.(2014湖北,理5)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②答案:D解析:如图所示A (0,0,2),B (2,2,0),C (1,2,1),D (2,2,2),B ,C ,D 点在面yOz 上的射影分别为B 1,C 1,D 1,它们在一条线上,且C 1为B 1D 1的中点.从前往后看时,看不到棱AC ,正视图中AC 1应为虚线.故正视图应为图④.点A ,D ,C 在面xOy 内的射影分别为O ,B ,C 2,俯视图为△OC 2B ,故选图②.综上选D .6.(2014湖北,理6)若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3答案:C解析:对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x =12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x =(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1) =23-2=-43≠0, 故②不是一组正交函数;对于③,∫ 1-1x ·x 2d x=∫ 1-1x 3d x=(14x 4)|-11=0. 故③为一组正交函数,故选C .7.(2014湖北,理7)由不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组{x +y ≤1,x +y ≥-2确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ). A .18B .14C .34D .78答案:D解析:如图,由题意知平面区域Ω1的面积S Ω1=S △AOM =12×2×2=2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S 阴=S Ω1-S △ABC =2-12×1×12=74. 由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=S 阴S Ω1=742=78.故选D .8.(2014湖北,理8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ). A .227B .258C .15750D .355113答案:B解析:由题意可知:L=2πr ,即r=L 2π,圆锥体积V=13Sh=13πr 2h=13π·(L 2π)2h=112πL 2h ≈275L 2h ,故112π≈275,π≈258,故选B . 9.(2014湖北,理9)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ).A .4√33B .2√33C .3D .2答案:A解析:设椭圆长半轴为a 1,双曲线实半轴长为a 2,|F 1F 2|=2c.由余弦定理4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos π3.而|PF 1|+|PF 2|=2a 1,||PF 1|-|PF 2||=2a 2可得a 12+3a 22=4c 2.令a 1=2c cos θ,a 2=√3sin θ,即a 1c +a 2c =2cos θ+√3sin θ =2(cosθ√3=4√33(√32cosθ+12sinθ) =4√33sin (θ+π3). 故最大值为4√33,故选A .10.(2014湖北,理10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x-a 2|+|x-2a 2|-3a 2).若∀x ∈R ,f (x-1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( ).A .[-16,16]B .[-√66,√66]C .[-13,13]D .[-√33,√33]答案:B解析:由题意得,若a=0,f (x )=x ,显然成立;若a ≠0,当x ≥0时,f (x )={x -3a 2,x >2a 2,-a 2,a 2<x ≤2a 2,-x ,0≤x ≤a 2,作出x ≥0的图象 ,利用f (x )是奇函数作出整个定义域上的图象如图:而f (x-1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的,要满足对任意实数x ,都有f (x-1)≤f (x ),至少应向右平移6a 2个单位,所以6a 2≤1,解得-√66≤a ≤√66,且a ≠0.综上,实数a 的取值范围是[-√66,√66].二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.(2014湖北,理11)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ= . 答案:±3 解析:由题意得(a +λb )·(a -λb )=0,即a 2-λ2b 2=0,则a 2=λ2b 2.∴λ2=a 2b2=√222(√1+(-1))=182=9.∴λ=±3. 12.(2014湖北,理12)直线l 1:y=x+a 和l 2:y=x+b 将单位圆C :x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2= . 答案:2解析:由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的14,即√2=√2√2=cos 45°=√22,所以a 2=b 2=1,故a 2+b 2=2.13.(2014湖北,理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=.答案:495解析:不妨取a=815,则I(a)=158,D(a)=851,b=693;则取a=693,则I(a)=369,D(a)=963,b=594;则取a=594,则I(a)=459,D(a)=954,b=495;则取a=495,则I(a)=459,D(a)=954,b=495.故输出结果b=495.14.(2014湖北,理14)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=a+b2,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案:(1)√x(2)x(或填(1)k1√x,(2)k2x,其中k1,k2为正常数均可)解析:经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线方程为y+f(b)=f(a)+f(b)a-b(x-b).令x=c,y=0得c=af(b)+bf(a)f(a)+f(b);(1)令c=√ab,则得√a f(b)=√b f(a),可令f(x)=√x.前面等式成立.(2)令c=2aba+b,则得af(b)=bf(a),可令f(x)=x,前面等式成立.(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2014湖北,理15)(选修4—1:几何证明选讲)如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=.答案:4解析:由题意知PA=PB.PA切☉O于点A,由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.16.(2014湖北,理16)(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是{x=√t,y=√3t3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为. 答案:(√3,1)解析:由曲线C 1的参数方程{x =√t ,y =√3t3,得y=√33x (x ≥0),①曲线C 2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x 2+y 2=4,②由①②联立解得{x =√3,y =1,故C 1与C 2交点的直角坐标为(√3,1).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)(2014湖北,理17)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?分析:由函数f (t )为a cos t+b sin t 型,故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )=10-2sin (π12t +π3),再根据t ∈[0,24),把π12t+π3的范围求出,再利用单位圆或者正弦函数的图象求出sin (π12t +π3)的范围,从而求得f (t )的最大与最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于11 ℃,即满足不等式f (t )>11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段,可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式. 