河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
B.向右平移 个单位
12
C.向左平移 个单位
6
D.向右平移 个单位
6
4.函数 y （2x 1）ex 的图象是
5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
8
A.
3
B. 3π
10
C.
3
D.6π
6.已知
A、B、P
是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0,b
0)
上不同的三点，且
A、B 连线经过坐标原点，若
河北省衡水中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试
高三理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。
1. 抛物线 y 4x2 的焦点坐标是
A. (0,1) B.(1,0)
C.(0,2)
1
D.(0, )
16
2. 已知圆 F1（: x 2）2 y2 36 ，定点 F（2 2，0）， A 是圆 F1 上的一动点，线段 F2 A 的垂直平分线交
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13.已知 cos（ ）= 1 ，则 sin（ 2 ）=
.
3
2
14.若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0,a7 a10 0 ,则当 n =
时，an 的前 n 项和最大.
15.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 是 DC 的中点；如图 2，将△DAE 沿 AE 折起，使折 起后平面 DAE⊥平面 ABCE，则异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为 .
d
9,
去）或 d 1, 所以 an 2 (n 1) 1 n 1 .(5 分) a1 2.
1
（2）因为 anan1 =
1
11 ，
(n 1)(n 2) n 1 n 2
所以 Tn
1 a1a2
1 a2a3
1 an an 1
=(1 2
1) + (1 33
1) 4
+…+
(
n
1
1
n
1
) 2
=
n 2(n
对数的底数)
22.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
2 ， （P 2，0）是它的一个顶点，过点 P 作圆 2
C2 : x2 y2 r2 的切线 PT，T 为切点，且 PT 2 .
(1)求椭圆 C1 及圆 C2 的方程；
(2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 ， l2 ，其中 l1 与椭圆的另一交点为 D， l2 与圆交于 A，B 两点,求 △ ABD 面积的最大值.
,
因为 kQM
kQN
y1 x1 t
y2 x2 t
=
(kx1 2k 1）(x2 t) (kx2 2k 1）(x1 - t) (x1 t)(x2 t)
=
2kx1x2 (2k 1 kt)(x1 x2 ) 2(2k 1)t x1x2 t(x1 x2 ) t 2
=
(4t 8)k 2t 4(t 2)2 k 2 8(2 t)k t 2 ，（10 分）
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a b
0)
的离心率为
3 2
，
A1，A2
分别为椭圆
C
的左、右顶点，点
（P 2，1）满足 PA1PA2 1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 经过点 P 且与 C 交于不同的两点 M 、N ，试问：在 x 轴上是否存在点 Q ,使得直线 QM 与
所以 g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1， ）上单调递增.（6 分）
①当 ea-1≤1，即 a≤1 时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以 g（x）>g(1)=0. 此时函数 g（x）在（1,e]上没有零点，（7 分） ②当 1<ea-1<e,即 1<a<2 时，g（x）在[1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e]上单调递增， 又因为 g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为 g（ea-1）=a-ea-1，
(2) 在 △ ABC
中，由正弦定理，得
BC AC sin BAC sin B
，所以
BC
AC sin BAC sin B
=
2
5 2
3 10 10
6 ，于是
CD=
1 2
BC
3 .在△ADC
中，AC=2
5，
2
cosC= 2 5 ，（8 分） 5
所以由余弦定理，得 AD=
AC2 CD2 2ACCDcos C =
一、选择题 1-5 DBBAB 二、填空题
6-10 CDCDC
参考答案与解析 11-12 AC
13. 7 14.8 15. 6 16.445π
9
6
三、解答题
d 0,
17.
解：（1）设数列 {an } 的公差为
d，则由题意知
(a1
2d
)(a1
4d
)
3(a1
6d
),
解得
a1
3
（舍
3a1
3 2 2
直线 QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点 Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 （f x） xlnx . (1)若直线 l 过点（1，0），并且与曲线 y （f x）相切，求直线 l 的方程； (2)设函数 （g x） （f x）（a x 1）在[1,e]上有且只有一个零点，求 a 的取值范围.(其中 a ∈R，e 为自然
所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即 lnx0=x0-1，设 h（x）=lnx-x+1，则 h '(x) 1 x ，x∈（0,1），h '(x) 0 ， x
h（x）单调递增，x∈（1, ），h '(x) 0 ，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0 有唯一解，所以 x0=1，
所以要使对任意满足条件的 k， kQM kQN 为定值，则只有 t=2，此时 kQM kQN =1.
