第十一章 恒定电流的磁场(一) 作业及参考答案 2014

p m = IS =
qvR 2
三.计算题 12． （基础训练 21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内 (纸面 内)，其中第二段是半径为 R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流 I，求图示中 O 点处的磁感应强度． 解: B1=B4=0
B2 =
μ0 I
2R
×
1 μ0 I = 4 8R
4
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案
G G 解：用安培环路定理 ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I求解 。磁感应强度的方向与内导线的电流成
L L内
右手螺旋关系。其大小满足：
B 2πr = μ 0 ∑ I
L内
（r 为场点到轴线的距离）
(1) r < a :
B ⋅ 2πr = μ 0
z
O
μ 0ω 0 q 2π
ω0
R
提示：
由安培环路定理
K K +∞ K K ∫ B ⋅ d l = ∫ B ⋅ d l = μ0 I
−∞ +∞
而
I=
qω 0 ， 2π
故
−∞
∫ B ⋅dl =
K
K μ 0ω 0 q 2π
-
11.（基础训练 17）一质点带有电荷 q =8.0×10 10 C，以速度 v =3.0×105 m·s 1 在半径 为 R =6.00×10 3 m 的圆周上， 作匀速圆周运动． 该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度 B
G G G μ 0 dI , 方向垂直纸面向内；根据B = ∫ dB, B的方向也垂直纸面向内， 2πr G μ dI μ I b + a dr μ 0 I a + b B的大小为：B = ∫ 0 = 0 ∫ ln = 2πr 2πa b r 2πa b
I b 120° c d a L
3. .(基础训练 4)［ D ］如图，两根直导线 ab 和 cd 沿半径方向被接 到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流 I 从 a 端流入而从 d 端流出， 则磁感强度 B 沿图中闭合路径 L 的积分 B d l 等于
I πr 2 , 2 πa
∴B =
μ 0 Ir 2πa 2 μ0 I 2πr
∴B =
(2) a < r < b :
B 2πr = μ 0 I ，
∴B =
(3) b < r < c : (4) r > c :
⎛ π (r 2 − b 2 ) ⎞ B 2πr = μ 0 ⎜ I − I⎟ ⎜ π (c 2 − b 2 ) ⎟ ⎝ ⎠
方向垂直纸面向里
2 1 I R O
3 4 R
2μ 0 I μ I (cos 45° − cos 135°) = 0 B3 = 4πR 2πR
方向垂直纸面向里
B = B1 + B 2 + B3 + B 4 =
μ0 I
8R
+
μ0 I 2πR
方向垂直纸面向里
13． （基础训练 23）. 如图所示，半径为 R，线电荷密度为λ (>0)的 均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴 线上任一点的 B 的大小及其方向． 解: 圆线圈的总电荷 q = 2πRλ ,转动时等效的电流为
K
μ0 I
2π(a + b) μ0 I a + b ． (C) ln 2πb b
．
a+b (B) ． ln 2πa b μ0 I (D) ． π(a + 2b)
μ0 I
I a b
P
提示： 在距离P点为r处选取一个宽度为dr的电流元(相当于一根无限长的直导线)，电流为dI = 它在P处产生的dB =
I dr , a
μ0 I
2b
，实际
上 有 两 个 点 电 荷 同 时 绕 AC 旋 转 产 生 电 流 ， 在 O 点 产 生 的 总 磁 感 应 强 度 的 大 小 为
B1 = 2 B = 2 ×
μ0 I
2b
=
μ0 I
b
同理，当正方形绕过 O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在 O 点产生的磁感应强度的大小 为
B2 = 4 B = 4 ×
2a 3a 5a l I
K K 侧面 S 上的积分 ∫∫ B ⋅ d S = ______0______．
S
提示：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感 应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相 同，代数和为零。 10． （自测提高 16）如图所示．电荷 q (>0)均匀地分布在一个半径为 R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω 0 绕 z 轴转动，则沿着 z 轴从－∞ 到＋∞磁感应强度的线积分等于