解:(1)因为f (t )=10-2(√32cosπ12t +12sin π12t)=10-2sin (π12t +π3),又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin (π12t +π3)≤1. 当t=2时,sin (π12t +π3)=1;当t=14时,sin (π12t +π3)=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )=10-2sin (π12t +π3), 故有10-2sin (π12t +π3)>11, 即sin (π12t +π3)<-12.又0≤t<24,因此7π6<π12t+π3<11π6,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.18.(本小题满分12分)(2014湖北,理18)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.分析:(1)根据{a n }是等差数列,首项a 1已知,可设公差为d ,由a 1,a 2,a 5成等比数列,即a 22=a 1a 5建立关于d 的方程求出d 来,可得通项公式a n .第(2)问可由(1)问求出的a n ,求出数列{a n }的前n 项和S n ,解不等式S n >60n+800.若有解则存在正整数n ,若无解则不存在.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n =2;当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n.显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2. 令2n 2>60n+800,即n 2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n ;当a n =4n-2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.19.(本小题满分12分)(2014湖北,理19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.分析:解决立体几何问题往往用两种方法来解决.一是几何法,二是向量法.对于第(1)问,欲证直线BC 1∥平面EFPQ ,首先想到的是利用线面平行的判定定理,即能否在平面EFPQ 内找到一条直线与BC 1平行,当λ=1时,由P ,F 分别是DD 1与AD 的中点,利用中位线定理可得FP ∥AD 1,从而得BC 1∥FP ,于是得证.对于第(2)问,研究是否存在λ的值使面EFPQ 与面PQMN 成直二面角,可根据条件利用几何法作出二面角的平面角,再令此平面角为90°,看λ是否有解.若有解就存在,若无解则不存在.若用向量法,由于是立方体,可建立空间直角坐标系,要把各点各向量的坐标写准确.第(1)问还可利用向量共线,在平面EFPQ 内找到一直线与BC 1平行来解决,或求出平面EFPQ 的法向量n 1,利用n 1·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0来证明BC 1∥平面EFPQ.对于第(2)问分别求面EFPQ 与平面MNPQ 的法向量n ,m ,若存在λ使两平面成直二面角,则m ·n =0有解,若不存在则无解.方法一(几何方法)(1)证明:如图①,连接AD 1,由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ=1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1.图①所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ. (2)解:如图②,连接BD.图②因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点, 所以EF ∥BD ,且EF=12BD. 又DP=BQ ,DP ∥BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形, 故PQ ∥BD ,且PQ=BD , 从而EF ∥PQ ,且EF=12PQ.在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1, 于是EQ=FP=√1+λ2,所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG , 则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO=O ,故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF=MN ,知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点, 所以GH=ME=2.在△GOH 中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-(√22)2=λ2+12,OG 2=1+(2-λ)2-(√22)2=(2-λ)2+12,由OG 2+OH 2=GH 2,得(2-λ)2+12+λ2+12=4,解得λ=1±√22,故存在λ=1±√22,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.方法二(向量方法)以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系D-xyz.图③由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,λ),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1), 因为BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2), 所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BC 1∥FP. 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)解:设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由{FE ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,FP⃗⃗⃗⃗ ·n =0,可得{x +y =0,-x +λz =0,于是可取n =(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1). 若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角, 则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0, 解得λ=1±√22.故存在λ=1±√22,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.20.(本小题满分12分)(2014湖北,理20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)X 限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?分析:(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率.用样本估计总体的方法估计未来的年入流量.因各年的年入流量相互独立,可利用二项分布求出至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)分别求出安装1台,2台,3台发电机时,水电站年总利润的数学期望,比较它们的期望值,选择最佳方案. 解:(1)依题意,p 1=P (40<X<80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X>120)=550=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C 40(1-p 3)4+C 41(1-p 3)3p 3=(910)4+4×(910)3×(110)=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E (Y )=5 000×1=5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P (Y=4 200)=P (40<X<80)=p 1=0.2; 当X ≥80时,2台发电机运行,此时Y=5 000×2=10 000,因此P (Y=10 000)=P (X ≥80)=p 2+p 3=0.8;由此得Y 的分布列如下:Y4 200 10 000P 0.20.8所以,E (Y )=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840.