故在 x 轴上存在点 Q（2，0）使得直线 QM 与直线 QN 的斜率的和为定值 1.（12 分） 21. 解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则 y0=x0lnx0,切线的斜率为 lnx0+1， 所以切线 l 的方程为 y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线 l 过点（1，0），
12.已知球 O 与棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的所有棱都相切，点 M 是球 O 上一点，点 N 是 △ ACB1 的外接圆上的一点，则线段 MN 的取值范围是
A. [ 6 2, 6 2] B. [ 6 2, 6 2]
C.[2 3 2 2, 2 3 2 2]
D.[ 3 2, 3 2]
y 1 k(x 2),
由
x2 4
y2
1
消 y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，（7 分）
△=-64k>0,所以 k<0,
设
M
( x1 ,
y1 ),
N (x2 ,
y2 )
，则
x1+x2=
16k 2 8k 1 4k 2
,x1x2= 16k 2 1
16k 4k 2
y0=0. 所以直线 l 的方程为 y=x-1.（4 分） （2）因为 g（x）=xlnx-a（x-1），注意到 g（1）=0， 所以所求问题等价于函数 g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.
因为 g '(x) ln x 1 a .所以由 g '(x) 0 lnx+1-a<0 0<x<ea-1, g '(x) 0 x>ea-1,
积为
A. 8 B.4
C.4 2
D.4 3
9.在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°， CA 2 ，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，且满足
BP
=1，则
BP(CA
CB) 的取值范围是
A. [2 2, 0] B. [0, 2 2] C. [-2,2] D.[2 2, 2 2]
10.已知
分）
（2）设
C（
y02 4
,
y0 ），则圆
C
的方程为 (x
y02 )2 4
(y
y0)2
y04 16
y02
，即
x2
y02 2
x
y2
2y0y
0
.
由
x=-1，得
y2
2y0y 1
y02 2
0
.设 M（ -1,
4 y02 4(1
y1）N（ -1, y2），则
y1
y2
y02 2
1
y02 ) 2
2 y02
半径 F1A 于 P 点，则 P 点的轨迹 C 的方程是
A. x2 y2 1 43
B. x2 y2 1 95
C. x2 y2 1 34
D. x2 y2 1 59
3.将函数 y=3sin（2x+ ）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（ ，0）中心对称
3
12
A. 向左平移 个单位
(a,
0)
，P（2，-1），所以
PA1
2019年高考真题《不等式(理) 》Word版含解析
2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
2019年河北省中考数学试卷以及解析版
2019年河北省中考数学试卷以及逐题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）规定：(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作( ) A ．3+B ．3-C ．13-D ．13+3．（3分）如图，从点C 观测点D 的仰角是( )A ．DAB ∠B ．DCE ∠C ．DCA ∠D ．ADC ∠4．（3分）语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为( )A ．58xx +… B ．58xx +… C ．855x +… D ．58xx += 5．（3分）如图，菱形ABCD 中，150D ∠=︒，则1(∠= )A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒6．（3分）小明总结了以下结论： ①()a b c ab ac +=+； ②()a b c ab ac -=-；③()(0)b c a b a c a a -÷=÷-÷≠； ④()(0)a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠ 其中一定成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是( ) A ．◎代表FEC ∠B ．@代表同位角C ．▲代表EFC ∠D ．※代表AB8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000，把150000用科学记数法表示为( ) A ．4510-⨯B ．5510-⨯C ．4210-⨯D ．5210-⨯9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为( )A ．10B ．6C ．3D ．210．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )A ．B ．C ．D ．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→③→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②一④→③D ．②→④→③→①12．（2分）如图，函数1(0),1(0)x xy x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q13．（2分）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在( )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，22S x x =+主，2S x x =+左，则(S =俯 )A ．232x x ++B ．22x +C ．221x x ++D ．223x x +15．（2分）小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是()A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是1x =-D ．有两个相等的实数根16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n ．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =． 乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取14n =．丙：如图4，思路是当x 倍时就可移转过去；结果取13n =． 下列正确的是( )A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若2107777p --⨯⨯=，则p 的值为 ．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即437+=则（1）用含x 的式子表示m = ； （2）当2y =-时，n 的值为 ．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：)km ．笔直铁路经过A ，B 两地． （1）A ，B 间的距离为 km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为 km ．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，⨯，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1269+--；（2）若126÷⨯□96=-，请推算□内的符号；（3）在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 21．（9分）已知：整式222(1)(2)A n n =-+，整式0B >． 尝试 化简整式A ． 发现2A B =，求整式B ．联想 由上可知，2222(1)(2)B n n =-+，当1n >时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）12=． （1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练． ①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．23．（9分）如图，ABC ∆和ADE ∆中，6AB AD ==，BC DE =，30B D ∠=∠=︒，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为APC ∆的内心． （1）求证：BAD CAE ∠=∠；（2）设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；（3）当AB AC ⊥时，AIC ∠的取值范围为m AIC n ︒<∠<︒，分别直接写出m ，n 的值．24．（10分）长为300m 的春游队伍，以(/)v m s 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2(/)v m s ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，排头与O 的距离为()S m 头．（1）当2v =时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲，求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为()T s ，求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．25．（10分）如图1和2，ABCD 中，3AB =，15BC =，4tan 3DAB ∠=．点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O 切CP 于点P ，设BP x =．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当4x =时，如图2，O 与AC 交于点Q ，求CAP ∠的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧PQ 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．