a2 a1 O1 I O2 I
2π ∶4
2π ∶1 2π ∶8
提示
Bo1 =
μ0 I
2a1
,
Bo 2 = 4 ×
μ0 I
4π × a2 2
× cos 45 0 − cos135 0 =
(
)
2 2μ 0 I , πa 2
由Bo1 = Bo2 , 得
a1 2π = 8 a2
2．(基础训练 3)［B ］.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为 a，厚度不计，电流 I 在铜片上均匀分布， 在铜片外与铜片共面， 离铜片右边缘为 b 处的 P 点(如 图)的磁感强度 B 的大小为 (A)
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第十一章
恒定电流的磁场（一）
一. 选择题: 1． （基础训练 1） ［ D ］载流的圆形线圈(半径 a1 )与正方形 线圈(边长 a2 )通有相同电流 I．若两个线圈的中心 O1 、O2 处的磁 感强度大小相同，则半径 a1 与边长 a2 之比 a1∶a2 为 (A) (C) 1∶1 (B) (D)
μ0 I
2b
=
2μ 0 I b
故有 B2 = 2 B1 5. 附录 C 2［ B ］有一半径为 R 的单匝圆线圈，通以电流 I ，若将该导线弯成匝 数为 N = 2 的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强度和 磁矩分别是原来的： (A) 4 倍和 1/8 (B) 4 倍和 1/2 (C) 2 倍和 1/4 ． (D) 2 倍和 1/2
e ev = 2πR 2πR v ev evR 电流的磁矩 Pm = IS = ⋅ πR 2 = 2πR 2 电子轨道运动的动量矩 L = mvR Pm e 可见 两者的方向相反 = L 2m
核外电子绕核运动等效的圆电流为
I=
16． （自测提高 26）在一半径 R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有 横截面上均匀分布的电流 I = 5.0 A 通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度． (μ0 =4π×10 7
B ⋅ 2πr = 0， ∴ B = 0
μ 0 I (c 2 − r 2 ) 2πr (c 2 − b 2 )
K K K p m 与电子轨道运动的动量矩 L 大小之比，并指出和 L 方向间的关系．(电子电荷为 e，电子
质量为 m) 解：设电子绕核运动的轨道半径为 R ，匀速圆周运动的速率为 v 。
15.（自测提高 24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩
d Bx =
− μ 0 I sin θ d θ , 2π 2 R
d By =
μ 0 I cos θ d θ
2π 2 R
Bx =
− μ0 I π −μ I sin θ d θ = 2 0 2 ∫ 2π R 0 π R 2π 2 R ∫ 0
By =
μ0 I
π
cos θ d θ = 0
即半圆筒电流关于 Y 轴对称，所以在 P 点产生的总的磁感应强度 为： Y 方向的矢量和为零; X 方向的合磁感应强度为： ［附加题］ 17． （基础训练 26）均匀带电刚性细杆 AB，线电荷密度为 λ，绕垂直于直线的轴 O 以 ω 角速度匀速转动(O 点在细杆 AB 延长线上)．求： K (1) O 点的磁感强度 B0 ； K O a (2) 系统的磁矩 p m ； (3) 若 a >> b，求 B0 及 pm．
μ 0 ih . 2πR μ 0 ih 2πR
利用填补法思想
i
h
O′
提示：
9． （自测提高 13） 、一半径为 a 的无限长直载流导线，沿轴向均 匀地流有电流 I．若作一个半径为 R = 5a、高为 l 的柱形曲面，已知此 则 B 在圆柱 柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距 3a (如图所示)．
K
提示：由 半径为 R 的单匝线圈弯成匝数为 N = 2 的线圈以后，每一个线圈的半径变为 1 r = R ，故磁感应强度变为原来的 2 倍，磁矩变为原来的 1/4，总的变化为 4 倍和 1/2 2
二. 填空题 6.（基础训练 11）均匀磁场的磁感强度 B 与半径为 r 的圆形平面 的法线 n 的夹角为α ，今以圆周为边界，作一个半球面 S，S 与圆形平 面组成封闭面如所示．则通过 S 面的磁通量Φ = − πr B cos α 。
A q O q q C q
1 B2． 2