③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P (Y=3 400)=P (40<X<80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,2台发电机运行,此时Y=5 000×2-800=9 200,因此P (Y=9 200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X>120时,3台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因此P 由此得Y 的分布列如下所以,E (Y )=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.21.(本小题满分14分)(2014湖北,理21)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程.(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.分析:第(1)问求动点M 的轨迹C 的方程,就是找出动点M (x ,y )中x 与y 的关系,依据点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴距离多1建立等式|MF|=|x|+1,而|MF|可用两点间距离公式表示,化简整理可得轨迹C 的方程.而对于第(2)问,由于直线过定点(-2,1),可用点斜式得直线方程y-1=k (x+2),讨论直线l 与曲线C 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题.由第(1)问知曲线C 的方程分为两段:一段是抛物线,一段为射线,而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程,需对二次项系数以及根的判别式作出讨论,还要注意与抛物线联立后有解时x 的取值为非负这一条件.解:(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF|=|x|+1,即√(x -1)2+y 2=|x|+1,化简整理得y 2=2(|x|+x ). 故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x ,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k (x+2).由方程组{y -1=k (x +2),y 2=4x ,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①ⅰ)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.故此时直线l :y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1). ⅱ)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k (x+2),令y=0,得x 0=-2k+1k.③ (a)若{Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1,或k>12.即当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(b)若{Δ=0,x 0<0,或{Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈{-1,12},或-12≤k<0.即当k ∈{-1,12}时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点.当k ∈[-12,0)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(c)若{Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k<-12,或0<k<12.即当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合ⅰ,ⅱ可知,当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点; 当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点; 当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.22.(本小题满分14分)(2014湖北,理22)π为圆周率,e =2.718 28…为自然对数的底数. (1)求函数f (x )=lnxx的单调区间; (2)求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数;(3)将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.分析:第(1)问是求函数的单调递增递减区间,因此可求函数的导数f'(x ),令f'(x )>0求单调递增区间,令f'(x )<0求单调递减区间.第(2)问是研究给定数值大小关系问题,结合给定数的特点有的是底一样,指数不一样,有的指数一样而底不一样,因此可利用函数的单调性初步判断出3e <πe <π3,e 3<e π<3π.因此求6个数中的最大数就是比较π3与3π,最小数就是比较3e 与e 3,我们可借助于第(1)问中的结论来达到目的.而第(3)问是在(2)问的基础上转化为比较e 3与πe ,e π与π3的大小,充分利用第(1)问得到的结论.合理赋值使问题得到解决. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=lnxx,所以f'(x )=1-lnxx 2. 当f'(x )>0,即0<x<e 时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>e 时,函数f (x )单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为[e,+∞).(2)因为e <3<π,所以eln 3<eln π,πln e <πln 3, 即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π.于是根据函数y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增, 可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e <3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln33<ln ee. 由ln ππ<ln33,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3; 由ln33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e . (3)由(2)知,3e <πe <π3<3π,3e <e 3. 又由(2)知,ln ππ<ln ee,得πe <e π,故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小. 由(1)知,当0<x<e 时,f (x )<f (e)=1e, 即lnx x<1e.在上式中,令x=e 2π,又e 2π<e, 则ln e 2π<e π,从而2-ln π<e π,即得ln π>2-eπ.①由①得,eln π>e (2-e π)>2.7×(2-2.723.1)>2.7×(2-0.88)=3.024>3, 即eln π>3,亦即ln πe >ln e 3,所以e 3<πe .又由①得,3ln π>6-3e π>6-e >π,即3lnπ>π,所以eπ<π3.综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6个数从小到大的顺序为3e,e3,πe,eπ,π3,3π.。
【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学理
