高中数学 第二章 变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则 2.4.1 导数的加法与减法法则优质课件
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高中数学 第二章 变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则课件 北师大版选修22
(e +1)'(e -1)-(e +1)(e -1)'
(4)y'=
2
(e -1)
e (e -1)-(e +1)e
-2e
=
2
(e -1)
=
2
(e -1)
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
为
.
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率
k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
探究一
探究二
思维辨析
因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】 求下列函数的导数.
2
2
2
(1)y=(x +1) ;(2)y=cos 2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够
直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等
变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求
导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.
(4)y'=
2
(e -1)
e (e -1)-(e +1)e
-2e
=
2
(e -1)
=
2
(e -1)
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
为
.
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率
k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
探究一
探究二
思维辨析
因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】 求下列函数的导数.
2
2
2
(1)y=(x +1) ;(2)y=cos 2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够
直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等
变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求
导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.
2018_2019学年高中数学第二章变化率与导数4导数的四则运算法则课件北师大版选修2_2
答案：B
2．设 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等于( )
19
16
A. 3
B. 3
13
10
C. 3
D. 3
解析： f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4， 解得 a＝130. 答案：D
3．求下列函数的导数． (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
问题 2：能否用 f(x)和 g(x)的导数表示 f(x)·g(x)的导数？如何 表示？
提示：能．因 f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，(f(x)g(x))′＝5x4， 有(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
问题 3：对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示：满足．
导数的乘法与除法法则
导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的 和(差)，即 [f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x).
导数的乘法与除法法则
已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x2. 问题 1：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？ 提 示 ： 不 成 立 ， 因 为 [f(x)·g(x)]′ ＝ (x5)′ ＝ 5x4 ， 而 f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
1．下列求导运算中正确的是 A.x＋1x′＝1＋x12 C．(ln x)′＝x
() B．(lg x)′＝xln110 D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析： x＋1x′＝1－x12，故 A 错；(ln x)′＝1x，故 C 错；(x2cos x)′ ＝2xcos x－x2sin x，故 D 错，故选 B.
最新2019-2020年人教统编高中数学第二章变化率与导数2.4.1导数的加法与减法法则2.4.2导
1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点 P 处的切线方程 P 与曲线相切的直线方程.
2.本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定 该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.
[再练一题] 2.求曲线 y＝x22＋x 1在点(1，1)处的切线方程. 【解】 y′＝2（x（2＋x21＋）1－）22x·2x＝（2x－2＋21x）2 2， ∴当 x＝1 时，y′＝2－4 2＝0， 即曲线在点(1，1)处的切线斜率 k＝0. 因此，曲线 y＝x22＋x 1在点(1，1)处的切线方程为 y＝1.
[构建·体系]
1.函数 f(x)＝(x2＋1)x3 的导数为( )
A.f′(x)＝5x4＋3x2
B.f′(x)＝6x5＋3x2
C.f′(x)＝5x3＋3x2
D.f′(x)＝6x5＋x3
【解析】 f(x)＝x5＋x3，f′(x)＝5x4＋3x2.
【答案】 A
2.函数 y＝x2cos 2x 的导数为( ) A.y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B.y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C.y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D.y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
图 2-4-1
1 A.3
B.－13
7 C.3
D.－13或53
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由题图①与②知，它们的 轴，此时 a＝0，与题设不符合，故题图③是 f(x)的导函数的图像.由 ＝0，a<0，所以 a＝－1，此时 f(x)＝13x3－x2＋1，所以 f(－1)＝－13
【答案】 B
【精彩点拨】 利用点 M 为切点是切线与曲线的公共点，以 为 f′(－1)＝－12联立方程组，可求出 a，b 的值.
高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.1导数的加法与减法法则课件北师大版选修22
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[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x). 【做一做1】 已知f(x)=ex+x-2(e是自然对数的底数),则函数f(x)的 导数f'(x)等于( ) A.xex-1-2x-3 B.ex-x2 C.ex-2x-3 D.ex-x-2ln 2
解析:∵f(x)=ex+x-2,∴f'(x)=(ex)'+(x-2)'=ex-2x-3.
∴曲线在点(1,3)处的切线方程为y-3=3(x-1),
即3x-y=0.
答案:3x-y=0
5.求函数f(x)=x4-tan x+7x+ex的导数.
解∵f(x)=x4-tan x+7x+ex, ∴f'(x)=(x4-tan x+7x+ex)'
=(x4)'-(tan x)'+(7x)'+(ex)' =4x3-co1s2������+7xln 7+ex.
(2)y=x7+tan x;
(3)y=sin x+cos x-3x.
解:(1)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=������ln110-ex.
(2)y'=(x7+tan
x)'=(x7)'+(tan
x)'=7x6+
1
cos2������.
(3)y'=(sin x+cos x-3x)'=(sin x)'+(cos x)'-(3x)'=cos x-sin x-3xln 3.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件42高二选修22数学课件
x 2 2 x f ( x) g ( x) 2 x 2 x ln 2.
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
12/8/2021
第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
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第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件32高二选修22数学课件
（1）设 f (x) x2与 g(x) 2x，则
导数(dǎo shù)
公式
由函数(hánshù)和的求导法则
可得：
12/8/2021
第八页，共十六页。
（2）由函数(hánshù)差的求导法则 可得：
12/8/2021
第九页，共十六页。
动手做一做
1. 求下列函数(hánshù)的导数：
y 2 2 33 x
2.4.1 导数(dǎo shù)的加减法法则
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第一页，共十六页。
复习(fùxí)回顾
＊ 计算导数(dǎo shù)的步骤：
求导“三步曲”： 求 y
＊ 导函数(hánshù)定义：
求 y x
求 lim y x0 x
f (x是) x的函数，称之为 f ( x的) 导函数，也简称导
数。
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第四页，共十六页。
求 f(x)xx2的导函数。
∴ x (x 2 ) 1 2 x (x x 2 )
所以(suǒyǐ)
同理
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第五页，共十六页。
概括(gàikuò)
两个函数(hánshù)和（差）的导数，等于这两个函数(hánshù)导
数的和（差），即
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12/8/2021
第二页，共十六页。
＊ 常用导数(dǎo shù)公式：
（1） C0(C为 常 数 ) （2） (xn)nxn1(nR) （3） (sinx)cosx （4） (cosx)sinx （5） （6）
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第三页，共十六页。
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果(rúguǒ)给出两个函数并已知它们的导数，如何求 它们的和、差、积、商的导数呢？
高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则导数的乘法与除法法则教案北师大版选修2
导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+（二）、探究新课 设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。
高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.2导数的乘法与除法法则课件北师大版选修2_2
������(������) ������(������)
'=������'(������)������(������������2)-(������������()������)������'(������).
【做一做1】 函数y=(x-a)(x-b)的导数是( )
A.y'=ab B.y'=-a(x-b)
=- ������sin������������+c2os������������=-cos���2���+������2������������sin������.
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
5曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程
【做一做 2】 函数 f(x)=e������������的导数为 f'(x)=
.
解析:f'(x)=
e������ ������
'=������e������������2-e������ = e������(���������2���-1).
答案:e������(���������2���-1)