26．（12分）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ． （1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b=时“美点”的个数．b=和2019.52019年河北省中考数学试卷答案与解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D ．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义． 2．（3分）【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作3-． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作3-． 故选：B ．【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 3．（3分）【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ，∴从点C 观测点D 的仰角是DCE ∠，故选：B ．【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． 4．（3分）【分析】x 的18即18x ，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．【解答】解：“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为158x x +…．故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 5．（3分）【分析】由菱形的性质得出//AB CD ，21BAD ∠=∠，求出30BAD ∠=︒，即可得出115∠=︒． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形，150D ∠=︒， //AB CD ∴，21BAD ∠=∠， 180BAD D ∴∠+∠=︒， 18015030BAD ∴∠=︒-︒=︒， 115∴∠=︒；故选：D ．【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键． 6．（3分）【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：①()a b c ab ac +=+，正确； ②()a b c ab ac -=-，正确；③()(0)b c a b a c a a -÷=÷-÷≠，正确；④()(0)a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠，错误，无法分解计算． 故选：C ．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（3分）【分析】根据图形可知※代表CD ，即可判断D ；根据三角形外角的性质可得◎代表EFC ∠，即可判断A ；利用等量代换得出▲代表EFC ∠，即可判断C ；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE 交CD 于点F ，则BEC EFC C ∠=∠+∠（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又BEC B C ∠=∠+∠，得B EFC ∠=∠． 故//AB CD （内错角相等，两直线平行）． 故选：C ．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单． 8．（3分）【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：510.0000221050000-==⨯． 故选：D ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <…，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（3分）【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【解答】解：如图所示，n 的最小值为3，故选：C ．【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．10．（3分）【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C ．【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．11．（2分）【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D ．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．12．（2分）【分析】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解；【解答】解：由已知可知函数1(0),1(0)x x y x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于y 轴对称， 所以点M 是原点；故选：A ．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．13．（2分）【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++ 又x 为正整数， ∴112x <… 故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在② 故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．14．（2分）【分析】由主视图和左视图的宽为x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【解答】解：()222S x x x x =+=+主，()21S x x x x =+=+左，∴俯视图的长为2x +，宽为1x +，则俯视图的面积()()22132S x x x x =++=++俯，故选：A ．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．15．（2分）【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案．【解答】解：小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，2(1)40c ∴--+=，解得：3c =，故原方程中5c =，则241641340b ac -=-⨯⨯=>，则原方程的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：B ．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c 的值是解题关键．16．（2分）【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为14n =；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若2107777p --⨯⨯=，则p 的值为 3- ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：2107777p --⨯⨯=，210p ∴--+=，解得：3p =-．故答案为：3-．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：即437+=则（1）用含x 的式子表示m = 3x ；（2）当2y =-时，n 的值为 ．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m ；（2）根据约定的方法即可求出n ．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：23m x x x =+=；故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可求出n223x x x m n y +++=+=．当2y =-时，532x +=-．解得1x =-．23231n x ∴=+=-+=．故答案为：1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：)km ．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为 20 km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为 km ．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度；（2）根据A 、B 、C 三点的坐标可求出CE 与AE 的长度，设CD x =，根据勾股定理即可求出x 的值．【解答】解：（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：//AB x 轴，12(8)20AB ∴=--；（2）过点C 作l AB ⊥于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ，由（1）可知：1(17)18CE =--=，12AE =，设CD x =，AD CD x ∴==，由勾股定理可知：222(18)12x x =-+，∴解得：13x =，13CD ∴=，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A 、B 、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，⨯，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1269+--；（2）若126÷⨯□96=-，请推算□内的符号；（3）在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可．【解答】解：（1）1269+--369=--39=--12=-；（2）126÷⨯□96=-，1162∴⨯⨯□96=-， 3∴□96=-，∴□内的符号是“-”；（3）这个最小数是20-， 理由：在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，1∴□2□6的结果是负数即可，1∴□2□6的最小值是12611-⨯=-，1∴□2□69-的最小值是11920--=-，∴这个最小数是20-．