【资料】高中数学必修五111正弦定理共3个课时汇编
高中数学 1.1.1正弦定理教案 新人教A版必修5
《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。
五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。
本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。
2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。
本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。
高中数学 1.1.1 正弦定理教案 新人教A版必修5
§1.1.1 正弦定理教学要求：（一）知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
（二）过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
（三）情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程： 一、复习准备：1、讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形。
已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？二、讲授新课：1、教学正弦定理的推导：（1）特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =，sin c c C =，sin sin sin a b cA B C ==。
（2）推广到斜三角形证明一：（传统证法）在任意斜ABC ∆中：111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===， 两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b c A B C ==，证明二：（外接圆法）如图所示，A D ∠=∠，∴2sin sin a aCD R A D===，同理2sin b R B =，2sin c R C =。
新课标高中数学人教A版必修五全册课件1.1.1正弦定理
解三角形：
一般地，已知三角形的某些边 和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知A＝32.0o， B＝81.8o，a＝42.9cm，解三角形.
练习：
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) A＝45o，C＝30o，c＝10cm； (2) A＝60o，C＝45o，c＝20cm.
思考： 在△ABC中，
a b c k(k 0),
sin A sin B sinC 这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
abc sin A sin B sinC
abc
k
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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝20cm， b＝28cm，A＝40o，解三角形(角 度精确到1o, 边长精确到1cm).
练习：
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
B
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对A 边AB的长度
之间有怎样的数量关C 系？ B 显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对A 边AB的长度
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_19
必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析对高一的学生来说，已经学习平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标1.知识与技能初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。
2.过程与方法(1) 通过实际问题，激发学生的学习兴趣；(2) 通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。
人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学·必修5(人教A版)解三角形本章概述课标导读1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.要点点击1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变．2.注意使用三角形内角和为180°.3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理．4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.网络构建1.1正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理►基础达标1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°，故选C.答案：C2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．4 3 B．2 3 C. 3 D.3 2解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝() A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.C答案：C4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：∵b sin B ＝a32，∴sin A ＝32，∵△ABC 是钝角三角形，∴A＝π3. 答案：D5．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________.解析：∵B ＝30°，C ＝135°， ∴A ＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，a sin A ＝bsin B得：a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝4sin 15°.又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝64－24， ∴a ＝6－ 2. 答案：6－ 2►巩固提高 6．在△ABC 中，如果B ＝31°，a ＝20，b ＝10，则此三角形( ) A ．有两解 B ．有一解C ．无解D ．有无穷多解解析：∵a sin B ＞b ，∴无解． 答案：C7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝b sin Aa ＝3×323＝12.又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.答案：π28．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝ABsin C，∴sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， ∴C ＝60°或120°， ①当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2； ②当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或29．已知：在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，解此三角形．解析：c sin C ＝asin A ⇒sin C ＝c sin A a ＝6×24＝32，当C ＝60°时，B ＝75°，∴b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝120°时，B ＝15°，∴b ＝a sin Bsin A＝3－1.10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解析：由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，由a cos A＝b cos B得，sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.即A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC为等腰或直角三角形．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有当A为锐角且b sin A ＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．特别强调：把a＝2R sin A，b＝2R sin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
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变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学必修五111正弦定理共3个课时共36页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
高中数学必修五111正弦定 理共3个课时
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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Q:三角形中知两个角和所夹边长，如何求其它边？
如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小 河一侧，如在B点所在一侧，选择点C，先测BC的长a， 再用经纬仪分别测出∠B，∠C的值，那么，根据a, B， C的值，能否算出AB的长。
A
B
a
C
经纬仪：测量水平角/竖直角的仪器
(2)AB 中 ,若 CsiA nsiB n ,则 A 与 B 的大小 ( )关
A .AB B .AB C .AB D .不能确
siA nsiB n , ab, 大边, 对 AB .大角
(3 )A中 B ,A :B C :C 4 :1 :1 ,则 a :b :c ____
A .4 :1 :1B .2 :1 :1C .2 :1 :1D .3 :1 :1
c
c
bc
在 R A t 中 CB， a 有 bc
siA nsiB nsiC n
C aB
Q:锐角或钝角三角形中是否也存在这种关系？
Q:如何证明你的猜想？ 作高，转化为在直角三角形中证明（化归）
证明：在锐角三角形中都有各边边长与所对角的正弦
值之比相等。
A
过 A作 ADBC
sinBAD,siC nAD
c
基础概念
A
角A的对边：a 角B的对边：b 角C的对边：c
c
b
B
a
C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 做解三角形。
3
Q:直角三角形中存在什么边和角的数量关系？
A sin A a sin B b sinC1 c
c
2
B 1 5 时 ,A 0B 1 8 ,不 0 ,符 舍合 去
② a2,b23,A30 . siB n 31B60或 120
B 6 时 0 ,C 9,0 c 4
2
B 1 2 时 ,C 0 3 ,c 0 2
③ a3,b2,A60 . siB n 1 B 90
B 9时 0 ,C 3,0 c 1
a2
a b , A B , B 3 .0
大边对大角
B 3时 0,C 9, 0cbsiC n 4 . siB n
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150 a2
① B 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 .
