二次函数根与系数关系范文
根与系数的关系及应用
根与系数的关系及应用根是数学中的重要概念，常常出现在方程、多项式以及数列等中。
根作为方程的解，与系数密切相关，其关系的研究对于解方程、揭示方程性质等方面具有重要的意义。
本文将探讨根与系数之间的关系，并介绍其在数学中的应用。
一、根与系数的关系根与系数之间的关系可以通过方程来研究。
假设有一个二次方程：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为实数，且a≠0），其中方程的根分别为x1和x2。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到：x1,2 = [ -b ± √(b^2 - 4ac) ] / 2a从这个公式可以看出，根与系数之间存在着一定的关系。
首先，根的取值与系数b和c的符号有关。
当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根；当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根；当b^2 - 4ac < 0时，方程无实根。
其次，根的取值还与a的值有关，a的符号决定了根的正负。
除了二次方程，一次方程的根与系数之间也存在着关系。
对于 ax + b = 0（其中a和b为实数，且a≠0），其根为x = -b/a。
可以看出，在一次方程中，根的取值与系数a和b之间有线性关系。
二、根与系数的应用根与系数之间的关系在数学中有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 解方程根与系数的关系在解方程中起到了关键的作用。
通过根与系数的关系，我们可以利用求根公式快速求解各种形式的方程，如二次方程、一次方程以及更高次的多项式方程。
这极大地简化了方程的求解过程，使我们能够更高效地得到方程的解。
2. 研究方程性质根与系数之间的关系也可以用来研究方程的性质。
例如，通过分析方程根的数量和性质，可以判断方程的图像在坐标平面上的形状，从而帮助我们更好地理解和应用方程。
3. 数列的通项公式根与系数的关系还可以应用于数列的求解中。
对于递推数列 an =c1r^(n-1) + c2r^(n-2) + ... + cn，其中r是常数，c1、c2、...、cn为系数，则该数列的通项公式可以表示为 an = d1x1^(n-1) + d2x2^(n-2) + ... + dnxn，其中x1、x2、...、xn为方程 cx^n + c1x^(n-1) + c2x^(n-2) + ... +cn = 0 的根，d1、d2、...、dn为常数。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系
二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。
对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以通过求解它的根来解决方程。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到如下的根与系数之间的关系：
1. 判别式：二次方程的判别式 $D = b^2 - 4ac$ 可以用来判断方程的根的情况。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：- 当 $D > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
- 当 $D = 0$ 时，方程有两个相等的实根（也称为重根）；
- 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，而是两个共轭复数根。
2. 根的求解：根据二次方程的求根公式，我们可以得到方程的两个根为：
- 根1：$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
- 根2：$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
3. 关系总结：根据上述公式和结论，我们可以得到以下关系：
- 二次方程的判别式 $D$ 决定了方程的根的情况；
- 方程的两个根与系数 $a$、$b$、$c$ 之间的关系是通过求根公式得到的。
这就是二次方程的根与系数的关系。
通过对方程的系数进行求解，我们可以确定方程的根的情况，并进一步解决方程的问题。
在实际应用中，这一关系常常被用来解决与二次方程相关的数学和物理问题。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是一种常见的数学函数形式，通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，根是函数图像与 x 轴相交的点，也就是函数的零点或解。
本文将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
这里的 a 是最重要的系数，它决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
2. 二次函数的根为了确定二次函数的根，需要解方程 f(x) = 0。
根据求根公式（也称作二次公式），根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 根与系数的关系根与系数之间有着密切的关系，可以通过系数的值推断根的性质。
3.1 开口方向当 a > 0 时，二次函数开口向上，拥有最小值，也就是抛物线的顶点。
当 a < 0 时，二次函数开口向下，拥有最大值，同样是顶点。
3.2 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3.3 根的个数根的个数与判别式有关，判别式（也称为二次方程的判别式）可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac若Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实数根；若Δ < 0，则方程没有实数根。
3.4 根之间的关系对于有两个实数根的二次函数：设 x1 和 x2 分别为两个根，且 x1 < x2，则 x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。
4. 根与二次函数图像根与二次函数的图像之间有着密切的联系。
当根为实数时，二次函数图像与 x 轴相交；当根为负数或复数时，二次函数图像则不与 x 轴相交。