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．21．（9分）已知：整式222(1)(2)A n n =-+，整式0B >．尝试 化简整式A ．发现2A B =，求整式B ．联想 由上可知，2222(1)(2)B n n =-+，当1n >时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：【分析】先根据整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答．【解答】解：2224224222(1)(2)21421(1)A n n n n n n n n =-+=-++=++=+，2A B =，0B >，21B n ∴=+，当28n =时，4n =，2214115n ∴+=+=；当2135n -=时，2137n +=．故答案为：15；37 【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ∆的三边满足222a b c +=，则ABC ∆是直角三角形．22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）12=． （1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．【分析】（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案；（2）①由中位数的定义即可得出答案；②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）P （一次拿到8元球）12=， 8∴元球的个数为1422⨯=（个)，按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9， ∴这4个球价格的众数为8元；（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下： 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为8882+=（元)， 所剩的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个， ∴乙组两次都拿到8元球的概率为49．【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．23．（9分）如图，ABC ∆和ADE ∆中，6AB AD ==，BC DE =，30B D ∠=∠=︒，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为APC ∆的内心．（1）求证：BAD CAE ∠=∠；（2）设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；（3）当AB AC ⊥时，AIC ∠的取值范围为m AIC n ︒<∠<︒，分别直接写出m ，n 的值．【分析】（1）由条件易证ABC ADE ∆≅∆，得BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠．（2）6PD AD AP x =-=-，点P 在线段BC 上且不与B 、C 重合，AP ∴的最小值即AP BC ⊥时AP 的长度，此时PD 可得最大值．（3）I 为APC ∆的内心，即I 为APC ∆角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180︒ “及角平分线定义即可表示出AIC ∠，从而得到m ，n 的值．【解答】解：（1）在ABC ∆和ADE ∆中，（如图1)AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC ADE SAS ∴∆≅∆BAC DAE ∴∠=∠即BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠．（2）6AD =，AP x =，6PD x ∴=-当AD BC ⊥时，132AP AB ==最小，即633PD =-=为PD 的最大值． （3）如图2，设BAP α∠=，则30APC α∠=+︒，AB AC ⊥90BAC ∴∠=︒，60PCA ∠=︒，90PAC α∠=︒-， I 为APC ∆的内心AI ∴、CI 分别平分PAC ∠，PCA ∠，12IAC PAC ∴∠=∠，12ICA PCA ∠=∠ 180()AIC IAC ICA ∴∠=︒-∠+∠1180()2PAC PCA =︒-∠+∠1180(9060)2α=︒-︒-+︒ 11052α=+︒ 090α<<︒，11051051502α∴︒<+︒<︒，即105150AIC ︒<∠<︒， 105m ∴=，150n =．【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD 最大值转化为PA 的最小值．24．（10分）长为300m 的春游队伍，以(/)v m s 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2(/)v m s ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，排头与O 的距离为()S m 头．（1）当2v =时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲，求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为()T s ，求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O 的距离为()S m 头．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是()t s ，速度是2/m s ，可以求出S 头与t 的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S 即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲是在S 的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t 减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S 甲与t 的函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为()T s ，是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度⨯返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，则排头也离开原排头()t s ，2300S t ∴=+头②甲从排尾赶到排头的时间为300(2)3003002150v v v ÷-=÷=÷=s ，此时2300600S t =+=头m 甲返回时间为：(150)t s -()2150300415041200S S S t t ∴=-=⨯+--=-+甲甲回头；因此，S 头与t 的函数关系式为2300S t =+头，当甲赶到排头位置时，求S 的值为600m ，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与t 的函数关系式为41200S t =-+甲．（2）30030040022T t t v v v v v=+=+=-+返回追及， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：400(150)(150)400150v T v v v⨯-=⨯--=-；因此T 与v 的函数关系式为：400T v=，此时队伍在此过程中行进的路程为(400150)v m -．【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误． 25．（10分）如图1和2，ABCD 中，3AB =，15BC =，4tan 3DAB ∠=．点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O 切CP 于点P ，设BP x =．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当4x =时，如图2，O 与AC 交于点Q ，求CAP ∠的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧PQ 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．【分析】（1）由三角函数定义知：Rt PBC ∆中，4tan tan 3CP PBC DAB BP =∠=∠=，设4C P k =，3BP k =，由勾股定理可求得BP ，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE AD ⊥，由此可得PE BC ⊥；（2）作CG AB ⊥，运用勾股定理和三角函数可求CG 和AG ，再应用三角函数求CAP ∠，应用弧长公式求劣弧PQ 长度，再比较它与AP 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，O 与AD 相切于点A ，或O 与线段DA 的延长线相交于另一点，此时，BP 只有最小值，即18x …．【解答】解：（1）如图1，AP 经过圆心O ，CP 与O 相切于P ， 90APC ∴∠=︒，ABCD ， //AD BC ∴， PBC DAB ∴∠=∠∴4tan tan 3CP PBC DAB BP =∠=∠=，设4CP k =，3BP k =，由222CP BP BC +=， 得222(4)(3)15k k +=，解得13k =-（舍去），23k =，339x BP ∴==⨯=，故当9x =时，圆心O 落在AP 上；AP 是O 的直径，90AEP ∴∠=︒，PE AD ∴⊥，ABCD ， //BC AD ∴ PE BC ∴⊥（2）如图2，过点C 作CG AP ⊥于G ，ABCD ， //BC AD ∴， CBG DAB ∴∠=∠∴4tan tan 3CG CBG DAB BG =∠=∠=， 设4CG m =，3BG m =，由勾股定理得：222(4)(3)15m m +=，解得3m =，4312CG ∴=⨯=，339BG =⨯=，945PG BG BP =-=-=，347AP AB BP =+=+=， 3912AG AB BG ∴=+=+=12tan 112CG CAP AG ∴∠===， 45CAP ∴∠=︒；连接OP ，OQ ，过点O 作OH AP ⊥于H ，则224590P O Q C A P ∠=∠=⨯︒=︒，1722PH AP ==，在Rt CPG ∆中，13CP =， CP 是O 的切线，90OPC OHP ∴∠=∠=︒，90OPH CPG ∠+∠=︒，90PCG CPG ∠+∠=︒ OPH PCG ∴∠=∠ OPH PCG ∴∆∆∽∴PH CGOP CP=，即PH CP CG OP ⨯=⨯，713122OP ⨯=， 9124OP ∴=∴劣弧PQ 长度9190912418048ππ⨯==， 912748ππ<< ∴弦AP 的长度>劣弧PQ 长度．