sinB sinC
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。 任意三角 a形 b中有 c
sin A siB n siC n
变形：① siA na,siB nb,siA na
siB nbsiC ncsiC nc
② a sB ib s n A , i a s n C i c s n A , i b s n C i c s n B i ③ a :b :c sA i:n sB i:n sC in
④a abc siA n siA nsiB nsiC n ac bc ab sinAsinC sinBsinC sinAsinB
练习1：求解下列各题
(1 )AB 中 ,若 C siA n co B ,则 sB 的值 ( )为
ab A .30B .45C .60D .90
sB i n cB o , s B 45
任意三角 a形 b中有 c sin A siB n siC n
变形：……
作用：实现边角关系的转化 注意：多结合三角形内角和定理、大边对大角
常用结论：① A 中 , s B A i s C n B i A n B a b
例题1：解三角形 知两角一边，求其他边和角
( 1 )A中 B ,已 a C 8 ,知 B 6 ,C 0 7 .5
E b
c
b
A c D sB i n b sC in
b c sinB sinC
B
Da
C
过 B作 BEAC
sinABE,siC nBE, B c E sA i n a sC in
c
a
a c 锐角三角 a形 b中有 c
sinA sinC
sin A siB n siC n
证明：在钝角三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
(2)① a23,b2,A60 . 对角，求其他边和角
解 :由正弦 s 3时 0,C 9, 0cb siC n 4 . siB n
② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证 内角和定理
解 :由正弦 si定 B nbs理 iA n 得 1,B30或 150
A 1 , B 2 C 3 0 , a : 0 b : c s A : i s B n : i s C n i3 : n 1 : 1
思考并尝试解答课本 P10 - B组第1、2题
1.1.1正弦定理 2
2018.9
2020/7/18
正弦定理 在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦 值之比相等。
解 : A 1 8 6 0 0 7 5 4 .5 由正弦定理得,
basiB n8si6n0 46. siA n si4n5
求第三个角
si7n5 si4 n5 (30 ) 62 4
casiC n8si7 n54 34 sin A si4 n5
由正弦定理 求其它边
例题2：解三角形. 知两边及其中一边的
siB n ② B 1 5 时 ,0 A B 1 8 ,舍 0 去
验证
② a2,b23,A30 .
③ a3,b2,A60 .
④ a2,b43,A30 .
例题2：知两边和其中一边的对角解三角形.
① a23,b2,A60 . siB n11 B30或 150
B 3 时 0 ,C 9,0 c 4
过 B作 BEAC
sinABE,sinCAD B c E sA i n a sC in
c
a
A
a c sinA sinC
E b
c
延 B长 并 CA 作 过 A D BC D B
a
C
R△ t AD中 C ,siC nAD ;R△ tAD 中 ,sB in B A D siB n
b
c
A D c sB i n b sC i, nb c
④ a2,b43,A30 . sinB 31B不存在