(D) B1 = B2 /4．
提示： 设正方形边长为 a , AO = OC = b(式中b =
qω 2π
2 a) ， 2
两种情况下正方形旋转时的角速度ω 相同， 所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电 流相同， 为
I=
当正方形绕 AC 轴旋转时，一个点电荷在 O 点产生的磁感应强度的大小为 B =
y O R
K
ω
I=
q 2πRλ = = Rλω ， T 2π / ω
代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得
B = By =
μ 0 R 3ωλ
2( R 2 + y 2 ) 3 / 2
方向沿 y 轴正向。
14.（基础训练 25）. 一无限长的电缆，由一半径为 a 的圆柱形导线和一共轴的半径分 别为 b、c 的圆筒状导线组成，如图所示。在两导线中有等值反向的电流 I 通过，求： (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度； (3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。
L
K
∫ ⋅
K
K
(A) (C)
μ0 I ．
(B)
μ0 I / 4 ．
1 μ0 I ． 3 (D) 2 μ 0 I / 3 ．
I
提示
G G B ∫ ⋅ dl =μ 0 ∑ I = μ 0 I 1，而 I1 R 1 = I 2 R 2，其中 R 1， R 2 为两条支路的电阻。
L L内
Βιβλιοθήκη Baidu
∴ I1ρ
l1 l 2l = I 2 ρ 2 = (I − I1 )ρ 1 s s s
1
得I 1 =
2 I 3
G G 2μ 0 I ∴ ∫ B ⋅ dl = 3 L
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案 4. 自测提高 7［C ］如图，正方形的四个角上固定有四个电荷量均 为 q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕 AC 轴旋转时，在中心 O 点产生 的磁感应强度大小为 B1； 此正方形同样以角速度ω 绕过 O 点垂直于正方 形平面的轴旋转时，在 O 点产生的磁感应强度的大小为 B2，则 B1 与 B2 间的关系为 (B) B1 = 2B2． (A) B1 = B2． (C) B1 =
K
μ 0 Idl 4π a 2
G G G G G μ 0 Idl × e μ 0 Idlj × i μ 0 Idl G r 提示： 根据毕奥-萨伐尔定律 B = = = − k 4π 4π a 2 4π a 2 r2
8.（基础训练 18）将半径为 R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为 h ( h << R)的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流 O R 密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为 i ，则管轴线磁感强度的大小 是
3
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案 =__6.67×10-7 （T） ， 该带电质点轨道运动的磁矩 pm =_7.2×10-7（Am2） ___． (μ0 =4π×10 7 H· m 1)
-
提示： 等效的圆电流，I =
q qv = , T 2πR
B=
μ0 I
2R
=
μ 0 qv ; 4πR 2
2
K
S
K
α
K n
K B
提示：根据磁场的高斯定理，通过 S 面的磁通量数值上等于通过圆平 面的通量。当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过 S 面的磁通 量为负值。
2
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案 7.（基础训练 12）一长直载流导线，沿空间直角坐标 Oy 轴放置，电流沿 y 正向．在原 点 O 处取一电流元 I d l ，则该电流元在 (a ， 0 ， 0) 点处的磁感强度的大小为 方向为 Z 轴负方向
-
N/A2) 解：如图所示，在 1/2 圆筒上取 dl 段，其中电流为
dI =
在 P 点 （轴） 选坐标如图
I d l IR d θ I d θ = = πR πR π μ dI μ I μ I dB = 0 = 0 ⋅ d θ = 02 d θ 2πR 2πR π 2π R
5
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案