（3）如图3，O 与线段AD 只有一个公共点，即圆心O 位于直线AB 下方，且90OAD ∠︒…， 当90OAD ∠=︒，CPM DAB ∠=∠时，此时BP 取得最小值，过点C 作CM AB ⊥于M ， DAB CBP ∠=∠， CPM CBP ∴∠=∠CB CP ∴=， CM AB ⊥22918BP BM ∴==⨯=，18x ∴…【点评】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．26．（12分）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ． （1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b =和2019.5b =时“美点”的个数．【分析】（1）当0x =吋，y x b b =-=-，所以B (0,)b -，而8AB =，而(0,)A b ，则()8b b --=，4b =．所以2:4L y x x =-+，对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，于是L 的对称轴与a 的交点为(2，2- )；（2）22()24b b y x =--+，顶点2(,)24b b C 因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=，得20002()b x b x b x +-=-+解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--，解得10x =，2x b =，右交点(,0)D b ．因此点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+直线解析式:2019a y x =-，美点”总计4040个点，②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+，直线解析式:2019.5a y x =-，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当0x =吋，y x b b =-=-，B ∴ (0,)b -，8AB =，而(0,)A b ，()8b b ∴--=， 4b ∴=．2:4L y x x ∴=-+，L ∴的对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，L ∴的对称轴与a 的交点为(2，2- )； （2）22()24b b y x =--+，L ∴的顶点2(,)24b b C点C 在l 下方，C ∴与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=， 得20002()b x b x bx +-=-+ 解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--， 解得10x =，2x b =， 0b >，∴右交点(,0)D b ．∴点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+直线解析式:2019a y x =-联立上述两个解析式可得：11x =-，22019x =，∴可知每一个整数x 的值 都对应的一个整数y 值，且1-和2019之间（包括1-和2019)-共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：404224040-=（个)；②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+，直线解析式:2019.5a y x =-，联立上述两个解析式可得：11x =-，22019.5x =，∴当x 取整数时，在一次函数2019.5y x =-上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数2019.5y x x =+图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知1-到2019.5之 间有1009个偶数，并且在1-和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．故2019b =时“美点”的个数为4040个，2019.5b =时“美点”的个数为1010个． 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。
2019届河北省衡水中学高三考前模拟密卷(一)数学(理)
2019届河北省衡水中学高三考前模拟密卷（一）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，10以内的素数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集和补集运算得到结果即可.【详解】，，由补集运算得到结果为：.故选D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单.2.为虚数单位，已知是纯虚数，与为共轭虚数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据复数的除法运算以及共轭复数的概念得到结果.【详解】设，为实数，，∴，解得.故.故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，是基础题.3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B. 该校只有50名学生不喜欢阅读C. 该校只有50名学生喜欢阅读D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数和对数的运算法则分别估算a,b,c的数值大概的范围，从而得到大小关系.【详解】，又，∴，故.故选C.【点睛】这个题目考查了比较两数大小的应用，常见的比较大小的方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】C【解析】于是在对称轴上取到最值，故A不对；，故B不对；又∵故C正确；．故D不对故选C.6.设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则（）A. 528B. 529C. 530D. 531【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质得到结果即可.【详解】根据等差数列的性质：得到：.故选D.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即，题目比较基础.7.设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.【详解】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.故选D.【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由割补法得到体积.【详解】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，由直三棱柱的体积减去小三棱锥的体积即可得到结果，则其体积为.故选C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.某校有、、、四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.甲说：“、同时获奖.”乙说：“、不可能同时获奖.”丙说：“获奖.”丁说：“、至少一件获奖”如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）A. 作品与作品B. 作品与作品C. 作品与作品D. 作品与作品【答案】D【解析】【分析】根据条件可判断出乙丁预测正确，而甲丙预测错误，这样根据这四位同学的预测即可得出获奖的作品．【详解】乙，丁预测的是正确的，甲，丙预测的是错误的；丙预测错误，∴C不获奖；丁预测正确，A，C至少一件获奖，∴A获奖；甲预测错误，即A，B不同时获奖，∴B不获奖；∴D获奖；即获奖的作品是作品A与作品D．故选：D．【点睛】本题考查进简单合情推理的过程和方法，属于中档题．10.设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【分析】先根据椭圆定义得，再根据条件得，最后根据圆的定义得轨迹方程.【详解】为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦点，，又，，所以点的轨迹方程为.选B.【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.11.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.【详解】平面平面，∴A正确，C、D显然正确.【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，先得到线面垂直，即一条线垂直于面内的两条相交直线则线面垂直，进而得到面面垂直.12.如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“函数”，区间叫做“区间”.若函数是区间上“函数”，则“区间”为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意需要找函数的增区间和函数的减区间，两者取交集即可.【详解】根据题干得到：因，，故，解得.故选B.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，原函数的导函数大于等于0则得到函数的增区间，导函数小于等于0则得到函数的减区间.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】2【解析】【分析】根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.