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i为虚数单位，()2=( )A. -1B. 1C. -iD. i解析：由于，所以()2=(-i)2=-1.答案：A.2.若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a=( )A. 2B.C. 1D.解析：二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x-3项的系数为84，所以T r+1==，令-7+2r=-3，解得r=2，代入得：，解得a=1，答案：C.3.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( )A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由题意A⊆C，则C U C⊆C U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆C U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件.答案：C.4.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0解析：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过(3，4)与(4，3.5)附近，所以a＞0.答案：B.5.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②解析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，答案：D.6.若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx=0，则f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)=sin x，g(x)=cos x；②f(x)=x+1，g(x)=x-1；③f(x)=x，g(x)=x2，其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：对于①：[sin x•cos x]dx=(sinx)dx=cosx=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于②：(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=()≠0，∴f(x)，g(x)不为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=()=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，答案：C.7.由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.解析：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C(0，1)，由，解得，即D(，)，则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，答案：D.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=(2πr)2，∴=(2πr)2h，∴π= .答案：B.9.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C. 3D. 2解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，(a＞a1)，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|-|PF2|=2a1，则|PF1|=a+a1|，|PF2|=a-a1，∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos，即4c2=a2+3a12，则4-，即，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.答案：B10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若∀x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A. [-，]B. [-，]C. [-，]D. [-，]解析：当x≥0时，f(x)=，由f(x)=x-3a2，x＞2a2，得f(x)＞-a2；当a2＜x＜2a2时，f(x)=-a2；由f(x)=-x，0≤x≤a2，得f(x)≥-a2.∴当x＞0时，.∵函数f(x)为奇函数，∴当x＜0时，.∵对∀x∈R，都有f(x-1)≤f(x)，∴2a2-(-4a2)≤1，解得：.故实数a的取值范围是.答案：B.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.11.设向量=(3，3)，=(1，-1)，若(+λ)⊥(-λ)，则实数λ=.解析：∵向量=(3，3)，=(1，-1)，∴向量||=3，||=，向量•=3-3=0，若(+λ)⊥((-λ))，则(+λ)•((-λ)=，即18-2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，答案：±3，12.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= . 解析：由题意可得，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，答案：2.13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= .解析：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321-123=198；第二次循环a=198，b=981-189=792；第三次循环a=792，b=972-279=693；第四次循环a=693，b=963-369=594；第五次循环a=594，b=954-459=495；第六次循环a=495，b=954-459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495.答案：495.三、解答题14.设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且f(x)＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点(a，f(a))，(b，-f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)=1(x＞0)时，可得M f(a，b)=c=，即M f(a，b)为a，b 的算术平均数.(1)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数；(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析：(1)设f(x)=，(x＞0)，在经过点(a，)、(b，-)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.(2)设f(x)=x，(x＞0)，在经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.答案：(1)设f(x)=，(x＞0)，则经过点(a，)、(b，-)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=，(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数，(2)设f(x)=x，(x＞0)，则经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=x(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数，15.如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q 作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= .解析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB.答案：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4.16.已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为.解析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标.答案：把曲线C1的参数方程是(t为参数)，消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0，y≥0).曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4.解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为(，1)，17.(11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10-，t∈[0，24)(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解析：(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10-2sin(t+)，t∈[0，24)，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由f(t)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论.