5. 例题分析假设有二次函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，我们可以根据函数的系数计算根的性质和其他相关信息。
二次方程的根与系数之间的关系
二次方程的根与系数之间的关系二次方程是一种形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知的实数，并且a不等于0。
解二次方程的关键在于确定方程的根，即满足方程等式的x取值。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并分析这种关系在数学和实际问题中的应用。
一、二次方程的根二次方程的根可分为三种情况：1. 两个相等的实数根（重根）：当判别式b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，此时方程图像与x轴相切于一个点。
2. 两个不相等的实数根：当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，此时方程图像与x轴交于两个不同的点。
3. 两个共轭的复数根：当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实数根，但有两个共轭的复数根，此时方程图像与x轴无交点。
二、二次方程根与系数之间的关系对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可由下式给出：x_1 = (-b+√(b^2-4ac))/(2a)x_2 = (-b-√(b^2-4ac))/(2a)其中√为平方根符号。
从上述公式可以看出，二次方程的根与系数a、b、c之间存在着一定的关系：1. 根与系数之间的乘积关系：根与系数a、b、c之间有如下关系：x_1*x_2 = c/a这表示二次方程根的乘积等于方程常数项与二次项系数的比值。
2. 根与系数之间的和与积关系：根与系数a、b、c之间还有如下关系：x_1 + x_2 = -b/ax_1 * x_2 = c/a这表示二次方程根的和等于二次项系数的相反数除以二次项系数，根的积等于方程常数项与二次项系数的比值。
三、应用举例1. 求解二次方程的根：可以通过上述公式计算二次方程的根，从而求解实际问题中的未知数。
例如，对于给定的二次方程，可以利用公式求解出方程的根，从而得到问题的解答。
2. 调整根与系数之间的关系：在实际问题中，有时候我们需要通过调整二次方程的系数来满足特定的要求。
例如，如果需要使二次方程的根为两个相等的实数根，即重根，那么可以令判别式等于零，从而确定系数之间的关系。
二次函数和根与系数的关系
例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2 +2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=（1+k 2）（x 1﹣x 2）（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2k•k+2=k 4+5k 2+4，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 为直角三角形．如图，已知抛物线y=x ²-4x+3，过点D(0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线M的解析式。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系二次方程是一个常见的数学概念，它的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
解决这个方程的关键是求出它的根，也就是满足方程的x值。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并解释这些关系对解的影响。
1. 一元二次方程的一般解法为了求解二次方程，我们可以使用以下一般解法：1) 判断Δ = b² - 4ac的值：若Δ > 0，则方程有两个不同实根；若Δ= 0，则有两个相同实根；若Δ < 0，则没有实根；2) 计算根的值：若Δ > 0，则实根为x₁ = (-b + √Δ) / 2a和x₂ = (-b - √Δ) / 2a；若Δ = 0，则实根为x₁ = x₂ = -b / 2a。
2. 二次方程根与系数之间的关系接下来，我们将讨论二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程的根为x₁和x₂，则有以下关系：1) 根的和与系数的关系：x₁ + x₂ = -b / a。
这意味着二次方程的根的和与系数b和a之间存在着特定的关联。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的和为x₁ + x₂ = -3 / 1 = -3。
2) 根的乘积与系数的关系：x₁ * x₂ = c / a。
同样地，二次方程的根的乘积与系数c和a之间也有着特定的关系。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的乘积为x₁ * x₂ = 2 / 1 = 2。
这两个关系可以帮助我们更好地理解二次方程的性质和解的特点。
3. 根与系数的例题分析为了更加具体地说明根与系数之间的关系，我们来看几个例题。
例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以计算出Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 1，由于Δ > 0，该方程有两个不同实根。
根据一般解法，我们可以得到根的计算公式：x₁ = (5 + √1) / 2(1) = 3，x₂ = (5 - √1) / 2(1) = 2。
根与系数的关系与二次函数
△=1-4 ＜ 0 ，函数图像与 x 轴无交点，应将
2
y 2x x 1
m=2 舍去，函数解析式为
二、二次函数图像与 x 轴两交点之间的距离问题。 例 2：（扬州市考题）已知二次函数 y x2 kx k 3
（1 ）求证：不论 k 取何值，这个函数的图像与 x 轴总有两个交点。
（2 ）实数 k 为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。
消去 k 解得 m 1 =2 ， m 2= 1 3
∵x1 x2 ＞0，即 m ＞1， ∴将m= 1 舍去，从而 m=2 ，函数解析式为 y
3
x 2 2x 3 .