故答案为：2.【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案衡水中学调研考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1 B.532 D.3 2. 设有直线m 、n 和平面α、β，则下列说法中正确的是（）A.若//,,m n m n αβ??,则//αβB.若,,m m n n αβ⊥⊥?，则//αβC.若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥D.若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥ 3. 用一个平面截正方体一角，所得截面一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能 4．如图，Rt O A B '''?是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A ．22B ．1C ．2D ．22 5. 数列1, 12, 124, , 1242n+++++++L L L ，的前n 项和为 ( ) A ．n n --+221 B.12--n n C.322--+n n D. 222--+n n 6. 若{}n a 是等差数列，满足121010a a a +++=L ，则有（）A ．11010a a +>B ．21000a a +< C.3990a a +=D ．5151a =7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的表面积为（）【含答案】A ．43 B ．4 C ．23D ．138. ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，PD ⊥AD,PD=AD=2,二面角P —AD —C 为600，则P 到AB 的距离是Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．79. 如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.3B.43C.33D.6310. 如图，在正方体1111ABCD A B C D —中，E 、F 、G 、H 分别为中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（） A ．045 B ．060 C ．090 D ．0120 11. 已知54x <，则函数14245y x x =+--（） A ．有最小值为5 B ．有最大值为-2 C ．有最小值为1 D ．有最大值为1 12. 对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD ；其中正确的命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分,把答案填在答题纸的横线上）13. 已知{}n a 是等差数列，246816,a a a a +++=求9S =_______.14.已知边长为a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为3a ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为： 15. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三上学期第四次调研考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2016届高三上学期四调考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.已知全集{}U 08x x =∈Z <<,{}2,3,5M =,{}28120x x x N =-+=,则集合{}1,4,7为（ ）A ．()U M N ðB ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()U M Nð2.下列命题中正确地是（ ）A ．若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B ．"0a >,0b >"是"2b aa b+≥"地充分必要条件C ．命题"若2320x x -+=,则1x =或2x ="地逆否命题为"若1x ≠或2x ≠,则2320x x -+≠"D ．命题:p 0R x ∃∈,使得20010x x +-<,则:p ⌝R x ∀∈,使得210x x +-≥3.函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）地大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知等差数列{}n a 地公差0d ≠,且1a ,3a ,13a 成等比数列,若11a =,n S 为数列{}n a 地前n 项和,则2163n n S a ++地最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．925.如图1,已知正方体1111CD C D AB -A B 地棱长为a ,动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ,1C B ,11C D 上．当三棱锥Q -BMN 地俯视图如图2所示时,三棱锥Q -BMN 地正视图面积等于（ ）A ．212a B ．214a C2D26.设x ,y 满足约束条件3200x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数2m z x y =+（0m >）地最大值为2,则sin 3y mx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭地图象向右平移6π后地表达式为（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.已知A ,B ,C ,D 是函数()sin y x ωϕ=+（0ω>,02πϕ<<）一个周期内地图象上地四个点,如下图所示,,06π⎛⎫A -⎪⎝⎭,B 为y 轴上地点,C 为图象上地最低点,E 为该函数图象地一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,CD 在x 轴上地投影为12π,则ω,ϕ地值为（ ）A ．2ω=,3πϕ=B ．2ω=,6πϕ=C ．12ω=,3πϕ= D ．12ω=,6πϕ=8.已知不等式422xx ay y +-≤+对任意实数x ,y 都成立,则常数a 地最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.如图,正方体1111CD C D AB -A B 地棱线长为1,线段11D B 上有两个动点E ,F ,且F E =,则下列结论中错误地是（ ）A ．C A ⊥BEB ．F//E 平面CDAB C ．三棱锥F A -BE 地体积为定值D ．异面直线AE ,F B 所成地角为定值10.已知三棱锥C A -B O ,OA ,OB ,C O 两两垂直且长度均为6,长为2地线段MN 地一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在C ∆B O 内运动（含边界）,则MN 地中点P 地轨迹与三棱锥地面所围成地几何体地体积为（）A ．6πB ．6π或366π+C ．366π-D ．6π或366π-11.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数地底数）上任意一点处地切线为1l ,总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处地切线2l ,使得12l l ⊥,则实数a 地取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-12.设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=,()228e f =,则0x >时()f x （ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知数列{}n a 对于任意p ,q *∈N ,有p q p q a a a ++=,若119a =,则36a = ．14.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥CD P -AB ,其中底面四边形CD AB 是边长为1地正方形,1PA =,且PA ⊥平面CD AB ,则球体毛坯体积地最小值应为．15.若C ∆AB 地内角A ,B 满足()sin 2cos sin B=A +B A,则当B 取最大值时,角C 大小为 ．16.定义函数()y f x =,x ∈I ,若存在常数M ,对于任意1x ∈I ,存在唯一地2x ∈I ,使得()()122f x f x +=M ,则称函数()f x 在I 上地"均值"为M ,已知()2log f x x =,20141,2x ⎡⎤∈⎣⎦,则函数()2log f x x =在20141,2⎡⎤⎣⎦上地"均值"为．三、解答题 （本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中,角A ,B ,C 所对地边为a ,b ,c ,且满足cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角B 地值；（2）若b =且b a ≤,求12a c -地取值范围．18.（本小题满分12分）已知四棱锥CD P -AB 地底面是菱形,CD 60∠B =,D 2AB =PB =P =,C P =,C A 与D B 交于O 点,E ,H 分别为PA ,C O 地中点．（1）求证:PH ⊥平面CD AB ；（2）求直线C E 与平面PAB 所成角地正弦值．19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 地公差为1-,前n 项和为n S ,且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 地通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 地前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 地前三项,记数列{}n n a b 地前n 项和为n T ,若存在m *∈N ,使得对任意n *∈N ,总有n m S λ<T +成立,求实数λ地取值范围．20.