答案：(Ⅰ)∵f(t)=10-=10-2sin(t+)，t∈[0，24)，∴≤t+＜，故当t-=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10-2=8，故实验室这一天的最大温差为12-8=4℃.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由(Ⅰ)可得f(t)=10-2sin(t+)，由10-2sin(t+)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温.18.(12分)(已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断.答案：(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化简得d2-4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+(n-1)•4=4n-2.(Ⅱ)当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n-2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2-30n-400＞0，解得n＞40，或n＜-10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n-2时，存在满足题意的正整数n，最小值为4119.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ(0＜λ＜2)(Ⅰ)当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论.答案：(Ⅰ)以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，∴=(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)λ=1时，=(-2，0，2)，=(-1，0，1)，∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x，y，z)，则，∴取=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ-2，2-λ，1)，若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，∴λ=1±.∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解析：(Ⅰ)先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到. 答案：(Ⅰ)依题意，p1=P(40＜X＜80)=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位，万元)(1)安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000，(2)安装2台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，因此P(Y=4200)=P(40＜X＜80)=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.(2)安装3台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，因此P(Y=3400)=P(40＜X＜80)=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，因此，P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P(Y=15000)=P(X＞120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程；(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析：(Ⅰ)设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设出直线l的方程为y-1=k(x+2)，和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.答案：(Ⅰ)设M(x，y)，依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x.∴点M的轨迹C的方程为；(Ⅱ)在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x(x≥0)，C2：y=0(x＜0).依题意，可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组，可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得.故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点().②当k≠0时，方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判别式为△=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y-1=k(x+2)，取y=0得.若，解得k＜-1或k＞.即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或，解得k=-1或k=或.即当k=-1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点.故当k=-1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若，解得-1＜k＜-或0＜k＜.即当-1＜k＜-或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点.此时直线l与C恰有三个公共点.综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{-1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方22.(14分)π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间；(Ⅱ)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；(Ⅲ)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.解析：(Ⅰ)先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0即可得到单调增、减区间；(Ⅱ)由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由此进而得到结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0＜x＜e时，.，令x=，有ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，∵f(x)=，∴f′(x)=，当f′(x)＞0，即0＜x＜e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0，即x＞e时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，+∞).(Ⅱ)∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(Ⅲ)由(Ⅱ)知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)知，当0＜x＜e时，f(x)＜f(e)=，即.在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①由①得，elnπ＞e(2-)＞2.7×(2-)＞2.7×(2-0.88)=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe.又由①得，3lnπ＞6-＞6-e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3.综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2014高考湖北数学真题（word版）
2014高考湖北数学真题（word版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理科)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位，则 ( )
2.5
0.5
得到的回归方程为 ，则( )