简解：（1 ）只需证△＞0，过程从略。
（ 2 ） 解 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： x1 x2 k ， x1 x2 k 3 ，
d | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2
( x1 x2 )2 4x1x2
k 2 4k 12 (k 2) 2 8
当 k=2 时， d 有最小值，最小值为 2 2 。 三、二次函数图像与 x 轴两交点的相对位置问题 例 3：（南京市中考题）如果抛物线 y x 2 2( m 1) x m 1与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的负半轴上，0A=a,0B=b, 若 a:b=3:1 ， 求抛物线的解析式。
A （ x1，0 ），B（ x2 ，0），且满足 (x1 1)( x2 1) m 1，求此二次函数解析式。 解：由根与系数的关系可得：
1
1
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1
( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1 m 1
2
即
m ，解得 m 2 或 m 1
二次方程的根与系数的关系证明
二次方程的根与系数的关系证明二次方程是数学中一种常见的方程形式，它可以表示成ax^2 + bx + c = 0的形式，其中a、b、c为系数，x为未知数。
在解二次方程时，我们经常关注方程的根，即方程的解。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并进行证明。
假设二次方程的根为x1和x2，我们可以通过求解二次方程得到它们的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a首先，我们来观察系数b。
对于x1，我们可以将其带入二次方程得到：a(-b + √(b^2 - 4ac))^2 + b(-b + √(b^2 - 4ac)) + c = 0展开并整理上式，得到：(b^2 - 4ac) - 2ab√(b^2 - 4ac) = 0继续整理上式，得到：b^2 - 4ac = 4a^2b^2(b^2 - 4ac)将两侧的4a^2b^2分别移到一侧，并化简得：4a^2b^2 + (b^2 - 4ac) = 0我们可以观察到，方程左侧的第一项是b的二次幂，第二项是常数b^2 - 4ac。
而我们知道，二次方程的根与系数有关，可以表示为根的函数。
因此，我们可以将左侧的表达式记作f(b)。
继续观察方程左侧，我们可以将其进行因式分解，得到：(2ab + √(b^2 - 4ac))(2ab - √(b^2 - 4ac)) = 0可以看出，方程左侧是一个因式相乘等于零的形式。
要使等式成立，其中一个因子必须为零。
因此，我们可以得到两个方程：2ab + √(b^2 - 4ac) = 02ab - √(b^2 - 4ac) = 0可进一步整理上式，得到：√(b^2 - 4ac) = -2abb^2 - 4ac = 4a^2b^2上述推导说明，我们通过观察二次方程的根与系数之间的关系，得到了一个等式b^2 - 4ac = 4a^2b^2。
这个等式展示了二次方程的根与系数之间的关系。
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一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．
【知识要点】
1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．
2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．
3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．
5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方
程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若
，，则方程有两个负根．
【趋势预测】
利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：
①求方程中字母系数的值或取值范围；
②求代数式的值；
③结合根的判别式，判断根的符号特征；
④构造一元二次方程解题；
⑤证明代数等式，不等式；
⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．
【范例解读】
题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，
那么，二次方程的根的情况是 ( )
(A)有两个负根 (B)有两个正根
(C)两根异号 (D)无实数根
分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．
解∵m，n异号且m<n，
∴ m<0，n>0，从而，．
方程的判别式：
，故方程
必有两实根．
设这两个实根为，，则由根与系数关系得
，，可知，均为负数，故选(A)．
题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程
的两个实根，e和f是方程的两个实根，则
的值为_____________．
分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将
(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．
解由方程根与系数关系得
ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则
题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求
的值．
分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．
解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，
∴，
．
因α>β，故，．
记，令，从而
，
∴．
题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则
__________.
分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．
解由已知等式可变形成
与，
由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：
①当时，；
②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系
得，．
∴．
综合①，②得或.
题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，
(1)求以，为根的一元二次方程；
(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．
分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．
解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，
∴，．所求方程是
；
(2)由题意得
则
根据七种情况的值依次得以下七个方程：
，，，，，，
．
其中仅无实数根，舍去.
故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：
，，，，，．
题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程
的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．
分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．
解原方程可化为
．
∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为
，
∴，，
消去k，得，∴．
由于，都是整数，故
对应的k的值分别为6，3，．
【方法指引】
1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．
2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：
(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．
(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．
(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．
(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．
【综合能力训练】
1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．
2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )
(A)-3或1 (B)-3
(C)1 (D)不小于的一切实数
3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．
4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．
6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
参考答案
【综合能力训练】
1．设另外两边长为a、b，则，，因为a，b是实数，所以，即
，∴.
由三角形两边之差小于第三边，有
，
，
∴，故m的取值范围为。
2．由根与系数关系得，，而
由题意得，解得，。
而当时，，无实数根，舍去；当时，方程的两个实数根为1和3。
故选（C）。
3．由是方程的两根得
，，
∴.
由是方程的两根，得
，。
两式相减，得。
4．原式可变形为，
，又即，
∴a，是方程的两根。
∴，即.
故选（A）。
5．由根与系数关系，得
∵∠A+∠B=90°，∴。
于是有
由①式两边平方，得。
③
由②、③式知.
又由①、③式可得，是方程的两根，则有，
即
，故∠A=∠B=45°。
6．（1）若k=0，则方程为，解得
符合题意； （2）若
，设方程的两个整数根为
，
（
），则有
①-②得
，。
∴ ∴
或
，
∴ ，，
或，k=1。
又当或k=1时，判别式均可得到，∴或k=1。
综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为k=0，或1。