（本题小满分12分）如图,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,DC 90∠A = ,AE ⊥平面CD AB ,F//CD E ,1C CD F D 12B ==AE =E =A =．（1）求证:C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ,使二面角DE -M -A 地大小为6π？若存在,求出C M 地长；若不存在,说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x x b =-++,()lng x a x =．（1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上地最大值为38,求实数b 地值；（2）若对任意[]1,x e ∈,都有()()22g x x a x ≥-++恒成立,求实数a 地取值范围；（3）在（1）地条件下,设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,对任意给定地正实数a ,曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ,使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点地直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分．22.（本小题满分10分）如图,已知圆O 是C ∆AB 地外接圆,C AB =B ,D A 是C B 边上地高,AE 是圆O 地直径．过点C 作圆O 地切线交BA 地延长线于点F ．（1）求证:C C D A ⋅B =A ⋅AE；（2）若F 2A =,CF =求AE 地长．23.（本小题满分10分）已知函数()21f x x =-,()1g x a x =-．（1）若关于x 地方程()()f x g x =只有一个实数解,求实数a 地取值范围；（2）若当R x ∈时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 地取值范围．。
高中数学必修一期中检测试卷 (2)
期中检测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合 A ∩(∁U B )等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 A解析 根据补集的定义可得∁U B ＝{2,5,8}， 所以A ∩(∁U B )＝{2,5}，故选A. 2．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤34或x >2 D ．{x |x <2}答案 B解析 3x －12－x ≥1⇔3x －12－x －1≥0⇔4x －32－x ≥0⇔x －34x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －34(x －2)≤0，x －2≠0 解得34≤x <2.故选B.3．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1， 所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．4．命题“∃x ∈R,1<f (x )≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R,1<f (x )≤2 B ．∃x ∈R,1<f (x )≤2 C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 答案 D解析 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．5．若a ，b ，c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a <b <0，则a 2<b 2 C ．若a >b >0，则1a <1bD ．若a <b <0，c >d >0，则ac <bd 答案 B解析 对于A ，若ac 2>bc 2，则a >b ，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若a <b <0，则a 2>b 2，故错误； 对于C ，若a >b >0，则a ab >b ab ，即1b >1a ，故正确；对于D ，若a <b <0，c >d >0，则ac <bd ，故正确．故选B.6．不等式ax 2＋2ax ＋1≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意知，不等式ax 2＋2ax ＋1>0恒成立， 当a ＝0时，1>0，不等式恒成立，当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <1，综上有0≤a <1，故选C.7．函数f (x )＝2x ＋8x －1(x >1)，则f (x )的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．10答案 D解析 f (x )＝2(x －1)＋8x －1＋2≥22(x －1)·8x －1＋2＝10，当且仅当2(x －1)＝8x －1，即x ＝3时取等号，所以当x ＝3时，f (x )min ＝10，故选D.8．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．－15D ．15 答案 C解析 ∵f (x )在[3,6]上为增函数， ∴f (6)＝8，f (3)＝－1，∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－15.9．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12或－12<x <0 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x <12或x <－12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12 答案 B解析 y ＝f (x )的草图如图，xf (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.10．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 依题意可知，当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ； 当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知选D. 11．函数f (x )＝1＋x2＋x (x >0)的值域是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1.12．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1,0,1；②若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M .则下列结论正确的是( )A ．集合M 中至多有2个元素B ．集合M 中至多有3个元素C ．集合M 中有且仅有4个元素D ．集合M 中至少有4个元素 答案 D解析 因为a ∈M ，1＋a1－a ∈M ，所以1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈M ，所以1＋1－a 1－1－a ＝a －1a ＋1∈M ，又因为1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，1＋a 1－a ，a －1a ＋1这4个元素，由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 答案 1解析 由A ∩B ＝{1}知，1∈B ， 又因为a 2＋3≥3，所以a ＝1.14．有下列三个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x ∈N *，x 为29的约数．其中真命题为________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，这是全称量词命题， 因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，因为当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以③为真命题．15．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 [6，＋∞)解析 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋29＝16，当且仅当b a ＝9ab 即a ＝4，b ＝12时，等号成立，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ， 即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立． 又设f (x )＝x 2－4x －2＝(x －2)2－6， 所以f (x )的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6.16．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________． 答案 6解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值，最大值为6.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解 (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}．(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.18．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，∴q ：2<x ≤3，当a >0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |a <x <3a }， ∴p ：a <x <3a .∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2. 当a <0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |3a <x <a }， ∴p ：3a <x <a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a >3，此时无解．