A. B. C. D.
A. B. C. D. 2. 若பைடு நூலகம்项式 的展开式中 的系数是84，则实数 ( )
A.2 B. C. 1 D. 3. 设 为全集， 是集合，则“存在集合 使得 是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2014年湖北省七市(州)高三四月调考数学试卷(理科)
2014年湖北省七市（州）高三四月调考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤}，则A∪B=（）A.∅B.（0，]C.[，1]D.（-∞，1]【答案】D【解析】解：∵集合A={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x|2x≤}={x|2x≤}={x|x≤}，∴A∪B={x|x≤1}，故选：D．解对数不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的并集的定义求得A∪B．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2.下列说法错误的是（）A.命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”B.已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C.若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥”的充要条件D.若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0【答案】B【解析】解：A．由“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，得A正确；B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，故B不正确；C．若x，y∈R，则“x=y”．可推出“xy≥”，又“xy≥”可推出“x2+y2-2xy≤0”即“（x-y）2≤0”即“x=y”，故C正确；D．由命题的否定方法得D正确．故选：B．由四种命题及关系判断A；根据复合命题p∨q的真假，可判断B；由充分必要条件的定义来判断C；由存在性命题的否定是全称性命题，可判断D．本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，复合命题的真假性，充分必要条件和命题的否定的形式，应注意与否命题的区别，是一道基础题．3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A.线性相关关系较强，b的值为1.25B.线性相关关系较强，b的值为0.83C.线性相关关系较强，b的值为-0.87D.线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．根据散点图中点的分布特点即可得到结论．本题主要考查散点图的应用，根据图象是解决本题的关键，比较基础．4.某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A.92+14πB.82+14πC.92+24πD.82+24π【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．5.阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=cos，n=2，；经过第二次循环得到s=cos cos，n=3；经过第三次循环得到s=cos cos cos，n=4；经过第四次循环得到s=cos cos cos cos，n=5此时不满足n≥4，输出最后的s因此，输出结果s=cos cos cos cos=×=×=×=×=故选：C由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知该程序经过四次循环，得到当n=5时不满足n≥4，输出最后的s=cos cos cos cos，再用三角恒等变换进行化简整理，即可得到本题答案．题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了程序框图的理解、用三角恒等变换求三角函数值等知识，属于基础题．6.已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）【答案】B【解析】解：构造函数F（x）=f（x）-g（x），则由题意，F（0）=3.011-3.451＜0，F（1）=5.432-5.241＞0，∴函数F（x）=f（x）-g（x）有零点的区间是（0，1），∴方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（0，1），故选：B．构造函数F（x）=f（x）-g（x），则由题意，F（0）=3.011-3.451＜0，F（1）=5.432-5.241＞0，即可得出结论．本题考查方程f（x）=g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．7.已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，则由，得，即A（1，2），由，得，即B（2，1），∴此时夹角θ最大，则，，，，则cosθ==，∴sin，此时tan=，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键．8.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=-1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1-4c≤1，即d2，，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选C．利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．9.如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e x+1；④f（x）=，，．其中函数式“H函数”的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=-x3+x+1；y'=-3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x-2（sinx-cosx）；y'=3-2（cosx+sinx）=3-2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，，，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选C．不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．10.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x （b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为（）A.-y2=1B.x2-y2=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】解：∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，∴4c2=|PF1|•|PF2|，∵|PF1|-|PF2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16，即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．∵一条渐近线方程为y=x（b∈N*），∴=，∴a=2，∴=1．故选：A．由已知条件推导出|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，由余弦定理得|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2，由此求出b2=1，由一条渐近线方程为y=x，求得a=2，由此能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是______ ．【答案】-i【解析】解：由图可知：z=2+i，∴复数====i的共轭复数为-i．故答案为：-i．由图可知：z=2+i，再利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和几何意义、共轭复数的意义，属于基础题．12.设（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，则a4= ______ ．