平面直角坐标系中的距离公式(经典)

例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
北师大版高中数学必修2第二章
§1.5平面直角坐标系中的距离公式
思考：如图，平面直角坐标系中两点A（x1,y1)， B（x2,y2),如何求点A,B之间的距离|AB|？
在直角△ABC中，
y B2
B(x2,y2)
AB 2 AC 2 BC 2
AC A1B1 x2 - x1 BC A2B2 y2 - y1
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
Q PA PB
x2 2x 5 x2 4x 11
解得： x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值.
A(x1,y1) A2
A1 O
C
x B1
| AB | (x2 - x1)2 ( y2 - y1)2
一、两点间的距离公式
A(x1, y1)，B(x2 , y2 )两点 间的距离公式
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
巩固练习
求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
又可求得BC方程: x - 4y + 1=0 ∴点A(1, 3)到直线BC得距离为：
h 1-12 1 10
12 (-4)2
17
三、两条平行直线间的距离
讨 论：两条平行直线间的距离怎样求？
平行直线间的距离
y
P l1
l2
Q
点到直线的距离
o
x
例3、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠ C2)的距离是
作业：
课本P76 练习2
解：设所求点为P（x，0），则
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
Q PA PB
x2 2x 5 x2 4x 11
解得： x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
d Ax0 By0 C A2 B2
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y-1=0的距离.
2.求原点到直线5x-12y-26=0的距离.
3.求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
4. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)，求△ABC的面积. 解：由两点间距离公式得
| BC | (3 1)2 (1- 0)2 17
d C1 - C2 A2 B2
y
l1任意两条平行直线都可以写成如下形式：
P O
l2
l1 :Ax+By+C1=0
x
l2 :Ax+By+C2=0
设P(x0 , y0 )在直线L1上
则点P到直线L2的距离
d | Ax0 By0 C2 | A2 B2
又C1 ( Ax0 By0 )
直线的方程应 化为A和B一样 的一般式！
13
∴直线l1与l2间的距离为
7 13 13
例. 已知点P为直线l：2x－y－4＝0上一动点，求点P与原点O 距离的最小值.
解：当PO垂直 l 时，点P与点O距离最小.
点P与点O距离最小值即为点O到 l 的距离.
| PO |min d
| -4|
4 5
22 (-1)2
5
课堂小结：
一、两点间的距离公式
d Ax0 By0 C A2 B2
注意： 使用该公式须将直线 方程化为一般式．
当❖A=A=00或或BB==0，0此时公公式式也成成立立吗？
y y=y1
P (x0,y0) Q(x0,y1)
y Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
o x=x1 x
PQ = x0 - x1
练习2
8
(2)、A(0，0),B(5，12)
13
(3)、A(2，3),B(5，-1)
5
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P（x，0），则
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5