高中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明汉阴中学正弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin Cc Bb Aa ==证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。

由此，得 sin sin abAB=，同理可得sin sin cbCB=，故有 sin sin abAB=sin c C=.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。

由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin cbB c a A ==∴c BbA a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C Θ.sin sin sin Cc B b A a ==∴由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.2.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=Rc B C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =.同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.3.向量法证明正弦定理a b DAB CAB CDba'cos(90)sin OC AC A b A =-=o u u u u r u u u r'sin sin OC BC B a B==u u u u r u u u rsin sin a B b A = sin sin a b A B = 同理 sin sin c bC B =故有 sin sin a bA B =sin c C =.余弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 证明：如图在ABC ∆中，))((222AB AC AB AC BC a a --===2222cos 22ABA AB AC AC ABAB AC AC +•-=+•-=A bc c b cos 222-+=同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=Cab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222数列部分内容：{}n a 是等差数列，公差为d ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 证明：由题意， ))1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：))1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②①+②得：2n S 44443444421个n n a n a n a +++++=111.......所以，2)(1n n a a n S +=③， 把d n a a n )1(1-+=代入③中，得2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+=内容：{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n证明：112111.......-++++=n n q a q a q a a S ① nn q a q a q a q a qS 131211.......++++=②①—②得：nn q a a S q 11)1(-=-， 当1≠q 时，n S qq a q q a a n n --=--=1)1(1111③把11-=n n q a a 代入③中，得n S qqa a n --=11 当1=q 时。

很明显n S 1na =所以，n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n立体几何部分三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

证明：已知：如图（9），直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a证明： 过P 作PO 垂直于α∵PO ⊥α ∴PO ⊥a又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA ∴a ⊥l求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.:a ,a =αβαβ⋂P P 如图所示已知在平面，b,求证：a b.,b a b b .a a b a a a b αααβ∴∴∴Q P Q P 证明和没有公共点,又在内,和也没有公共点,而和都在内，和也没有公共点,求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. :,,.a b αβαγβγ⋂=⋂=P P 如图所示已知求证：a b.b b b .a a a a b αβαβγ∴∴Q P Q P 证明：和分别在平面、内且，和不相交，又和都在平面内，求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.:AB MN B AB αβαββα⊥⋂⊥⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。

求证：.BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN AB ααβαβα⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥∴⊥o Q 证明：在平面内做直线，则是二面角的平面角，，，又，求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.:,A B. B b'b' A b' b b',b' =, B B l ααααβαβ⊥⊥⊥=P I I 如图所示已知a ,b 垂足分别为、求证：a b.证明：假设a 和b 不平行，过点作a 的平行线由异面直线垂直定义，与平面内过点的任意直线都垂直，也即有，故直线与b 与确定一个平面，记，在平面内，过点有且仅有一条 b' a b.l ⊥直线垂直于，故直线与b 重合，所以点到直线距离公式证明内容：已知直线,0:=++C By Ax l 直线外一点).,(00y x M 则其到直线l 的距离为2200BA C By Ax d +++=。

向量法证：如图，设直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠的一个法向量(1,)B n A=r，Q 直线上任意一点，101010102222110000112222|()|||||10,B x x y y n PQ A d n B A B AP Ax By C d A B A B -+-⋅===++∴++===++r u u u r r Q 点在直线l 上,从而定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()By y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B----++yxPQl 1图'l yPn rQlx2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A BA x ABy ACB y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴=平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设,是非零向量，且),(),,(2211y x y x ==若//，则存在实数λ使λ=，且由平面向量基本定理可知)(222211j y x y x y x λλλ+=+=+21x x λ=∴①，21y y λ=② ①-⨯2y ②2x ⨯得：01221=-y x y x若0,021≠≠y y （即向量b a ,不与坐标轴平行）则2211y x y x =平面向量基本定理内容：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对 实数21,λλ，使得.2211e e λλ+=证明：如图过平面内一点O ，作e e ===,,21，过点C 分别作直 线OA 和直线OB 的平行线，交OA 于点M ，交OB 于点N ，有且只有一组实数，使得21,λλ==OBOA OC OM 21λλ+=∴+=Θ即.2211e e λλ+=共线向量定理内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直线AB 上，则有PB PA PC )1(λλ-+=证明：由题意，BC 与BA 共线，BA BC λ=∴)(,PB PA BA PB PC BC -=-∴-=-=λ化简为：PB PA PC )1(λλ-+=柯西不等式：AOe 1-y)若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+或||ac bd +证法：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+.证法：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n cd =r ，则||m u r ||n =r∵ m n ac bd •=+u r r，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g gg ，则||||||m n m n ≤r g g . ∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 诱导公式公式：如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ´(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式。