【答案】240【解析】解：∵（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，∴（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴通项为T r+1=，令6-r=4，则r=2，∴a4==240．故答案为：240．以x+1代替x，可得（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，求出x4的系数，即可得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.物体A以速度v=3t2+1（t的单位：s，v的单位：m/s）在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为______ m．【答案】130【解析】解：两物体相遇时A运动的距离为，B运动的距离为．由t3+t=5t2+5，得t=5．∴两物体相遇时A运动的距离为53+5=130．故答案为：130．由定积分求出两物体相遇时物体A运动的距离和物体B运动的距离，由距离相等列式求出t，代入距离函数求得答案．本题考查定积分，关键是对提议的理解，是基础题．14.将长度为l（l≥4，l∈N*）的线段分成n（n≥3）段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n的最大值为4．则：（1）当l=12时，n的最大值为______ ；（2）当l=100时，n的最大值为______ ．【答案】5；9【解析】解：（1）当l=12时，n的最大值为5，此时能分成的n段的长度分别是1、1、1+1=2、1+2=3、2+3=5，（2）当l=100时，n的最大值为9，此时能分成的n段的长度分别是1、1、1+1=2、1+2=3、2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，46故答案为：5，9若这n段中的任意三段都不能构成三角形，则分成的n 段中，首先取2个1分米，后面的数依次是前面两个数的和，依次即可求解．考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．15.如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ______ ．【答案】【解析】解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PA tan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•OD cos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在R t△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在R t△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF 垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA 和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．16.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值______ ．【答案】5-【解析】解：由曲线C的参数方程，（α为参数），化成普通方程为：（x-1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．故答案为：5-．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM 的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值．充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|-r是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知向量=（cos，-1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6abcos C，sin2C=2sin A sin B，求f（C）的值．【答案】解：（1）∵=（cos，-1），=（sin，cos2），∴f（x）=+1=sin cos-cos2=sinx-cosx+=sin（x-）+，令2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），得到2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），所以所求增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；（2）由a2+b2=6abcos C，由sin2C=2sin A sin B，利用正弦定理化简得：c2=2ab，∴cos C===3cos C-1，即cos C=，又∵0＜C＜π，∴C=，∴f（C）=f（）=sin（-）+=+=1．【解析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cos C，将第一个等式及化简得到的关系式代入求出cos C的值，确定出C的度数，即可求出f（C）的值．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2≠b2，且b2为a1，a2的等差中项，a2为b2，b3的等差中项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．【答案】解：（1）设公比及公差分别为q，d，由2b2=a1+a2，2a2=b2+b3，得q=1，d=0或q=2，d=2，（3分）又由a2≠b2，故q=2，d=2（4分）∴，（6分）（2）∵（8分）∴（9分）令①②由②-①得，（11分）∴．（12分）【解析】（1）设公比及公差分别为q，d，由2b2=a1+a2，2a2=b2+b3，解得q=2，d=2，由此能求出数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{c n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．（Ⅰ）设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ．（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F（与A，B两点不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：由题意， ， ， 又AD=2，∴AC ⊥CD （1分）又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DC ，∴DC ⊥面PAC （2分） ∴α=∠DPC ， ∴（3分）∠ ，，（5分）∴tan α=cos β（6分）（Ⅱ）解法一：取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ，由△PAM 与△QME 相似得，，（7分）在PC 上取点N ，使，则 ，，（8分） 在AB 上取点F 使，由于AB 平行且等于QC ，故有AF 平行且等于MN ，（9分）∴四边形AMNF 为平行四边形，∴FN ∥AE ，（10分） 而FN ⊂PFC ，故有AE ∥平面PCF ，（11分）∴在线段AB 上存在一点F 使得AE ∥平面PCF ，AF 的长为．（12分）解法二：如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E 为PD 的中点，则E （0，1，1）（7分）假设存在符合条件的点F （a ，0，0）（0＜a ＜1），则， ， ， ， ， ， ， ， 共面，故存在实数m ，n ，使得 （9分） 即 ，故有即 ， ， ，（11分）即存在符合条件的点F ，AF 的长为．（12分）【解析】（Ⅰ）证明DC ⊥面PAC ，可得PD 与平面PAC 所成的角为α，二面角P-CD-A 的大小为β，从而证明tan α=cos β． （Ⅱ）解法一：取AD 的中点Q ，连PQ 交AE 于M ，证明四边形AMNF 为平行四边形，，，共面，即可得出结论．本题考查线面平行，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键．20.小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x0；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）：①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．