综上所述，a 的取值范围是(1,2]．19．(12分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0.解 (1)∵不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }， ∴a >0，且方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根是1和b .由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1·b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0，即x 2－(c ＋2)x ＋2x <0， 即x (x －c )<0.∴当c >0时，解得0<x <c ； 当c ＝0时，不等式无解； 当c <0时，解得c <x <0.综上，当c >0时，不等式的解集是(0，c )； 当c ＝0时，不等式的解集是∅； 当c <0时，不等式的解集是(c,0)．20．(12分)为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 解 (1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p p －x －(10＋2p )， 将p ＝3－2x ＋1代入化简得y ＝16－4x ＋1－x (0≤x ≤a )．(2)当a ≥1时，y ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋x ＋1≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当0<a <1时，y ＝16－4x ＋1－x 在(0,1)上单调递增，所以当x ＝a 时，y 取最大值为16－4a ＋1－a .所以当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．当0<a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大为16－4a ＋1－a .21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2. (1)求函数f (x )在R 上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )－k ＝0有四个解，求实数k 的取值范围． 解 (1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．即实数k 的取值范围为(－2,2)．22．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋b ，g (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，h (x )＝g (x )f (x ).对任意的x ∈R ，恒有f (x )≤g (x )成立．(1)如果h (x )为奇函数，求b ，c 满足的条件；(2)在(1)的条件下，若h (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数c 的取值范围． 解 (1)设h (x )＝g (x )f (x )的定义域为D ，因为h (x )为奇函数，所以对任意x ∈D ，h (－x )＝－h (x )成立，解得b ＝0. 因为对任意的x ∈R ，恒有f (x )≤g (x )成立， 所以对任意的x ∈R ，恒有2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ， 即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0对任意的x ∈R 恒成立．由(b －2)2－4(c －b )≤0，得c ≥b 24＋1，即c ≥1.于是b ，c 满足的条件为b ＝0，c ≥1.(2)当b ＝0时，h (x )＝g (x )f (x )＝x 2＋c 2x ＝12x ＋c2x (c ≥1)．因为h (x )在[2，＋∞)上为增函数， 所以任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， h (x 2)－h (x 1)＝12(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－c x 1x 2>0恒成立， 即任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2,1－cx 1x 2>0恒成立，也就是c <x 1x 2恒成立，所以c ≤4，综合(1)，得实数c 的取值范围是[1,4]．。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
衡水中学2018-2020年月考模拟考好题分类集锦：集合与常用逻辑用语(附答案+全解全析)
衡水中学好题分类集锦之：集合与简易逻辑一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A ．B ．C ．D ．5. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p 为：为A ．B ．C ．D ．6. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．37. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合， ，则（ ）A ．B ．C ．D ．8. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题10. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（ ）A ．B ．C ．D ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ．B ．C ．D ．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a <14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥ C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知全集U=R ，则A ．B ．C ．D ．18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】集合，，，若，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．19. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ） A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<<20. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】下列命题中的假命题是（ ） A ． B ．C ．D ．21. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知全集，集合和的关系的韦恳（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 23. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知集合{|1}A x x =<，{|1xB x e =< }，则（ ）A ．{|1}AB x x ⋂=< B ．()R AC B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 二、填空题1. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________．答案与详解一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4A B =I ，有3个元素， 故选：C ．2. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】集合集合,则,故选A.4.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以或.所以.故选B.5.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p为：为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据的构成方法得，为.故选C.6.【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.7.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．8.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以，.选.9.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“，使得”的否定是“，都有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是“若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.10.【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．故选C ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题知，，则故本题答案选．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】 “若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是 “若则，互为相反数，”，正确； “，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B 选项.16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-【答案】C【解析】由题意知集合2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤，所以{|13}A B x x =≤≤I ，故选C 。