【答案】解：（1）观察频率分布直方图，频率最大在[6：50，7：10），众数x0=7：00（2）记报纸送达的时间为x，x∈[6.5，7.5]①如图所示，实验的所有的基本事件由平面区域Ω={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤x≤7.5}而事件“小明的父亲能拿到报纸”（事件A）的基本事件可由图中阴影部分表示∵SΩ=×1=，S阴=-××=∴P（A）=②依题意得，X～B（5，）∴EX=5×=故小明的父亲一周5天（假日除外）能取到报纸的天数X的数学期望为．【解析】（1）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标可得结论；（2）①作出实验的所有的基本事件由平面区域，以及事件“小明的父亲能拿到报纸”（事件A）的基本事件，利用几何概型的概率公式解之即可；②分析可知小明的父亲一周5天（假日除外）能取到报纸的天数X服从二项分布，然后根据二项分布的数学期望公式解之即可．本题主要考查了众数的概念，以及频率分布直方图和离散型随机变量的概率分布，同时21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．【答案】解：（1）由题意：（2分）（4分）故椭圆C的方程为（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若直线PQ与纵轴垂直，则M，N中有一点与A重合，与题意不符，故可设直线PQ：x=my+3．（6分）将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my-21=0（7分），（8分）由A，P，M三点共线可知，，，（9分）同理可得（10分）（11分）而（12分）所以故直线MR、NR的斜率之积为定值．（14分）【解析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my-21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．22.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=+．（Ⅰ）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图象在x=1处的切线方程：（Ⅱ）求证：e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=3，求证：++≤6．【答案】解：（Ⅰ），F′（x）=1+lnx+x，则F（1）=1，F′（1）=2，∴F（x）图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；（Ⅱ）令，则G′（x）=e xlnx（1+lnx）-x，∴，∵x-1与lnx同号，∴（x-1）lnx≥0，∴e（x-1）lnx-1≥0∴G′′（x）＞0，∴G′（x）在（0，+∞）单调递增，又G′（1）=0，∴当x∈（0，1）时，G′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0．∴G（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴G（x）min=G（1）=0．∴G（x）≥0，即e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则=．由柯西不等式得，∴，同理，三个不等式相加得：3．≤6．∴++≤6．【解析】（Ⅰ）把f（x），g（x）的解析式代入F（x）=f（x）+g（x），求出F（1）的值，对F （x）求导后得到F′（1），然后由直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）构造辅助函数G（x）=e f（x）-g（x），代入f（x）和g（x）的解析式后对G（x）两次求导，然后结合G′（1）=0，可得当x∈（0，1）时，G′（1）＜0，当x∈（1，+∞）时，G′（1）＞0，由此可知G（x）min=G（1）=0，说明G（x）≥0，即e f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，分别取x等于a，b，c后把不等式++放大为，然后利用柯西不等式加以证明．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，训练了利用函数构造法证明不等式，考查了利用导数求函数的最值，对于（Ⅱ）的证明，能够想到两次求导是关键，（Ⅲ）的证明借助于（Ⅱ）中的不等式，两次放缩难度较大，是综合性较强的题目．。
2014年湖北高考数学理精校word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知命题P ：,0,≤∈∃x e R x 则⌝P 为( )A ．0,≤∈∀x e R xB ．0,>∈∀x e R xC ．0,>∈∃x e R xD ．0,≥∈∃x e R x2．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ （ ）A ．12B ．14C ．16D ．183．已知31tan(),tan(),tan()5646ππαβαβ+=-=+那么=( )A ．16B ．723C ．1318D ．13224、函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为 ( )A （2，3）B (3,)+∞C （1，2）D （0，1）5. 下列命题中，错误．．的是 ( )（A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线6.已知向量,，满足6))(2(-=-+，21==，则与的夹角为（ ） A. 4πB.3π C.6π D.23π 7．函数22cos y x =的一个单调增区间是 （ ）A ． ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8.数列}{n a 中，),()1(2,211*+∈++==N n n n a a a n n 则=10a ( ) A.3.4 B.3.6 C.3.8 D.49．在20,ABC AB BC AB ABC ∆⋅+=∆中，若则是 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D . 等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 10．求(1)(12)1i i i-++= 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.242．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x 3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C. 3． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B.5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，A ．①和②B 5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析] 作出Ω1，Ω2S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B .258 C.15750 D.3551138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .433 B.233C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495. 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)．15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若．15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln x x的单调区间； (2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e . 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π. 故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－e π.① 由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π， 所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ）A.1-B. 1C. i -D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
2014年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(湖北卷)
试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。